U7 Estadistica y Probabilidad 10
U7 Estadistica y Probabilidad 10
U7 Estadistica y Probabilidad 10
H ffin#fumfuEHÉ#**
T*rry:*s #* E* a*r:É#*d
Estad ística
Probabilidad
fueron malos, Qué le vamos a hacer, señor, Veinte
Lc e*v*rnü hombres y diez mujeres respondieron que no les
gustaban los muñecos de barro, cuatro mujeres
Buenas tardes, señor Algor, Buenas tardes, señor'
dijeron que quizá los compraran si fueran más
Supongo que imagrna por qué motivo le estoy grandes, tres podrían comprarlos si fuesen más
telefoneanclo hoy, Supone bien, señor, dígame, pequeños, de los clnco hombres que quedaban,
Tengo ante mí los resultados y las conclustones del
cuatro dijeron que ya no estaban en edad de lugar
sondeo acerca de sus articulos, [. . ]Y esos resultados
y otro protestÓ por el hecho de que tres de las
cuáles son, señor, preguntó Cipriano Algor, Lamento
figurillas representaban extranjeros, para colmo
informarle que no fueron tan buenos como exóticos, y en cuanto a las ocho mujeres que todavía
desearíamos, Si es así nadie lo lamentará más que
faltan por mencionar, dos se declararon alérgicas al
yo,Temo que su participaciÓn en la vida de nuestro
barro, cuatro tenían malos recuerdos de esta clase
Centro ha llegado al final, [...]Vaya tomando nota de
de objetos, y sÓlo las dos últimas respondieron
los resultados, Dígamelos, El unlverso de los clientes
agradeciendo mucho la posibilidad que les habia
sobre el que lncidiría el sondeo quedÓ defrnido desde
sido proporcionada de decorar gratuitarnente su
el principio por la exclusiÓn de las personas que por
casa con unos muñequitos tan simpáticos, hay
edad, posiciÓn social, educaciÓn y cultura, y también
que añadir que se trata de personas de edad que
por sus hábitos conocidos de consumo, fuesen
viven solas, Me gustaria conocer los nombres y
previsible y radicalmente contrarias a la adquislción
las direcciones de esas señoras para darles las
de artÍculos de este tipo, es bueno que sepa que
gracias, dijo Cipriano Algor, Lo lamento, pero no
si tomamos esta decisiÓn, señor Algor, fue para no
estoy autorizado a revelar datos personales de los
perjudicarlo de entrada, Muchas gractas, señor,
encuestados, es una condición estricta de cualquier
Le doy un ejemplo, si hubiéramos seleccionado a
soncleo de este tipo, respetar el anonimato de las
td cincuenta jÓvenes modernos, cincuenta chicos y
chicas de nuestro tiempo, puede tener la certeza,
respuestas [...] Buenas tardes, Buenas tardes'
Tomado de lt4atemóticas I Bachtllerato España'
señor Algor, de que ninguno querría llevarse a casa
' Edltorial SantiLlana,2O0B'
uno de sus muñecos, o si se lo llevase sería para
:t3 s
usarlo en algo así como tiro al blanco, Comprendo, É-+?.?.8
FcbNceión y rnuestra
-uE
| l'Sunr'rrun,
I
Es{ándares:¡¿ .'r?r'.a i( ,o' ') -: :('i'.!:o. t',;C.a. t.. ' :.
llpas de muestreo
Muestreo aleatorio simple: es la extracción de una muestra de una población finita,
en la cual se garantiza que cada uno de los individuos de la población tenga la
:ene:
misma oportunidad de ser, incluido en dicha muestra. Se usa cuando la pobla-
dpo:
ción no está dividida en grupos con diferentes características, las cuales puedan
iales.
afectar la variable de estudio.
lbier.
:s. L¿ Muestreo certificado: consiste en Ia división previa de la población de estudio en
grupos o estratos en los cuales se considera que la variable de estudio se comporta
t-,.^
de manera distinta. En la muestra deben estar presentes individuos de todos los
1:Ud-
estratos y cada individuo solo debe pertenecer a uno de ellos.
aeno.
lie. Muestreo sistemático: se aplica cuando los elementos de la población están orde-
nados por algún código en una lista o en una base de datos. Para seleccionar la
nclu-
muestra del listado se pueden crear varias estrategias como: los múltiplos de un
i.
número, los primeros 200 inscritos, los números que terminan en cifra par, etc.,
1e las dependiendo del tamaño de la población.
lomo
¡eden
s des- Va ric bles estadísticas
rimer
¿n los li
Una vailable estadísttca es cada una de las representaciones o propiedades que pueden ti
I
L.'
Sers usceptibles de estudiar en una población o muestra. tl
t
':::,''..-.,.'.:.'.,"/l
¡ Una variable es estadística cuando es posible escribirla como una pregunta cuya
respuesta se puede tabular y clasificar, o cuando corresponde a una determinada es-
cala numérica. Edad, color, peso, sexo, nacionalidad, gustos y preferencias son ejem-
plos de algunas variables estadísticas.
Cualitativa Discreta
Los va ores que toma pertenecen Cr.rdr" * .r''r"tar.udrd * .rrd"r^"t-" -
tamaño al conjunto de los números enteros. dad de apartamentos en un conjunto residenci:
000 ha-
bitantes Los valores que toma pertenecen Velocidad de un auto, estatura de una persona,
Continua
al conjunto de los números reales temperatura ambiente, peso de un animal
.: S¿1r,::2r: I e63
Varinbies *stcdíntir*s
ffi- Chsificar lavariable "altura de una persona" según la edad como: cualitati'r-a
nominal, cualitativa ordinal, cuantitativa discreta o cuantitativa continua.
La variable es cuantitativa, puesto que la altura se puede medir en una escala nu-
mérica, tal como centímetros o metros. Así, una persona puede medir 1,75 m dc
altura. Como 1,75 pertenece al conjunto de los números reales, y no al conjuntc
de los números enteros, se tiene que la variable es cuantitativa continua.
la po-
ffi"} rdentificar en la siguiente situación
blación, el tamaño de la población (si es
finita o infinita), la muestra, la variable,
el tipo de variable y la clase de muestreo
que se podría emplear para seleccionar la
muestra.
El Ministerio de Protección Social desea determinar los índices de morta-
lidad infantil en Medellín. Para ello va a realizar un estudio del número de
casos registrados en algunos hospitales de la ciudad.
En este caso, la población está representada por los niños y las niñas de la ciudad
de Medellín. Dicha población es flnita, en cuanto se realice el estudio sobre la
cantidad de niños registrados tanto en la alcaldía, como en los hospitales de la
ciudad, en una fecha determinada. La muestra constituye los casos registrados
en algunos hospitales de la ciudad. La variable es la tasa de mortalidad infantil.
la cual es cuantitativa discreta. El tipo de muestreo que se debe aplicar para se-
leccionar la muestra es el estratificado, ya que la ciudad está divida en estratos o
zonas donde las condiciones socioeconómicas influyen en la tasa de mortalidad
infantil; de ahí que deban escoger hospitales de distintas zonas de la ciudad.
Fr
Clasifica cada una de las siguientes variables co- ffi Identifica en cada uno de los siguientes casos la
ffi población, el tamaño de la población (si es finita o
mo: cualitativa nominal, cualitativa ordinal, cuan-
titativa discreta o cuantitativa continua. infinita), la muestra, la variable y la clase de mues-
treo que se podría emplear para seleccionar Ia
a.Cantidad de libros que lee un estudiante al año.
muestra.
b. Efectos de un nuevo medicamento en el ser
r:
humano. a. En el aeropuerto se realiza una encuesta a 30 pa-
c. Cantidad de asignaturas dictadas en un colegio. sajeros de vuelos internacionales sobre la can-
E1
d. Número de asistentes a un congreso. tidad de dólares que ingresa en cada viaje a
cl¿
Colombia.
in
# D.,.r-ina si las siguientes variables pueden ser b. Una fábrica textil realiza una encuesta en Bo-
consideradas estadísticas. gotá para saber cuál es el material preferido Di
por los adolescentes para la elaboración de su
a. La opinión personal acerca de Ia conveniencia
ropa. La encuesta se realiza en algunos cole-
del TLC (Tratado de Libre Comercio) entre
gios de cada zona de la ciudad.
Colombia y Estados Unidos.
c. La alcaldía realizaun estudio sobre la cantidad
b. Los sentimientos que manifiesta una persona a
de madres solteras, para poderles otorgar un Di
otra.
auxilio de alimentación. Para esto, se acudirá a
c. La cotización del precio del barril de petróleo
los registros de los centros de salud.
en el mercado.
ffi4 i l:¡;rt,tr,,n¿
ffsfcí*d*r*s.'¡:tt.:.ijIt!(¡¡Ít n| 1:.I -\ :.r-'.,.t..,,€,tft]\ii-¡I{:Cl(}iic!
"*
Ccr*efeniz*e i*n
rtiYa
14,
d* vcnimhl*s ru*llf*ttvcs Los v¿lores acumulados solo
i nu- Caractetizar una variable es describir su comportamiento en la población teniendo riable es de tipo ordinal.
l-5
:):!r.:¡r+i¡11til:ijEljlhÉr:!5:jsP:i¡q:r¿!r¡;1r:!:;É9;!É:e5:oq:i+r,!Ásttó1111,5!:nq¡,:i¡1_ffi.ó'+¡r1r*'.!rnaY!$r¡,ild:;:5rn-_f¿ #qf is*q4r#+,.n=q#5#5¿rffi :
*€ €jm*ffi4##
Para la siguiente situación encontrar algunas características de la variable de es-
tudio a partir de la tabla de frecuencias. Luego, elaborar el diagrama circular y el
diagrama de barras.
En el tipo de vivienda familiar se pueden considerar tres posibles categorías: vivien-
da en alquiler (VA), vivienda con hipoteca (VH) o vivienda propia (VP). Se realizc
un estudio estadístico con una muestra de 4.500 familias cuyo resultado se repre-
senta de una manera cuantitativa, relacionando las familias con el tipo de vivienda.
como se ilustra en la siguiente tabla.
f
Jt t.764 n 201 0.392 39,20/o
VA 1.764
n- 4.500
-
f
J¿ __:0,213
960
0,392+0,213:0,605 2r,30/o
VH 960
n 4.500
VP r.776
f^:
'__!
rtze
0,395 0,392+0,213+0,395:1 39,50/o
n 4.500
-: 100%
Total 4.500 I
hipoteca. En este caso las características de cada una de las categorías son táciles DI
2200 VH
2000 ztY¡.l VA
1800
.9 1600 99Y¡rllti;
:ttqw'
9 1,100
VA: Vivienda en alquiler.
VP
o 1700 40%
3 rooo VH: Vivienda con hipoteca.
qI soo
600 VP: Vivienda propia.
400 VA: Vivienda en alquiler.
200
0 VH: Vivienda con hipoteca.
VA VH VP
VP: Vivienda propia.
7ññ
*-"1 l,tsanrillana
ñsfcindsres; ¡;€nsítnii:rtic a!e r,iicr!o y pe n:,r1t'itiei) io varir";cior:li
Modo
) es- La moda de una distribución de frecuencias es el valor de la variable con mayor
vel frecuencia. La moda es una de las medidas de tendencia central más usada en las
variables cualitativas, ya que al conocer cuál es la categoría con mayor frecuencia de
'ien- una variable, es posible describir de una forma general el comportamiento del grupo
de individuos.
rhzó
pre- En algunos casos, las distribuciones de la frecuencia pueden restringirse por la canti-
nda, dad de datos que determinan la moda. Así, en una distribución con una única moda
recibe el nombre de distribución unimodal, en una distribución en la que dos o más
valores alcanzan la m¿íxima frecuencia se denominan distribuciones bimodales o
multimodales, según el caso.
%:
/Vlediona
Cuando se trabaja con variables cualitativas ordinales la moda no es el único dato
estadístico que tiene sentido. Como en las variables ordinales es posible establecer
un orden entre las categorías entonces es posible encontrar la mediana.
La mediana es la característica de a distribución que ocupa la posición del centro cuando 'j
r^-.-r--,ril
los valores de la variable están ordenados, es decir, la mediana divide la distribucion de
]i
los datos en dos partes porcentua mente iguales. Se simbo iza como: X.,J j:
Para encontrar el dato central o mediana, primero se ordenan los datos de menor a
I
mayor, xt I xz
. i : *, *,
I
-.. Le
una empresa productora de cremas humectantes para el cuerpo, reparte de manera
ente, aleatoria 235 unidades del nuevo producto entre un número igual de posibles con-
r COn sumidores, después realizó una encuesta sobre el nivel de satisfacción respecto al
iciles producto. En el siguiente cuadro se muestran los resultados obtenidos.
Nivel de satisfacción Fr
i con
rilias Nada satisfecho 6 0,026 6 0026 2,6
lPer- Poco satisfecho 31 0,132 37 0,158 13,2
Bastante satisfecho 96 a 409 133 a 566 409
Muy satisfecho 90 0 383 223 0 949 38,3
¿rras
No lo ha probado 12 0,051 23s 5,1
Total 235 r00
-\,
C*rmeteriz*e !*n ci
F.r
Tcblms d* eontingeneia ni
SE
Las tablas de contingencia se emplean para registrat y analizat la relación entre dos
S€
variables.
Pr
por ejemplo, 400 niños de un colegio fueron clasificados de acuerdo con el grupo
en ei
,o.io".o.ró-ico al que pertenecen y a la pres"ncia o ausencia de algún defecto T
l
lenguaje. Los resultados fueron los siguientes:
U
Grupo socioeconómico
c(
o'F
CJ
i nrto I wtedio alto- Medio bajo Total ci
32 27 9T
u
A-
o') Lr
'b or i38 108 dr
o6 di
€ 170 135 400
rI
la variable "Defec- c(
En esta tabla de contingencia las filas representan las categorías de
"Grupo socioeco- d,
to del lenguaje" y las .álnl]1nur, a las categorías de la otra variable
que poseen d,
nómico". il ,ralor de cada casilla representa al número de individuos
o1
simultáneamente las categorías de la fila y de la columna que se crrtzan' por ejemplo, ¡)'
algún defecto del n
hay B niños cuyo nivel ,olioeconómico es alto y además presentan
ci
lenguaje.
(50,45' 135 y
Las cifras en la columna de la derecha (91 y 309) y de la fila inferior
170) reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en
la esquina I
inferior derecha es el gran total (400). Es decir, en las frecuencias marginales por E,
filas no interesa el nivei socioeconómico sino que hay 91 niños con algún
defecto del
u.
lenguaje y 309 niños que no tienen ningún defecto. Y en las frecuencias marginales
r(
poi.oin-nas no interesa si los niños poseen algún defecto de lenguaje sino,que hay
con
iO ,1ino, cuyo nivel socioeconómico es alto; 45, cuyos nivel es medio alto; 170'
nivel medio bajo y 135, con nivel bajo.
A partir de la tabla de contingencia es posible construir la tabla de contingencia
,"ütirru, realizando el cocienté entre cada número de las casillas y el gran total se
muestra a continuación:
qJ
-o
gU
liL*-
161
i
¡üm 1i.is¡ntilieña
I
Fsfdr¡d¿rrcs-"¡je-¡sí,.iil¡:titc cittr,iitrlc ¡ r:ti]tctl jt€i)t(.,¿(,, i(,tí,ai)JI
,; .'.}
€i -...**;*
:::':r :
Además, si cada valor relativo se multiplica por 100 se obtiene la tabla de contingen-
cia porcentual como se muestra en la siguiente tabla.
Grupo socioeconómico
le ios in- o Alto
añ
ies tablas u
O)-
ct) 2o/o 60/o 8o/o | 6,7 5o/o 22,750/o
sentar la qJ 4.,
oo r0,50/o 5,2,5Vo, 34,.?o'o_
_L_ 2JV2 77,25o/o
E ll,25o'o 1 42,5?o
-,_p_f% L,oeil" -"
En las tablas anteriores se puede observar que la mayoría de los niños pertenece a un
nivel socioeconómico medio bajo,42,5o/o, y que más de la mitad de los niños no pre-
:rtre dos senta deficiencia de lenguaje,77,25o/o.Por otro lado, dentro del grupo de niños que pre-
senta deficiencias en el lenguaje el grupo socioeconómico alto es el que menos casos
presenta, 2o/o, mientras que el grupo medio bajo es el que más deficiencias tiene, g%.
el grupo
:;to en el
Tablss mcngin*les
_t
Una tabla marginal es una tabla cruzada, en la cual se muestran frecuencias relativas
i
con relación ai total de cada fila o cada columna. Se extrae de una tabla de contingen-
rotal
__*-J I
9I
t-i-
ilr"%l '--Tr:.-l
.';llplo, guaje y 44,7o/o de los niños que no presentan
42
,-=;to del ninguna deficiencia, pertenecen al grupo so-
cioeconómico medio bajo. 309
-i I 1( r¡
. =.quina
--.-:s por
*lcgrcms ptrr# ichlcs ds ccntir:g*nei*
,:.¡tO del Existen diferentes representaciones para las tablas de contingencia, entre las más
.:.inales utilizadas están los diagramas de barras, donde se relacionan las dos variables con
:-,re hay rectángulos en distintas posiciones, como se muestra a continuación.
j -,1, con
Diagrama de barras para las variables defecto Diagrama de barras para las variables defecto
r .otal se
llrrl I
i ?180
I 100
i : ,:Étur
i
€ m-.{ ii ll Presente I : :;,;-]
!l
Iotal + *l Au¡rnLe ' =l
i "l Au\erte
=I
I
¡r
)r I
I I : : 'o
=-l" ; I
AI.o Vedio Vedio Baio *¿a, -*
auo
I
=1i0 rrajo
xltolrclo::i,elr¡k:r.,- ^[-r*,la;iü- 'É;j;"
,: rJ9 --l i
j
I i i i : i
i ; : tambi¿n posible construir el diagrama de barras, utiliz¿ndo úni-
-ioo i
I
En la construcción del diagrama de barras, se ubican en la
i oracomosemuesrraenerdiasrama
i
'¡l I
i::!lillT]:]1::li:':':::'1T':: .
!::::iji¿r: i
===
q.i!¡arr¡ilq:!¡Éiliir!a:;q¡i;!¡::t$.i.i¿+rociircq¡J¡;tsÉÍf -f
{aracterizaei*n de d*s variables cu*litativas
#-
ffi Constr.rye una tabla marginal del grupo socioeco- ffi t. encuestó a 1.800 estudiantes de la universidad
nómico al que pertenecen los niños del ejemplo A y la universidad B para saber sobre el idioma
de la página 268. que les gustaría aprender. Se les dieron tres opcio-
nes (inglés, francés, alemán).
Mujer
l
::-
pretación para futuros colores en automóviles. Determina la población, la muestra y las varia-
a. lr
bles del estudio.
ffi f or siguientes datos representan los juicios valora-
b. Realiza una tabla de contingencia con los datos
tivos de 15 estudiantes en un colegio donde E: exce-
del diagrama.
lente, S: sobresaliente, A: aceptable, I: insuficiente.
c. Halla la cántidad de empleados que son hom-
E, S,I, A, S, E, A,I, E, A, S, S, E,I,I bres.
d. Determina el porcentaje, entre los hombres.
a. Organiza los datos anteriores en una distri-
que son solteros.
bución de frecuencias, encuentra la moda y la
e. Responde, ¿cuál es el porcentaje de personas
mediana e interpreta estos resultados.
que ni son separadas ni viven en unión libre?
b. Elabora un diagrama de barras para represen-
f. Realiza una tabla marginal de porcentajes res-
tar Ia frecuencia porcentual de los datos. Escri-
pecto al género.
be dos conclusiones.
t-
l'!
¡
5antrilaná
Caroeterización
de variables cuüntitativas
:ersidad En la caracterización de variables cuantitativas se emplean medidas, parámetros
idioma y gráficas útiles para representar los resultados de un estudio, teniendo en cuenta si
s opcio- la variable cuantitativa es discreta o es continua. Los datos cuantitativos se pueden
trabajar como datos sueltos (listado) cuando no son demasiados o cuando no son
tan distintos unos de otros, de lo contrario, lo más utilizado es agruparlos en tablas
ta la si-
de frecuencias con o sin intervalos.
tallo y hojas.
860 i
I
1
interpretación sin importar que la variable sea discreta o continua.
!
:0
i
1
Para las edades del ejemplo anterior, se organiza la información como se muestra
en la siguiente tabla, teniendo en cuenta Ia frecuencia de cada edad y la cantidad de
r-las varia- personas que conforman el grupo familiar.
rn los datos
7 1 0,1 25 0,t25 12,5
e son hom-
15 I 0,r25 2 0,25 t2,5
17 I 0,t25 J 0,375 12,5
's hombres.
21 1 0,t25 4 0,5 12,5
Total 8 1 r00%
"*
Estatu ras
Para el segundo intervalo se inicia con el límite superior del primer intervalo, y el lí-
mite superior se obtiene de sumar el límite inferior con la longitud de cada intervalo,
y así se continúa sucesivamente hasta llegar al último intervalo.
La frecuencia absoluta/del primer intervalo es 3, que corresponde a la cantidad de
datos que van desde el 140 hasta los menores de 147,5. La frecuencia relativay' se
obtiene de dividir los datos delentre el tamaño de la muestra (n).
La frecuencia absoluta acumulada F es la suma acumulada de las frecuencias abso-
lutas de los intervalos anteriores y del propio intervalo. En la tabla del ejemplo, F en
el tercer intervalo es 11 porque 11 : 3 + 3 + 5. La frecuencia relativa acumulada
Fr--.F
n
La frecuencia porcentual (70) se puede obtener con el producto de Ia frecuencia re-
lativa fr y 100.
La marca de clase m,es el punto medio del intervalo. Se calcula así:
(límite inferior * límite superior)
I
tV ¿ lo saniiliena
Estúndares:pensclltenianleatartoypen'oinieIlravariacicnal .'-"
ár '-*3i
RepresentcciÓn grÓficc
encla de variables cuüntitctivos
rupar de las variables en un
Existen diferentes gráficas para representar los datos obtenidos
restfa de frecuencia, polí-
estudio estadístico .o*o lo, diagramas de barras, histogramas
ientes
gonos de frecuencia'
;,I45,
Eldiagramadebarrasesungráficoqueconstadedosejes,unodeellosllevalos
valores de la variable estudiadá en la muestra y el
otro representa la frecuencia' Se
te:
usa cuando los datos no están agrupados en intervalos
y los rectángulos que los
:ibe el componen van seParados.
I dato
un histograma se usa cuando se trabaja con intervalos. Al
igual que el diagrama de
los límites de los intervalos'
barras consta de dos ejes: en el eje horizontal se ubican
una vez,y en el eje vertical
a. Este teniendo en cuenta que el límite superior se escribe sólo
buena se ubican los valores de la frecuencia. En
este caso, los rectángulos que lo componen
mues- van unidos de límite a límite.
tiene:
Polígonos de frecuencis
:ntre el se puede construir un
cuando se usa una distribución de frecuencias con intervalos,
las mafcas de clase' El
polígono para cualquier frecuencia teniendo como referencia
se ubican las marcas de clase y en el
io¡lorro consta ¿. io, ejes: en el eje horizontal Cuando se realiza un polígono de
que se quiere representar.
ile v"ertical, la frecuencia
tera co-
cerrado frecuencias acumuladas al gráfico se le denomina ojiva'
lmenor Porejemplo,para|asiguientesituación,sepideelaboraruna.tabladefrecuencia
Luego, obtener conclusiones
inferior sin intervalos y una tabia de frecuencia con intervalos.
el histograma, el polígono de
de cada uno de ellos y realizar el diagrama de barras,
frecuencias Y la ojiva.
1l 20 estudiantes de décimo en
.i Los siguientes datos son las calificaciones sobre 100 de
tj
español:
t:
)i
I
84 73 50 90 50 65 70 70 75 80
-t
)! I
l
85 95 90 70 50 80 70 65 84 82
3 0.15 J 0,15 15
50
rtidad de
2 0,1 5 0,25 10
tivay' se 65
70 4 0,2 9 0,45 20
73 0,0s 10 0,5 5
ias abso-
rplo, F en 75 I 0,0s 11 0,s5 5
82 I 0,05 14 0,7 5
2 0,1 16 0,8 10
84
rencla re-
85 I 0,05 t7 0,85 5
90 2 0,1 L9 0,95 l0
95 1 0,05 20 I 5
Total z0 1 r00
Polígcno de frecuencia
Para construir la tabla de frecuencias con intervalo hay que tener en cuenta que:
el rango es 45.
Calificación f fr F Fr a/o m
El diagrama de barras y eI histograma, cada uno con su frecuencia absoluta (f) qu"
representa los datos de las calificaciones en las tablas de frecuencias sin intervalos y
con intervalos, se presentan a continuación.
Diagrama de b¿üas
Polígono de frecuencia
40
30
20
'nta que:
: 11,25.
Escrlbe una conclusión a partir de los datos del Se reaiizó un estudio sobre el tiempo que gastan
#' los trabajadores de una tábrica de muebles en lle-
ejemplo que se presenta enlapágina273'
gar a su casa después de la jornada laboral. Los re-
id de cali-
ñt -ú
o 20
o
que estos E 10
91 z 0
0 102030405060 70 80
Se realiza un estudio en una calle de una ciudad tu longitud (en cm) de 1B grillos
sobre las velocidades en kilómetros por hora de
ffi es
7 ,, 6 8 7 9 8 valos.
rsan¡illana i ZJ
I
v
f
.f
¡Vted Éd *s est*dís?Ee*s
5i alguno de ios v¿lores es Existen algunas medidas que describen el comportamiento de una variable de acuer-
muy grande o pequeñ0, la do con los datos obtenidos. Las medidas estadísticas más utilizadas son: las medidas
media no es el promedio de tendencia central y las medidas de dispersión.
apropiado para representar la
serie de datos.
fVledidcs de fendencis centrcl
Cuando se tiene un grupo de observaciones se busca describirlo con los valores más
característicos, aparte del valor más grande y el valor más pequeño,
llue son los ex-
tremos, es necesario encontrar valores centrales que describan el comportamiento
de los datos. A estos valores se les conoce como medidas de tendencia central.
Datos no agrupados
I
I
Media
n: total de los datos
Datos agrupados
i
Media
!r
l:t , cuando hay sumatoria
n
intervalos x, se cambia por mi
I
I I
x, I x¡n ',
l
I
Mediana es la posición -l a
222 ,
n rmpaÍ lx:
I
x(n +
2
t)
en la frecuencia absoluta
acumulada fl es la posición
2
n-tr I
)l
i
__*__l I
frecuencia absoluta
5:".j,b1ruta/' i
¿/ü I Santiliana
I
ntc'/a i
Están da res: pe n sa nt i en to a I eattsri a y pe n sú, m ¡e t i ct ct o n a
*'
H ffijmreptffis
el número de urgencias registradas en un
ffi fo. siguientes datos representan diciembre:
3acuer-
hospital en los últimos 12 dias de
nedidas
30 40 45 50 15 20 50 70 15 95 60 45
r los ex- fr
L¿'-l
miento ¡:r 30 + 40 + 45 +50 + 15 + 20 +50 + 70 + 15 + 95 + 60 + 45
W
- -
ral. t2 t2
nediana : 44,58 = 45
upados.
Luego, al hospital llegaron un promedio de 45 urgencias en los últimos doce días
sada en
de diciembre de 2009.
una va-
Para determinar el valor de la mediana, primero hay que otganizar los datos de
menor a mayor (o viceversa), es decir:
rpués de
na como x, : 15, x, : 15, x, : 20, xn: 30, x5 : 40, x6 : 45, xr: 45, xr:50, tn : 50,
rs y cua- x,o : 60, x,r:70, xrr: 95
Entonces, el orden de los datos es:
ncia. En
es
15 15 20 30 40 45 45 50
fdatos
Como el número total de datos zl : 12, n par, entonces
xCa tanto
*"t;]- *'t jl-)
- ["; )_ ["] _ (xo * x.) _(45+45) _ ,.
n
))22
Nótese que lc6 es el dato que está en el arreglo en la sexta posición y su valor es
--l 45y x, es el dato de la séptima posición que en este caso también es 45. Por
tanto, lamediana $X: 45.
I
den a las edades de 9 niños de tercero de primaria.
899i0897
---l
.l
i
Primero, se organizan los datos de menor a mayor (o de mayor a menor):
7888999910
Como el número total de datos es impar, entonces, X :X9+1 :JÚlo :xs:9.
-+1
,\
I
2 .2
nl1. I
i
Por 1o tanto, la mediana para este conjunto de datos es Í : 9'
2l En el ejemplo del número de urgencias registradas durante los últimos 12 dias
del mes de diciembre, aparecen varios datos con la mayor frecuencia (15, 45 y
I
e sanrillana
I
Z/
Medidas de terrdsneía eentral
e fljm,*#L*$
# E" una competencia de 500 metros planos de atletismo se miden los tiem-
pos (en segundos) de los competidores de la categoría infantil. Los datos se
muestran en la tabla.
i Tiemoo (s)
LIStp" t¡.1_ f. F, m, I
Este resultado indica que, en la competencia de los 500 metros planos categoría
infantil, los niños registran un tiempo promedio de 417,85 segundos.
Para determinar la mediana, en lugar de trabajar con los intervalos se usa la
marca de clase.
En este caso n : 21, n es impar luego, la mediana es:
fi*4edidcs de p*sieE*n
Las medidas de posición son números que dividen el conjunto de datos en partes
iguales, se usan para clasificar una observación dentro de una población o muestra.
Dentro de estas medidas se encuentranlos cuartiles, deciles y percentiles.
Los cuartiles Q' Qz, Q3: son los datos que dividen el conjunto de datos en cuatro
partes iguales, por lo tanto, hay tres valores que representan el 25o/o, el 50% y el
/5Vo de los datos.
. Q1
: Valor que deja por deb ajo el25o/o de los datos y por encima el75% restante.
. Q, : Valor que deja por debajo el50o/o de los datos y por encima el otro 50%.
. Q¡ : Valor que deja por deb a1o el7 5o/o de los datos y por encima el 25% restante.
Ex fe un valor en el cual coin- Los deciles D' D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, Dr: son los valores de los datos que di-
ciden los cuartiles, los deciles viden el conjunto de datos en 10 partes iguales, cada uno representa el 10% de la
y Los percentiles: es cuando distribución.
son iguales a la mediana, es . D t : Valor que deja por debajo el 1070 de los datos y por encima el 90% restante.
deci;0, : Dr: Pro: X . D2: Valor que deja por deb ajo el2jo/o de los datos y por encima el 80% restante.
todos dejan por debajo el
Y así sucesivamente hasta el Dn que deja por debajo el90o/o de la distribución y por
5070 de los daos.
encima el 1070 restante.
I :': '.'"::::
:::iiei; :i;r!-: n:.::!¡= ¡ii1
Percentiles: P' Pz, P3, .,,, P¡, ..., Pnn: son los valores de los datos que dividen el
conjunto de datos en 100 partes iguales'
tiem-
s
latos se
. Pr : Valor que deja por debajo el 1 % de los datos y por encima el 99o/o restante.
. P, : Valor que deja por debajo el 8% de los datos y por encima el92o/o restante.
. Pk Percentil k es el valor que deja por debajo el ko/o de la distribución.
Para un número de n observaciones, una vez ordenados los datos, se puede identifi-
car la posición de los cuartiles, deciles y percentiles de acuerdo con la siguiente tabla.
n lmpaÍ
.ategoría
se usa la
tutedidms de dispers!*n
Las medidas de dispersión permiten conocer el grado de agrupamiento de los datos
media-
¡In tlempo en torno a las medidas de tendencia central. Es importante conocer si los valores en
qeneral están cerca o lejos de estos valores centrales. Las medidas de dispersión más
rrs planos.
usadas son el rango,Iavarianza y la desviación estándar o típica'
,, ia mayor
Rango R: el rango de un conjunto de datos es la diferencia que existe entre el dato
tl nombre
mayor y el dato menor del conjunto. Permite visualizar la amplitud de la distri-
bución de datos.
\ arianza 52: la varianza es una medida que permite calcular el promedio de las dife-
rencias al cuadrado entre el valor de cada dato y la media aritmética.
i an partes
Lr muestra.
i(",
,
- t)'yendatosagrupados52-¡-r'
<L¡. -
-^)'r
n-l ,
EndatossueltosS,:, ,
n-\
si hay intervalos, x, se remplaza por la marca de clase m,.
i en cuatro
ri 50% y e1 Esta medida tiene el inconveniente de que las distancias están al cuadrado. Por
eiemplo, si la variable está dada en metros (m), la varianza queda en m2. Para
,: r restante' solucionar esto se usala desviación típica.
- otro 50%. Des.i'iación típica o estándar S: la desviación estándar es un valor que permite me-
;'o restante. dir la dispersión de los datos respecto al valor de la media o promedio; cuanto
más grande sea su valor, más dispersos estarán los datos en la media. Se halla
Ltos que di-
:1 10% de la :omo la raíz cradrada positiva de la varianzu 5 : l/,r-lun^ : JS' '
En décimo hay 22 observaciones, luego la media para estos datos agrupados es:
S,:
22-l 2I
:39,6r
Por lo tanto, al comparar las desviaciones estándar se tiene que la desviación están-
dar del grado undécimo es mayor que la desviación estándar de décimo, es decir,
9,07 > 6,29.Luego,los estudiantes de décimo tienen pesos más cercanos al promedio
del grupo de los estudiantes de undécimo. con un 95o/o de confianza en grado déci-
mo los pesos están entre 46,5 y 71,67 porque:
Q1 Q2 Q'-
Límites infer:^-^^
,o:r f- --- -r - Límites superiores
--''-''.''.''.-..
Añü losantittan¡
I
-.,,...,.."..,. ¡ €sÉdnd*res: ¡rcr¡:t¡r:¡¡trtta i;ir:itlct ii: y üti j--(ij¡rli-/ '
'.....',''.'.=.. l
o se hizo
udiantes
E"pli.a cómo halla el decil D, de un grupo con ffi
* f-ot siguientes datos son las notas de laboratorio
ffi se
de algunos estudiantes de la universidad A y al-
: décimo 20 datos.
gotoi de la universidad B que están a punto de
¡n los de
graduarse.
a desvia-
3l Solucions Droblemss
ro, luego, 3,01
ultados. especiales, se realizó una
# U" un centro de niños
2*i !,ai_):8f A
lectura a20 niños con 3,2\ 3,3
S ES: prueba en habilidades de Lu""y."id"d
problemas auditivos. Los puntajes obtenidos de la
a. Encuentra lavarianzay la desviación estándar
prueba son:
con los datos de cada universidad. Concluye'
;0x2) 26 30
42 22 44 Determina la nota de laboratorio para los estu-
22 30 26 38 22 diantes de ambas universidades, si las notas en
30 22 22 22 26
las universidades fueran las mismas.
30 20 44 36 26
c. Determina la universidad en la cual se obtu-
a. Encuentra media, mediana y moda para los vieron las notas más homogéneas respecto al
datos sueltos. Escribe una conclusión para promedio.
cada medida. Determina la universidad ganadora de una
- 59,09)'z X.
Halla la cantidad niños que constituyen me- beca en el exterior, si se otorga al grupo de es-
nos del 90o/o delos datos del estudio. tudiantes cuyas notas tengan una desviación
Explica la siguiente afirmación: "El307o de los menor que 0,5.
niños obtuvieron un puntaje menor a23"'J'ts- Realiza un intervaio de confianza del 90% para
tifica tu resPuesta. cada universidad. Interprétalo con el contexto
d. Contesta: ¿Al sumar los porcentajes de todos y compara los dos intervalos.
los niños no es posibl e alcanzar el 100%?
:andar es:
e. Halla el valor del dato que deja por debajo el # uuUu la respuesta en cada caso.
85% de los Puntajes. a. En un estudio la frecuencia relativa de un dato
-.rn están- f. Determina el valor de los cuartiles y realiza su es 0,375 y la absoluta del mismo dato es 195'
. es decir, interpretación con el contexto.
promedio ¿Cuál es el total de los datos?
rffi,. b. En un estudio la frecuencia porcentual es 28 y
:ado déci-
€F a" siguiente tabla registra los resultados de Lln es- la absoluta es 40. ¿Cuál es el dato que falta?
tudio que se realizó a 60 personas de Ia tercera
c. El promedio de seis datos es 62 y cinco datos
'r,67) edad sobre el número de palabras que leen por
son 20, 65,I20,62,84. ¿Cuál es el {ato que falta?
minuto.
il_r'''-".o"r*-.'-1, Lnj:t:f']
#a
ffi Realiza el diagrama de cajas para los siguientes
datos y determina si hay datos atípicos.
re el com-
: 33-3t -1 --
-ztzz '
Puntaje de algunos estudiantes en el ICFE'S
rrtiles. Las i: 62 27 66 68 75 19 68 70 95 65 70
.+@,s
:.:tar¡:r:-; : :: U
.+tg bácen?enüric
effi d#?*s
Lc estructurfl
de ic economía después
de la lndependencia
iL20 DE IULIO DEL AñO 2010 se celebra en
Colombia el segundo centenario del grito de in-
dependencia.
La guerra de la liberación trajo beneficios para los crio-
llos (hijos de españoles nacidos en América) como:
una reducción apreciable en los impuestos, incluida
la eliminación del diezmo eclesiástico; una moder-
nización de las construcciones y del código civil; la
liberación de los esclavos; la profundización de un
mercado de tierras; la modernización de la legislación
comercial, bancaria, de sociedades y de pesas y medi-
das; la abolición del monopolio del comercio, de los Hubo además cambios importantes en la distribución
estancos y del crédito, que era manejado por la Iglesia, de la propiedad agraria debido a la confiscación de las
lo que hizo posible la aparición de bancos modernos tierra de los realistas (tierras del rey) ¡ luego, al repar-
y privados. to de tierra entre las tropas de los ejércitos libertado-
res. Los soldados recibieron vales para ser car4biados
Además de estos beneficios, la guerra de la liberación por tierras, pero los caudillos y altos oficiales se los
combinada con el enfrentamiento social, ocasionó compraban por una fracción de su valor.
grandes costos: pérdida de vidas, fuga de capitales,
destrucción de activos productivos, reses, mulas y ca- Hubo otros efectos sociales y económicos, como el co-
ballos, y aumento de los robos, los atracos y asesinatos: lapso de la esclavitud, la recesión en las zonas mine-
"En 1825- 1826 los gastos militares seguían absorbien- ras que dependían de ella y Chocó- y la de
-Cauca
do tres cuartas partes de los ingresos del Estado. El sarticulación de las haciendas de Popayán y del Valle
conflicto fue destructivo y dejó muchas haciendas en del Cauca. Aumentó el cimarronaje (esclavos inde-
ruinas, víctimas de la confiscación y saqueo durante pendizados que huyeron para los palenques de Car-
las guerras y las venganzas personales después de ella i tagena), lo que ocasionó pérdidas a los dueños de
esclavos, amenazó la seguridad de sus bienes y redujo
Los chapetones ricos (españoles) sacaron los capitales
la capacidad parapagar sus deudas a la Iglesia. La cos-
que habían invertido o al menos la parte que pudieron
ta Atlántica sufrió aún más: la liberación de los escla-
hacer líquida. Aunque es difícil de probar, la guerra
redujo la población en la Nueva Granada, aunque no
vos también la perjudicó ¡ además, se esfumaron los
recursos para los gastos militares y la construcción en
tanto como en Venezuela, que debió perder cerca de Cartagena, que jalonaban el alto ritmo de la actividad
la tercera parte en la cruenta contienda. económica de la región.
¡ñ¿ l.risant¡llan¿
En verdad, había muy poco para exportar, aparte del
oro, el producto de mayor valor entre los que se envia-
ban a España. La minería de Antioquia, que se venía
ampliando al final del siglo XVIII, siguió producien-
do con base en el mazamorreo libre, y más adelante
implantaría una minería empresarial mecanizada que
compensó las pérdidas de otras regiones y contribu-
yó a una producción nacional relativamente estable,
como se aprecia en la gráfica.
Adaptado de la revista Economía Institucional' Vol. 10' n" 19,
segundo semestre/2008, pp. 207 -233,Salomón Kalmanovitz
il co-
:nine-
l¿ de
\ alle
inde-
: Car- @ ¿Cráles fueron los beneficios y desventajas que ffi t. puede afirmar que la gráficade producción dela
l- trajo la guerra de independencia? oro es una gráfica de serie de tiempo. |ustifica
-- LlC
L]>
respuesta.
"edujo
# ¿Cuáles fueron las consecuencias económicas
¿ aos- después de la guerra de independencia? # ¿Cuál es Ia variable y el tipo de variable que se re-
- ^t -
ú>rLd- presenta en la gráfica?
.rn los
#: ¿8" cuáles períodos de tiempo se presentó una
ffi En,t. $3.000.000 y $3.500.000, ¿qué se puede ahr-
LOn en -uyo, producción de oro? ¿En cuáles períodos
hubo menos producción? ¿En cuáles se mantuvo mar de la producción de oro?
j-.idad
estable la producción?
.: Sar;tiilana::S=
I
A.
r;;,i¡i!:.:j:::ir F. ii: :i..4i¡!e:.
Pnmbroh$É$dmd
La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia aquellos experimentos
cuyos resultados pueden variar entre una ejecución y otra. Este tipo de experimentos
se denominan aleatorios.
- experimento
l:t; Un -'-- aleatorio es un ensayo o una acción en la cual no se puede predecir jt
]i aleatorio. Se simboliza 5. Cada resu tado de un espaclo muestralse conoce como punto ,j
¿xlomática para la teoria de as pro
b¿bilidades a partir de ¿ teoría de ! muestral Cada punto muestral debe tener la misma posibilidad de ocurrir. ;
ronju ntos.
Por ejemplo, all,anzar una moneda el espacio muestral es S : {cara, sello}, en donde
un punto muestral es cara y el otro punto muestral es sello. En cambio, si se lanzan
tres monedas al tiempo el espacio muestral es S : {CCC, CCS, CSC, CSS, SSS, SSC,
scs, scc], en donde s representa sello y c, cara. De este espacio muestral se puede
obtener subconjuntos que cumplan una misma característica. Así, A : {CCC, CCS,
csc, css, ssc, scs, SCC) es el conjunto de todos los puntos muestrales en los que
puede caer cara.
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral, cuyos elementos tienen una ,i
f *4 jo:antillanil
ffsf¿ind*res; ¡)ens{tii1!?nio ú1íjtic'"iJ y pt rtsijr::ierii:;'ifl:;i}c ,"- ,.
re
re
;4 *,j#{-8,#!#
Determinar cuál es el espacio muestral en la siguiente situación. Luego, estable-
cer algunos eventos y clasificarlos.
--^ L())
3:r:o s
Un colegio quiere participar en unas olimpíadas matemáticas en las cuales solo
puede inscribir tres estudiantes. La profesora de matemáticas debe decidirse entre
Camilo (C), María (M), fuan (J) y Patricia (P).
El espacio muestral en este experimento es S : iCMJ, CMP' CJP' MJPI.
=-'
Algunos eventos de este experimento son:
. Evento % que camilo no sea seleccionado. y: {MJP}, es un evento simple pues
solo hay un punto muestral.
;guir
-..-t . Evento W: que sean seleccionados dos mujeres y un hombre. W : {CMP' MIP}
es un evento compuesto, ya que tiene más de un punto muestral.
. Evento X: que sean seleccionadas solo mujeres. X : { }, es decir, es un evento
imposible porque solo hay dos mujeres y se va a seleccionar a tres estudiantes.
1to
. Evento Y: que en el grupo seleccionado esté un hombre.
y: {CMI, CMP, CJR M}P}, es un evento seguro pues Y: S.
-.'o
tos: A: obtener solo caras, B: obtener dos caras
y dos sellos, C: obtener por io menos una cara,
'a:]- D: obtener solo un sello.
b. Se tiene una ruleta con tres re$iones iguales
::,t). numeradas del I a1 3, respectir-amente. Se gira
la ruleta tres veces y se adicionan 1os resultados
obtenidos. Eventos: A: obtener un número par,
B: obtener un múltiplo de 3, C: obtener un nú-
e. Extraer dos boletas de una urna que contie-
mero entre 2 y 10, D: obtener un divisor de 2.
ne una balota azul, una roja, una verde y una
raa amarilla.
d#+
i5l Sclueiono oroblemos
ffi Determina si cada afirmación es verdadera o fal-
sa. Justifica tu respuesta con un ejemplo' Se eligen aleatoriamente tres personas distintas y
¿¡io
pregunta si consumen o no un determinado
se les
a. Un evento seguro puede ser un evento simple. producto. ¿Cuá1 es el espacio muestral del expe-
1.1:1, b. Dos eventos mutuamente excluyentes no pue- rimento, si las opciones de respuestas son "SÍ" o
den ser simples. 'NO"? ¿Cuáles puntos muestrales conforman el
c. Un evento compuesto siempre es un evento se-
S r-l:1
evento "a1 menos dos de las personas consumen el
guro. producto"?
r:,:3entiiiana -*
I
.d.
Técnicas de conteo
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente
fácil listar y contar todos los puntos muestrales. Por ejemplo, allanzar un dado, hay
solamente seis posibles resultados. Sin embargo, hay un gran número de experimen-
tos en los cuales este proceso no es tan simple o no se tiene la ceÍteza de que en el
espacio muestral estén todos los puntos (sin que sobre o falte alguno). para solu-
cionar este inconveniente se puede utilizar tres técnicas de conteo: el principio de
multiplicación, la permutación y la combinación.
En dichas técnicas influyen dos aspectos: el orden y la repetición. Cuando se deter-
mina el espacio muestral de un experimento y se hace la lista de todos los posibles re-
sultados, la posición en la que se escriben los elementos es importante, y por tanto se
dice que allí hay orden. En el caso en que un mismo elemento se puede escribir más
de una vez, se dice qua hay repetición. Por ejemplo, al realizar la rifa de un televisor
y una grabadora entre María y ]uan. El espacio muestral es S : {MM, MJ, IM, ]]},
donde la primera posición de cada punto muestral indica el ganador del televisor y la
segunda posición el ganador de la grabadora. En este caso, el orden importa, puesto
que MJ significa que María ganó el televisor y Iuan, la grabadora, mientras que fM
indica que quien ganó el televisor fue luan y que María fue quien ganó la grabadora.
Por otra parte, hay puntos muestrales que tienen elementos repetidos. Así, el punto
MM significa que María se ganó tanto televisor como la grabadora.
Princ!pia de nrul?ipliección
Es una técnica de conteo que se aplica en experimentos aleatorios en los cuales:
si un evento,4 puede octrrir n, maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B
puede ocurrir de n, maneras diferentes, y asisucesivamente, entonces, e número total de
formas diferentes (#5) en que los eventos pueden ocurriren el orden lndicado es iguala:
#S:n,XnrXn, jl
jj
Por ejemplo, si se lanza una moneda cuatro veces al aire, el número de resultados
posibles en el espacio muestral es: #s : 2 x 2 x 2 X 2 : 16 porque en cada lanza-
miento hay dos posibles respuestas (cara o sello) y son cuatro lanzamientos. En este
caso, para hallar el número de elementos del espacio muestral se puede utilizar un
diagrama de árbol, en el cual se representan los puntos muestrales de cada experi-
mento en forma ramificada para saber cuáles son. Así, los diagramas de árbol que
representan el lanzamiento de una moneda cuatro veces son los siguientes:
f efi lo5¡n¡!llana
#.stánd*res: p?ntúfti¡{:ilio i:iií:]s{cr¡a'v pelr,(illr¡€¡r¡a) \'Qitú -tc'Dttl
!i,:É':,:!t;e\irilr:!¡je:!tiqir.egfüq5+r.qr¡!e;crlrrEisÉilÉ!r¡--tsrü:ilili¡jfiqi+Jtsr¡rtqp!r¡+rr¿i
F:.' :::.:.':j:]ra]:r¡::.::::. {
m ffijmmffiil#s
ffi luru viajar desde Bogotá hasta San Andrés haciendo escala en Barranquilla,
mente
*
se consideran diferentes itinerarios, utilizando varios medios de transporte
o, hay como avión, barco, carro y tren. ¿De cuántas maneras se puede realizat el
imen- viaje completo Bogotá-Barranquilla-san Andrés, según las rutas y medios de
:enel transporte que se muestran en el siguiente diagrama?
. solu-
pio de
AviÓn
Avión
deter- Bogotá Tren Barranquilla San Andrés
les re- Barco
nto se
Barco
ir más
evisor
\I, II}, El viaje Bogotá-Barranquilla se puede efectuar de tres maneras' el viaje Barran-
oryla quilla-San Andrés se puede tealizat de dos maneras. Finalmente, el viaje com-
luesto pl"to derde Bogotá hasta San Andrés, haciendo escala en Barranquilla, se puede
"ie JM hacer de 3 X 2 :6 maneras diferentes.
adora.
punto Determinar cuántas placas de moto se pueden hacer, utilizando tres letras y
un número de dos cifras. Luego, establecer cuántas de esas placas terminan
en número impar.
;:r:,:,.r,o ¡ i i
T
,. #$E...:*r
r¿r ro
orATdre¿ "[¡ri,o lvlon¡i¿- st.drlo
qtd'p¿ las preguntas.
4 Mónic¿ 'aMónic¿ áAndrea
a. ¿De cuántas formas se pueden sacar tres boli-
tas una por una, si no se remplazan en la caja
a. Escribe una situación que pueda modelarse
las que se van sacando? Representa la situación
con base en este diagrama de árbol.
en un diagrama de árbo1.
b. Determina cuántos y cuáles puntos hay en el
diagrama de árbol.
b. ¿De cuántas formas se pueden sacar tres boli-
tas una por una, si van devolviendo a la caja las
que se van sacando? Realiza un diagrama de
3F Solucionc problernos árbol.
€
*rre
iiF''
SEN
I
Árepas
TRA Pldtana
iDA Sopa
Carne asada
Palla en solsn
lrucha al ajillo
BEB
DA
I
#
*'
€ ¿Cuántos menús distintos que contengan entra-
Ég
ffi
ffi
$ ái[: da, plato fuerte y bebida se pueden conformar?
b. ¿Cuántos menús
formar?
sin entradas se pueden con-
*** lrcSantillana
Raé
FJ#TTffiUgüCEüffi*S
Una permutación es una técnica de conteo en la cual importa el orden pero no hay
repetición, se define de la siguiente manera:
s nume-
e en for-
ii SiOe un qrupo de A/elementos se desea elegir cierta cantidad ii
r00?
:4 €ij-*ff:53f,'*5
é. d"i?
.'-- n" una carrera de atletismo participan l0 personas. ¿De cuántas maneras
distintas pueden repartirse las medallas de oro, plata y bronce?
En esta situación importa el orden, pero no hay repetición porque cada posición
de la persona indica un premio, aunque una persona no puede obtener más de
res boli- uno. por tanto, para calcular el número de posibilidades se utiliza una permuta-
r la caja ciónconN:10yn:3,asil
;ituación
D-D=-:--
101 10! 10x9x8x7x6X5X4X3X2Xl
\¡,, rn¡r (10_3)l 7l 7)l6)<5X4X3X2X.1
¡es
boli-
;. caja las :10X9x8:720
iama de
por tanto, hay 720 maneras de repartir las 3 medallas entre los 10 competidores'
n entra-
-¡brmar? H Mesa H
ien con-
a*
.ñ1.
L0!nn¡nccrones
En calculador¿ con lasteclas
a
[Jna combinación es una técnica de conteo en la cual no importa el orden y no hay
nPr y nCr se pueden calcular repetición en los elementos de un punto muestral.
permutaciones y combinacio-
m ffijwrroreLmm
:l0X9xB:tzo
3X2)i.1
Por tanto, el estudiante puede escoger entre 120 grupos de 7 preguntas para
responder el examen.
ffi lUuriu (M), Paola (P), Federico (F), Rocío (R) y Andrés (A) compiten en un
torneo de tenis de mesa. Si en la primera ronda cada jugador debe competir
contra los otros cuatro solo una vez, ¿cuántas formas hay para organizar la
competencia en la primera ronda?
EI problema se resuelve mediante una combinación, puesto que en este caso
no importa el orden. Así, si MF indica el juego entre María y Federico, FM re-
presenta el mismo juego, puesto que cada jugador debe competir con los otros
solamente unavez. De acuerdo con esto, se calcula el número de combinaciones
de los 5 jóvenes seleccionados de a 2 así:
51 5l
- zrs- zx - (rD(il :_5X4X3X2XI
t'
,_ _ 5X4
(rx rx3x, <D -, *, -'o
Por tanto, es posible organizar los 5 jugadores de 10 formas diferentes, de tal
modo que cada uno compita con los otros solamente una vez.
il#t ¿Cuántos productos distintos es posible formar con los dígitos 1,2,3,4,5 y 7
de manera que cada producto conste de 3 factores?
ffi
*' Ior¿, María, Daniel y Paula son cuatro amigos
que
ill Soluciona problemos
,run al cine y se sientan en la misma fila donde hay
exactamente cuatro sillas. ffi lfariu quiere invitar a 6
de 13 amigos que tiene.
a. Realiza un diagrama de árbol para representar
la situación. a. Establece cuántas Po-
b. Determina de cuántas maneras diferentes se sibilidades diferentes
pueden sentar los cuatro amigos, si Paula y tiene María Para es-
María se quieren sentar una al lado de la otra' coger a sus invitados.
b. Determina de cuántas maneras diferentes pue-
ffi Camllo, Luis, Diana, Francisco y Andrea perte- de escoger María a sus invitados, si es fijo que
ten. necen a una academia de música y entre ellos se una pareja de recién casados amigos de ella
(?
va a seleccionar tres personas para representar al asistirá a la cena.
Lln-
instituto en una competencia nacional'
ffi
** U.tu bolsa contiene 5 canicas blancas y 7 rojas' Si
ion,
se desea sacar 5 canicas alazar'sin devolverlas a la
bolsa:
Se quiere formar números de tres cifras con los dí- e partir del conjunto de letras de 1a palabra VIDA
;lso
gitos 1, 2,3 y 4. Contesta las siguientes preguntas:
ffi letras una por una. ¿Cuántas pa-
! re- se escogen dos
.:o s a. ¿Cuántos números distintos se puede formar? rejas distintas se pueden constquir? Realiza el
,':1es b. ¿Cuántos y cuáles números que empiecen en2 diagrama de árbol.
se puede formar?
c. ¿Cuántos y cuáles números que
empiezan en2 ffi a" una pequeña organización sociai conformada
por un total de diez miembros, se elegirá a tres
y también en I se Puede formar?
se puede for- para que integren 1a junta directiva con un presi-
d. ¿Cuántos y cuáles números pares
. tal
mar?
dente, un secretario )'un tesorero.
!¿¡t:11ana I
I
I
Cólculo de probcbilidades
En cualquier experimento aleatorio no se tiene \a certeza sobre si un evento especí-
fico ocurrirá. una forma de medir la oportunidad o probabilidad con la que puede
suceder es asignarle un número real entre 0 y J. Si es seguro que el evento ocurrirá se
dice que su probabilidad es 1 (o el 100%), pero si es seguro que el evento no ocurrirá
se dice que su probabilidad es 0.
Existen dos procedimientos por medio de los cuales se puede obtener estimaciones
para la probabilidad de un evento: e\ enfoque clásico y el enfoque como
frecuencia
relativa.
PE): L
#S
Donde #E esla cantidad de puntos muestrales del evento Fy #5 es la cantidad de puntos
er el espacio n;estral 5.
Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que caiga cara arlanzar una moneda, se
tiene que S : {caraysello} y E: {carai. En consecuencia, #S:2y #E: l, con lo
cual la probabilidad de que caiga cara es:
P(E):#E:l:0,5
#s2
Es decir, hay un 50o/o de posibilidad de obtener cara allanzar una moneda.
prrl- L: rr
n
Donde fes la frecuencia absoiuta del evento y n el total de datos.
Por ejemplo, si se lanza una moneda 1.000 veces y se observa que 532 veces resultó
cara, se estima que la probabilidad que caiga cara es:
s32 :0,532
P(E):f -
n 1.000
Se puede observar que al utilizar el enfoque como frecuencia relativa la estimación
de la probabilidad se hace más exacta, a medida que se aumenta la cantidad de repe-
ticiones del experimento.
** ffi$*mgrceffis
ffi o" una baraja española de 40 cartas (con 4 aqes y r0 espadas), ¿cuál es la pro-
babilidad de sacar una espada?
Se utiliza el enfoque clásico. Así, se tiene que #E : r0 porque en la baraja solo
hay 10 espadas y #s : 40, porque labaraja tiene en total 40 cartas. por tanto se
tiene que:
P(E) : #E--
:ro :0,25
#s 40
como resultado, se tiene que hay un25o/o de probabilidad de sacar una carta de
espadas en una baraja española.
Z9¿ l.esanriliana
ffi O"t""-inar cuál es la probabilidad de que allanzrrdos dados,la suma de los
valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.
ipecl- se tiene que el espacio muestral s tiene 36 puntos muestrales, ya que, por el
)uede
principio de multiplicación #s : 6 x 6 : 36. Además, se tiene que en el evento
irá se
E: 'bbtener una suma múltiplo de 3'l los puntos muestrales son:
rrirá
E: {(1, 2),(2,r),(r,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)}
iones De donde se deduce que #E: 12. Por tanto:
ettcia 12
P(E):
'363 :!:0,33i
con lo que hay ttn33,3o/o de probabilidad de obtener como suma un múltiplo de
tres cuando se lanzan los dados.
# u" una caja hay l5 balotas blancas, 45 balotas verdes y 30 balotas rojas. si se
sacan tres balotas alavez, ¿cuál es la probabilidad de que salga una balota de
cada color?
En este caso ei espacio muestral S corresponde a las diferentes formas de sacar
3 bolas de las 90 que hay en total. como en este experimento el orden en que se
a. se
saquen las tres bolas no importa, se utiliza la combinación
nlo noC, para determinar
la cantidad de elementos del espacio muestral #S. Luego, se tiene que:
,P,'rF:( nt )l t'
:lC;,Jl \
:4r'sr :2880
lo
F
új
Por tanto, la probabilidad de que ocurra B es P(B) : ,1,t!9 : 0,0079, es de-
362.880
ci¡ hay 0,79o/o de probabilidad de que las mujeres ocupen lugares pares.
,'sant,llana Z9
I
(áieulc de Pr*b*bilidades
'-ffi..
t1*:dÁ I ii:r"*1-,::t l tl W$;;:¿li
de
ffi Cul.rrla la probabilidad de aprobar el examen
*
*u,.*¿ticás si se sabe que hay una probabilidad relati-
Calcula la probabilidad (con la frecuencia
de 0,4 de no aProbar'
va) de que al lanzar el dado:
ffi Calcula Ia probabilidad de no obtener un
6 al lan- a. Salga par.
* arreglado para que b. Se obtenga un múltiPlo de 3'
,u, un dadt, si se sabe que está
de 1/3' c. Se obtenga un número mayor que 2'
la probabilidad de que salga el 6 sea
d. Se obtenga un número entte 2 Y 6'
f *4 l(<.)santillana
ffs8¿indcr*s;p(rt,:ilrr¡it:r¡lc.'citatartcy ¡;,:r].,1t,t!et rL.- yrr, ,,_ _ -
'.
.' -a,-I Fraba bilidad eüniu nta,
rnürg¡ntrl y e*rrdiei*r:c!
Cuando se trabaja con tablas de contingencia es posible determinar tres clases de
:se al- probabilidades: conjunta, marginal y condicional. Las tres tienen como base la fre-
rbabi- cuencia relativa fr.
do de Para observar la diferencia entre cada clase de probabilidad se tendrá en cuenta la
siguiente tabla de contingencia, en la cual se registran los resultados de una encuesta
acerca del hábito de fumar, hecha a personas adultas.
bole-
com-
Género
lesla Mujer
Condición
f ne-
e, sin
¡e las
lm.u- Para calcular dichas probabilidades, hay que construir primero la tabla de frecuen-
inzas. cias relativa correspondiente a la tabla de contingencia.
Género
Hombre Mujer Total
sidos Condición
i
28 32 60
siCos Fumador :0,266 - ^
l^r
105 105 105
--u,)/t
No fumador _:0,238
25 20
_:
45
n 4)a
105 105 105
-1
'^:
;
I
Total _53 : 0,504
52
- 4,495
105
105 10s 105
elati-
Probabilldad coniuntn
Como su nombre lo indica son las probabilidades que toman en cuenta los eventos
de ambas variables de estudio. Por ejemplo, cuando se dice que la probabilidad de
que un hombre sea fumador es del26,6o/u se está hablando de la probabilidad co-
rrespondiente a ambos eventos, "que sea hombre" y'hue fume'i Así mismo, sucede
con las mujeres que fuman (30,5o/o),los hombres que no fuman (23,8o/o)ylas mujeres
que no fuman (lgYo).
Prababilidad mcrE¡nül
Ocurre cuando el interés se centra en determinar la probabilidad de los eventos de
una variable sin considerar los eventos de la otra variable.
3ntes
Por ejemplo, si se quiere saber la probabilidad de que una persona no sea fumadora,
se toma solamente la frecuencia relativa correspondiente al total, sin importar que
sea hombre o mujer; en este caso, la probabilidad es deJ 42,9o/o.
Fumador 28 32 60
No fumador 25 2A 45
Total 53 52 10s
28
Fumador : 0,528
32
: 0,6'15
-53 -52 Probabilidad
,q cond icionaI
20
No fumador
'-1:0,471 : 0,384
53 -52
53 52
Total
53 52
Sepuede observar que la probabilidad de que una persona fume, dado que es mujer, es
de6l,50/o mientras que la probabilidad de que no fume, dado que es mujer es de38,4o/o.
28 .
Fumador :0,466 32
: 0,533
6,0
-45 45 45
Se puede observar que la probabilidad de que una persona sea hombre dado que es
fumador es del46,6, y que la probabilidad de que una persona sea mujer dado que
es fumadora es del 53,3%.
.un
reja
ala -@. -ffi
- t- ffi Los empleados de una compañía se encuentran ffi E" un taller se sabe que en promedio acuden por
t¿
distribuidos en tres secciones: administrativos, la mañana 3 automóviles con problemas eléc-
operativos y ventas. La siguiente tabla indica el tricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con pro-
número de empleados en cada sección clasifica- blemas de frenos. Por la tarde acuden 2 con
dos por sexo. problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos
y 1 con problemas de frenos.
L Iy::_ rgf::" _ r3r - a. Realiza la tabla de contingencia para la situa-
ción.
b. Calcula la probabilidad de los que acuden por
la tarde.
c. Calcula la probabilidad de los que acuden por
problemas mecánicos.
iad d, Encuentra Ia probabilidad de que un automó-
¡la vil con problemas eléctricos acuda por la ma-
er) Si se elige aleatoriamente a un empleado. Deter- ñana.
mina la probabilidad de que: e. Determina la probabilidad de que un automó-
vil que acude por la tarde tenga problemas me-
a. Sea mujer. cánicos.
b. Sea hombre.
c. Sea mujer y trabaje en ventas.
d. Trabaje en ventas. Solucicno problemos
e. Sea hombre y trabaje como administrativo.
f. Trabaje como operario, si es mujer. # t" instituto de pre-Icfes (preparación de esru-
g. Sea mujer si trabaja como operario.
diantes parala prueba de Estado) selecciona alea-
toriamente un grupo de estudiantes r- 1es aplica
U" un estado de Norteamérica, una prueba de matemáticas y una de lensuaie para
ffi se realizó una
determinar el nivel en el que están. Los resultados
encuesta acerca de Ia religión que practica cada
persona y de su inclinación hacia determinados obtenidos se muestran en el siguienie diagrama.
partidos políticos. Los resultados se resumen en
ffi Esprrroi ll..rirr r:
la siguiente tabla:
medidas encontradas. 80
d. Encuentra el decil 4 y el percentil 85. Interpre-
60
ta estos resultados.
Responde: 40
I
i
i
*-i
I
I
60
l. Si se agregaran cinco calificaciones con la I
I
40
.i
--- ;
i
23456
cias con intervalos.
I
I
Número de personas
i*, -^-- -,.
l. Encuentra la media, mediana, moda, cuartiles
y decil 4 para la distribución de frecuencias
Determina cuál de las dos zonas presenta una
con intervalos.
mayor dispersión en los datos respecto a la
Representa los datos en un diagrama de barras media. fustifica tu respuesta.
de frecuencia absoluta. b. Encuentra lavarianzay la desviación estándar
n. Realiza el histograma y la ojiva. de cada zona. Escribe una conclusión compa-
o. Encuentra la desviación típica y un intervalo rando los resultados.
del 95o/n de confianza. Halla un intervalo de confianza del 90o/o para
p. Realiza un diagrama de cajas y bigotes para los
cada zona y r ealiza su interpretación.
d. Piensa: si se otorga un auxilio de vivienda a la
datos iniciales.
zona que tenga una desviación mayor que 1,0,
¿cuál zona puede acceder al auxilio?
egB I
¡santrllana
X
"{
Párque
Centro C. f. Que el número obtenido sea múltiplo de 3.
1 87o
I 6Vp,íi;' Bachillerato
i
'.'¡' Cent¡o C.
150/o
Ciüe
9%
ffi escribe todas las formas posibles de sentar a tres
I
I
personas en tres sillas.
I
a. Determina población, muestra, variable, tipo @ O"t"r-ina cuántos números distintos de cuatro
cifras diferentes se pueden formar con números
de variable, clase de muestreo.
dígitos pares.
Elabora la tabla de contingencia para el diagra-
ma circular. O. un grupo
G de cinco personas (Camila, Manuel,
c. Elabora un diagrama de barras parala tabla de Pedro, Rosa y Luis) se van a elegir tres para un
contingencia. grupo de porras.
. Encuentra la probabilidad de que al seleccio-
nar un estudiante aleatoriamente:
a. Realiza el diagrama de árbol.
d. Sea de primaria. b. Determina cuántos grupos diferentes se pue-
den formar.
e. Le gusta ir a cine.
f. Le gusta ir al centro comercial dado que es de . Encuentra la probabilidad de:
primaria. c. Que Rosa esté en el grupo.
g. Sea de bachillerato dado que va al parque. d. Que el grupo esté formado por solo hombres.
h. Sea de bachillerato o le gusta ir al parque. e. Que Luis no sea elegido.
i. Sea un estudiante de bachillerato que le guste
ir al centro comercial. ffi Entr" Nlaría, Pedro, luan y Paola, se quiere esco-
Sea un estudiante que no le gusta ir al parque. ger un grupo de tres personas para ocupar tres
).
cargos distintos (gerente, secretario,'tesorero).
k. Sea un estudiante de bachillerato que no le
gusta ir al cine. a. Determina cuántos grupos diferentes se pue-
den formar.
!¿r:.,Lara i F:Ql
I
Las variables cualitativas se caracteri-
Es la ciencia que se encarga de recoger, organizar, representar, zan medrante: distribución de frecuen-
analizar y obtener concrusiones a partir de datos obtenidos en cias, diagrama de barras, dragrama
d iferentes estudios estadísticos. circular, moda y mediana (cuando son
la población es el conjunto oe Lodos los individuos de los cua- variables ordinales).
ies se obtiene rnformación sobre el fenomeno que se estudia.
Una muestra es un subconjunro represent¿tivo de una pobia-
ción sobre la cual se recogen los datos.
c---.,,--^ itrn:iJ
id¡ril,'i,:d
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