TEMA 8. Variable aleatoria.

Modelos de distribuciones

1 Concepto de variable aleatoria

El objetivo es introducir una herramienta que nos permita cuantificar los resultados de un experi-
mento aleatorio. Para ello definimos una función del espacio muestral Ω en R.

Definición 1.1 Una variable aleatoria (v.a.) es una función del espacio muestral en R, que
transforma el resultado de un experimento en un número real

X: Ω→ R
w → X(w) ∈ R

Ejemplo 1.1 Lanzamos dos monedas. Sea X =“número de caras obtenidas en los dos lanzamien-
tos”.

Ejemplo 1.2 Lanzamos un dado dos veces. Podemos definir:

X =“suma de los puntos obtenidos en los dos lanzamientos”, es decir, X(i, j) = i + j .
Y =“diferencia en valor absoluto entre las puntuaciones obtenidas”, Y (i, j) = |i − j| .
Nótese que sobre un mismo espacio muestral pueden definirse varias v.a.

Operaciones con variables aleatorias Sean X e Y variables aleatorias

• Suma (resta): (X ± Y )(w) = X(w) ± Y (w) , ∀w ∈ Ω .

• Producto: (XY )(w) = X(w)Y (w) , ∀w ∈ Ω .

• Cociente: (X/Y )(w) = X(w)/Y (w) , ∀w ∈ Ω tal que Y (w) 6= 0.

• Si X es una v.a. y g es una función real entonces g(X) es también una variable aleatoria.

Definición 1.2 Sea X una v.a., se define la función de distribución (FdD) de X como

F : R → [0, 1]
x → F (x) = P (X ≤ x) = P ({w ∈ Ω : X(w) ≤ x})

Propiedades 1.1 F verifica las siguientes propiedades:

(a) F es no decreciente.

(b) F (−∞) = 0, F (+∞) = 1.

(c) F es continua a la derecha, o sea, limh→0+ F (x + h) = F (x)

(d) P (a < X ≤ b) = P ({w ∈ Ω : a < X(w) ≤ b}) = F (b) − F (a).

(e) P (a < X) = P ({w ∈ Ω : a < X(w)}) = 1 − F (a).

1
Ejemplo 1.3 Lanzamos dos monedas. Sea X =“número de caras obtenidas en los dos lanzamien-
tos”. En este caso Ω = {CC, CX, XC, XX} con P (w) = 1/4, ∀ω ∈ Ω. La FdD es

• Si x < 0, F (x) = P (X ≤ x) = P (∅) = 0

1
• Si 0 ≤ x < 1, F (x) = P (X ≤ x) = P ({XX}) = 4

3
• Si 1 ≤ x < 2, F (x) = P (X ≤ x) = P ({XX, XC, CX}) = 4

• Si x ≥ 2, F (x) = P (X ≤ x) = P ({XX, XC, CX, CC}) = 1

2 Variable aleatoria discreta

Definición 2.1 Dada una v.a. X, se define el rango de dicha v.a. como el conjunto de valores que
puede tomar X, el cual se denotará por rg(X).

Definición 2.2 Se dice que una v.a. X es discreta si su rango es discreto, es decir, finito o infinito
numerable. En este caso, el rango se denotará por rg(X) = {x1 , . . . , xn , . . .}.

Ejemplo 2.1 Lanzamos dos dados y consideramos la v.a. X=suma de los resultados. En este caso,
el conjunto de valores que toma la v.a. es

rg(X) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Ejemplo 2.2 Suponemos que buscamos la solución óptima de un problema utilizando un programa
informático. Tomamos la v.a. X=número de iteraciones, hasta conseguir la solución óptima. En-
tonces

rg(X) = {1, 2, 3, . . .}

Definición 2.3 Sea X una v.a. discreta con rango rg(X) = {x1 , . . . , xn , . . .}. Se define la función
de probabilidad (fdp) de X como

P (X = xi ) = P ({w ∈ Ω tal que X(w) = xi }) , i≥1.

Ejemplo 2.3 Lanzamos dos monedas. Sea X =“número de caras obtenidas en los dos lanzamien-
tos”. En este caso rg(X) = {0, 1, 2} y su fdp es

1
• P (X = 0) = P ({XX}) = 4

2 1
• P (X = 1) = P ({CX, XC}) = 4
= 2

1
• P (X = 2) = P ({CC}) = 4

2
Propiedades 2.1 La función de probabilidad verifica,

(a) 0 ≤ P (X = x), ∀x ∈ rg(X)

(b) Si x ∈
/ rg(X), entonces P (X = x) = 0.
X
(c) P (X = xi ) = 1.
i / xi ∈rg(X)

Cálculo de probabilidades Dado B ⊆ R, la probabilidad de que la v.a. X (discreta) tome

valores en B viene dada por X
P (X ∈ B) = P (X = xi ) .
xi ∈B

X=x 1 2 3
Ejemplo 2.4 Sea X una v.a. discreta, con función de probabilidad: .
P (X = x) 0.2 0.3 0.5

P (X ∈ {1, 3}) = P (X = 1) + P (X = 3) = 0.2 + 0.5 = 0.7

P (X ∈ [0, 2.5]) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.2 + 0.3 = 0.5

Propiedades 2.2 Sea X una v.a. discreta con rg(X) = {x1 , . . . , xn , . . .}, entonces
1. la FdD de X es
X
F (x) = P (X ≤ x) = P (X = xi ) .
i / xi ≤x

2. F (xi ) = F (xi−1 ) + P (X = xi ).
3. La función de distribución de una v.a. discreta es una función escalonada, los puntos en que se
producen las discontinuidades de salto son los valores que toma la v.a. y la cuantı́a del salto es la
P (X = xi ), es decir
P (X = xi ) = F (xi ) − F (x−
i ) = F (xi ) − F (xi−1 ).

Ejemplo 2.5 Calcular la función de distribución de X (ejemplo 2.4).




 0 si x < 1

P (X ≤ 1) = P (X = 1) = 0.2,

si 1 ≤ x < 2
F (x) =


 F (1) + P (X = 2) = 0.2 + 0.3 = 0.5, si 2 ≤ x < 3


F (2) + P (X = 3) = 0.5 + 0.5 = 1, si x ≥ 3


3
2.1 Caracterı́sticas asociadas a una variable aleatoria discreta
Definición 2.4 Se define la esperanza matemática (esperanza, media o valor esperado) de la
v.a. discreta X como
X
µ = E (X) = xi P (X = xi ) .
i

Se define la varianza de una variable aleatoria X como

σ 2 = var(X) = E (X − µ)2
 

p
y la desviación tı́pica de X como σ = + var(X).

Nota 2.1 Tienen la misma interpretación que en distribuciones de frecuencias.

Propiedades 2.3 Se tiene que,

(a) E(c) = c, ∀c ∈ R.

(b) E(cX) = cE(X), ∀c ∈ R.

(c) E(c1 X + c2 Y ) = c1 E(X) + c2 E(Y ), ∀ci ∈ R, i = 1, 2 .

(d) var (X) ≥ 0.

(e) var (X) = 0 ⇔ ∃ a/ P (X = a) = 1 (es decir, X es una constante).

(f ) var(a X + b) = a2 var(X), ∀a, b ∈ R.

(g) En la práctica es útil la siguiente expresión:

var(X) = E(X 2 ) − µ2 = E(X 2 ) − E 2 (X).

Ejemplo 2.6 Calcular la media, varianza y desviación tı́pica de X (ejemplo 2.4).

E(X) = 1 × 0.2 + 2 × 0.3 + 3 × 0.5 = 2.3

var(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = (12 × 0.2 + 22 × 0.3 + 32 × 0.5) − (2.3)2 = 5.9 − 5.29 = 0.61.
√
σ = 0.61 = 0.781.

3 Variables aleatorias continuas

Definición 3.1 Una variable aleatoria (absolutamente) continua es aquella con rango infi-
nito no numerable.

Propiedades 3.1 Si X es una variable aleatoria continua, entonces

1. F (x) = P (X ≤ x) es una función continua.
2. Existe una función f (t) ≥ 0 ∀t, tal que
Z x
F (x) = f (t)dt.
−∞

4
A la función f se le llama función de densidad (fdd) de X.
3. F es derivable salvo a lo sumo en un número discreto de puntos. En los puntos donde F sea
derivable, se verifica F 0 (x) = f (x).

Propiedades 3.2 La función de densidad verifica

1. f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
R +∞
2. −∞ f (x)dx = 1.

Cálculo de probabilidades en el caso continuo

Rb
(a) Si a, b ∈ R, con a < b, entonces P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) = a f (t) dt.
R
(b) En general, dado B un subconjunto de R, P (X ∈ B) = B f (t) dt .

(c) Si X es una v.a. continua, entonces P (X = x) = 0, ∀x ∈ R. Como consecuencia:

(c.1) P (X < x) = P (X ≤ x) ,
(c.2) P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b) = F (b) − F (a) ,

pues estos conjuntos sólo difieren en un punto.

Ejemplo 3.1 Sea X una v.a. continua con función de densidad

(
x/6 si x ∈ (2, 4)
f (x) =
0 en caso contrario

(a) Calcula la FdD: Si x ∈ (2, 4),

x x t=x
t2 x2
Z Z
t 4
F (x) = f (t) dt = dt = = −
−∞ 2 6 12 t=2 12 12

Si x ∈ (−∞, 2], F (x) = 0, y si x ∈ [4, +∞), F (x) = 1.

(b) Calcula P [X ∈ (2.5, 3)] = P (2.5 < X < 3):
3 t=3
t2
Z
t
P [X ∈ (2.5, 3)] = P (2.5 < X < 3) = dt = = F (3)−F (2.5) = 0.4167−0.1875 = 0.2292
2.5 6 12 t=2.5

5
3.1 Caracterı́sticas asociadas a una variable aleatoria continua
Definición 3.2 Sea X una v.a. continua con fdd f . Se define la esperanza matemática (espe-
ranza, media o valor esperado) de X como
Z ∞
E(X) = x f (x) dx.
−∞

Se define la varianza de una v.a. X como,

σ 2 = var(X) = E (X − µ)2
 

p
y la desviación tı́pica de X, como σ = + var(X).

Nota 3.1 Se tienen las mismas propiedades que en el caso discreto.

Ejemplo 3.2 Calcular la esperanza matemática de X (ejemplo 3.1) y su varianza.

Z ∞ Z 4 x=4
x x3 43 23 64 − 8 56
E(X) = x f (x) dx = x dx = = − = = = 3.11
−∞ 2 6 18 x=2 18 18 18 18
La varianza podemos obtenerla como var(X) = E(X 2 ) − E 2 (X), por lo que calculamos
Z ∞ Z 4 x=4
2 2 2 x x4 44 24 256 − 16 240
E(X ) = x f (x) dx = x dx = = − = = = 10
−∞ 2 6 24 x=2 24 24 24 24
Por lo que: σ 2 = var(X) = 10 − 3.112 = 0.3279.

4 Independencia de variables aleatorias

Dadas dos variables aleatorias X e Y , diremos que son independientes si lo son los experimentos
aleatorios que cada una de ellas describe, es decir, si el resultado de uno no influye en absoluto en el
resultado del otro.
Este concepto puede extenderse a más de dos variables, en general a n variables independientes,
X1 , X2 , ..., Xn .

5 Modelos Discretos
En esta sección se estudiarán algunos modelos de distribución de variables aleatorias discretas que
describen diversos experimentos aleatorios que se presentan frecuentemente en el mundo real.

5.1 Distribución Bernoulli

Considérese un experimento con dos posibles resultados, E (éxito) y F (fracaso). A un experimento
ası́ se le denomina experimento de Bernoulli. En este caso el espacio muestral es Ω = {E, F }. Sean
P (E) = p ∈ (0, 1) y P (F ) = q = 1 − p. A la v.a. que realiza la siguiente asociación:

X(E) = 1, X(F ) = 0,

6
se le denomina variable aleatoria Bernoulli (o que sigue un modelo de distribución de Bernoulli) con
probabilidad de éxito p y se denota X ∼ Be(p).
La función de probabilidad de esta v.a. es

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p = q.

La media y la varianza de esta distribución son E(X) = p y V ar(X) = pq.

Ejemplo 5.1 Consideremos el experimento aleatorio “recibir un correo electrónico”. Se sabe que el
5% de los correos electrónicos recibidos es spam. Dado un correo electrónico que se ha recibido, la
variable aleatoria X definida como:
(
1 si el correo es spam
X=
0 caso contrario

sigue una distribución Bernoulli de parámetro p = 0.05, X ∼ Be(0.05).

5.2 Distribución Binomial

Supongamos que realizamos n experimentos Bernoulli independientes, todos ellos con igual probabi-
lidad de éxito p. La distribución de la v.a. definida como

X=número de éxito en los n experimentos Bernoulli independientes,

se denomina distribución Binomial de parámetros n y p y se denota X ∼ B(n, p). La función de

probabilidad de esta v.a. es
 
n k
P (X = k) = p (1 − p)n−k , k = 0, . . . , n.
k
La media y la varianza de esta distribución son E(X) = np y V ar(X) = npq.

Ejemplo 5.2 Siguiendo el ejemplo 5.1, vamos a calcular la probabilidad de recibir como mı́nimo un
correo spam y el número esperado de correos spam recibidos, ambos en un dı́a en el que lleguen 40
correos electrónicos.
En el ejemplo 5.1 vimos que recibir un correo spam puede modelarse según una variable de
Bernoulli. En este caso repetimos el experimento 40 veces (cada correo recibido será un experimento
que supondremos independiente del resto), por lo tanto la v.a. X = “número de correos spam entre
los 40 correos recibidos” es una variable Binomial de parámetros n = 40 y p = 0.05. El número
esperado de spam es
E(X) = 40 × 0.05 = 2,

y la probabilidad de recibir como mı́nimo un spam es

P (X ≥ 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0) =
 
40
= 1− 0.050 (1 − 0.05)40−0 = 1 − 0.1285 = 0.8715.
0

7
5.3 Distribución Hipergeométrica
Supongamos que tenemos una población de tamaño N , que se divide en dos grupos, uno de ellos
con N1 elementos y el otro con N − N1 elementos. Extraemos simultáneamente n elementos de
la población, o equivalentemente, extraemos de manera sucesiva n elementos sin reposición. A la
distribución de la v.a X =“número de individuos del primer grupo entre los n extraı́dos” se le
denomina distribución Hipergeométrica con parámetros N, N1 , n, y se denota X ∼ H(N, N1 , n). Su
función de probabilidad es
N1 N −N1



k n−k
P (X = k) = N

, max{0, n − N1 + N } ≤ k ≤ min{n, N1 }.
n

La media y varianza para esta distribución son

N1 N1 N − N1 N − n N −n
E(X) = n = np, V ar(X) = n = npq ,
N N N N −1 N −1
N1
donde p = N
y q = 1 − p.
Nótese que una distribución Hipergeométrica y una distribución Binomial son muy parecidas en
el sentido de que ambas cuentan el número de éxitos en n experimentos de Bernoulli. La diferencia
está en que en la distribución Binomial los experimentos de Bernoulli son independientes (las extrac-
ciones son con reemplazamientos), mientras que en la distribución Hipergeométrica no (ya que las
extracciones son sin reposición).

Ejemplo 5.3 Supongamos que tenemos el servidor bloqueado con 100 correos electrónicos, de los
cuales 5 de ellos son spam. Si se imprimen 20 de ellos seleccionados aleatoriamente, calcula la pro-
babilidad de que entre esos 20, haya 2 spam. Hallar el número esperado de correos spam imprimidos
y su varianza.
La v.a. X =“número de correos spam entre los 20 imprimidos” ∼ H(100, 5, 20),
5 95



2 18 5 5 100 − 5 100 − 20 _
P (X = 2) = 100
= 0.20734, E(X) = 20 = 1, V ar(X) = 20 = 0. 76 .
20
100 100 100 100 − 1

6 Modelos continuos

6.1 Distribución Uniforme Continua

Diremos que una v.a. X sigue una distribución Uniforme en el intervalo (a, b), X ∼ U (a, b), si su
función de densidad es de la forma
(
1
b−a
si x ∈ (a, b),
f (x) =
0 en caso contrario.

La función de distribución es

 0
 si x < a,
x−a
F (x) = P [X ≤ x] = b−a
si a ≤ x < b,

1 si x ≥ b.


8
 a+b (b − a)2
La media y la varianza son E(X) = y V ar(X) = .
2 12
Ejemplo 6.1 El tiempo en minutos que tarda un tren de cercanı́as en hacer una parada entre dos
estaciones urbanas oscila uniformemente entre 8 y 12 minutos. Calcular la probabilidad de que un
individuo que llega justo cuando el tren salió de la estación anterior, tenga que esperar más de 10
minutos, ası́ como el tiempo medio que tendrá que esperar en el andén.
La v.a. X =tiempo que tarda en llegar el tren ∼ U (8, 12), y por tanto,
10−8
P (X ≥ 10) = 1 − P (X < 10) = 1 − F (10) = 1 − 12−8
= 0.5
8 + 12
E(X) = = 10
2

6.2 Distribución Exponencial

Diremos que una v.a. X sigue una distribución Exponencial de parámetro λ > 0, y se denota
X ∼ Exp(λ), si su función de densidad es de la forma
(
λe−λx si x > 0,
f (x) =
0 en caso contrario.

La función de distribución es
(
0 si x < 0,
F (x) = P [X ≤ x] =
1 − e−λx si x ≥ 0.

1 1
La media y la varianza son E(X) = y V ar(X) = 2 .
λ λ
Usualmente esta variable representa el tiempo de vida, esto es, tiempo hasta que ocurre un
determinado suceso. Por ejemplo, la variable que estudia el tiempo transcurrido entre la llegada de
dos correos electrónicos se puede modelar mediante una distribución exponencial.

Ejemplo 6.2 El tiempo de vida de una componente eléctrica sigue una distribución exponencial con
media de 8 meses. Calcular la probabilidad de que una componente dure entre 3 y 12 meses, y la
probabilidad de que un elemento que haya durado 10 meses, dure al menos 15 más.
1
Sea X = ”tiempo de vida” ∼ Exp(λ). Como E(X) = = 8, tenemos que λ = 1/8 y, por tanto
λ
P (3 ≤ X ≤ 12) = F (12) − F (3) = (1 − e−12/8 ) − (1 − e−3/8 ) = 0.4642.
P (X ≥ 25) e−25/8
P (X ≥ 25 / X > 10) = = −10/8 = 0.1533.
P (X > 10) e

6.3 Distribución Normal

Un gran número de fenómenos aleatorios continuos como el peso, la altura, etc, se pueden modelar
con la distribución Normal. Diremos que una v.a. X sigue una ley Normal de parámetros µ y σ 2
(µ ∈ R, σ > 0), X ∼ N (µ, σ 2 ), si su función de densidad es
 
1 1 2
f (x) = √ exp − 2 (x − µ) , x ∈ R.
2π σ 2σ

9
La media y la varianza de esta distribución son

E(X) = µ, V ar(X) = σ 2 .

Como la función de densidad es simétrica respecto a la media se cumple que

P (X ≤ µ − x) = P (X ≥ µ + x).

Si X ∼ N (µ, σ 2 ), entonces,
X −µ
Z= ∼ N (0, 1)
σ
A Z se le denomina variable tipificada. A la distribución N (0, 1) se le denomina distribución
normal estándar. Para calcular probabilidades en cualquier distribución normal, lo primero que
debemos hacer es tipificar la variable, esto es,
 
x−µ
P (X ≤ x) = P Z ≤ = Φ (z) ,
σ
x−µ
donde Φ representa la función de distribución de una distribución normal estándar y z = . Los
σ
valores de Φ(x) están tabulados para x ≥ 0, ya que por ser la distribución normal estándar simétrica
respecto del origen, se verifica que Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Ejemplo 6.3 La cantidad de dinero que las personas de una cierta ciudad llevan en sus bolsillos sigue
una distribución normal de media 15 euros y desviación tı́pica 3 euros. Calcular la probabilidad de
que elegida una persona al azar lleve en sus bolsillos menos de 18 euros y la probabilidad de que
elegida una persona al azar lleve en sus bolsillos entre 8 y 20 euros.
Tenemos X ∼ N (15, 32 ) , entonces Z = X−15
3
∼ N (0, 1).
 
18 − 15
P (X < 18) = P Z < = Φ(1) = 0.8413.
 3 
8 − 15 20 − 15
P (8 < X < 20) = P <Z< = P (−2.33 < Z < 1.67) = Φ(1.67) − Φ(−2.33) =
3 3
= Φ(1.67) − {1 − Φ(2.33)} = 0.9525 − (1 − 0.9901) = 0.9426.

2
Propiedad 6.1 Si X e Y son variables aleatorias independientes de modo que X ∼ N (µX , σX ) e
2
Y ∼ N (µY , σY ), entonces para cualesquiera a, b, c ∈ R se tiene que

aX + bY + c ∼ N (aµX + bµY + c, a2 σX
2
+ b2 σY2 ).

En particular,
2
X + Y ∼ N (µX + µY , σX + σY2 ),
2
X − Y ∼ N (µX − µY , σX + σY2 ).

La importancia de la distribución normal radica en que no sólo es útil para modelar algunos
fenómenos aleatorios frecuentes (peso, altura, etc), sino que también sirve para aproximar a otras
distribuciones.

10
Propiedad 6.2 Si X ∼ B(n, p) con n elevado, entonces podemos aproximar la distribucion de X
por una ley Normal de parámetros µ = np y σ 2 = npq, en el siguiente sentido
   
X − np x − np x − np
P (X ≤ x) = P √ ≤ √ 'Φ √ .
npq npq npq
Ejemplo 6.4 Se sabe que el 24.5% de las grandes empresas informáticas proporcionan formación a
sus empleados. Si se ha realizado un estudio sobre 1000 empresas, calcular la probabilidad de que
haya por lo menos 260 empresas que formen a sus empleados.
Sea X =número de empresas que forman a sus empleados entre las 1000 estudiadas ∼ B(1000, 0.245).
Como n es grande emplearemos la aproximación normal para calcular P (X ≥ 260),
 
X − 1000 × 0.245 259 − 1000 × 0.245
P (X ≥ 260) = 1 − P (X ≤ 259) = 1 − P √ ≤√ '
1000 × 0.245 × 0.755 1000 × 0.245 × 0.755
' 1 − Φ(1.03) = 1 − 0.8485 = 0.1515.

7 Problemas
1. Sea X una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2 y 3 y de la que se conoce:
1 1
P [X < 1] = , P [1 ≤ X ≤ 2] = ,
4 2
3 11
P [0.5 < X ≤ 3] = , E[X] = .
4 8
Determina la función de distribución de X. Calcula la esperanza, la varianza y la desviación tı́pica.

2. Una variable aleatoria X viene dada por la ley de probabilidad:

X 2 4 7
P [X = x] 0.5 0.2 0.3
Halla la función de distribución y representarla gráficamente. Calcula P [X ≥ 2|X< 4 ], la esperanza,
la varianza y la desviación tı́pica.

3. Dada la función de densidad de la variable aleatoria X:

1
f (x) = x − para 1 < x < 2,
2
halla la función de distribución. Calcula la fubción de distribución, la media, la varianza y la
desviación tı́pica. de esta variable.

4. Sea X una variable aleatoria con función de distribución:

x2
F (x) = si 0<x≤3
9
F (x) = 0 si x ≤ 0, y F (x) = 1 si x > 3.

(a) Determina su función de densidad.

(b) Calcula P [X > 2], P [1 < X ≤ 2] y P [X < 2 ó X > 2.5].

(c) Determina E(X) y V ar(X).

11
5. Un enfermo ha de tomar 3 pı́ldoras de un determinado medicamento. De las doce pı́ldoras que
contiene el envase, cuatro están en malas condiciones.

(a) Calcula la probabilidad de que tome sólo una buena.

(b) Calcula la probabilidad de que al menos una esté en malas condiciones.

(c) ¿Cuál es el número esperado de pı́ldoras en buenas condiciones tomadas por el enfermo ?

6. Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial. Dados x > 0 y t > 0, demuestra que
P [X > t + x|X>t ] = P [X > x].

7. Consideremos un equipo de radar cuya ley de tiempo de fallo sea exponencial. Si los radares de
1
este tipo tienen una razón de fallos λ = 1000 equipos/hora, encuéntrese la longitud de tiempo t tal
que haya una probabilidad de 0.99 de que el equipo trabaje satisfactoriamente durante un tiempo
mayor que t.

8. El servicio de asistencia técnica de una empresa distribuidora viene realizando habitualmente

reparaciones cuya duración oscila entre 1 y 3 horas. Suponiendo que no existe ninguna tendencia
especial acerca del tiempo invertido en cada reparación, y sabiendo que el servicio técnico cobra un
precio de 20 euros por hora de trabajo más una cantidad fija de 10 euros por reparación, en concepto
de transporte,

(a) ¿Cuál es la probabilidad de facturar en una reparación una cantidad superior a 36 euros?

(b) ¿Qué ingreso se espera obtener en una reparación? ¿Cuál es la probabilidad de superar, en una
reparación, dicho ingreso medio?

(c) ¿Cuánto tiempo habrá que emplear como mı́nimo en una reparación para que la factura co-
rrespondiente sea superada en el 80% de las reparaciones?

9. Se sabe que las retribuciones percibidas por una compañı́a naviera se distribuyen normalmente.
Se conoce por las relaciones de seguros sociales que el 82% de las retribuciones son superiores a 36000
euros y el 10.20% inferiores a 6640 euros, ¿qué proporción de las retribuciones son superiores a 15000
euros?

10. El peso en toneladas de los rollos de acero fabricados en una planta se distribuye según una ley
normal de parámetros µ = 5.5, σ = 0.6. En una fábrica se embalan 10 rollos de acero por caja y
se distribuyen por lotes de 50 cajas.

(a) Calcula la probabilidad de que en una caja haya 2 o más rollos de acero de menos de 4.5
toneladas. A estas cajas se les dice que son de tipo B.

(b) Calcula la probabilidad de que en un lote de 50 cajas aparezcan 3 cajas tipo B.

12
11. El tiempo de vida en años de un dispositivo electrónico, T , sigue sigue una distribución normal,
de la que se conoce:
P [T < 9] = 0.879; P [T < 2.32] = 0.015

Calcula

(a) µ y σ,

(b) la probabilidad de que el tiempo de vida de un dispositivo electrónico sea inferior a dos años,

(c) la probabilidad de que entre 1000 dispositivos electrónicos elegidos al azar al menos 60 duren
más de 3 años.

12. La altura X de los individuos adultos de cierta especie es una variable aleatoria que se distribuye
según una ley normal, de la que se sabe

P (X ≤ 1) = 0.0228, P (X > 2) = 0.8413.

(a) Determine la media y la varianza de X.

(b) Calcule P (1.5 < X < 4.5).

(c) Un individuo se considera bajito si su altura es menor que 1. Si se seleccionan 5 individuos de

la población, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean bajitos?

(d) En un grupo de 10 individuos hay 2 que son bajitos. Si se seleccionan 3 individuos de este
grupo, ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos sea bajito?

13. Sean X e Y variables aleatorias independientes, que representan la altura, en cm., de hombres
y mujeres, respectivamente, de cierta población, de la que se sabe que se distribuyen según leyes
normales de igual varianza y que la media de los hombres es mayor que la de las mujeres en 10 cm.
La probabilidad de que un hombre elegido al azar mida menos de 190 cm. es de 0.67 y la probabilidad
de que un hombre sea más alto que una mujer es 0.883.

(a) Determina los parámetros de las distribuciones.

(b) Se eligen diez parejas al azar. Determina el número esperado de parejas en las que el hombre
es más bajo que la mujer.

14. En cierto proceso de producción se fabrica un tipo de piezas que constan de dos componentes:
C1, C2, de las que se sabe que sus longitudes son v.a. N (µ, σ 2 ) y N (µ, 3σ 2 ), respectivamente. La
experiencia indica que la probabilidad de que la suma de las longitudes sea mayor que 2 es de 0.5 y
que la probabilidad de que la longitud de C1 sea menor que 0.75 es de 0.4013. Una pieza producida
se considera apta para su comercialización si las longitudes de sus componentes difieren a lo sumo en
una unidad. Determina la probabilidad de que entre 5 piezas producidas, al menos dos sean aptas
para la comercialización.

13
15. En un banco, la probabilidad de recibir un cheque sin fondos es del 15%. Si durante una semana
se espera recibir 2000 cheques, hállense las probabilidades de los siguientes sucesos:

(a) Que haya como máximo 275 cheques sin fondos.

(b) Que el número de cheques sin fondos esté comprendido entre 260 y 400.

(c) Que los cheques sin fondos recibidos sean más de 350.

16. En un taller se ha comprobado que la cantidad de combustible que necesita una grúa en cada
servicio sigue una ley exponencial

f (x) = ce−cx , si x ≥ 0

donde c es un parámetro conocido por el taller.

(a) Calcula la probabilidad de que dicha variable tome un valor superior a su media (esperanza).

(b) Cada 10 salidas se controla la grúa, y si el número de veces que gasta más del valor esperado
es superior a 5, la grúa debe pasar por revisión. Calcula la probabilidad de que esto ocurra.

17. El tiempo de servicio en una ventanilla es una variable aleatoria con distribución exponencial.
Un cliente se considera satisfecho si su tiempo de servicio es inferior a 2. Se sabe que el 95% de los
clientes están satisfechos.

(a) Calcula el tiempo medio de servicio.

(b) Si se escogen al azar 60 clientes, calcula la probabilidad de encontrar menos de 4 clientes

insatisfechos.

14
A REAS BAJO LA DISTRIBUCIO N DE PROBABILIDAD NORMAL ESTA NDAR, N(0, 1)

z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

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