uponga que Gloria produce dos tipos de leche en tarro: gloria UHT, gloria cero.

Cuando una persona ha comprado gloria UHT hay una probabilidad de 90% de que
siga comprándola la siguiente vez. Si una persona compró gloria cero hay un 80% de
probabilidad de que repita la siguiente vez. Se pide:
Forme la matriz de transición
Forme el diagrama de transición
Si una persona actualmente es comprador de gloria cero, ¿Cuál es la probabilidad de
que compre gloria UHT pasadas dos compras a partir de hoy?
Si en la actualidad una persona es comprador de gloria UHT. ¿Cuál es la probabilidad
de que compre gloria UHT pasadas tres compras a partir de ahora?

GUHT GO
GUHT 0.9 0.1 0.9 0.1
=
GO 0.2 0.8 * 0.2 0.8

0,9 * 0,9 + 01 * 0,2 0,9 * 0,1 + 0,1 * 0,8

0,2 * 0,9 + 0,8 * 0,2 0,2 * 0,1 + 0,8 * 0,8

GUHT 0.83 0.17 0.9 0.1

=
GO 0.34 0.66 * 0.2 0.8

0,83 * 0,9 + 0,17 * 0,2 0,83 * 0,1 + 0,17 * 0,8

0,34 * 0,9 + 0,66 * 0,2 0,34 * 0,1 + 0,66 * 0,8

GUHT 0.781 0.219 0.9 0.1

=
GO 0.438 0.562 * 0.2 0.8

0,781 * 0,9 + 0,219 * 0,2 0,781 * 0,1 + 0,219 * 0,8

0,438 * 0,9 + 0,562 * 0,2 0,438 * 0,1 + 0,562 * 0,8

0,1

0,9 GUHT G
0,8
O
0,2
 gloria cero.
d de 90% de que
ro hay un 80% de

a probabilidad de

es la probabilidad

P1
0.83 0.17
0.34 0.66

nnb

P2
0.781 0.219
0.438 0.562

P3
0.748 0.253
0.507 0.493
 El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20%
de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes
siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al
mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron el
producto el primer mes.
¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses?

Del 100% de clientes que compra en un mes un

Compran el producto el 20% no compra el mes siguiente, o sea
0.8 producto
0 el 80% lo sigue comprando el siguiente mes.

0.2 0.30
0

No nompran Del 100% de clientes que quienes no lo compran en

el producto un mes, solo el 30% lo adquieren el mes siguiente. O
0.7 sea el 70% no lo compran el siguiente mes
0

Calculo: Con esta informacion construimos la matriz 2 x2.𝑃^((0))

Represanta la situacion

0.8 0.2
𝑃^((0))=
0.3 0.7

Inicial

0.8 0.2
(C, N) =(100 900) = (350,650)
0.3 0.7

El primer mes compraran C = 350 y no comprarán N =650

0.8 0.2 0.8 0.2 0.7 0.3

𝑃^((2)) = =
0.3 0.7 0.3 0.7 0.45 0.55
 0.7 0.3
(C, N) =(100 900) = (475,525)
0.45 0.55

El segundo mes compraran C = 475 y no comprarán N = 525

 fábrica estima que el 20%
o comprará el mes
pren un mes lo adquirirá al
uos, 100 compraron el
o de dos meses?

mes un
ente, o sea
mes.

compran en
s siguiente. O
mes

la situacion
 En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman
uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete
diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador
comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no
fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un
paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y
un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que
fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el
tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos
individuos habrá de cada clase el próximo mes?

SOLUCIÓN

Fuman 1 0
0.80 menos de 1
cajetilla diaria
0.05

0.10
0.93
0.10 0.10 no fuman

0.02

fuman mas de 0.05

0.80 una cajetilla
diaria

0 1 2

0 0.93 0.05 0.02

𝑃^((1))= 1 0.10 0.80 0.10
2 0.05 0.10 0.85

NF = No fuman
FC = fuman uno o menos de un paquete diarios
FCC = fuman mas de un paquete diario

5000 25000 2500

0.93 0.05 0.02
(NF, FC, FCC) = (5000 2500 2500) 0.10 0.80 0.10 = (5025, 2500, 2475)
0.05 0.10 0.80
Despues de un mes habrán NF = 5025, FC = 2500, FCC =2475
En Perú existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son Claro,
Bitel y Movistar (estados). Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el
mercado actual son para Claro 0.4 para Bitel
0.25 y para Movistar 0.35. (Estado inicial). Se tiene la siguiente información un
usuario actualmente de Claro tiene una probabilidad de permanecer en Claro de
0.60, de pasar a Bitel 0.2 y de pasarse a Movistar de 0.2; si en la actualidad el
usuario es cliente de Bitel tiene una probabilidad de mantenerse en Bitel del 0.5 de
que esta persona se cambie a Claro 0.3 y que se pase a Movistar de 0.2; si el usuario
es cliente en la actualidad de Movistar la probabilidad que permanezca en
Movistar es de 0.4 de que se cambie a Claro de 0.3 y a Bitel de 0.3.
Hallar la probabilidad de que un usuario se permanezca en la misma operadora.

SOLUCIÓN

CLARO BITEL MOVISTAR

E1 CLARO 0.6 0.2 0.2
E2 BITEL 0.3 0.5 0.2
E3 MOVISTAR 0.3 0.3 0.4

La suma de la sprobabilidades de cada estado en este caso cada operador debe ser iguales a 1

Po = (0.4 0.25 0.35) xx Estado inicial

0.6 0.2 0.2

P1 (0.4 0.25 0.35) 0.3 0.5 0.2 = (0.42 0.31 0.27)
0.3 0.3 0.4

0.6 0.2 0.2

P2 (0.42 0.31 0.27) 0.3 0.5 0.2 = (0.426 0.32 0.254)
0.3 0.3 0.4

0.6 0.2 0.2

P3 (0.426 0.32 0.254) 0.3 0.5 0.2 = (0.4278 0.3214 0.2508)
0.3 0.3 0.4

El usuario de la operador peruana Claro tiene mas probilñidades de quedarse con su mismo operador
uales a 1

0.3214 0.2508)

mismo operador
 Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para
analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas
distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la
siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de
una marca a otra cada

Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y

30%, respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado
de cada marca en dos meses más?.

1 2 3
1 0.8 0.1 0.1
2 0.03 0.95 0.02
3 0.2 0.05 0.75

0.95
0.1

0.8 1 2
0.03

0.1
0.02
0.05
0.2

1
0.75

a) Dento de un meses

0.8 0.1 0.1

(45% 25% 30%) 0.03 0.95 0.02 = (42.75% 29.75% 27.5%)
0.2 0.05 0.75

a) Dento de dos meses

 0.8 0.1 0.1 0.8 0.1 0.1
(45% 25% 30%) 0.03 0.95 0.02 0.03 0.95 0.02
0.2 0.05 0.75 0.2 0.05 0.75

Se conclute que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dis meses ah cambiado de un 45% a un
40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 25% a un 25.50% para las marcas 1.2 y 3 respectivamente
 = (40.59% 33.91% 27.50%)

s ah cambiado de un 45% a un
respectivamente
 En una Unidad de Cuidados Intensivos en un determinado hospital, cada paciente es
clasificado de acuerdo a un estado crítico, serio o estable. Estas clasificaciones son
actualizadas cada mañana por un médico internista, de acuerdo a la evaluación
experimentada por el paciente. Las probabilidades con las cuales cada paciente se
mueve de un estado a otro se resumen en la tabla que sigue:
 

Critico Serio Estable

Critico 0.6 0.3 0.1
Serio 0.4 0.4 0.2
Estable 0.1 0.4 0.5

¿Cuál es la probabilidad que un paciente en estado crítico un día Jueves esté estable el día Sábado?.

sea la variable aleatoria que indica el estado que se encuentra un paciente cualquiera en el hospital en el dí
Los valores posibles para dicha variable son C, S y E, representando los estados crítico, serio y estable,
respectivamente. Un grafo que representa dicho proceso estocástico dada la tabla anterior es:

0.6 0.3
0.4
C S
0.04

0.1 0.04
0.1 0.02

E
0.5

La probabilidad de que un paciente esté en estado crítico el día Jueves y que el día Sábado esté estable, esta dad
, es decir, la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas (días).

= 0.3 * 0.2 + 0.1 * 0.5 +0.6 * 0.1 = 0.17

Notar que de forma equivalente se pueden utilizar las ecuaciones matriciales 

0.6 0.4 0.1 1 0.6

= 0.3 0.4 0.4 0 = 0.3
0.1 0.2 0.5 0 0.1

0.6 0.4 0.1 0.6 0.49

= 0.3 0.4 0.4 0.3 = 0.34
0.1 0.2 0.5 0.1 0.17

Se comprueba que la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas es de un 17

¿Cuál es la probabilidad que un paciente que está en estado estable el Lunes experimente alguna complicación

En este caso cambia la distribución inicial respecto al escenario anterior (ahora el paciente está en estado estab
nuestro interés analizar qué sucede al cabo de 2 etapas.

0.6 0.4 0.1 0 0.1

= 0.3 0.4 0.4 0 = 0.4
0.1 0.2 0.5 1 0.5

0.6 0.4 0.1 0.1 0.27

= 0.3 0.4 0.4 0.4 = 0.39
0.1 0.2 0.5 0.5 0.34

Con color verde se marca la probabilidad de que comenzando en un estado estable al cabo de 2 días un pacien
suma de dichas probabilidades es un 66% que da respuesta a la interrogante anterior.
stable el día Sábado?.

cualquiera en el hospital en el día n.

estados crítico, serio y estable,
o dada la tabla anterior es:

día Sábado esté estable, esta dado por:

e 2 etapas (días).
e al cabo de 2 etapas es de un 17%.

xperimente alguna complicación y no esté estable nuevamente el Miércoles?

a el paciente está en estado estable), no obstante, también resulta de

table al cabo de 2 días un paciente se encuentre en estado crítico o serio. La

nterior.
 Un estudiante de ingeniería de la UPN, adquiere una computadora nueva
cada dos años. El estudiante puede elegir de entre tres modelos: M1, M2,
y M3. Si el modelo actual es M1, la siguiente computadora puede se M2
con probabilidad 0.2, o M3 con probabilidad 0.15. Si el modelo actual es
M2, las probabilidades de cambiar a M1 y M3 son 0.6 y 0.25,
respectivamente. Pero si el modelo actual es M3, entonces la
probabilidad de comprar los modelos M1 y M2 son 0.5 y 0.1,
respectivamente.
Determina la probabilidad de que el estudiante compre el modelo actual
en 4 años.

0.15 0.4
0.2 0.25
0.65
M1 M2 M3
0.6 0.01

0.5

M1 M2 M3
M1 0.65 0.2 0.15
M2 0.6 0.15 0.25
M3 0.5 0.1 0.4

0.65 0.2 0.15

M 0.6 0.15 0.25
0.5 0.1 0.4

0.618 0.177 0.208

M2 0.605 0.168 0.228
0.585 0.155 0.26

0.609 0.170 0.222

M4 0.608 0.169 0.223
0.607 0.169 0.224
La probabilidad es de (0.608, 0.169, 0223)
 En un pueblito de la sierra peruana el clima puede cambiar de un día
para otro. Considere solo dos estado del tiempo: clima seco o húmedo.
La probabilidad de tener un clima seco al día siguiente es de 0.8 si el día
actual es seco, pero si el clima es húmedo la probabilidad de tener un
clima seco es de 0.6. Suponga que dicho valores no cambian en el
tiempo, se pide determinar:
La matriz de transición
El diagrama de transición
La probabilidad de estado del sistema.

MATRIZ DE TRANSICIONES:
0 1
P 0 0.8 0.2 0 = clima seco
donde:
1 0.6 0.4 1 = clima humedo

REPRESENTACION GRAFICA:

0.2

1 0.4
0.8 0

0.6

PROBABILIAD DE ESTADO DE SISTEMA:

0.8 0.2 0.8 0.2 0.76 0.24

x =
0.6 0.4 0.6 0.4 0.72 0.28

0.8*0.8+0.2*0.6 0.8*0.2+0.2*0.4
0.6*0.8+0.4*0.6 0.6*0.2+0.4*0.4

P0
0.76 0.24 0.8 0.2 0.752 0.248
x =
0.72 0.28 0.6 0.4 0.744 0.256
0.76*0.8+0.24*0.6 0.76*0.2+0.24*0.4
0.72*0.8+0.28*0.6 0.72*0.2+0.28*0.4

P1
0.752 0.248 x 0.8 0.2 = 0.750 0.249
0.744 0.256 0.6 0.4 0.748 0.251

0.752*0.8+0.248*0.6 0.752*0.2+0.248*0.4
0.744*0.8+0.256*0.6 0.744*0.2+0.256*0.4

RESPUESTA
La probabiliad de llegar a un dia seco es de 0.75
La probabiliad de llegar a un dia húmedo es de 0.25
= clima seco
= clima humedo

MATRIZ DE TRANCISION DE 2X2 SE PLANTEA LAS SIGUIENTES ECUACIONES

C0 = Probabiliad de llegar a un dia seco

c1 = Probabilaid de llegar a un dia húmedo

C0 = 0.8 C0 + 0.6 C1
C1 = 0.2 C0 + 0.4 C1
1 = C0 + C1
Despejamos:

C0 = 1 - C1

C0 = 0.8 C0 + 0.6 C1
1 - C1 = 0.8(1 - C1) + 0.6 C1
1 - C1 = 0.8 - 0.8 C1 + 0.6 C1
0.8 C1 - 0.6 C1 - C1 = 0.8 - 1
C1 = 0.2/0.8
C1 = 0.25

C0 = 1 - C1
C0 = 1 - 0.25
C0 = 0.75