U10 Prob PDF
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*v*rr?*
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral, cuyos elementos tienen
una característica en común. Se simboliza con letras mayúsculas.
De acuerdo con la cantidad de puntos muestrales los eventos se pueden clasificar en
eventos simples, compuestos, imposibles, seguros, mutuamente excluyentes.
Evento simple o elemental: es aquel que contiene un solo punto muestral.
Evento compuesto: es evento con más de un punto muestral.
Evento imposible: es aquel que no contiene ningún punto muestral.
Evento seguro: es aquel que contiene los mismos puntos del espacio muestral S.
--= l.!rSenlillani
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...::..a-.--::,.:-..;....-"*
,, 5ant,il.:n¿ IPF
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T*emEems d* *mst?**
Existen diferentes técnicas de conteo que a1'udan a establecer el número de puntos
muestrales en un experimento. Dentro de las más conocidas están: el principio de
multiplicación, la permutación y la combinación. Estas técnicas se ven influencia-
das por dos aspectos: el orden y la repetición.
Prineipi* #e rnulfipllc*eimn
Esta técnica de conteo permite encontrar el número de elementos del espacio mues-
tral en aquellos experimentos aleatorios en los cuales existe el orden y la repetición.
Dado un experimento aleatorio con una población de -lú elementos y una muestra de
n elementos, el número de formas distintas de resuitar el experimento es N'.
En este caso, para determinar cuáles son los 36 puntos muestrales, se puede utilizar
un diagrama de árbol, en el cual se escriben en forma ramifrcada los elementos de
cada lanzamiento, como se muestra a continuación:
Primer lanzamlento
Segundo lanz¿rmiento
Primer lanzamiento 6
,/¡ lii-,
r'/// / \! r\'\_.
,/ ! 1, '! '-.
¡
El principio de multiplicación también se aplica para aquellos casos en los cuales
se debe obtener una muestra considerando poblaciones diferentes. En este caso, si se
tienen ¡lt, ¡/2, . . ., 4, poblaciones distintas y se debe tomar una muestra con elemen- En la calcLtladora ¿s ,.¡ ¿, l
tos de cada una de ellas, el número de elementos del espacio muestral es: y hallan permutac t'-: .
,,C,
Permulación
Una permutación es una operación que se define para dos números naturales de tal
forma que "la permutación de n en Al' se simboliza se calcula:
,P*y
,'
,r,_ N:
6_r)!
Dondely'! :ly'X (¡/- 1) X (N-2)x... X 3 x2x lyademás0! :1.
La permutación se luttliza cuando se quiere calcular el número de elementos del
espacio muestral de un experimento aleatorio, en el cual se considera que existe el
orden en la muestra pero, no es posible repetir ningún elemento de la población en
su conformación.
e ornbinoc¡ones
Una combinatoria es una operación que se define para dos números naturales de tal
. s¿nritt¿na
I
l!
t
r
9:i S,j*:r:*¡,**
seleccionan cuatro estudiantes de artes: Mario (M), Paola
(P), Luis (I)
{3-]+
*=" t"
y Rocío (R) para otorgar tres becas en el exterior. Una beca por persona.
los tres estu-
lcoánto, grupos distintos es posible formar para seleccionar
diantes? Escribir todos los puntos muestrales'
fi}
**-"" E¡ una actividad
recreativa se requiere acomodar, en una hilera de l1 sillas,
u 6 hombres y 5 mujeres, de tal manera que las mujeres ocupen los lugares
pares. ¿Cuánias formas distintas hay para acomodar a las once personas?
Para solucionar esta situación se utiliza el principio de multiplicación,
ya que
de sentar a
después de sentar a un hombre hay que sentar a una mujer y después
el número
una muler hay que sentar a un hombre, y así sucesivamente. Entonces,
total de formas diferentes de sentarlos está dado por:
#S : 6X5X5X4X 4x 3x 3x 2x 2x I x I : 86'400
fft
** Unu empresa realiza una fiesta de fin de año y va a donar un televisor, una
,r"rr"ru y una grabadora entre sus 80 trabajadores. ¿De cuántas maneras dis-
tintas puedenrepartirse los tres electrodomésticos si solo se dará un premio
por persona?
En esta situación importa el orden pero no hay repetición porque cada posición
del trabajador indici un electrodoméstico; además una persona no puede obte-
ner más áe un electrodoméstico. Por tanto, para calcular el número de posibili-
dades se ulilizauna permutación lü
: 80 y n : 3, asi"
801
tP,: tPr: (80 - 3)l
801
77t
771 .78 . 79 . 80 :
492.960
a7t
entre los
Por tanto, hay 492.960 maneras de repartir los tres electrodomésticos
80 trabajadores.
PqP lr
*"-t Santrllana
t.
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.- códE
==::::=:::-=
Estúnd*r:ptnsrsnitnioaiealoriay¡:;enssmienia,.,a:ií¡:ia::t, =:
-=={.***-=: ^á
==::*-._._-
I T#Fé
--:l
* frauUt"cer cuántos y cuáles números de tres cifras se pueden formar con los
divisores del número 6. No se puede repetir divisores.
El número 6 tiene 4 divisores que son 1,2,3 y 6. Como no se puede repetir
divisor y se están formando números de tres cifras, se establece la siguiente per-
mutación, con N : 4y n: 3.
4! - 4-x3x2xl
nPr:L-
(4-3)t l! r -"*^'
Se pueden formar 24 números distintos, los cuales se muestran en el siguiente
diagrama de árbol.
wJ
l 1 - -.-*- g
..q
, '' .v7
2- --- =3 .-.1---'r¡* 6
I -.* 1
.=
6 .-."-'
d"J
G t" una reunión se sientan 7 personas alrededor de una mesa. ¿De cuántas
maneras diferentes se pueden ubicar?
En una permutación circular no existe ni primer ni último elemento, por esta
razón se disminuye en 1. En este caso, se ubica una persona en el punto de re-
ferencia y se permuta a las 6 personas restantes: como se muestra en la figura.
(n - I)t: (7
/l
- t)l Punto de referencia
-ol
:6'5'4'3.2,1
:720
Por tanto, se pueden ubicar de720 maneras diferentes.
-rosantittana
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"f*cíI iem s cl e e*p ¡":t**
ffi D"r"r-ina si en los siguientes experimentos hay ffi Explica cuántos resultados se obtienen al lanzar un
orden y repetición. dado al aire cuatro yeces consecutivas.
Blanco Blanco
la letra I se pueden formar?
¿ g l+ i r¡n¡ rlon¿
I
:ad-rd*rd*i#sFiq+
ñ.dtFiEea4s;iiE=_::==-:::=:;:!qi#Eif,t4:idtítsri
,".,."-f.:-1:":",f.:,:Í-::i::ji::::":ffY::::x::i::i':11:T-.--#"Í.a . ,,,',,
.. ..I .i*-.- ffi
--É
Cólculo de probcbilidades
En cualquier experimento aleatorio no existe la certeza sobre Ia ocurrencia de algún
evento específico. Una forma de medir la probabilidad de q.u.e un evento suceda es
asignar un número real entre 0 y 1.
Si se está seguro de la ocurrencia de un evento, se afi.rma que su probabilidad es 1 (o
el 100%), pero al contrario, si el evento no tiene posibilidad de que ocurra, entonces
su probabilidad es cero.
#(f)
Prf) - 4(s )
Donde, #(0 es el de elementos del evento Fy #(5) es el número de elementos deL espacio
m lrestral.
S :
{1, 2, 3, 4,5, 6} y el evento E
:
{2,3, 5}, luego, #S 6 y #E : : 3, con 1o cual la
probabilidad de obtener un número primo allanzar un dado es:
p(E\: #E - l: o,s
#s6
Es decir, hay un 50o/o de posibilidad de obtener un número primo allanzar un dado.
Las técnicas de conteo se usan para establecer el número de elementos del espacio
muestral en un experimento y en un evento, por tanto, es posible calcular la proba-
bilidad en situaciones que involucran dichas técnicas.
Por ejemplo, en el país las placas de las motos tienen 3 letras y 2 dígitos. Se quiere
determinar la probabibilidad de que una placa inicie con una vocal.
Para poder encontrar 1a probabilidad primero se tiene que encontrar el número de
elementos del espacio S y el número de elementos de este evento.
Como se pueden repetir letras y dígitos, se utiliza el principio de multiplicación. Se
tiene que:
e
e Como hay 26letras 1' 10 dígitos, entonces la cantidad de elementos del espacio mues-
tral está dado por:
#S : 26 x 26 x 26 x 10 X 10 : 1.757.600
Sea E el evento "placa inicia con una vocal". Como las vocales son 5, se tiene que,
#E : 5 x 26 x 26 x l0 X 10 : 338.000 placas.
.¡,Santitt¿na
lZ9
Pnmh*biñEdmd y tffibE*s de e*r:?ing*nei*
Cuando se trabaja con tablas de contingencia es posible determinar Ia probabilidad
de un evento teniendo como base la frecuencia relatlafr.
colegio A B
Materia
. colegio colegio Total
-'-.
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4s
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Matemáticas 40 - JO-t- 0
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ciencias
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# experimento consiste enlanzar una moneda l5 Soluciono emos
""
cuatro veces.
a. Encuentra el espacio muestral S por medio de ,ffi U" una urna hay 4 bolas verdes,
un diagrama de árbol. 2 rojas y 4 azu.les. Calcula la pro- &'*hJ t
Determina el número de elementos del espacio babilidad de que al extraer una :r
muestral S. bola al azar, salga roja.
c. Halla la probabilidad de los siguientes eventos:
;#;:
A: obtener dos caras. Adtiana está organizando un bingo y marca los
W
B: obtener máximo un sello. cartones con dos letras y tres números.
C: no obtener sello.
a. Determina la cantidad de cartones distintos
D: obtener por io menos una cara y un sello.
que puede elaborar Adriana.
Encuentra la probabilidad de que los cartones
# Se lanza un dado dos veces y se resta el resultado
contengan solo números pares.
de sus caras.
c. Halla la probabilidad de que los cartones con-
a. Determina los puntos muestrales del experi- tengan una yocal y un número primo.
mento aleatorio.
b. Encuentra la probabilidad de los siguientes ffi Cotr los dígitos impares se forman numeros de
eventos: dos cifras (con repetición, por etemplo. se acepta
M: obtener un número mayor que 3. el número 33).
-A/: obtener un número menor que cero.
a. Determina cuántos números distintos se tor-
P: obtener un número par.
man.
Q: obtener un número primo. b. Halla el espacio muestrai con un diagrama de
R: obtener un divisor de 30.
árbol.
c. Halla la probabilidad de obtener un número
$ Rosita tiene que escoger una camisa y un pantalón.
múltiplo de s.
Si tiene una camisa roja, una camisa negra, una
camisa azul, un pantalón negro y un pantalón azul,
d. Haila la probabilidad de que el numero que se
obtenga empiece con un número primo.
calcula la probabilidad de que escoja:
r#l*a
a. La camisa azul. ffi Una fábrica de ropa está organizada por depen-
b. La camisa roja. dencias: diseño, manufactura y confección. La
c. El pantalón azul. siguiente tabla indica el número de empleados en
d. La camisa roja y el pantalón negro. cada dependencia, clasificados por género.
e. Camisa negra y pantalón negro.
; Ill"l-
!9,*9': - r-olul
?E I escribir números de tres cifras con los dígitos Disero 4 \ o0
pares, cual es 1a probabilidad de que:
M¿nu'¿cr¡rd B\ 100 8
a. El número empiece con 4.
b. E1 nún-iero contenga un múltiplo de 6.
,Confeccion , rOO i :O i l:l
c. El núnero termine en 6. To.¿ / 30 1,1.
... --,-,,,-,-,. :--,
----,-.-.1-.....-.''-,--,i_
d. El número tenga el4 o el B. Si se elige aleatoriamente un empleado, respor-rde:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea nujer?
fu"ff Entre Lina, Paola, Sandra v Héctor se quiere esco-
ger dos estudiantes para que asistan a un congreso.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea algr,rien que
trabaje en manufactura?
Indica cuál es la probabilidad de que:
c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre r.
a. Héctor sea escogido. trabaje como diseñador?
b. Paola o Lina sean e1 dúo escogido. d. ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje como
c. Sandra no asista. manufacturera, si es mujer?
:,:l¡r:t!!l¿n; !Í.rj;
¡
É=tadis?ie * # ut rector de dos colegios decide comparar el nú-
mero de estudiantes que llegan tarde en cada cole-
Fl* En cada situación identifica la variable de estudio gio. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
r- clasifícala en cualitativa nominal, cualitativa or-
dinal, cuantitativa discreta o cuantitativa continua. Coleoio 2-.,1
:, Hombre Mujer
":j#"É E" un jardín infantilse encuestó a 280 niños para
saber qué regalos prefieren para Navidad. Los re-
sultados se representan en el siguiente diagrama
circular:
ropa
música
LZ,J70
259o Patines
u
Soltero Separado Casado Unión libre
¡
Fn*b*bEBid*d ffi n"t.r*ina cuántos números de tres cifras, re-
petidas o no repetidas, pueden formarse con los
,$ En.n.ntra el espacio muestral en cada caso: dígitos pares 2, 4, 6, 8, 0.
a. Sacar dos tarjetas de una bolsa donde hay cua- Luego, halla las siguientes probabilidades:
tro tarjetas marcadas cada una con ios núme- a. Probabilidad de obtener 248.
ros 2, 5, 7, 10. b. Probabilidad de obtener tres cifras iguales.
b. Lanzar dos dados alavez. c. Probabilidad de obtener un número par.
c. Lanzar un dado y una moneda al tiempo. d. Probabilidad de obtener un número primo.
d. Establecer los tres primeros lugares en una e. Probabilidad de obtener un número par o un
competencia. múltiplo de 3.
€É3 t" un restaurante se ofrecen combos conforma- €ffi t. enumeraron nueve fichas con los números del 1
dos por una comida y una bebida, que los clientes al 9, se colocaron en un recipiente y se mezclaron:
pueden armar a su gusto. Los productos que se
ofrecen son:
. cornido'.hamburgr.resa, pizzay perro caliente. 'a
. bebido: jugo, lirnonada, agua y gaseosa.
'',1,)"á'.=,
" .:{4 J.-g'tt''' :
-:' '
$0
rer. prrncipe r esclar o.
a. Escribe 1as distintas posibilidades para organi-
zar los papeles para la interpretación.
b. Calcula la probabilidad de que Mario sea el rey.
c. Determina la probabilidad de que Pedro sea el
príncipe v que Mario sea el rey. a. Probabilidad de obtener dos tres.
l b. Probabilidad de obtener dos unos.
€é:E Determina cuántos números de tres cifras, sin c. Probabilidad de obtener dos números impares.
repetir números, se pueden formar con los dígitos d. Probabilidad de obtener un número par y un
impares 1,3,5,7,9. número primo.
!¿ntrt1,:r,¿ iIQ
t**
I
Las técnicas de conteo son:
Principio de multiplicación: importa el orden
y puede haber repetición. Se calcula como
Es la ciencia que se encarga de re-
#5: A/, X
X ,ry3...
,ry2
coger, organizar, representar, ana-
lizar y obLer-er conclusiones ¿
Permutación: importa el orden pero no hay
partir de datos obtenidos en dife- cono: P
rentes estud ios estad isticos.
repeLlcion Se c¿lcul¿ ---N'- n)!
(l\,1
. Nombre Edad
i
; t.01 - 1,93 + 1,98 - 2,13 + 1,88 + 1,85 + 2,t3+2,13+2,03+2,06 +2,01 + 2,03+2,06 :2,017
m
13
fi?ref"t-!slsil
ffi Conr,tlta cuáles son los equipos de baloncesto que ffi l.t"r-ina la media y la mediana del salario de 1os
juegan en la NBA. jugadores. Luego, saca una conclusión
,ffi
ffi Realiza una representación de los datos suminis-
trados en la tabla.
;#*
ffi Explica Ia afirmación "Es una de las franquicias
más valiosas de baloncesto en Estados Unidos'i ffi Conrolta sobre la plantilla de otro equipo de la NBA
y compárala con la plantilla de los Angeles Lakers.
',s.ntrli:na
l3*1