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Integrales Definidas
Integrales Definidas
Integrales Definidas
García
Integrales Definidas
f (x) = y
a b
Figura 2
f (x) = y
R3
R1
a b
R2
1
Eleazar J. García
Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la
función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f
(x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y. (Ver
figura 3)
Figura 3
y
ξ n , f (ξ n )
ξ ,
i f( ξ i
) /
\
a = x0 x1 x2 x3 ξi ξn
/
x i−1 \x /
x n−1 xn =b
\
i
2
Eleazar J. García
indefinidamente, sino también que la longitud del mayor ∆xi en la n-ésima subdivisión
tiende a cero. Así:
n
S = lim
∆xi → 0
∑ f ( ξ ) ∆x
i =1
i i (1)
El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (1), hemos obtenido
una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (1).
Integral definida.
La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a, b], se define por
∑
b n
∫ a
f ( x ) dx = lim
∆xi → 0
i =1
f (ξi ) ∆xi
F ( x) =
∫ a
f ( x ) dx
F'(c) = f(c)
F ( x) =
∫ a
f ( x ) dx
∫ a
f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) ( 2)
3
Eleazar J. García
F ( x ) = F (b ) − F ( a )
a
Ejemplo:
x 3 ′ x3
La igualdad = x 2 , muestra que la función F ( x ) = es una primitiva de la
3 3
función f ( x ) = x 2 . Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,
a a
∫
x3 a 3 03 a 3
x dx =
2
= − =
3 0
3 3 3
0
∫ f ( x ) dx = 0
a
1.
a
∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
b a
2.
a b
∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx
b b b
4. ±
a a a
6. a
valor x = x0 entre a y b.
d
Si F ( u ) = ∫ f ( x ) dx, se verifica F (u ) = f (u ) .
u
7. a du
4
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Ejemplos.
b b
5 5
∫
x2 52 0 2 25 25
x dx = = − = − 0=
1 2
2. Sea f (x) = x y F (x) = 2
x ; tendremos:
2 0
2 2 2 2
0
3 3
∫
x4 34 14 81 1 80
x dx = = − = − = = 20
3 1 4 3
3. Sea f (x) = x y f (x) = 4
x ; tendremos:
4 1
4 4 4 4 4
1