Universidad Andres Bello - Facultad de Ciencias Exactas - Departamento de Matemáticas

TAREA N 2 / ESTADISTICA.II FMSA 410.

Segundo Trimestre 2020.

NOMBRE:_______________________________________________RUT:___________

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INSTRUCCIONES: Trabajo grupal de 4 integrantes, se evaluará presentación del informe, el qué debe ser entregado
en hojas tamaño carta blanca y escrito a mano. Se evaluará con nota 1.0 si es que hay dos trabajos con contenido similar.
Todos los problemas tienen el mismo puntaje.

1. Las variables aleatorias x e y representan las proporciones de los mercados, correspondientes a dos productos
distintos fabricados por una misma empresa (A y B) y cuya función de probabilidad conjunta esta dada por:
8
< kx (x + y) 0 x 1 0 y 1
f (x; y) =
:
0 eoc

Determine:

(a) Determine el valor de la constante K

(b) Determine la probabilidad que la proporción de los mercados del producto A de la empresa es superior a 60%
y el del producto B es inferior a 40%.

Solución:
1
R1 R1 R1 R1 R1 x3 x2 y R1 1 y
(a) kx (x + y) dxdy = 1 ! k x2 + xy dxdy = 1 ! k + dy = 1 ! k + dy = 1
0 0 0 0 0 3 2 0 0 3 2

1
y y2 1 1 7 12
!k + =1!k + =1!k =1!k=
3 4 0 3 4 12 7

0:4
R1 0:4
R 12 12 R1 0:4
R 12 R1 xy 2
(b) P (x > 0:6; y < 0:4) = x (x + y) dydx = x2 + xy dydx = x2 y + dx
0:6 0 7 7 0:6 0 7 0:6 2 0

1
12 R1 2x2 2x 12 2x3 x2 12 2 1 18 9
= + dx = + = + + = 0:2231
7 0:6 5 25 7 15 25 0:6 7 15 25 625 625

En el 22.31% de los mercados la proporción del producto A es mayor al 60% y la del producto B es menor al
40%.

1
2. El tiempo total (en horas) que un camión demora en entregar la mercadería, en los galpones de almacenamiento,
considera el tiempo que espera el camión en la …la para entrar al galpón correspondiente (X) y el tiempo que demora
en descargar (Y). El tiempo total se de…ne mediante la siguiente función de probabilidad conjunta
8 1
< 225 x + x2 y 0 x 5 0 y 3
f (x; y) =
:
0 eoc

(a) Determine la probabilidad que el tiempo de descarga sea menor a 90 minutos.

(b) Si se sabe que el tiempo que demora el camión en descargar es de 1 hora. Calcule el tiempo promedio que
demora el camión en la …la.

Solución:

(a) P (y < 1:5)

5
R5 1 1 x2 x3 y 1 25 125y
f (y) = x + x2 y dx = + = +
0 225 225 2 3 0 225 2 3

1:5
R
1:5 1 25 125y 1 25y 125y 2 1 25 3 125 9
P (y < 1:5) = + dy = + = + = 0:2917
0 225 2 3 225 2 6 0 225 2 2 6 4

El 29.17% de los camiones tendrá un tiempo de descarga menor a 90 minutos.

(b) E (x=y = 1)

1
x + x2 y x + x2 6
f (x=y = 1) = 225 = = x + x2
1 25 125y 25 125 325
+ +
225 2 3 y=1 2 3

5
R5 6 6 R5 2 6 x3 x4 6 53 54
E (x=y = 1) = x x + x2 dx = x + x3 dx = + = + = 3:6538
0 325 325 0 325 3 4 0 325 3 4

Los camiones se demoran en promedio 3.65 horas en la …la cuando el tiempo de descarga es de 1 hora.

3. Un estudio de los ingresos mensuales de una familia revelan que la cantidad de dinero que destinan a alimentación
y salud son variables aleatorias. Donde X es la proporción del dinero destinado a alimentación e Y es la proporción
de dinero destinado a salud, los que poseen la siguiente función de densidad conjunta:
8
> 250
< (x + 2y) 0 x 0:6 0 < y < 0:3
f (x; y) = 27
>
:
0 eoc

(a) Determine la probabilidad que entre estos dos items, la familia destine menos del 60% de los ingresos mensuales.
(b) Determine la proporción total esperada para estos 2 items y su desviación estándar.

Solución:

2
(a) P (x + y < 0:6)

R
0:6 R
0:3 250 R
250 0:6 0:3
P (x + y < 0:6) = 1 P (x + y 0:6) = 1 (x + 2y) dydx = 1 xy + y 2 0:6 x
dx
0:3 0:6 x 27 27 0:3

R
250 0:6 2
=1 x 0:3 + 0:32 x (0:6 x) + (0:6 x) dx
27 0:3

R
250 0:6 R
250 0:6
=1 (0:3x + 0:09) 0:6x x2 + 0:36 1:2x + x2 dx = 1 (0:9x 0:27) dx
27 0:3 27 0:3

0:6
250 0:9x2 250 0:9 0:62 0:9 0:32
=1 0:27x =1 0:27 0:6 0:27 0:3
27 2 0:3 27 2 2

=1 0:375 = 0:625

(b) E (x + y) y V (x + y)

R 250
0:3 250 0:3 250
f (x) = (x + 2y) dy = xy + y 2 0
= (0:3x + 0:09)
0 27 27 27

0:6
R 250
0:6 250 x2 250
f (y) = (x + 2y) dx = + 2xy = (0:18 + 1:2y)
0 27 27 2 0 27

R
0:6 250 R
250 0:6 250 0:6
E (x) = x (0:3x + 0:09) dx = 0:3x2 + 0:09x dx = 0:1x3 + 0:045x2 0
= 0:35
0 27 27 0 27

R
0:3 250 R
250 0:3 250 0:3
E (y) = y (0:18 + 1:2y) dy = 0:18y + 1:2y 2 dy = 0:09y 2 + 0:4y 3 0
= 0:175
0 27 27 0 27

0:6
R
0:6 250 R
250 0:6 250 0:3x4
E x2 = x2 (0:3x + 0:09) dx = 0:3x3 + 0:09x2 dx = + 0:03x3 = 0:15
0 27 27 0 27 4 0

R
0:3 250 R
250 0:3 250 0:3
E y2 = y2 (0:18 + 1:2y) dy = 0:18y 2 + 1:2y 3 dy = 0:06y 3 + 0:3y 4 0
= 0:0375
0 27 27 0 27

3
V (x) = 0:15 0:352 = 0:0275

V (y) = 0:0375 0:1752 = 0:006875

0:6
R 0:6
0:3 R 250 R 0:6
250 0:3 R R
250 0:3 x3 y
E (xy) = xy (x + 2y) dxdy = x2 y + 2xy 2 dxdy = + x2 y 2 dy
0 0 27 27 0 0 27 0 3 0

R
250 0:3 250 0:3
= 0:072y + 0:36y 2 dy = 0:036y 2 + 0:12y 3 0
= 0:06
27 0 27

COV (X; Y ) = 0:06 0:35 0:175 = 0:00125 0:00125

E (x + y) = E (x) + E (y) = 0:35 + 0:175 = 0:525

V (x + y) = V (x) + V (y) + 2COV (x; y) = 0:0275 + 0:006875 + 2 0:00125 = 0:031875

p
Desv (x + y) = 0:031875 = 0:1785

En total se espera que la proporción promedio sea del 52.5% con una dispersión lineal del 17.85%.