Solucionario de Calculo 3 de Mitacc
Solucionario de Calculo 3 de Mitacc
Solucionario de Calculo 3 de Mitacc
2y
xdzdydx
Solucin:
1 1x
[xz ]
0
1 1x
1+ y
2y
1 1x
dydx= [( 1+ y 2 ) x2 xy ]dydx
0
1x
x y3
2
[ x + x y 2 xy ] dydx= [xy x y ] dx
3
0
0
2
x ( 1x )3
x ( 1x )
x ( 1x )2 dx
3
[ xx 2x ( 13 ( 1 )2 x+3 ( 1 ) x 2x 2) x ( 12 x + x 2 ) ] dx
0
x 2
3
[
]
x6
x
+
3
x
dx=
2 x3 + x 4
2
4
0
2
1
3 28+3 7
2+ =
=
2
4
4
4
2 y lnx
b y e z dzdxdy
1 y
Solucin:
2 y
2 y
[ y e ]
z lnx
0
2 y
y
y x3
[ yx y ] dxdy= [ 2 yx ] dy
y
1 y
1
y ( y2 )
yy 2
y y 2
+ yy dy
2
2
y5
y3
y 3 + y 2 dy
2
2
y5 3 3 2
y6 3 4 y3
y + y dy=
y +
2 2
12 8
3
] [
2 3 4 2
1 3 1 47
2+ + =
12 8
3 12 8 3 24
2 2 xz
c cos
0
z 0
( yz ) dydxdz
2 2 xz
2 2
xz
y
y
I = cos
dydxdz= z sin
z
z
0 0 0
0 0
2 2
I = Z sin
0 0
()
( ) dxdz
0
2 2
0 0
x
x
x
x
I =z sin ( z ) sin ( z ) dx sin
+ cos ( z ) +cos
cos ( 0 ) =1
2
2
2
2
0
0
0 2
3 x
d
1 0
()
y
dzdydx
y + z2
2
Solucin:
2 x
3 x
I =
1 0
3 X
y
1
dzdydx = ln ( y 2+ z2 )0x dzdx
2
2
2 1 0
y +z
y 2+ z2
[ln ( )ln ( x2 )]dzdx
3 X
1
I=
21
Integramos por partes:
2
u=ln ( x + z )= du=
2 zdz
; V = dz=z
x 2+ z 2
3 x
3 x
1
2 z dz
I = zln ( x 2 + z 2 )2 zln ( x ) 2 2 dx
2 1
0 x +z
0
I=
3 x
1
2 z2 dz
2
2
(
)
[
3
x
ln
x
+
3
x
2
3
x
ln
(
x
)
x 2+ z 2 ] dx
2 1
0
2
3 X
2 ( z 1+ x 2x 2 ) dz
1
I = [ 3 x ln ( 4 )
] dx
2 1
x 2+ z 2
0
2
3X
3 x
1
dz
I = [ 3 x ln ( 4 )2 x 2 dz+2 x 2 2 2 ]dx
2 1
0
0 x +z
()
[ ( )| ]
1
[ 2 x 2 ( 3 x ) ] dx + xartg z
x
1 2 1
1
I = 3 x 2 ln ( 4)
3 x
dx
I = 3 ( 41 ) ln ( 4 ) 3 x dx+ [ xarctg ( 3 ) ] dx
3
| |
3 4 2 x 2 2
15 3
I =3 3 ln ( 4 ) x
+
1 3 3 ln ( 4 )
4
e)
xysen ( yz ) dzdydx
0 0 0
Solucin:
xysen ( yz ) dzdydx
0 0 0
( y ) x
x cos
dydx
xsen( y)
xy 0 dx
xsen( )
0 dx
x
0
2
x x sen ( )
0
2
2
sen ( )
2
3sen( 2 )
xysen ( yz ) dzdydx=
2
0 0 0
x x+ y 2
ln 2
ln 2 0
ye z dzdy dx
ln 2 x ln ( x )
I =
0
ln ( x )
2 2
y e dzdxdy = y e
z
0 0
2 2
I = ( xy y ) dxdy=
0 0
x2 y
xy
2
2 2
0 0
dy=
y
y3
y3
y 3 + y e dy
2
3
y2 y2 y1
641 161 81 21
7 31
I= +
+
= 5+ =
12 3 3 1
12
3
3
4
3 12
g x y 2 z 3 dxdydz
0 0 0
Solucin:
1
1 z
x2 y2 z3 y
x y z dxdydz = 2 0dydz
0 0 0
0 0
2
x2 y 2 z 3
2 dydz
0 0
1 z
4 3
y z
dydz
2
I =
0 0
Z Z
z
z
1
dz= dz =
10
10
90
90
0
0
I =
0
2 x
h)
y z z
dz
10 0
I =
3 x
1 0
y
dzdydx
y + z2
2
Solucin:
2 x
3 x
1 0
3 x
3 x
y
dzdydx
y + z2
2
1
ln( y 2 + z 2)0x dzdx
21 0
1
[ ln ( x 2+ z 2 ) ln ( x 2 ) ] dzdx
21 0
2
u=ln ( x + z ) du=
2 zdz
; v= dz=z
x2+ z2
3 x
1
2 z 2 dz
2 ln ( x2 + z 2 )27 ln ( x ) 0 3 x 2 2 dx
20
0 x +z
20
3 x
3 x ln ( x 2+3 x 2 )2 3 x ln ( x )
0
2 z2 dz
dx
x 2+ z 2
z + x x dz
2
x + z2
2 dx
3 x
( 4)
0
2 ln
2
1
20
2
1
20
3 x
3 x
3 x ln ( 4 )2 x dz +2 x
2
dz
dx
x + z2
2
[ 2 x 2 ( 3 x)] dx +
2
1
20
(4 )
3 x 2 ln
1
3 ( 41 ) ln ( 4 ) 3 x dx+ [ xarctan ( 3 ) ] dx
3
4
2
1+
3 4
()
x
4
3 3 ln
3 3 ln(4)
2 x
3x
1 0
15 3
+
4
2
y
15 3
dzdydx= 3 3 ln(4 ) +
2
4
2
y +z
2
y x
i ( z 2 y ) d zdxdy
1 0 1
1 y
1 x
2 2 3
2 2 3
( z y ) dzdxdy= x y2 z dydz= y y2 z dydz
1 0 1
0 0
o
0 0
2
I = ( z 2 y ) dxdxdy=
1 o 1
I =
1 1
I =
1
1 1
z
zy
3
4
I =
0
) dy
0
y 4 y3 y 2
y3 y4 y2 y3
1 1 1 1 77
+ y dy= + 0+ + + + =
12 2 3
60 8
6 3 1
60 8 6 3 120
a2x 2 y 2 dzdydx
0
Solucin:
a
) dxdy
x
1
x x y x
xy + y dxdy
+ xy
3
3
13
2
3
1
a2x 2 a2x 2 y 2
a2x 2 a2x 2 y 2
a2x 2 y 2 dzdydx
0
z a 2x 2 y 2
[ ] a x y0 dydx
2
a2 x 2
I =
0
I =
a2x 2
a2x 2
I =
0
( a 2x 2 y 2 ) dydx
y3
3
a x
()
0dx
a2 yx 2 y
2
I =
0
3/ 2
( a2 x2 ) a2 x2
( a2x 2 )
3
2
2
[ ] a x dx
I =
0
a2x 2
3/2
I =
0
Hacemos:
x=asen ( )= dx=acos ( ) d
x=a= a=asen ( )== ; x=0= 0=asen ( )= =0
2
I=
I=
3 /2
2
[ a2 cos2 ( ) ] acos ( ) d= 2 a
3 0
3
2a
3
4 2
[ sen2 ( ) ]
d=
2a
3
4 2
2 2
cos3 ( ) cos ( ) d
0
1+cos ( 2 )
d
2
4 2
I=
a
6
I=
1+cos ( 4 )
a
+ sen() +
d
3
2
0 0
I=
a4
sen(4 ) 2
+sen ( ) + +
0
3 2
2
8
I=
a4 sen( 2 ) a4
a4
+ +
=
+ =
3 2 4
8
6 2 4
8
] ( )
2 2x
k)
2 xy
1x 2 y 2
zdzdydx
x2 + y 2 + z 2
Solucin:
2 2x
1
dydx
ln ( x 2+ y 2+ z 2 ) 2 xy
21 x
1x 2 y 2
2 2x
1
[ ln ( x 2+ y 2+ xy ) ln ( x 2 + y 21x 2 y 2) ] dydx
21 x
2 2x
1
[
ln ( x 2+ y 2 )ln ( 1 ) ] dydx
21 x
2 2x
[ ln( x + y ) ] dydx
1 x
dy= y
u=ln( x + y) du=
dy
; v=
x+ y
2x
x
2x
y ln (x + y)|
x
y
dy ] dx
x+y
2x
( 2 x + x )x ln ( x+ x )
x
( y + xx)
dy
x+ y
2 x ln
x ln
1
x ln
1
2x
9x
y 2 x +ln (x + y ) 2 x dx
2
x
x
[ ( ) ]
x ln
1
( )
[ ( ) |
x ln
1
2x
9x
dy
dy + x
dx
2
x+ y
x
x
27 x
x dx
4
x
2
xdx=
u=ln
x2
27 x 2
x 2 dx x2 2
ln
2
4 1 1 2x
2 1
( )|
27 x 2
1
2+
2
4 1
2
2 ln
( ) |
2 ln
1
27 .81 3
ln
5
2
16
2 2x
2 xy
1x 2 y 2
zdzdydx 1
273 .81 3
= ln
5
16
x2 + y 2 + z 2 2
2 cos 4 +r sin
L
0
2 cos
4 +r sin
zr
0
rdzdrd
drd
2 cos
2 cos
( 4 r +r 2 sin ) drd
0
cos
4 r + r3 sin d
0
0
2 cos +
cos
sin d
3
2 cos2 d+
0
1
cos 3 sin d
30
1
2
cos sin d
3 0
u=cos = du=sin d
1
2
u du
2 0
+sin 1 4 1
11 1
3u
cos d=
4 0 8 4 0 2
12
12
0 4
5. Calcule las siguientes integrales triples sobre el slido U dado:
( x +2 y3 z )dx dy dz
a)
U= {( x ; y ; z )/0 x 4 y , 0 y 2,0 z 3 }
2
Solucin:
4 y 2
2 3
0 0
( x+ 2 y 3 z ) dxdydz
( x + 2 xy 3 xz )30 dydz
2
4 y2
4 y 2
( 9+6 y 9 z ) dydz
2
9 y +3 y 9 yz 0 dz
4 y2
4 y 2
( 18+1218 z ) dz
(18 z +12 z9 z 2 ) 0 4 y
18 4 y 212 4 y 29( 4 y 2)
18 4 y 212 4 y 2+ 9 y 236
2 3
4 y 2
b)
U= {( x ; y ; z )/0 x y 2 ,0 y z ,0 z 1 }
Solucin:
y
z 1
x 2 + y 2 + z 2 dxdydz
0 0 0
0 0
0 0
2 2 2
x + y x + z 2 x 10 dydz
3
2
+ y 2 + z 2 dydz
3
( 23 y + 23 y
( 23 z
( 23 z
1 /2
1 /2
3 /2
+ z 1/ 2 y 0 z dz
2
+ (z 1 /2)3 /2 + z 1 /2 z 1 /2 dz
3
2
+ z 3/ 4 + z dz
3
4
8
z
z 3 /2 + z7 / 4 + 0y
9
21
2
(
u
4 3 8 7 /2 z 4
y + y +
9
21
2
)
4
1 1 1
4
8
z
+ 2 2 ) dV = y 3 + y 7/ 2+
2
9
21
2
x y z
a)
dx dy dz
x + y 2 +(z2)2
2
Graficando:
En coordenadas cilndricas
0<r 1
0 2
1 z 1
Asumimos:
x 2+ y 2 =r 2
I =
I =
dy ( rz )
r +( z2 )
2
r +( z2 )
2
u =r + ( 2 z )
dr dz d
dr dz d
donde U es la esfera
x + y +z 1
2udu=2 rdr
udu=rdr
I =
udu
dz d
u
I = du dz d
I = r + ( z2 )
2
1
2
dz d
0
2 1
[ 1+ ( z 2 )2 ( z 2 )2 ] dz d
0 1
[ 1+( z2 ) dz ] ( z2 ) dz
0
1+ ( z 2 )
tan =z2
dz=sec d 2
2
1+ tan 2sec2 d ( z2 ) dz
0
sec 3 d z2 +2 z
0
B
En (B) integrando por partes:
2
1
1
z
sec tan + ln ( sec + tan ) +2 z
2
2
2
1
1+( z2 )2 . ( z2 ) + 12 ln ( 1+( z2 )2 +( z2)) z2 + 2 z dz
2
12 1+1 . (1 ) + 12 ln ( 21 ) 12 +2
0
2 2 + 12 ln ( 21 ) 12 +2+ 32 10 12 ln ( 105 ) + 52
0
2 + 1 ln 21
3 10
2
2
103
0
3 10 2
1
+ ln
2
2
)+4 ] d
21
( 103
) + 4 ]
( 3 10 2 ) + ln 21 +8
( 103 )
b)
a2x 2 a2 x2 y 2
z
a2 x2 y 2 dzdydx
0
a2x 2 a2 x2 y 2
dzdydx
0 z a 2x 2 y 2
0 y a2x 2
0x a
0 a
2 2 a
>8 1 2 sin dd d
0 0 0
2 2
8
0 0
3
sin d d
3
0
2 2
8
0 0
8
0
a
sin d d
3
a
a3
cos d=8 d
3
0
0 3
a
4 a3 3
8
u
3 0
3
h b
b2x 2
0 0
x 2+ y 2 dx dy dz
c)
Solucin:
Por coordenadas cilndricas:
0 y b2x 2
D
0xb
0 zh
0 r b
x=rcos
o
y=rsen J ( r ; ; z )=r
2
z=z
0 zh
2 b h
r . r dzdrd
0 0 0
2 b
r 2 z h drd
o
0 0
2 b
h r 2 drd
0 0
4r b
d
3 0
4b
d
3
4 b3
2
3
0
2 b3
3
h b
b2x 2
0 0
x 2+ y 2 dx dy dz= 2 3b
2
2 x 2+x 2
z x 2 + y 2 dzdydx
Solucin
Sea D:
z=0
0 x2
z=0 ,
2
0 y 2 x+ x y=0 , y =2 2 x+ x
x =0 ,
0 za
x=0
, 0 r 2 cos , 0 z a
2
ademas J ( r , , z )=r
z .r . r dz
2 cos
( dr ) d
0
2 xx 2
dx
0
/2
dy z x + y dz=
2
2 cos
z
r
2
0
2 cos
x2
2 /2
a
(dr )d=
2
( dr )d=
/2
r3 /
0
2 /2
a
2
1sen
2
a
4a
1 8
() cosd=
1 =
3
3
9
[ ]
4a
3
2 /2
cos d=
0
4a
3
2 /2
1x 2 1x 2 y 2
x2 + y 2 + z 2 dzdydx
2y
Solucin:
0
; 0 ; 0 1
2
2
dV = 2 sin () dd d
2 2 1
2 2 1
0 0 0
0 0 0
2 2
3 sin ( ) dd d= [
0 0 0
0 0
2 2
4 sin ( )
] d d
4
0
sin ( )
[cos ( ) ]02 d
4 d d= 1
4 0
0 0
1
cos
cos ( 0 ) d= 1 d
4 0
2
4 0
()
1 2 3
[ ] = u
4 0 8
2 x 1x 2 y 2
f)
2 1/ 2
z (x + y )
dzdydx
Solucin:
1x 2 y 2
z(x 2 + y 2 )1 /2 dz
1 1x 2 y 2
2 2
(x + y )
h e
x +y
z
zdz=( x 2 + y 2 ) 2
z2
2
; 0 r a ; r z a
4
4
Lmites:
ea
a
( r e r) rdrd
a
3
4
rdrd=
Integramos
4
x
e
a
0
3
4 a a
3
4
I = e x rdzdrd=
0 r
4
ea e r
()dr=r e aer
Integracin por partes
u=r= du=dr ; V =
r ea
( a0er ) dr
a
r (r e e ) d
a
3 /4
I=
/4
3 /4
a 2 e a a
+ e 1 a0 d
2
I = a ( a e ae2 )
/ 4
3 /4
I = a ( a e ae2 ) +
/ 4
2 a
)|
r e
er a0 d
2
)|
I =(a2 ea a e a
a e
+e a1) [a 2 e a2 e a ( a1 ) 2]
2
0 2
2 1x 2 y2 x
1
2 2
z (x + y )
dzdydx
Solucin:
1x 2 y 2
I=
1
2 2
z ( x + y ) dz
1 1x 2 y 2
2 2
I =( x + y )
z dz
I =( x 2+ y 2)
1
2
1
2 2
I =( x + y )
I = ( x 2+ y 2)
0
z2
2
(1x 2 y 2 )
2
1
2
(1x 2 y 2 )
dy
2
I = 2 X (12 X 2)dx
0
Remplazando obtenemos:
11
2
1+
1
- 24
2 ln
a)
x
( 2+ y 2 + z 2)3 /2
dv, u:
x 2+ y 2 + z 2 1
0 2
0
0 e 1
x 2+ y 2 + z 2
Se sabe que:
x=e cos sin
J ( r , , )=e 2 sin
e =1
2
Entonces:
2 1
I = ( e 2) 2 e 2 sin de d d
0
0 0
2 1
I = e5 sin de d d
0
0 0
I =
0
e
sin d d
6
1
I = sin d d
0 0 6
2
I =
0
I =
0
1
[ cos ] d
6
1
[ 11 ] d
6
2
I=
1
1
2
d= .=
3 0
3 0
3
1
calcular ( x 2+ y 2 ) dxdydz , d onde el T esta limitado por las superficies z= ( x 2 + y 2 ) , z =2
2
T
Solucin
r
t=( r , , z ) 0 r 2 0 2 z 2
2
2
r2
3
r /2
( .r dz ) d
2
dr
0
( x 2+ y 2) dxdydz =
0
r
2
3
r ()d
2 r3
r 5
2 (
) dr
2
2
dr=
0
r
r
16
2 12
3
4.- calcule
w=x yz
x=
u+w
2
y=
v w
2
z=
uv
2
J (u , v , w )=
1
4
x+ y+ z=
u+ w vw uv
+
+
=0 u=0
2
2
2
x+ yz=
u+w v w uv
+
=0 v=0
2
2
2
x yz=
u+ w vw uv
=0 w=0
2
2
2
2 x z=2
u+ w uw
=1 2uv + 4 w=1
2
2
x y
( x + y + z )(x+ yz)( z ) dxdydz
4 0
1 12u
2
4
80
1 12 u
2
4
wuv dvdwdu=
4 0
2 u+ 4 w1
uv
2 0
dwdu
1
2
12 u
4
1
wu(4 ( u /+4 w +4 wuu2 w ) +1) dwdu= u w2 ( 4 ( u2 w+ 4 w 3 /3+2 w2 uuww 2) + w) 0
80
1/ 2
u 4 u 4 u +1
8u
(
) du=
u ( 12
)
4
3
3
32 u5
8 u3 u 2 12
1 3
+ 6 u4
+ =
u
5
3
2 0 184
5-calcule I=
( + y 2 + z 2)dxdydz
z=
x2 + y 2
z=3
, z=3
du
x 2+ y 2
( x 2 + y 2 + z 2)dx
0
2
2
2 2 x +2 y 2
0 x + y +z
(2 x2 + y2 ) y
x +y
2
+z
dy=
2x
= x + y 2+ z2
2
2 x 2+ y 2
x 2 + y 2+ z2
( 2 x 2+ y 2 ) y
x + y +z
2
27
4
4
x 2+ y 2 2 y =0= r 2=2 rsen()
r=2 sen ( )= 0 r 2 sen ()
3 / 4 2 rsen()
I=
r 12 z r Integramos:
/ 4
rcos() r 2 rdzdrd
r212
r r
3
r cos ( )(+12)drd
2 rsen ( )
0
3 /4
I=
/ 4
r 4r 5
cos ( )( +12 r 3 )drd
2 rsen ( )
0
3 /4
I=
/ 4
r
5
3/4
6
2rsen ( )
d
cos ()[ r6 +3 r 4 ]
0
/ 4
I =
32 sen 5 ()
5
6
32 sen ( )
cos ( )[
+48 sen4 () ]d
3
3 /4
I=
/ 4
I =[
I=
+
]
30
21
5
/4
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
16
3
48
3
32
3
sen6
sen6
+
sen5
+sen 5
sen7
+ sen7
15
4
4
5
4
4
21
4
4
En el esquema
v =
0
2 1
rdzdrd= r ( 4r 2 ) drd
v = 2 r 2
r4
4
0 0
d=(2 14 )
7 (2 ) 7 3
=
u
4
2
y x2
x x +y
V =
0 x2
1 x
0 x2
dzdydx
x2 + y 2
|z|0
1 x
dydx= x2 + y 2 dydx
0 x2
x
2 3
(x )
x
( 2( x)+ )(x2 ( x 2 )+
)
3
3
dx
1
3 x
y
2
x y+
dx=
3 x
0
3
x
x
x 4 +
3
3
3
6
4x
x
x 4 +
3
3
x3 +
4 x 7 x 5 4 x 4
()dx=
+
21
5 12
()dx=
0
4 (1)7 ( 1 )5 ( 1 )4 3 3
+
= u
21
5
3 35
14 Halle los volmenes de los cuerpos limitados por las superficies que se
indiquen.
1
3
2
x 2 ylos planos x= . x= . y=0
x
a) Por los cilindros z=2/
,2x,z=0 en el
2
2
primer octante.
2 1 y
k r 3
Solucin:
dzdrd
0 r2
r
5
r r6
d
5 6
( r ) drd=k
5
K=k
0
2
3
Reemplazando obtenemos: (4ln(3)-2) u
i)por el paraboloide
x 2 =y
x 2 + z 2= y 2 ,
x 2 + z 2 =5y
3
r 2 z dr d
2 3
rdzd
0 0 0
4 r 2 drd
0
y 2=x ,
43r
Reemplazado obtenemos:
j) Po la superficies
3 3
u
7
y + z =4 ax , x=3 a , y =ax
Solucin:
rdz
3
( dr) d
0
4 r2
0
2 3
r 2 zdrd =
0 0
43r d
0
Remplazando obtenemos: (6 +9
d)
z 2=x 2+ y 2
3 u 3
=costante
2 4 a
2 4
2 sin( )dd d= [
0
2 4
0 0
3
a sin ( )
a
d d= [cos ( ) ]04 d
3
3 0
0 0
3 sin ( )
] d d
3
0
a3
2 )d= a3 (1 2 ) 4 = 2 a3 1 2
(1
3 0
2
3
2
3
2
0
17.calcule paso a paso la integraltriple de f ( x , y , z )= x 2+ y 2 sobre el solidoo Dlimitado por las graficas de
z=2 entnces dedudcimos z=2 , z=r
Solucin
=2 r=2 z=2
I=
r .rdzdrd
=0 r=0 z=r
3
2 r r
( 2r ) r 2=
I =
0
4
8
d=
3
3
c . encontrar el centro de masadel solido dentro del paraboide x 2 + y 2=z y fueradel cono x 2 + y 2=z 2 , p es la de
Solucin
r , , z /0 2 , 0 r 1 ,r 2 z r
D=
zkrdz
k ( 3 5)
r r dr
2
1
d
0
( dr ) d=
r2
M xy=
0
r
4
zkrdz
k 3 5
( r r ) dr
2
1
d
0
dr =
0
r 6
)
6
2
k
20
r 2 coskdz
kcos r 2 ( r r 2 ) dr
1
d
0
( dr )d=
r2
xz=
0
)|
r r
k
k
k
kcos
d= cosd= sen = ( 00 )=0
4 6
20 0
20
20
rsen . rkdz
sen r 2
1
( dr) d=k ( ( rr 2 ) dr )d
0
M yz=
0
k sen
0
r4 r5
k
k
d= (cos ) =
( 11 ) =0
4 5
20
20
)|
zkrdz
r ( r 2 ) dr
1
d
0
( dr ) d=
r2
2 0
M=
0
k
( r r ) drd= k2 r3 r4 d= 240
d= k
12
0
0
0
2
k
20
2
k
M yz 0
M xz
M xy 12
X=
= =0 , Y =
=0 , Z=
=
=1
M
k
M
M
k
12
12
el centro de masaes (0,0,1)
z2
2
x 2 + y 2 +
dxdydz
b . f ( x , y , z ) =
U
Solucin
x=rcos
y=rsen J ( r , , z )=r
z=z
D=
{ r ,0, z r 1 0 2 1 z 1}
z 2
z 2
2
rdr
2
r +(dz ) d
1
0
1
1
2
x + y +
dxdydz
z2
z2
1+ dz
d
r 2 +
z2
2
z2
1+ d
2
( 3 10 23 ) + ln 21
2
3 10 2 1
+ ln
2
2
103
| | ]
21
3
d=
103 2
18) calcule el volumen del solido encerrado entre las superficies entre las
superficies
x 2 + z 2= y 2 y
x 2+ z 2=5 y
2 1
1 x x +4 y
dzdxdy=
0 0
2r2
2 1
3
r
r4
2 2
z r dzdrd= (2r ) drd
3
0 0 3
2
5 1
1 1
r
(2r 2) 2
d
3 0 5
5 0
99
7 )
x 2= y 2+ z2 y el
x 2=20 y2 z2
paraboloide
x= cos sin
y= sin sin
z= cos
J ( , ,) =
2 sin
{( , ,)/a b , 0 2 , 0 2 }
S=
2 2 1
( 2 sin )dd d
cos
0 0 0
2 2
4 ( 2
4 cos sin ) d d
0 0
Reemplazando:
448 3
u
3
1. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la esfera
x 2+ y 2 +(z1)2 =1 e inferiormente por el paraboloide
Graficamos:
x 2+ y 2 + ( z1 )2=1
z=x 2+ y 2
En coordenadas polares:
0 2
0<r 1
( z1 )2=1r 2
z= 1r 2 +1
2 1
V =
z= 1r 21
r d dr d
0 0 1+ 1r2
2 1
V = rz
0 0
2 1
1+ 1r
dr d
2
V = r [ r 21+ 1r 2 ] dr d
0 0
2 1
V = [ r 3 r +r 1r 2 ] dr d
0 0
2 3 /2
4
2
r r ( 1r )
V =
4 2
3
0
V =
0
( 14 12 0+ 13 ) d
2
d
2
V = = .= = u3
12 0
12 6
0 12
4.- si u es la regin limitada por los planos x=1, x=2 y por los cilindros
y 2 + z 2=9 , calcula
e x y 2+ z 2 dxdydz
3 2
2 3
e
2 1
3 2
e x r .rdxdrd=
2 1
y 2+ z2 =4 ,
e
e
e
2
8
( 2e) (9 )d
3
0
2
( 2e)
0
||
r3
d=
3 2
( 2e)r 2 drd=
2
e
e
( 2e) u3
38
( 2e).2 =
3
19
3
c)
c . encontrar el centro de masadel solido dentro del paraboide x 2 + y 2=z y fueradel cono x 2 + y 2=z 2 , p es la de
Solucin
r , , z /0 2 , 0 r 1 ,r z r
D=
zkrdz
k 3 5
( r r ) dr
2
1
d
0
( dr ) d=
r2
M xy=
0
r4
4
zkrdz
k 3 5
( r r ) dr
2
1
d
0
dr =
0
r 6
(
)
6
2
k
20
r 2 coskdz
kcos r 2 ( r r 2 ) dr
1
d
0
( dr )d=
r2
xz=
0
)|
r4 r5
k
k
k
kcos
d= cosd= sen = ( 00 )=0
4 6
20 0
20
20
rsen . rkdz
sen r 2
1
( dr) d=k ( ( rr 2 ) dr )d
0
M yz=
0
k sen
0
r4 r5
k
k
d= (cos ) =
( 11 ) =0
4 5
20
20
)|
zkrdz
(
r r 2 ) dr
1
d
0
k
( dr ) d=
2 0
r2
1
M=
0
k
( r r ) drd= k2 r3 r4 d= 240
d= k
12
0
0
0
2
k
20
2
k
M
M
M
0
12
X = yz = =0 , Y = xz =0 , Z= xy =
=1
M
k
M
M
k
12
12
el centro de masaes (0,0,1)
z2
2
x 2 + y 2 +
dxdydz
b . f ( x , y , z ) =
U
Solucin
x=rcos
y=rsen J ( r , , z )=r
z=z
D=
{ r ,0, z r 1 0 2 1 z 1}
z 2
z 2
2
rdr
2
r +(dz ) d
1
0
1
x 2 + y 2 +
dxdydz
z2
z2
1+ dz
d
r 2 +
z2
2
z2
1+ d
2
( 3 10 23 ) + ln 21
2
3 10 2 1
+ ln
2
2
103
| | ]
21
3
d=
103 2