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CAPÍTULO
4 44
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES DE UN
RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE
DEUN
4
TRIGONOMÉTRICAS UN
ÁNGULO AGUDO
ÁNGULO
ÁNGULOAGUDO
AGUDO
Aprendizajes esperados
Aprendizajes
Aprendizajesesperados
esperados
Helicocuriosidades
Helicocuriosidades
Helicocuriosidades
Eratóstenes (275-194 a.n.e.)
Eratóstenes
Eratóstenes(275-194
(275-194a.n.e.)
a.n.e.)
Matemático griego, educado
Matemático en Atenas
griego, yeducado en Atenas y
Matemático
Alejandría, llamado también el medidorgriego, de educado en Atenas y
Alejandría,
Alejandría, llamado
llamado también
también elelmedidor
medidordede
la Tierra, ya que fuelaelTierra,
primeroyaenque hacer
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mediciones de la circunferencia que fue el primeroenenhacer
fue el primero hacer 7,2°
7,2°
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mediciones
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circunferencia dedenuestro
nuestro
planeta. En Alejandría los
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mos lalalongitud
longitud de dela lacircunferencia
circunferencia de dela la Siene (de Egipto).
Siene (de Egipto).
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Tierra, deducir su diá- El sol ilumina todo Siene (de Egipto).
Tierra,asíasícomo
metro. Sus resultadosmetro.
aproximados como podemos
fueron podemosdeducir deducirsusudiá- diá- el fondo de un pozo
El sol ilumina todo
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el fondo de un pozo
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Sus resultados
resultados aproximados
aproximados fueron
fueron está sobre la vertical el fondo de un pozo
está sobre la vertical
250 000 estadios (o sea,
250 39
000 375 km) para
estadios (o sea, 39 375 km)
7,2° para
de Siene. está sobre la vertical
de Siene.
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de Siene.
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Los cálculos
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fueron impresionantemente
fueron certeros, si te-
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de la época; hoy secerteros,
calcula en 40 008 km.
nemos
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técnicodedelalaépoca; época;hoy hoysesecalcula
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Complete. Complete.
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1. Erastóstenes fue 1.
educado en ______________.
1. Erastóstenes
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______________.
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el primero en hacer mediciones de la circunferencia de la Tierra.
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hacermediciones
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Tierra.
3. 1 ______________ equivale a 0,1575
3.3. 1 1______________ km.
______________equivale
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0,1575km.km.
1 11 3 33
2 22
Helicoteoría
b
C a B
T rigonomeTría
Helicosíntesis
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO
en el
Triángulo rectángulo
H
CO
a
CA
definiendo
CO CA
sen a = cos a =
H H
CO CA
tan a = cot a =
CA CO
H H
sec a = csc a =
CA CO
MateMática
123
Colegio Particular 39
4to Año
T riGonomeTría Compendio de CienCias ii 4.o Grado
Problemas resueltos
c
tana + tanθ
6 3. Del gráfico, efectúe E = .
tanb
φ
3
Cálculo de c
2
c2 = 6 + 32
c2 = 6 + 9 → c = 15
Luego a θ b
1 2 1
15 15
P= 3× + 2×
3 6 Resolución
Sea BC = a
45 30
P= + → P= 5+ 5
3 6
B
∴ P=2 5 a
tana =
Rpta.: 2 5 4
a a
2. En un triángulo ABC (m B = 90°) se cumple que tanθ =
3
tanA + tanC = 5/3. Efectúe E = cosA ∙ cosC.
Resolución tanb = a
a θ b
A A C
1 2 1
b
c
Luego
a a
B a C +
E= 4 3
MateMática
Nos piden a
c a ac 7
E= ∙ → E= ∴ E=
b b b2 12 7
Rpta.:
Del dato 12
a c 5 a2+c2 5
+ = → =
c a 3 ac 3
124
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
40
Trigonometría
4.o grado Compendio de CienCias ii
T rigonomeTría
cos A 7 . Efectúe P = 10 secA . cot B. 5. Si csc a = , efectúe
= 2
cos B 2
A = cota – cosa
Resolución
Graficamos
Resolución
A
7
Si csc a = , entonces
2
c
b
r = 7 k e y = 2k
C a B
Hallamos el valor de x
r= x 2 + y2
Entonces reemplazamos
b 7k = (xk)2+(2k)2 ...( )2
c 7 b 7
= → = 7k2 = x2k2+4k2 ...(÷ k2)
a 2 a 2
c 3 = x2
b = 7k y a = 2k
3 =x
c= (7k)2+(2k)2 3 3
A= –
2 7
c= 49k2+4k2
c= 53k2 21 – 2 3 7
A=
2 7 7
c = 53k
Ahora, si
21 ⋅ 7 – 2 21
A=
14
53k 2 k
P =⋅
10 ⋅
7k 7k
7 3 – 2 21
A=
14
20 53
MateMática
P=
49 7 3 – 2 21
Rpta.:
20 53 14
Rpta.:
49
125
Colegio Particular 41
4to Año
Compendio de CienCias ii 4.o Grado
Sesión I
T riGonomeTría
Helicopráctica
5
3. De la figura, calcule tanθ si AD = 2DC y tanb = . 8. En la figura se muestra el perfil de la instalación de
2
B tuberías de desagüe. Si el buzón ubicado en A se
encuentra a 1 m de la superficie, calcule la suma de
las alturas a la que se encuentran B y C sabiendo que
las pendientes de las tuberías AB y BC son 3 % y
b θ 2 % respectivamente.
A D C
C
400 m
a θ Observación: La pendiente se define como el valor
A P B
de tana, donde a es el ángulo que hace una recta con
la recta horizontal.
a
2u 6u
MateMática
TTrigonomeTría
Helicotaller
Helicotaller
rigonomeTría
Nivel I Nivel II
Nivel I Nivel II
1. Del gráfico, efectúe 8
3. Del gráfico, tanθ = 8 y AB = PC. Calcule tanb.
1. Del gráfico, efectúe 3. Del gráfico, tanθ = 15 y AB = PC. Calcule tanb.
B = 5 cotθ + 6 cosθ B
15
B = 5 cotθ + 6 cosθ B
3u
3u 5u
5u
b θ
θ b P θ
θ A C
A P C
Resolución Resolución
Resolución Resolución
127
www.freeprintablepdf.eu
Colegio Particular 43
127
4to Año
3
cumple que secB ⋅ tanC = . Efectúe
φ 2
P = 5 tanB + 3senB
φ Resolución
5u 4u
Resolución
Nivel III
6. En un triángulo rectángulo ABC (mB = 90°) cum- 8. En un terreno en forma de triángulo rectángulo,
2 el lado mas largo mide 39 m y la tangente de uno
ple que tanA = . Efectúe
3 12
de sus ángulos agudos es . Calcule el períme-
A = 13 (senC + senA) 5
tro y área de dicho terreno.
Resolución
Resolución
MateMática
www.freeprintablepdf.eu
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
44 128
Trigonometría
4.o grado Compendio de CienCias ii
T rigonomeTría
Helicodesafío
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Helicorreto
1. Calcule cot θ si
4. De la figura, calcule cota.
7
α
θ
58
4 2 7 α
A) B) C) 6u 3u
5 7 3
6 3
D) E) A) 2 B) 18 C) 3
7 7
D) 3 E) 2
5
2. Si tan θ = , donde θ es agudo, efectúe
3
G = sec2 θ – tan2 θ 5. Si sec φ = 15 , donde φ es agudo, efectúe
A) 0 B) 2 C) 1 E = tan2 φ + 14csc2 φ
D) 3 E) 4 A) 20 B) 21 C) 29
D) 28 E) 25
cos A 1
ne que = , efectúe E = 10 senA + 6tanB.
cos B 3
A) 5 B) 2 C) 7
D) 4 E) 1
129
Colegio Particular 45
4to Año
T riGonomeTría Compendio de CienCias ii 4.o Grado
Helicotarea
Nivel I 6. Si tanφ =
3
y AP = BC, calcule tanθ.
8
1. Calcule cotb. C
φ
2u
b
θ
7u A P B
3 2 3 3 1 2
A) B) C) 3 A) B) C)
3 3 5 3 3
2
D) 2 E) 2 8
2 D) E)
5 11
1 1 1 A) 3
A) B) C)
2 5 7 B) 2 3u
1 C) 4 4u
D) E) 11
11 D) 1 θ
θ
E) 7
Nivel II
5. De la figura, calcule tanb. 10. Calcule tanθ si AP = PQ = QB.
A P Q B
θ
b
MateMática
b D
O
C
2u 16 u
14 2 1 5 2 2 5
A) B) C) A) B) C)
3 3 2 2 2 2
1 5 3 3
D) E) D) E)
3 3 2 3
130
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
46