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2019 A1 Unidad 3 Problemario Estudiante
2019 A1 Unidad 3 Problemario Estudiante
2019 A1 Unidad 3 Problemario Estudiante
3.1. Resumen
Definición: una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas1 , con una o varias
go
incógnitas.
in
ap
Ejemplos de ecuaciones:
Ch
√ √
1. −3x + 2 = 8 5. 4x − 5 = 3 − x + 2
s,
ica
2. 2x + 5y = 3z − 5
át
6. 32x+1 = 93x
3. x2 − 4 = 0
em
4 2 5
4. − 2
x−2 x −4
=
x+2
at
7. log5 (x − 7) = log5 (2x + 3) + 8
M
de
Definición: A todos los números que satisfacen una ecuación se les denomina soluciones o raı́ces
a
de la ecuación.
re
, A´
Definición: Se dice que una ecuación es lineal, o de primer grado, si todas las variables presentes
ra
en ella tienen exponentes iguales a uno y ningún término de la ecuación tiene más de una variable
b
como factor.
ge
A´l
Ejemplos y contraejemplos:
de
ia
Definición: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si sus soluciones son exactamente las
mismas para ambas ecuaciones.
1
Una expresión algebraica es la combinación de letras y números mediante las operaciones básicas (suma, resta,
multiplicación, división, potencias, etc.)
Para resolver una ecuación es necesario encontrar ecuaciones equivalentes que nos permitan conocer
el valor de la incógnita en la ecuación, para ello se utilizan dos propiedades de los números reales.
go
La propiedad 1 nos dice que dada una ecuación P = Q, es posible sumar cualquier número
in
real en ambos miembros de la ecuación y obtener una ecuación equivalente P + a = Q + a.
ap
Ch
Propiedad 2: Sean P y Q expresiones algebraicas y a un número real, a 6= 0. Si P = Q es
una ecuación, entonces P = Q y aP = aQ son equivalentes.
s,
ica
La propiedad 2 nos dice que dada una ecuación P = Q, es posible multiplicar cualquier
número real, diferente de cero, en ambos miembros de la ecuación y obtener una ecuación
át
equivalente aP = aQ.
em
at
M
Ejemplos sobre la solución de ecuaciones de primer grado:
de
1 1
re
(14x) = (−21) 2x − 3 + 3 = 7 + 7x + 3
, A´
14 14
21 2x = 7x + 10
ra
x=− 2x − 7x = 7x + 10 − 7x
14
b
ge
3 −5x = 10
x=−
A´l
2
1 1
− (−5x) = − (10)
13. 8x − 28 = 0 5 5
de
8x − 28 + 28 = 0 + 28 x = −2
ia
em
8x = 28
ad
1 1
(8x) = (28)
Ac
8 8
28
x=
8
7
x=
2
Ley de Tricotomı́a
go
a es igual a b, a = b
in
ap
a es menor que b, a < b
Ch
s,
Definición. Las relaciones >, <, ≥, ≤ se llaman relaciones de orden.
ica
át
Notación para la solución de las desigualdades
em
En las relaciones de orden podemos representar la solución en forma de intervalo y gráficamente
at
en la recta numérica. Veremos un ejemplo para cada tipo de relación de orden.
M
de
18. x ≤ −1
ge
16. x ≥ −1
A´l
Las siguientes propiedades se enuncian para la relación ”mayor que”, pero se pueden obtener
enunciados análogos para la relación ”menor que”.
Propiedad 2: Sean a, b, c números reales, y c > 0 (c positivo). Si a > b, entonces ac > bc.
Propiedad 3: Sean a, b, c números reales, y c < 0 (c negativo). Si a > b, entonces ac < bc.
Nota: Existen más propiedades sobre las relaciones de orden, pero las enunciadas nos serán de
utilidad para la solución de desigualdades.
3x − 18 < 7x + 2
go
3x − 18 − 7x < 7x + 2 − 7x
in
5x < 3x + 2 −4x − 18 < 2
ap
5x − 3x < 3x + 2 − 3x −4x − 18 + 18 < 2 + 18
Ch
2x < 2 −4x < 20
s,
1 1 1 1
ica
(2x) < (2) − (−4x) > − (20)
2 2 4 4
át
x<1 x > −5
em
at
M
3.2. Solución de ecuaciones de primer grado
de
a
Demuestre, mediante sustitución directa, que el número (o letra) dado a la derecha, es una raı́z
re
Tarea
b
ge
1. 9 x − 2 = 12 x + 4 ; −2 3x − 4 2x − 1 1
7. − =− ; 6
A´l
4 3 6
3
2. 20 x + 5 = 29 − 12 x ;
de
4 3x + 2 5 2
8. +1= ;
ia
3. 3 x − 2 = 2 x + 1 ; 3 6x − 2 x+1 3
em
1
4. 6 x + 3 = 18 x − 1 ; 2x − 4 x + 3
ad
3 9. + = x − 5 ; −15
2 4
Ac
5. 3 (x + 5) = − (x + 1) ; −4
2x + 1 x 18 x − 24 3
6. 3 (x − 6) − 2 (x + 3) = 5 ; 29 10. + = ;
4 3 2 2
Tarea
11. 4 x = x + 9 16. 6 (4 x − 7) − 5 (2 x + 5) = 3
go
12. 7 x + 2 = 3 x + 14
17. 4 [2 x − (3 − x) + 5] = − (2 + 8 x)
in
ap
13. 9 x − 4 = 3 x − 16
18. − [7 x − (5 x + 14)] = 5 + (6 x + 7)
Ch
14. 7 x − 2 = 2 x + 1
s,
15. 2 (x + 1) − (x − 1) = 0 19. 2 [− (x − 1) + 4] = 5 + [− (6 x − 7) + 12 x]
ica
át
20. 3 {x − [2 x − (4 x − 3)]} = −3 {−2 [x − 2 (x + 1)] + 4}
em
at
M
3.4. Ecuaciones con coeficientes racionales
de
Tarea
ra
x 2x 4 5x + 7 x − 1 2
b
5 3 3 6 4 3
A´l
5x 3x 5
−1= −
22. 2x 1 x 3
7 4 4 27. 6 + +8 − = 5x + 4
de
3 3 4 4
5x 7x 2 x 8
ia
23. − + = −
6 9 3 4 9
em
x 1 x 1
28. 3 − +2 − =2
2x − 1 3x − 2 11 4 3 5 7
ad
24. − =−
3 4 12
Ac
5x − 2 4x + 2 1 x 1 1 1 x 1
25. + = 2x − 3 29. − − − =
6 9 5 2 3 4 5 6 6
5 x 1 1 2 x 3 3 1 x
30. − − = − − −
2 10 15 8 3 2 2 4 6 9
Tarea
31. 3 a x = 12 a2 − a x 37. 5 x = (m − 2) (x − 1)
go
32. k x − m x = m − k x−1
in
38. = 2x − a
2a
ap
33. m (3 − x) = k (x − 3)
Ch
34. 4 a − a x = b (x + 3) a c
39. +b= +d
x x
s,
35. 3 (2 x − 5 a) + 4 b = 4 x − 2
ica
bx + a bx − a
36. a x + b2 = b x − a2 40. + =2
át
a b
em
3.6. Fórmulas
at
M
de
Resolver las ecuaciones siguientes para la letra indicada a la derecha de cada ejercicio.
a
re
, A´
Tarea
ra
41. P = 2 l + 2 w ; w 3 (d + b)
46. 1 = ; b
b
2+d
ge
42. I R + I r = E ; R
A´l
lr −a
47. S = ; r
r−1
de
43. I R + I r = E ; I
a t2
ia
48. S = v t + ; a
2
em
k m 1 m2
44. F = ; m2
d2 49. L2 = L1 (1 + α t) ; t
ad
Ac
3 (a + b) h
45. m = ; a 50. A = ; b
n−a 2
Tarea
51. Hallar tres enteros impares consecutivos tales que la suma del primero y el segundo sea igual
go
al tercero más 31.
in
52. Si al doble de un número se le resta la mitad del mismo número, la diferencia vale 33. ¿Cuál
ap
es ese número?
Ch
53. La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera
s,
en 3 unidades al segundo. Determinar los números.
ica
át
54. Tres medios de un número superan a cinco sextos del número en 4 unidades. Obtenga el
em
número.
at
55. En dos exámenes Carlos tiene de promedio 78 puntos. En el primero tiene 12 puntos más
M
que en el segundo. Determinar cuántos puntos tiene en cada examen.
de
a
Tarea
A´l
de
56. Pedro y Marı́a tienen un total de $599 en sus cuentas bancarias. Si Pedro tiene $213 más en
su cuenta que Marı́a, ¿cuánto hay en cada cuenta?
ia
em
57. De tres compras; en la segunda se gastó $16 más que en la primera; en la tercera, la mitad
ad
de lo que se gastó en las otras dos. Si el gasto total fue de $180. ¿Cuánto gastó en cada
compra?
Ac
58. La entrada a un baile cuesta $40.00 para hombres, las mujeres pagan $15.00. Si se obtuvieron
$12,770.00 al vender 363 boletos. ¿Cuántas mujeres pagaron boleto?
59. Un parque de diversiones cobra $180.00 por persona, pero tiene boletos con descuento de
$155.00. Si se obtuvieron $63,590.00 al vender 363 boletos, ¿cuántos boletos, con descuento,
fueron vendidos?
60. Un traje de lana, con un descuento del 30 % para una venta de liquidación, tiene un precio
de $2,149. ¿Cuál fue el precio original del traje?
Perı́metro
go
in
Ejemplo. El perı́metro del polı́gono
ap
Ch
es P = 3 + 5 + 4,5 + 4 = 16,5
s,
ica
Áreas
át
em
Área de un rectángulo, A = ba
at
M
donde A: Área, b: base, a: altura
de
ba
El área de un triángulo es, A =
a
2
re
, A´
Figuras Semejantes
A´l
ma forma.
ia
em
18
Dividir = 3, o 18 = 3 × 6, significa que 18 es
6
tres veces más grande que 6, es decir el segundo
diámetro es tres veces más grande que el pri-
mero. Todas las partes homólogas de la segunda
copa son tres veces más grandes que la primera. Por ejemplo: una parte de la primera mide 5, su
homóloga de la segunda mide 15.
Teorema de Pitágoras
go
in
ap
Ch
s,
ica
Resolver los siguientes problemas planteando una ecuación lineal.
át
em
Tarea
at
M
61. Los lados de un rectángulo miden 30 y 40 metros respectivamente. Calcular los de otro,
de
62. Hallar la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que si se aumenta ésta en 4 m su área
re
se incrementa en 64 m2 .
, A´
63. Un terreno tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y el ancho se aumenta
ra
del campo.
ia
d d
La relación entre estos tres conceptos es: d = vt o v = o t = , siempre que sea posible hay que
t v
trabajar con la primera (sin denominador).
Tarea
go
66. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. El primer auto
in
hace un promedio de 45 km/h y el segundo, tiene uno de 50 km/h. ¿En cuántas horas se
ap
encontrarán a 570 km entre sı́?
Ch
67. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 km/h y de regreso a una de 35 km/h. Su
s,
viaje redondo duró 6.5 horas. ¿Qué distancia recorrió?
ica
át
68. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 km de distancia y regresó a casa en su bicicleta.
em
El autobús viajó al doble de la velocidad de la bicicleta y el viaje redondo duró 4.5 horas.
¿A qué velocidad viajó Samuel en su bicicleta?
at
M
69. En una hora un estudiante recorre dos tramos para llegar a su escuela, uno de 6 km en
de
En estos problemas hay que pensar la fracción de trabajo que se hace en una hora, por ejemplo si
ia
1
em
una pared se pinta en 11 horas, se pinta a una tasa de de pared cada hora, en 8 horas se pinta
11
ad
1 8
8 = de pared.
Ac
11 11
1
Si una alberca se llena con una bomba en 7 horas, se llena a una tasa de de alberca por hora,
7
1 3
en 3 horas se tiene 3 × = de alberca llena.
7 7
Establecidas las fracciones, la suma debe ser uno, para el trabajo completo o para la alberca llena.
Tarea
70. Un hombre requiere 12 horas para arar un campo mientras que su hijo puede hacerlo en 15
horas. ¿Cuánto tiempo les tomará hacer el trabajo entre los dos?
71. Una mujer puede limpiar un cuarto en 24 minutos y su hija en 36 minutos. ¿Cuánto tiempo
go
emplearı́an si limpian el cuarto las dos?
in
ap
72. Marta y Marı́a trabajaron juntas armando un rompecabezas durante 3 horas. Entonces Marta
Ch
se fue y Marı́a terminó en 30 minutos. Marta habı́a armado rompecabezas similares en 6 horas,
¿cuánto tiempo hubiera tomado Marı́a para armar sola el rompecabezas?
s,
ica
73. Un tanque se puede llenar en 6 horas y se puede vaciar en 8 horas abriendo la válvula del
át
tubo de drenaje. ¿En cuánto tiempo se llena el tanque si por descuido la válvula del tubo de
em
drenaje permanece abierta 3 horas?
at
M
3.12. Problemas sobre mezclas
de
a
re
1 1
(8) quiere decir, la mitad de ocho, (8) = 4 (compruébalo en tu calculadora)
A´l
2 2
de
1 1 20
(20) quiere decir, la quinta parte de veinte, (20) = =4
ia
5 5 5
em
3 3 20
ad
4
(20) quiere decir, las tres cuartas partes de veinte, 4
(20) = 4
(3) = (5) (3) = 15
Ac
1 1 450
10
(450) quiere decir, la décima parte de 450, 10
(450) = 10
= 45
450
(0,1) (450) también quiere decir, la décima parte de 450, (0,1)(450) = 10
= 45 (compruébalo en
tu calculadora).
15 300
(300), quiere decir, quince centésimos de 300, o quince por ciento de 300, (15) = 45
100 100
(0,15)(300), también quiere decir, quince centésimos de 300, también quiere decir quince por ciento
de 300.
Cuando se dice que una jarra de naranjada contiene 30 % de jugo de naranja, se considera que el
total de naranjada son 100 partes, de las cuales 30 partes son de jugo y 70 son agua. Por definición
30 x
30 % = = 0,30, x % =
100 100
go
En la naranjada al 30 %, si se tienen 4 litros, para calcular cuántos litros hay de jugo de naranja,
in
se dividen los 4 litros en 100 partes, 0.04 litros contiene cada una de las 100 partes, y se multiplica
ap
por 30, 0,04 × 30 = 1.2 litros de jugo.
Ch
30
La manera algebraica de expresar “treinta por ciento de 4”es: 30 % × 4 = 1,2, también × 30,
s,
100
o, 0,30 × 4 = 1,2.
ica
át
Si x % es el porcentaje (30 %), T el total de mezcla (4 litros naranjada) y P (la parte de jugo),
em
se tiene, x % × T = P , si se saben dos variables se puede calcular la tercera. Si se conocen T, P
P Pat
entonces x % = . Si se conocen x %, P entonces T = .
M
T x%
de
Tarea
, A´
ra
74. ¿Qué cantidades de leche al 3 % de nata y de leche al 6.2 % de nata se necesitan para hacer
b
ge
75. ¿Cuántos litros de una solución de sal al 30 % deben agregarse a 10 litros de igual solución
de
76. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20 % de nitrógeno con otro de 60 % para
em
77. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1200 litros de mermelada con 55 % de
azúcar. Si disponen de una mermelada con 30 % de azúcar y otra con 70 %, ¿qué cantidad
de cada clase de mermelada deben utilizar?
3.13.1. Intervalos
Representa cada una de las siguientes relaciones de orden en notación de intervalo y en la recta de
los reales.
go
Tarea
in
ap
78. x > 7 83. x < π
Ch
79. x < −10 √
84. x ≥ 2
s,
1 √
ica
80. x ≥ −
4 85. x ≤ 24
át
9
em
81. x ≤ 86. x > −5,5
5
√ at
82. x > 5 87. x < 3,9
M
de
a
Representa cada una de las siguientes relaciones de orden en notación de intervalo y en la recta de
ra
los reales.
b
ge
A´l
Tarea
de
91. 3 x + 4 ≥ x + 2 96. (2 x − 1) (x + 4) − 2 x (x + 3) ≥ 0
Resolver las siguientes desigualdades con coeficientes racionales. Graficar el conjunto solución en
la recta de los reales y expresarlo en notación de intervalos.
Tarea
5x 3x 3x + 1 2x + 3 1
go
98. − ≥ −3 103. − ≥
12 4 4 8 8
in
ap
x 2x 2x 3x − 1 x+2
99. + < −1 104. +2>
Ch
5 15 3 4 3
5x 4 13 x x+3 2x − 1
s,
100. − <1− 105. −3≥ +1
5 6
ica
2 3 6
11 x 8x 5 3 x − 1 3 (2 x − 3) 1
át
101. +3≤ − 106. − >
em
2 3 4 6 4 12
102.
x − 3 4x − 3
− >0 107.
at
2 (6 − x) 3 (5 − 2 x)
− <
11
M
2 6 3 4 24
de
a