Fecha de presentación: julio, 2019, Fecha de Aceptación: septiembre, 2019, Fecha de publicación: octubre, 2019

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EL GEOGEBRA: UNA HERRAMIENTA TECNOLÓGICA PARA APRENDER MATEMÁTICA
EN LA SECUNDARIA BÁSICA HACIENDO MATEMÁTICA

THE GEOGEBRA: A TECHNOLOGICAL TOOL TO LEARN MATHEMA-

TICS IN THE BASIC SECONDARY MAKING MATHEMATICS
Eloy Arteaga Valdés1
E-mail: earteaga@ucf.edu.cu
ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9902-2135
Juan Felipe Medina Mendieta1
E-mail: jfelipemm@ucf.edu.cu
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0508-9783
Jorge Luis del Sol Martínez1
E-mail: Jlmartinez@ucf.edu.cu
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2371-0692
1
Universidad de Cienfuegos “Carlos Rafael Rodríguez”. Cuba.

Cita sugerida (APA, sexta edición)

Arteaga Valdés, E., Medina Mendieta, J. F., & Del Sol Martínez, J. L. (2019). El GeoGebra: una herramienta tecnológica
para aprender matemática en la Secundaria Básica haciendo matemática. Revista Conrado, 15(70), 102-108. Re-
cuperado de http://conrado.ucf.edu.cu/index.php/conrado

RESUMEN ABSTRACT
Si bien es cierto que la enseñanza de la tecnología While it is true that the teaching of technology is a
es un imperativo estratégico en el presente siglo, su strategic imperative in this century, its use in the tea-
utilización en el proceso de enseñanza–aprendiza- ching - learning process of science is of vital impor-
je de las ciencias es de vital importancia, no solo tance, not only to motivate students to learn scien-
para motivar a los alumnos a aprender ciencias, sino ce, but also to learn science by doing science. In
también para aprender ciencias haciendo ciencias. this sense, the GeoGebra software is presented as
En este sentido, el software GeoGebra, se presenta a candidate of extraordinary value in the teaching -
como un candidato de extraordinario valor en el pro- learning process of mathematics, since it, not only
ceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, allows to solve quickly and safely the most varied and
ya que no solo permite resolver de manera rápida diverse problems that arise in the learning of mathe-
y segura los más variados y diversos problemas matics, this subject is also a tool that stimulates and
que se presentan en el aprendizaje de esta asigna- develops the creativity of students by allowing them
tura, sino también, porque es una herramienta que to discover and build the knowledge that is its ob-
permite estimular y desarrollar la creatividad de los ject of study. This paper illustrates how to use this
alumnos, al permitirle descubrir y construir los cono- technological tool in basic secondary education, to
cimientos que son objeto de estudio. En este trabajo recognize, identify and seek new relationships and
se ilustra cómo utilizar esta herramienta tecnológica dependencies among mathematical entities that is
en la educación secundaria básica, para reconocer, the object of study at this level of education.
identificar y buscar nuevas relaciones y dependen-
cias entre entes matemáticos que constituyen objeto Keywords:
de estudio en este nivel de enseñanza. Technology, GeoGebra, teaching-learning process,
mathematics, basic secondary, knowledge.
Palabras clave:
Tecnología, GeoGebra, proceso de enseñan-
za–aprendizaje, matemática, secundaria básica,
conocimiento.

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INTRODUCCIÓN En este trabajo se exponen algunas ideas sobre la utili-

zación del GeoGebra en las clases de matemática en la
En la Conferencia Mundial sobre la Ciencia para el siglo
secundaria básica para propiciar, no solo, la búsqueda
XXI, auspiciada por la UNESCO y el Consejo Internacional
de conocimientos matemáticos, sino también para que el
para la Ciencia, se declaraba: “Para que un país esté en
alumno reconozca la existencia de determinadas relacio-
condiciones de atender a las necesidades fundamentales
nes entre entes matemáticos que con su ayuda puede
de su población, la enseñanza de las ciencias y la tec-
descubrir.
nología es un imperativo estratégico. Como parte de esa
educación científica y tecnológica, los estudiantes debe- DESARROLLO
rían aprender a resolver problemas concretos y a atender
a las necesidades de la sociedad, utilizando sus compe- En los lineamientos o ideas claves para el trabajo metodo-
tencias y conocimientos científicos y tecnológicos”. (Open lógico de la asignatura matemática en la escuela cubana,
Society Institute, 1999). válidos para los diferentes subsistemas de Educación y
puestos en vigor desde el curso 2004-2005, se precisa
La utilización de las competencias y conocimientos tec- el enfoque metodológico general de esta, y por ende, los
nológicos ha ocupado un lugar relevante en el sistema métodos y procedimientos para la dirección del proce-
de enseñanza, tanto para profesores como estudiantes, so de enseñanza-aprendizaje, con vista al logro de sus
pues estos se consideran como elementos mediadores objetivos y la consecuente elevación del interés hacia su
en las relaciones: profesor–contenido, estudiante–conte- aprendizaje (Álvarez, et al., 2014).
nido y profesor–alumno (Bossolasco, 2013). De especial
importancia en la época actual son estos conocimientos La novena idea clave hace alusión explícita a la utilización
y competencias en el aprendizaje del estudiante. En ana- de las tecnologías, incluidas las de la informática y la co-
logía con las concepciones de Liátker (1990), en relación municación, con el objetivo de adquirir conocimientos y
con la actividad y sus componentes, podemos afirmar racionalizar el trabajo de cálculo, pero también con fines
que en cualquier acto elemental del conocimiento (apren- heurísticos.
dizaje) existe una tríada: sujeto–medio–contenido, donde Al respecto, Álvarez, et al. (2014), plantean: ”Uno de los
el medio es el núcleo de dicha tríada. asistentes matemáticos desarrollados como software libre
En el aprendizaje de la matemática los medios tecno- más popular en los últimos años es GeoGebra, un recur-
lógicos, tal y como señalan Álvarez, Villegas & Almeida so escrito en Java y disponible en múltiples plataformas.
(2014), favorecen una penetración más profunda en el Este permite el dinamismo de las figuras geométricas, lo
contenido que se estudia mediante una actividad mate- que facilita analizar la variación o no de sus propiedades
mática más experimental, de búsqueda del conocimien- y relaciones al modificarlas. Asimismo, posibilita examinar
to, de establecimiento de conexiones, pero además, con- un objeto matemático en diferentes registros de represen-
tribuyen a activar y motivar a los alumnos hacia el estudio. tación, por medio de la articulación de su interfaz gráfica
con una algebraica, una de cálculo simbólico y una hoja
La introducción de los medios tecnológicos conocidos de cálculo, lo que favorece el establecimiento de relacio-
como software (en particular, los software libres, ) en el nes y una comprensión más profunda de lo que se estu-
proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, dia”.(p. 27)
pueden hacer realidad una de las sugerencias didácticas
ofrecidas por Puig Adam (1959)-citado por Rico & Sierra Si bien es cierto que los docentes reconocen las amplias
(1994), en su Decálogo de la Didáctica de la Matemática posibilidades que ofrece el uso de este software en el
Media, referida a enseñar matemática guiando la activi- proceso de enseñanza–aprendizaje de la matemática, no
dad descubridora del alumno, que más tarde Freudenthal podemos afirmar que su uso se haya generalizado y mu-
(1991)- citado por Gravemeijer & Teruel (2000), denomi- cho menos que esto se haya convertido en una práctica
nara reinvención guiada y que se erigiera en uno de los habitual en el desarrollo de las clases, lo que obedece a
principios de la llamada Matemática Realista. múltiples razones, entre ellas se pueden mencionar: en
primer lugar, el miedo y la insuficiente preparación de los
Estas sugerencias, encuentra en este software libre una profesores para hacer uso de esta herramienta tecnoló-
forma de materializarse, y más aún en los momentos ac- gica en sus clases, y en segundo lugar, el equipamiento
tuales donde existe cierto consenso en que la enseñanza tecnológico con que actualmente cuentan los centros de
no es un proceso de transmisión de conocimientos sino enseñanza, el cual resulta insuficiente y no siempre está
un proceso de creación de las posibilidades para su en las mejores condiciones.
construcción o descubrimiento (Freire, 2010).

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Características y ventajas del GeoGebra que permiten su La versión 5 del programa ofrece las siguientes vistas que
utilización en el proceso de enseñanza – aprendizaje de se vinculan dinámicamente:
la matemática en la secundaria básica
•• Vista gráfica 2D: En esta vista se pueden realizar
El programa GeoGebra fue ideado por Markus construcciones geométricas utilizando puntos, rec-
Hohenwarter en el marco de su trabajo de tesis de tas, segmentos, polígonos, cónicas, etc. También se
Maestría, presentada en el año 2002 en la Universidad pueden realizar operaciones tales como intersección
de Salzburgo, Austria. Se esperaba lograr un programa entre objetos, traslaciones, rotaciones, etc. Además,
que reuniera las virtudes de los programas de geometría se pueden graficar funciones, curvas expresadas en
dinámica, con las de los sistemas de cálculo simbólico. forma implícita, regiones planas definidas mediante
desigualdades, etc.
El creador de GeoGebra valoraba todos estos recursos
para la enseñanza de la matemática, pero notaba que, •• Vista algebraica: Allí se muestran las representaciones
para el común de los docentes, los programas de cál- algebraicas y numéricas de los objetos representados
culo simbólico resultaban difíciles de aprender, dada la en las otras vistas del programa.
rigidez de su sintaxis, y que por esta razón evitaban su •• Vista gráfica 3D: En esta vista se pueden representar,
uso. Por otro lado, observaba que los docentes valoraban además de los objetos mencionados para la vista grá-
de mejor manera los programas de geometría dinámica, fica 2D, planos, esferas, conos, poliedros, funciones
ya que su interfaz facilitaba su utilización. Así fue cómo de dos variables.
surgió la idea de crear GeoGebra. Rápidamente el pro- •• Vista CAS (Cálculo Simbólico): Permite realizar cálcu-
grama fue ganando popularidad en todo el mundo y un los en forma simbólica (derivadas, integrales, siste-
gran número de voluntarios se fue sumando al proyecto mas de ecuaciones, cálculo matricial, etc.).
desarrollando nuevas funcionalidades, materiales didác-
•• Vista de Probabilidades y Estadística: Esta vista con-
ticos interactivos, traduciendo tanto el software como su
tiene representaciones de diversas funciones de dis-
documentación a decenas de idiomas, colaborando con tribución de probabilidad y permite calcular la proba-
nuevos usuarios a través del foro destinado para tal fin. En bilidad de las mismas en un determinado intervalo.
la actualidad, existe una comunidad de docentes, investi- También ofrece una calculadora que permite realizar
gadores, desarrolladores de software, estudiantes y otras test estadísticos.
personas interesadas en la temática, que se nuclean en El GeoGebra cuenta con un manual de ayuda elabora-
los distintos Institutos GeoGebra locales que articulan en- do por Markus Hohenwarter y Judith Hohenwarter (2009),
tre sí a través del Instituto GeoGebra Internacional. el cual ofrece indicaciones precisas para su utilización y
El GeoGebra es un software interactivo de matemática que se puede obtener en el sitio Web: www.geogebra.org.
que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Varios investigadores se han referido a las bondades de
Hohenwarter (2014), eligió GeoGebra con el atenuante este software.
que el docente pueda tener una herramienta didáctica González, Gutiérrez & Sandoval (2017), consideran que
que ayude en el proceso de la educación, con las consi- el GeoGebra contribuye en muchos aspectos a mejorar
deraciones que el software a utilizar sea accesible, libre, las metodologías de enseñanza-aprendizaje y para la
de fácil manipulación, que cuente con un proceso de ins- solución de problemas académicos proporcionando in-
talación automático, sencillo y que sea aceptado en todas formación valiosa en aspectos gráficos, lo cual genera
las plataformas. interés en la aplicación de esta herramienta para la reso-
GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada lución de problemas
objeto matemático: una vista gráfica, una vista numérica, García (2014), considera que el GeoGebra es un recurso
vista algebraica y, además, una vista de hoja de cálculo. tecnológico que puede ser utilizado en el aprendizaje y
Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matemá- que debe ser incluido en la planificación de una clase
ticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como como material didáctico para el desarrollo de actividades.
en el caso de puntos, gráficos de funciones), algebraica
(como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas Bonilla (2013), indica que gracias a que GeoGebra per-
de una hoja de cálculo. Cada representación del mismo mite obtener el resultado del ejercicio de una función de
objeto se vincula dinámicamente a las demás en una forma rápida y precisa, se le comienza a emplear des-
adaptación automática y recíproca que asimila los cam- pués de sustentar la teoría de cada concepto (recta, ex-
bios producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál ponencial), que se detallan en el contenido matemático
fuera la que lo creara originalmente. para verificar los resultados que se obtienen al resolver
los ejercicios de forma tradicional.

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Márquez (1999), indica que es importante, que un con- •• Permite la utilización de principios heurísticos, que
junto de técnicas dinámicas sea incluido como una marca con otros medios resultan casi imposible de aplicar,
competitiva en la práctica de las matemáticas, pudiendo como es el caso de la movilidad, la inducción, la ge-
considerar a GeoGebra, ya que es un software libre y de neralización, entre otros.
fácil manejo que permite trabajar contenidos de geome- Utilización del GeoGebra para reconocer relaciones y
tría, algebra y análisis. dependencias, así como para su descubrimiento. Dos
ejemplos ilustrativos en la enseñanza de la matemática
Del Pino (2013), le atribuye un lugar especial al GeoGebra
en Secundaria Básica
dentro del espectro de herramientas existentes para el
aprendizaje, por los motivos siguientes: Uno de los contenidos que se estudian en el 8vo grado de
1. Es software gratuito, libre y de código abierto. No les la secundaria básica es la relación entre la amplitud del
cuesta dinero a los centros educativos y pueden mo- ángulo central y de los ángulos inscritos a los que corres-
dificar elementos para tener funcionalidades que no ponde el mismo arco que al ángulo central.
se presentan en la versión estándar. Para la obtención de la proposición que establece la re-
2. Es multiplataforma: funciona tanto si emplean una lación entre estos ángulos, es necesario que el profesor
versión de Linux propio de la Comunidad Autónoma compruebe los conocimientos previos que tiene el alum-
como distintas versiones de Microsoft Windows. no y que sirven de base para la obtención del nuevo
3. Es fácil de usar. Además, existen numerosas forma- conocimiento.
ciones, algunas de ellas gratuitas, impulsadas por co- Conocimientos previos: conceptos de radio, cuerda, án-
lectivos de profesores y universidades. gulo central y de ángulo inscrito, así como la relación entre
4. Es sencillo y a la vez potente. Posee una hoja de cál- la amplitud del ángulo central y el arco correspondiente.
culo y sus numerosas vistas permiten alternar el uso
de la aritmética, representaciones algebraicas, cálcu- Una vez reactivado los conocimientos previos, el paso
lo simbólico y cálculo estadístico y probabilístico. siguiente, desde el punto de vista didáctico, es que los
alumnos reconozcan que esa relación existe. Para moti-
Los autores de este trabajo no coincidimos con la visión var la necesidad de buscar esa relación se recomienda
de Bonilla, ya que el uso de este software no se puede utilizar de forma combinada la analogía y la búsqueda
limitar para resolver ejercicios una vez que se haya es- de relaciones y dependencias-aspectos de la motivación
tudiado el contenido, sino que su verdadero valor como matemática (Jungk, 1983, Ballester, et al., 2002). Para
recurso didáctico es que esta es una herramienta para ello, a partir de la relación ya estudiada entre la ampli-
producir, construir y descubrir conocimientos, dando tud del ángulo central y del arco correspondiente, pue-
la posibilidad, al mismo tiempo, de verificar su valor de de preguntar a los alumnos ¿sería posible entonces, que
verdad. existiera alguna relación entre el ángulo inscrito y el arco
El GeoGebra tiene las mismas ventajas de cualquier soft- correspondiente?
ware educativo, pero sobresalen las siguientes: Para que los alumnos reconozcan que existe realmente
una relación entre ambas amplitudes, puede con ayuda
•• Se propician varios tipos de aprendizaje que pueden
ser individuales o grupales del GeoGebra y utilizando el principio heurístico de movi-
lidad, que consiste en dejar invariantes una parte de las
•• Fomenta la creatividad: al retar el aprendizaje, a condiciones del problema y variar las restantes.
aplicar los conocimientos y habilidades que ya po-
sibilita la búsqueda y/o descubrimiento de nuevos Para ello, valiéndose de la vista gráfica del GeoGebra,
conocimientos. le orienta a los alumnos que construyan ua circunferen-
•• Facilita la construcción de conocimiento por parte del cia de centro O y radio r cualquiera. Para ello, pide a los
alumno. alumnos que seleccionen el comandocircunferencia en la
barra de herrmientas, tal y como se muestra en la figura
•• Favorece el aprendizaje autónomo y se ajusta al tiem- 1. Dado que esta circunferencia, por lo general tiene un
po de que el aprendizaje puede disponer para esa centro distinto, se le pide renombrar el centro, hacien-
actividad.
do click derecho en el punto y seleccionando la opción
•• Permite el acceso al conocimiento y a la participación renombrar.
de actividades.
Luego se le pide situar otro punto en la circunferencia,
•• Incluyen elementos para captar la atención del alumno. utilizando el comandopunto y trazar un ángulo cen-
•• Favorece el carácter interactivo del aprendizaje. tral, definiendo sus lados con el comando segmento y

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posteriormente se le orienta situar otro punto en la cir-

cunferencia, distinto de los dos anteriores, utilizando el
comnando punto, y acto seguido se le pide trazar las
cuerdas que unen ese punto con los dos puntos anterio-
res, utilizando el comando segmento, con lo cual queda
trazado el ángulo inscrito sobre el mismo arco que el án-
gulo central.
Para que el alumno pueda visualizar la relación entre am-
bos ángulos, se le pide utilizar el comando mover punto,
como se muetra en la figura, y se le pide mover uno de
los puntos que están en los lados del ángulo central, por
ejemplo, el punto B.
Al mover ese punto se puede percatar que si aumenta
(disminuye) la amplitud del arco correpondiente al angu- Figura 2. Vista algebraica y gráfica para comparar las ampli-
tudes del ángulo central y del ángulo inscrito correspondiente.
lo inscrito, también aumenta (disminuye) la amplitud del
ángulo inscito correspondiente. Un vez reconocido que Finalmente, se le pide utilizar nuevamente el comando
existe una relación entre las amplitudes, entonces se pue- mover punto y mover el punto para que pueda verificar
de lograr que formulen sin dificultad el problema a resol- que esta relación se mantiene independientemente de la
ver: buscar la relación que existe entre un ángulo inscrito posición en en que se encuentra el punto que se mueve.
y el arco correpondiente (Figura 1).
De esta forma se puede pedir que formulen la correspon-
diente proposición:
Todo ángulo inscrito en una circunferenia tiene la mitad de
la amplitud del arco correpondiente.
Se puede proceder de forma análoga si se desea que
los alumnos encuentren la relación entre el ángulo semi-
inscrito y el arco correspondiente, trazando la cuerda ,
utilizando el comando segmento y el comando rectas es-
peciales, para trazar la tangente a la circunferencia por
los puntos A o B.
Otro de los contenidos que se estudian en el 8vo grado
es el cálculo del área del círculo. Para ello se puede uti-
lizar la primera proposición de Arquímedes, que plantea:
El área
de un círculo es igual a un triángulo rectángulo en el que
Figura 1. Trazado de la circunferencia y del ángulo inscrito co-
rrespondiente a un ángulo central.
uno de los lados que comprenden el ángulo recto es igual
al radio, y el otro a la circunferencia, del círculo.
Para que pueda formular la relación, se le pide, utilizando
el comando ángulo, que indique la amplitud del ángulo El primer paso para que los alumnos puedan encontrar
central y la del ángulo inscrito correspondiente (que es la la fórmula que permite calcular el área del círculo, es re-
misma del ángulo central), como se muestra en la figura activar los conocimientos previos que posee el alumno:
2, y que compare ambas amplitudes, se le orienta utilizar fórmulas para calcular el área de un triángulo rectángulo
la vista algebraica para que puedan ver con mayor clari- y la longitud de una circunferencia.
dad que la amplitud del ángulo inscrito es la mitad de la Para que los alumnos puedan encontrar esta proposición
amplitud del ángulo central y por consiguiente la mitad de utilizando el Geogebra, se les pide que construyan ua
la amplitud del arco correspondiente. circunferencia de cenro O y radio r cualquiera utilizando
el comando circunferencia. De esa forma se obtiene una
circunferencia y uno de sus puntos, que el alumno puede
renombrar como lo desee.

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Luego se les pide que indiquen la longitud y el área del Como el área de un triángulo rectángulo es gual al semi-
círculo, utilizando el comando ángulos. Seguidamente se producto de sus catetos, y el ∆AOB, tiene como cateto el
les orienta que definan el radio, utilizando el comando radio r y la longitud l de la circunferencia, entonces:
segmento, para después utilizando el comando rectas
perpendiculares, trazar una tangente a la circunferencia-
recta perpendicular al radio.
El paso siguiente es trazar un segmento, utilizando el co- pero como:
mando segmento, sobre la recta perpendicular trazada, a
partir del punto de tangencia, que tenga la misma longi-
tud que la circunferencia, y finalmente, utilizar el coman-
do polígonos, para definir el triángulo rectángulo, cuyos
entonces:
catetos son el segmento trazado sobre la perpendicular y
que tiene la misma longitud de la circunferencia formada
y el radio de la circunferencia.
Posteriormente con el comando ángulos, se indica el área
del triángulo. En la vista gráfica el alumno puede com- de donde se concluye que:
probar que el área del círculo es igual a la del triángulo
formado, tal y como se muestra en la figura 3.

Estos son solo dos ejemplos que ilustran cómo el

GeoGebra, más que una herramienta para resolver ejer-
cicios y problemas matemáticos, es un recurso didáctico
que puede utilizarse para desarrollar la creatividad del
alumno en las clases de Matemática, que se expresa en
la búsqueda y descubrimiento de los conocimientos ob-
jeto de aprendizaje, a la vez que los familiariza con mét-
odos propios del quehacer matemático, evidenciándose
así uno de los cambios metodológicos aconsejables en la
enseñanza de la matemática en el presente milenio, hac-
er hincapié en la adquisición de los procesos típicos del
pensamiento matemático, pues como dijera De Guzmán
Figura 3. Vista gráfica y algebraica para obtener la fórmula del (1993), la matemática es sobre todo saber hacer, es una
área del círculo a partir del triángulo rectángulo de catetos r y L. ciencia donde el método predomina sobre el contenido.
Para comprobar que esto es cierto, puede utilizando el
CONCLUSIONES
comando mover punto, mover el punto de contacto, de
modo que disminuya (aumente) la longitud del radio y El GeoGebra es un elemento mediador entre el alumno
podrá verificar que el área de ambas figuras permanece y el conocimiento matemático, objeto de estudio, esta
invariable. relación puede describirse mediante la tríada alumno–
GeoGebra–contenido. Este no es solo un recurso didácti-
Con la ayuda del profesor, los alumnos, pueden dedu-
co para aplicar o comprobar lo aprendido, sino también,
cir la fórmula para hallar el área del círculo planteando la
para descubrir nuevos conocimientos bajo la guía del
igualdad:
profesor, lo cual es un objetivo alcanzable en la enseñan-
za de la matemática.
Los ejemplos utilizados para ilustrar cómo este software
Nótese que se está utilizando el mismo procedimiento se puede utilizar en el proceso de enseñanza–aprendiza-
que utilizaban los matemáticos de la antigüedad para je de la matemática en la secundaria básica corroboran
elaborar fórmulas de áreas de figuras geométricas: com- las ventajas de este resumidas en el trabajo y enriquecen
paración de áreas. Es importante que el profesor haga el lineamiento o idea clave para la utilización de las tecno-
referencia a ello. logías en la enseñanza de esta asignatura.

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