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Modelos Atómicos
Modelos Atómicos
Modelos Atómicos
\
|
=
2
n
1
4
1
R
1
|
.
|
\
|
=
2 2
n
1
2
1
R
1
donde n es un nmero entero que puede adoptar los valores 3, 4, 5..., y R es una constante denominada
constante de Rydberg, cuyo valor aproximado es:
R = 109 740 cm
1
al primer miembro de estas ecuaciones se le denomina nmero de ondas y se puede representar por
=
1
Aplicando est ecuacin a otros tipos de saltos:
|
|
.
|
\
|
=
2
2
2
1
n
1
n
1
R
1
n
1
= numero cuntico principal del estado final
n
2
= numero cuntico principal del estado inicial
Ampliando a otros elementos iones.
|
|
.
|
\
|
=
2
2
2
1
2
n
1
n
1
R Z
1
La identificacin de las lneas de los espectros se puede hacer mediante su longitud de onda, , o
mediante su frecuencia , y fundamentalmente por su nmero de ondas . Las relaciones entre estas
magnitudes son:
=
=
c
h E :
c
h E
c = / T =
= nmero de ondas en centmetros
= longitud de onda en centmetros
= frecuencia en seg.
1
c = velocidad de la luz = 310
8
m seg.
1
h = constante de Planck (66310
34
Js)
Modelo atmico de Bohr.
Postulados:
1. Los tomos estn construidos segn el modelo de Rutherford.
2. Solo son posibles unas rbitas determinadas, circulares, llamadas rbitas estacionarias, en las que el
electrn situado en ellas no emite energa. En dichas rbitas se cumplira, adems que el momento
cintico del electrn, I, ha de ser un mltiplo entero de h/2. De acuerdo con la teora de los quanta de
Planck
=
2
h
n I
I = momento de inercia del electrn que gira respecto al ncleo, que se supone puntual = mr
2
= velocidad angular del electrn = v / r
r = radio de la rbita que describe el electrn
v = velocidad lineal del electrn
La ecuacin anterior se transforma en:
=
2
h
n r v m
Lo cual indica que las rbitas por las que puede moverse el electrn estn cuantizadas.
3. El salto de un electrn desde una rbita estacionaria de mayor energa a otra rbita estacionaria de menor
energa da lugar a la emisin de una radiacin electromagntica (luz), de forma que el valor de la energa
emitida es siempre un fotn o cuanto de luz:
=
1
hc
E E
: foton E E
f i
f i
S E
i
> E
f
, el electrn emite energa.
S E
i
< E
f
, el electrn absorbe energa.
Teniendo en cuenta todo lo anterior se puede concluir que:
= =
c
h h E E
f i
Aplicacin del modelo de Bohr al tomo de hidrgeno.
Si se admite que el tomo de hidrgeno (p
+
+ e
=
Igualando los valores de ambas fuerzas:
r
e
mv
2
2
=
La energa que posee el electrn al estar situado en una rbita estacionaria ser la suma de su energa cintica
(mv
2
) y de su energa potencial elctrica (E
p
= qV; donde V es el potencial del campo creado por el ncleo
a una distancia r de l: V = k q/r)
( )
r
e
r
e
e V q E :
r
e
2
1
2
r
e
2
v m
E
2
p
2
2
2
c
= = = = = =
r
e
2
1
r
e
r
e
2
1
E E E
2 2 2
p c total
= = + =
Consecuencias:
a) Radios de las rbitas. Teniendo en cuenta:
r
e
v m
2
h
n r v m
2
2
=
=
y despejando entre las do ecuaciones el radio de la rbita, se llega a una expresin para el radio de la
rbita en funcin de una serie de constantes:
2 2
2
2
me 4
h
n r
=
Sustituyendo por sus valores numricos:
r = n
2
0529
Los radios de las distintas rbitas estacionarias estn relacionados entre s como los cuadrados de los
nmeros naturales. A este numero n se le denomino numero cuntico principal.
b) Frecuencias de los saltos.
Combinando las ecuaciones de la energa y del radio de una rbita, se obtiene la energa de una rbita en
funcin de n.
2 2
4 2
h n
me 2
E
=
Crticas al modelo atmico de Bohr.
- Supone que las rbitas descritas por el electrn son circulares.
- Considera infinita la masa del ncleo respecto de la del electrn, cuando en realidad la masa del ncleo
del hidrogeno respecto del electrn es de 1840 veces mayor.
- No incorpora las teoras relativistas a los fenmenos atmicos.
- Induce a pensar que las diferentes series espectrales de los dems elementos qumicos, incluso de los
muy complicados, pueden expresarse por diferencia de trminos espectrales.
El estudio de los espectros conduce a la existencia de diversos niveles energticos dentro del tomo,
que corresponden a los posibles estados de distribucin de los electrones en la corteza atmica.
Modelo atmico de Bohr-Sommerfeld. rbitas elpticas.
Para explicar los hechos conocidos por los avances en la espectroscopia, Sommerfeld modifica los
postulados de Bohr en los siguientes aspectos:
- Las rbitas descritas por los electrones, dentro de cada nivel energtico definido por el nmero cuntico
principal n, pueden ser circulares o elpticas, lo que supone pequesimas diferencias en los estados
energticos de los electrones. La excentricidad de la elipse viene determinada por un nmero cuntico
secundario, l, que, a su vez, seala el subnivel energtico para cada nivel cuntico, n.
- El nmero de sbniveles energticos existentes en cada nivel es igual al nmero cuntico principal, n.
En el primer nivel (n = 1) hay un subnivel
En el segundo nivel (n = 2) hay dos sbniveles
En el tercer nivel (n = 3) hay tres sbniveles
.........................................................................
- Los valores que puede tomar el nmero cuntico secundario van desde 0 hasta (n1). El primer
subnivel energtico de cada capa o nivel corresponde a una rbita circular; los restante sbniveles
representan rbitas elpticas de excentricidad creciente.
l = 0 Orbital s
l = 1 Orbital p
l = 2 Orbital d
l = 3 Orbital f
..........................
- Cuando el electrn recorre una rbita elptica debe variar su velocidad, de acuerdo con la ley de las
reas.
- La orientacin en el espacio de las distintas rbitas y su inclinacin respecto de un plano de referencia
no puede ser cualquiera, lo que supone la introduccin de un nuevo nmero cuntico, llamado numero
cuntico magntico, m
l
, que puede tomar valores desde l hasta +l, pasando por 0.
- Los saltos energticos estn condicionados por una serie de reglas. Por ejemplo, solo son posibles
aquellos saltos en los que el numero cuntico magntico permanece constante nicamente cambia en
una unidad (m = 0 1).
Series espectrales:
Serie de Lyman. Salto a la rbita n = 1
Serie de Balmer. Salto a la rbita n = 2
Serie de Paschen. Salto a la rbita n = 3
Serie de Bracett. Salto a la rbita n = 4
Spin del electrn.
Para explicar el llamado efecto Zeeman anmalo (desdoblamientos de las lneas cuando se someten a
fuertes campos magnticos), postularon que el electrn adems de describir una rbita en torno al ncleo, gira
en torno a s mismo comportndose como un pequeo imn. Al no existir mas que dos sentidos de giro
posible, para determinar como va a ser el giro del electrn se recurri al llamado nmero cuntico de spin,
que segn se demostr solo puede tomar los valores m
s
= .
Defecto de masa. Energa de ligadura.
Se ha observado experimentalmente que la masa M de un ncleo no coincide con la suma de las
masas de las partculas nucleares que lo constituyen, siendo generalmente menor.
La explicacin de este fenmeno, consecuencia de la teora de la Relatividad, es relativamente
sencilla: cuando se han reunido todas las partculas para formar un ncleo, es que su estado final es ms
estable que el inicial, lo que supone como consecuencia, una liberacin de energa, que se traduce d acuerdo
con la ecuacin de Einstein, en una perdida o defecto de masa.
E = mc
La Energa liberada en la formacin de un ncleo atmico se denomina energa de ligadura o de
empaquetamiento, pudiendo definirse como: la energa que hay que suministrar a un ncleo atmico para
descomponerlo en sus constituyentes elementales: protones y neutrones.
Mecnica cuntica.
Los principios bsicos de los que parte son el dualismo corpsculo-onda, observado a partir del
efecto fotoelctrico y del efecto Compton, el principio de incertidumbre y la teora de los cuantos de Planck.
Efecto fotoelctrico.
Por los datos observados en ciertas experiencias permitieron suponer que, bajo la accin de ciertas
radiaciones de pequea longitud de onda, los metales emiten electrones denominndose a este fenmeno
efecto fotoelctrico. Einstein, basndose en la teora cuntica de Planck llega a dar una expresin para la
velocidad con que son emitidos los electrones.
Efecto Compton.
Supone que el fotn presenta en su choque con el electrn un cierto comportamiento corpuscular (es
portador de masa y de energa) y que en el fenmeno se cumplen los principios generales de la conservacin
de la energa y del momento lineal.
Dualismo corpsculo-onda. De Brglie.
Todas las partculas elementales manifiesta un dualismo corpsculo-onda, llevando su onda asociada.
Esta frmula, que en principio es vlida para el caso de la luz (fotones), De Brglie la generaliza a toda
partcula en movimiento.
Energa asociada a la masa = mc
2
Energa asociada a la
Igualando
c m
h
h c m
2
= =
Principio de incertidumbre de Heisenberg.
Segn la mecnica clsica, si se conocen la posicin y la velocidad iniciales de una partcula
podemos predecir con exactitud su nueva posicin y velocidad al cabo de un cierto t. Pero esto en el mundo
microfsico, ya no es posible. En concreto y para el caso de los electrones, lo nico que podemos suponer es
que el electrn esta dentro de un grupo de ondas que se extiende a una pequea regin del espacio y que su
posicin en un cierto instante no puede predecirse con la precisin deseada.
Heisenberg propone el principio de incertidumbre. Su enunciado general es: Siempre que se opere con
variables conjugadas, el producto de los errores cometidos en la determinacin simultanea de ambas variables
a de ser igual mayor que la constante de Planck.
Referido a las magnitudes posicin y cantidad de movimiento se traducira en estos trminos: El producto de
la incertidumbre x de las medidas de las coordenadas de la partcula por la incertidumbre p
x
de la medida
simultanea de su cantidad de movimiento ha de ser igual o mayor que la constante de Planck.
Matemticamente:
x p
x
h
POSTULADOS DE LA MECNICA ONDULATORIA
El desarrollo de la M.O. (Mecnica ondulatorio) se ha hecho aplicando los anteriores principios
mediante seis postulados. Para unos objetivos de ligera e intuitiva iniciacin bastan los dos primeros.
Primer postulado de la M.O.
El estado de un sistema viene dado por una funcin, llamada funcin de estado, que debe ser
aceptable.
Si hemos admitido que cada partcula lleva asociada una onda, tiene que existir una ecuacin de esa
onda que la describas. En Fsica elemental se estudian las ecuaciones de los movimientos ondulatorios, lgico
pensar que tambin las ondas asociadas a las partculas podrn describirse mediante una relacin matemtica
de variables o ecuacin de ondas. La funcin de estado se simboliza por la letra griega y depende de las
coordenadas del espacio de todas las partculas que existan en el sistema, y del tiempo; En el caso del electrn
del hidrgeno ser (x, y, z, t) por referirse a una sola partcula.
La condicin de aceptable que aparece en la formulacin del postulado se refiere a que debe ser
uniforme, continua y con cuadrado integrable
Segundo postulado de la M.O.
A cada observable del sistema corresponde un operador de la ecuacin de ondas o funcin de
estado.
Se llama observable en M.O. a todo aspecto del sistema susceptible de ser medido. Por ejemplo, la posicin
es un observable porque se puede medir en un sistema de ejes; el impulso, mv, porque la velocidad y la masa
se pueden medir; la energa, etc.
Interpretacin fsica de
Es posible hallar las expresiones de , usando el clculo diferencial. Para el tomo de hidrgeno
basta escribir la funcin V de energa potencial conocida y aplicar el clculo. No se intenta el desarrollo del
mtodo, pero s hacer hincapi en un hecho sorprendente: al intentar obtener la solucin de la ecuacin de
Schrdinger para el electrn del hidrgeno, aparecen unas condiciones matemticas que cuantizan la solucin.
Esto no es nuevo en clculo, pues se sabe que hay ecuaciones de segundo grado que presentan condiciones
para su solucin en el campo de los nmeros reales; x+ mx + 9 = 0, por ejemplo, slo tiene soluciones para m
6. Lo interesante en este caso es observar la coincidencia entre estas condiciones y las que establecen las
rbitas clsicas de Bohr y continuadores.
Al resolver la ecuacin de Schrdinger aparecen unos nmeros que cuantizan sus soluciones y
adquieren los mismos valores que los nmeros cunticos conocidos. Es decir, slo hay solucin para valores
naturales de un parmetro, n (1, 2, 3, 4,...); para cada valor de n existen valores para otro, l (0, 1, 2,..., n - l);
Para cada valor de 1 slo hay solucin para unos valores de otro parmetro matemtico, m (1,... 0,... + 1).
Los nombres de nmeros cunticos principal, azimutal y magntico se mantienen. Existe una solucin de la
ecuacin de ondas para cada tro de valores, n, 1, m, que se corresponde con las rbitas de la teora de Bohr.
Tambin surge en la resolucin de las ecuaciones de onda el nmero cuntico spin, s, cuando
queremos determinar estados especficos del electrn.
La resolucin de la ecuacin de Schrdinger lleva a las formas de los distintos orbitales del
hidrogeno: