Practica11 Distribución Conjunta

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Año: 2020 Periodo: I PAO

Materia: Estadística I
Práctica: Distribución de Probabilidad Conjunta

Fecha: Duración: 60
minutos
Práctica 11. Distribución de Probabilidad Conjunta
Tema 1
Sea X T =(X Y ) un Vector Aleatorio Bivariado tal que su distribución de Probabilidad es:
f ( x , y )=4 (x + y) ; con soporte S= { ( x , y )∨x=1,2,3 ∧ y =1,2 }
a) Determine la tabla de distribución conjunta de X y Y

b) Determine P( y <2)
c) Determine las marginales f x ( x ) , f y ( y ) ,
d) Determine la media de X y la media de Y
e) Determine la varianza de X y varianza Y
f) Determine la Covarianza entre X y Y
g) Determine el Coeficiente de Correlación entre X y Y
a) Determine la tabla de distribución conjunta X y Y

#Creación de la Función de Distribución Conjunta (1/21)(x+y)
fdistribucion=function(x,y)
{ domx=c(1,2,3)
domy=c(1,2)
if (sum(x==domx)&sum(y==domy)) #verificación de los valores
permitidos para "x" y "y"
return(round((1/21)*(x+y),3))
else
return(0)
}
#a) Matriz Conjunta

Ma=matrix(0,2,3) #X: columnas, Y: filas
for(i in c(1:2))
for (j in c(1:3))
Ma[i,j]=fdistribucion(j,i)
Ma
## [,1] [,2] [,3]

## [1,] 0.095 0.143 0.190
## [2,] 0.143 0.190 0.238
b) Determine la P(Y<2)
#P(Y<2)=fxy(1,1)+fxy(2,1)+fxy(3,1)
fdistribucion(1,1)+fdistribucion(2,1)+fdistribucion(3,1)
## [1] 0.428
#Otra forma, considerando los datos de la matriz

sum(Ma[1,]) #sumar los datos de toda la primera fila
## [1] 0.428
c) Determine las marginales f_x (x),f_y (y)

#f_x(x)=g(x) marginal de x : suma por columnas de la matriz
gx=colSums(Ma)
gx
## [1] 0.238 0.333 0.428
#f_y(y)=hy marginal de y :suma por filas de la matriz

hy=rowSums(Ma)
hy
## [1] 0.428 0.571
d)Determine la media de X y la media de Y

x=c(1,2,3)
y=c(1,2)
ux=sum(x*gx)
ux
## [1] 2.188
uy=sum(y*hy)
uy
## [1] 1.57
e)Determine la varianza de X y varianza Y

#V=Valor Esperado de X^2 - ux^2
#Ex2: Valor Esperado de X^2
#Ey2: Valor Esperado de y^2
Ex2=sum((x^2)*gx)
Ex2
## [1] 5.422
Ey2=sum((y^2)*hy)
Ey2
## [1] 2.712
Vx=round(Ex2-(ux^2),3)
Vy=round(Ey2-(uy^2),3)
Vx
## [1] 0.635
Vy
## [1] 0.247
f) Determine la Covarianza entre X y Y
#Cov(x,y)=E[xy]-uxuy
Exy=0
for(i in c(1:2))
for (j in c(1:3))
Exy=Exy+(i*j*Ma[i,j])
Exy
## [1] 3.425
Covxy=round(Exy-ux*uy,3)
Covxy
## [1] -0.01
g) Determine el Coeficiente de Correlación entre X y Y

Corxy=Covxy/(sqrt(Vx)*sqrt(Vy))
Corxy
## [1] -0.02525019
Tema 2
1
f ( x , y )= xy ; con soporte S= { ( x , y )∨x=1,2,3 ∧ y =1,2 }
18

b) Determine las marginales f x ( x ) , f y ( y ) ,
c) Determine la media de X y la media de Y
d) Determine la varianza de X y varianza Y
e) Determine la Covarianza entre X y Y
#a. Determine la tabla de distribución conjunta X y Y
#Creación de la Función de Distribución Conjunta (1/18) (x*y)
{ domx=c(1,2,3)
domy=c (1,2)
if (sum(x==domx) &sum(y==domy)) #verificación de los valores permitidos
return(round ((1/18) *(x*y),3))

#c. Determine la media de X y la media de Y
x=c (1,2,3)
y=c (1,2)
ux=sum(x*gx) #media de x
ux
> ux
#e. Determine la Covarianza entre X y Y
#Cov (x, y) =E[xy]-uxuy
Exy=0
for(i in c(1:2))
for (j in c (1:3))
Tema 3
1
f ( x , y )= ( x + y ); con soporte S= { ( x , y )∨x=0,1,2,3∧ y=0,1,2 }
30

b) Determine las marginales f x ( x ) , f y ( y ) ,
c) Determine la media de X y la media de Y
d) Determine la varianza de X y varianza Y
e) Determine la Covarianza entre X y Y
f) Determine el Coeficiente de Correlación entre X y Y
#a. Determine la tabla de distribución conjunta X y Y
#Creación de la Función de Distribución Conjunta (1/30) (x+y)
{ domx=c(0,1,2,3)
domy=c (0,1,2)
if (sum (x==domx) &sum(y==domy)) #verificación de los valores permitidos
return(round ((1/30) *(x+y),3))

#c. Determine la media de X y la media de Y
x=c (1,2,3)
y=c (1,2)
ux=sum(x*gx)
ux
> ux
[1] 1.533
#e. Determine la Covarianza entre X y Y
#Cov (x, y) =E[xy]-uxuy
Exy=0
for(i in c(1:2))
for (j in c (1:3))
Exy
Caso Continuo:
Comando para calcular integral definida en Rstudio:
fx=function(x){expression } #crea la función de una sola variable x

integrate(fx,lim_inf,lim_sup) #permite integral con respecto a la variable de función
Comando para calcular integral doble definida en Rstudio ∬ dydx:
install.packages("pracma")
library(pracma)
integral2(función de densidad conjunta, xmin = valor min de

integral externa, xmax=valor max de integral externa, ymin =
valor min de integral interna, ymax= valor máximo integral
interna)
#Cuando los límites de la integrales son [a,b] y [c,d] para X y

Y respectivamente
integral2(función de densidad conjunta, a,b,c,d)
#Cuando los límites de las integrales se condicionan a una

función: “x” entre a y b, pero “y” entre g(x) y h(x)
Ejemplo: 0<x<1 y 0<y<x y f(x,y)=3xy
Se puede establecer en la función de densidad un factor condicional, como:
funxy=function(x,y){ 3*x*y*(y<x)}
La expresión (y<x) es un factor =1 cuando y<x o es cero en el caso contrario
La integral se la puede calcular como:
Integral2(funxy,0,1,0,1)
b x
#Otra forma para calcular ∫ ∫ f ( x , y ) dydx

a a
Límites:
e_inf=a
e_sup=b
i_inf=a
i_sup=function(x){x}
integral2(funxy,e_inf,e_sup,i_inf,i_sup)
Tema 4
f ( x , y )=4 xy; con soporte S= { ( x , y )∨0 ≤ x , y ≤1 }
a) Determine la probabilidad P(X<0.5 , Y>0.75)

b) Determine la probabilidad P(X<0.5 , Y<0.5)
c) Determine la probabilidad P(X<0.75)
fxy=function(x,y){4*x*y}
#install.packages("pracma")
library(pracma)
## Warning: package 'pracma' was built under R version 3.6.3
#a) P(X<0.5 , Y>0.75)

integral2(fxy, xmin = 0, xmax=0.5, ymin = 0.75, ymax=1)
## $Q
## [1] 0.109375
##
## $error
## [1] 1.734723e-18
# b)Determine la probabilidad P(X<0.5 , Y<0.5)

integral2(fxy, xmin = 0, xmax=0.5, ymin = 0, ymax=0.5)
## $Q
## [1] 0.0625
##
## $error
## [1] 3.469447e-18
#c) Determine la probabilidad P(X<0.75) Integral 0 a 0.75 en X e

Integral 0 a 1 en Y, dydx
integral2(fxy,xmin=0, xmax = 0.75, ymin=0,ymax=1)
## $Q
## [1] 0.5625
##
## $error
## [1] 6.938894e-18
Tema 5
f ( x , y )=k xy; con soporte S= { ( x , y )∨0 ≤ x< y ≤ 1 }
a) Determine el valor de K para f(x,y) sea función de densidad de probabilidad

conjunta
b) Determine la probabilidad P(X<0.5)
1 1
a)∫ ∫ f ( x , y ) dydx=1
0 x
fxy <- function(y_1,y_2, k = 1) k*y_1*y_2

#operamos la integral
e_inf=0
e_sup=1
i_inf=function(x){x}
i_sup=1
RestIntegral <- integral2(fun,e_inf,e_sup,i_inf,i_sup)
# obtengo el valor de K, la variable Q de RestIntegral tiene el valor resultante de la
integracion
val_k <- 1/RestIntegral$Q
cat("El valor de k es:", val_k)
c)
#una forma con factor condicional

fxy=function(x,y){8*x*y*(x<y)}
ex_min=0
ex_max=1/2
in_min=0
in_max=1
integral2(fxy,ex_min,ex_max,in_min,in_max)
#Otra forma con limite de función
fxy=function(x,y){8*x*y}
ex_min=0
ex_max=0.5
in_min=function(x){x}
in_max=1
integral2(fxy,ex_min,ex_max,in_min,in_max)
$Q
[1] 0.4375
$error
[1] 3.469447e-17
Tema 6
f ( x , y )=k ¿); con soporte S= { ( x , y )∨0 ≤ x< y ≤ 1 }
a) Calcule el valor de k que hace que f sea función de densidad
b) Calcule la probabilidad P (X<0.75, Y>0.5)
c) Calcule la probabilidad P(X>0.4)
d) Determine la Densidad Condicional Conjunta f(x|y) (no utilice Rstudio)
e) Calcule la probabilidad P(X>0.4|Y=0.5)
#Sea X^T= (X Y) un Vector Aleatorio Bivariado tal que su distribución de Probabilidad es:
#f (x, y) =k(1-y); con soporte S={(x,y)| 0≤x<y≤1}
#a. Calcule el valor de k que hace que f sea función de densidad
library(pracma)
fxy <- function (x_1, y_2, k = 1) k*(1-y_2)
#operamos la integral
e_inf=0
e_sup=1
i_inf=function(x){x}
#d. Determine la Densidad Condicional Conjunta f(x|y) (no utilice Rstudio)
f ( x , y )= 6 (1− y ) , 0< x , y <1

{ 0 , otros x , y
Se encuentra h(y)
1
h( y)=∫ 6 (1− y ) dx=6 x−6 xy=6−6 y
0
f (x, y)
f ( x| y ) =
h( y )
6( 1− y )

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Año: 2020 Periodo: I PAO

Práctica: Distribución de Probabilidad Conjunta

f ( x , y )=4 (x + y) ; con soporte S= { ( x , y )∨x=1,2,3 ∧ y =1,2 }

a) Determine la tabla de distribución conjunta de X y Y

a) Determine la tabla de distribución conjunta X y Y

#a) Matriz Conjunta

## [,1] [,2] [,3]

#Otra forma, considerando los datos de la matriz

c) Determine las marginales f_x (x),f_y (y)

## [1] 0.238 0.333 0.428

#f_y(y)=hy marginal de y :suma por filas de la matriz

## [1] 0.428 0.571

d)Determine la media de X y la media de Y

e)Determine la varianza de X y varianza Y

g) Determine el Coeficiente de Correlación entre X y Y

a) Determine la tabla de distribución conjunta de X y Y

#a. Determine la tabla de distribución conjunta X y Y

#Creación de la Función de Distribución Conjunta (1/18) (x*y)

if (sum(x==domx) &sum(y==domy)) #verificación de los valores permitidos

return(round ((1/18) *(x*y),3))

#Cov (x, y) =E[xy]-uxuy

a) Determine la tabla de distribución conjunta de X y Y

#a. Determine la tabla de distribución conjunta X y Y

#Creación de la Función de Distribución Conjunta (1/30) (x+y)

if (sum (x==domx) &sum(y==domy)) #verificación de los valores permitidos

return(round ((1/30) *(x+y),3))

#Cov (x, y) =E[xy]-uxuy

Comando para calcular integral definida en Rstudio:

fx=function(x){expression } #crea la función de una sola variable x

Comando para calcular integral doble definida en Rstudio ∬ dydx:

integral2(función de densidad conjunta, xmin = valor min de

#Cuando los límites de la integrales son [a,b] y [c,d] para X y

integral2(función de densidad conjunta, a,b,c,d)

#Cuando los límites de las integrales se condicionan a una

#Otra forma para calcular ∫ ∫ f ( x , y ) dydx

f ( x , y )=4 xy; con soporte S= { ( x , y )∨0 ≤ x , y ≤1 }

a) Determine la probabilidad P(X<0.5 , Y>0.75)

## Warning: package 'pracma' was built under R version 3.6.3

#a) P(X<0.5 , Y>0.75)

# b)Determine la probabilidad P(X<0.5 , Y<0.5)

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