Apuntes Limites Continuidad Derivadas
Apuntes Limites Continuidad Derivadas
Apuntes Limites Continuidad Derivadas
ANÁLISIS MATEMÁTICO
1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a un valor
cualquiera de una (variable independiente) le hacemos corresponder, como mucho,
un único valor de la otra (variable dependiente).
Para indicar que la variable (y) depende o es función de otra (x), se usa la notación
y = f(x), que se lee “y es la imagen de x mediante la función f”.
1
Clasificación de las funciones más conocidas:
2. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Recordemos las operaciones con funciones:
Al final del tema encontrarás las funciones más importantes, de las cuales debes
conocer sus propiedades, elementos destacados y gráficas.
Nota: en la red existen numerosas páginas y programas para realizar gráficas:
Geogebra(https://www.geogebra.org/), Mathe-fa(http://www.mathe-fa.de/).
Una función f(x) tiene por límite L cuando x tiende a x0, y se representa por
lím f(x) = L si para todo entorno E(L,) existe un entorno E(x0,), de modo que para
todo x perteneciente al entorno reducido E*(x0,) se cumple que f(x)
pertenece al entorno E(L, ):
o también:
3
3.2. LÍMITES LATERALES
Una función f(x) tiene por límite L cuando x tienda a x0 por la izquierda/derecha, y se
representa como /
si para todo entorno E(L,) existe un entorno lateral a la izquierda (derecha) de x0, E
(x0,)=(x0 - , x0), de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral, se
o también:
Es importante tener en consideración que, para que existan los límites laterales en x 0,
no es necesario que la función esté definida en ese punto. Diremos que existe el límite
en x0 cuando los límites laterales coincidan.
En ambos casos, se trata de situaciones en las que los valores de y se hacen tan
grandes como se desee al aproximarse x a x 0. Si ambos límites coinciden, podremos
escribir:
Una función f(x) tiene por límite un número real L, cuando x tiende a +, y se escribe:
Si para todo positivo, existe un número real M, de modo que, para cualquier valor de
x menor que M, se verifica que f(x) está en el entorno E(L,):
tienda a x0:
Se tiene:
Nota: Los casos que nos aparecen en la anterior tabla, serán estudiados como casos
Indeterminados o Indeterminaciones.
3.7. CÁLCULO DE LÍMITES
- Funciones potenciales: son del tipo f(x) = xn, con n un número real
- Funciones exponenciales: son de la forma f(x) = ax
NOTA 1: Las funciones se ordenan por su carácter dominante (por ejemplo, 2x tiende a
infinito más rápidamente que x2+3x-1), por lo que debemos conocer su orden:
NOTA 2:
3.7.4. INDETERMINACIONES
y existe el
, entonces también existe el límite y
es:
Observaciones:
7.3.6. LÍMITES SINGULARES Y LÍMITES QUE NO EXISTEN
4. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
4.1. DEFINICIÓN
IDEA INTUITIVA DE CONTINUIDAD: será continua toda función cuya gráfica pueda ser
dibujada sin levantar el lápiz del papel.
SALTO = | |
o SALTO INFINITO: uno, o ambos límites laterales, es infinito.
- 2ª ESPECIE (también de tipo infinito): uno de los límites laterales es infinito, y el
otro no existe ya que la función no está definida por ese lateral.
5. Teorema de Weierstrass
Si f es continua en [a,b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese
intervalo, es decir, existe sendos números, c y d, del intervalo [a,b] para los cuales
se cumple que: cualquiera que sea x ϵ [a,b] es f(d) f(x) f(c)
2. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.
1. DEFINICIÓN
Para que exista la derivada de f en el punto a deben existir las derivadas laterales en
dicho punto.
IMPORTANTE: Si f es derivable en un punto, entonces f es continua en dicho punto,
pero no se cumple en el otro sentido. Ser continua no asegura ser derivable.
y = f(a) + f’(a) ∙ (x – a)
2. CÁLCULO DE DERIVADAS
Además de la recta tangente, podemos obtener la recta normal a una curva en uno de
sus puntos. Para esto, la pendiente que debemos considerar es la inversa de la opuesta
de la pendiente de la recta tangente:
Punto de inflexión
3.5. TEOREMAS
Nota: Recuerda que para tener derivada en un punto es necesario, en primer lugar,
que sea continua en dicho punto.
Ejemplos:
1º Sea la función f(x) = . . Estudiar su continuidad y derivabilidad.
Esta función es de tipo racional, por lo que debemos ver en qué casos se anula el
denominador: x2 – 1 = 0 x = ± 1. Por lo tanto, en esos dos puntos la función no está
definida, así que no es continua ni derivable en ellos.
La función, al ser de tipo racional, es continua en aquellos puntos que no anulan el
denominador: f continua en R – {±1}. ¿Cuál es la función derivada?
(1/x) 1 (2x - 1) 2 (x - 2)
Si x < 1, la función f(x) se define como 1/x, esta función es racional y su denominador se
anula en x = 0, estando este punto en el dominio de definición (0 ϵ (- ,1)), por tanto f
no es continua en x = 0, y no será derivable en dicho punto
Si x ϵ (1,2), la función f(x) se define por 2x – 1, que es continua en
R. Si x > 1, la función f(x) se define por x – 2, que es continua en R.
¿Y la derivabilidad?
Si x < 1, debemos ver si la función tiene derivadas laterales en x = 0, punto donde no
estaba definida. Sí que las tiene, con derivada f’(x) = (-1 / x 2) que fallaría de nuevo en 0,
pero ya estamos evitando ese punto.
Si x ϵ (1,2) o x > 1, la función es derivable, existiendo las derivadas: f’(x)=2, f’(x)=1,
respectivamente.
Entonces, ¿dónde está el problema? EN LOS PUNTOS DE TRANSICIÓN DE LA FUNCIÓN
x = 1: Estudiamos la continuidad mediante los límites laterales
lim f(x) = lim 1/x = 1
x 1- x1 f es continua en x =
1 lim f(x) = lim (2x – 1) = 1 = f(1)
x 1+ x1
1. DOMINIO
Debemos saber para qué valores se define la función. Recordemos que el
dominio puede no ser R para casos como:
- Funciones racionales: no pertenecen al dominio los puntos que anulan el
denominador.
- Funciones radicales: no pertenecen al dominio los puntos que convierten en
negativo el radicando de una raíz de índice par.
- Funciones logarítmicas: no existe el logaritmo de valores negativos ó 0.
2. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES COORDENADOS
Los puntos de corte con los ejes nos permiten situar la función en el plano, y en
ocasiones nos permiten deducir si hay o no asíntotas.
- Punto de corte con OX: y = 0 x / f(x) = 0
- Punto de corte con OY: x = 0 y / y = f(0)
3. ASÍNTOTAS: son rectas a las que se aproxima la función, sin nunca* llegar a
tocarlas. (*Hay raras excepciones.)
- VERTICALES: puntos k donde se anula el denominador, o donde el logaritmo se
evalúa en 0: x = k
- HORIZONTALES: lim f(x) = k ϵ R lim f(x) = k ϵ R: y=k
X- X+
- OBLICUAS: rectas de la forma y = mx + n, donde
m = lim ϵR n = lim [f(x) – mx]
x x
4. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD
La simetría y periodicidad nos permitirán limitarnos a estudiar una de las partes
de la función. La función no tiene por qué tener estas propiedades.
- f tiene simetría par si f(x) = f(-x)
- f tiene simetría impar si f(x) = - f(-x)
- Periodicidad: funciones trigonométricas, función parte entera…
5. CONTINUIDAD
Para poder trazar la gráfica, necesitamos saber los puntos en los que la función
no es continua.
- Si la función tiene una expresión única: son continuas las funciones
polinómicas, exponenciales, trigonométricas (salvo la tangente), racionales con
denominador no nulo, radicales con radicando no negativo, …
- Si la función viene dada a trozos: estudiamos la continuidad de forma
independiente en cada trozo, y estudiamos el punto donde cambia de
definición la función.
6. MONOTONÍA
La monotonía se trata del crecimiento y decrecimiento de la función, así como
los máximos y mínimos, tanto relativos como absolutos, que tiene la función en
su recorrido.
- Derivamos la función obteniendo f’(x).
- Igualamos la derivada a cero para obtener los posibles puntos críticos: f’(x) = 0
- Estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función tomando valores en
los intervalos obtenidos:
f’(x) > 0 f’(x) = 0 f’(x) < 0
f creciente Posible extremo relativo f decreciente
Si antes crece y luego
decrece: máximo
Si antes decrece y luego
decrece: mínimo
Si no cambia el crecimiento:
punto de inflexión
7. CURVATURA
La curvatura de la función nos permitirá distinguir si la función toma valores
por encima o por debajo de la tangente en los puntos críticos. Las posibles
opciones son convexa o cóncava (también llamados cóncavo hacia arriba y
cóncavo hacia abajo).
- Obtenemos la segunda derivada: f’’(x)
- Estudiamos la curvatura que toma, dando valores en los distintos apartados.
f’’(x) > 0 f’(x) = 0, ¿f’’(x)? f’’(x) < 0
f convexa Extremo relativo f cóncava