Guía 4 Mat415 2017
Guía 4 Mat415 2017
Guía 4 Mat415 2017
1 , t0
1) f t e 2 t 7) f t 3 , t 1
4 , t2
1 , 0 t 1
2) f t senh t 8) f t
1, t 1
3) f t 7 9) f t t 2 e 3 t
4) f t t 10) f t sen 2 t
5) f t 5 t 2 11) f t t cos( t )
2 t 1 , 0 t 1 e 3t , t 0 , t 5
6) f t 12) f t
0 , t 1 1 , t 5 ,
13)
15) f t 2 5 t 17) f t 2t 1
3
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 2
18) f t et e t 27) f t sen 2 3t
2
cosh( t )
20) f t 29) f t sen h 2 7t
et
1
23) f t 32) f t sen 2t cos 2t
sec 2 (t )
d
25) f t 7 t 34) f t 5 e 2t
dt
d t
26) f t sen 3 t cos 2 t 35) f t
dt o
e 2x dx
5) F s
1 3s
1) F s
s4 s 9
2
2) F s s 3 5 s 1 6) F s
15
2
s 25
2
2s 3
3) F s
6s 10 3
7) F s
s2 1 s 4
2
s4
2s
4) F s 4 8) F s
s2 5 s2
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 3
2 3s s 2 s3
F s 17) F s
s s
9)
s3 3 3
1 s 3 s 1
10) F s 18) F s
s 4
s 4s s 5
2
s 1
11) F s
1
19) F s
5s 2 s 2 s 2 1
6s 3
12) F s 20) F s
1
7 s2 1 s 2
1 s 2 4
6s 2s 4
13) F s 21) F s
s 49 s 2 s 2 4 s 3
2
s3
22) F s
1
14) F s
s2 7 s 2 s 2 4
s 1
15) F s 23) F s
s
s 4s s 4 s 2
2 2
16) F s
1
24) F s
1
s 2
s 20 s 9
4
En los ejercicios del 25 al 44 usar la transformada de Laplace para resolver el problema de valor
inicial dado.
dy
25) y 1 , y 0 0
dt
dy
26) 2 y 0 , y 0 3
dt
27) y 6 y e 4 t , y 0 2
28) y y 2cos(5t) , y 0 0
29) y 5 y 4 y 0 , y 0 1 , y 0 0
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 4
31) y y 2 sen ( 2 t ) , y 0 10 , y 0 0
32) y 9 y e t , y 0 0 , y 0 0
33) 2 y 3 y 3 y 2 y e , y 0 0 , y 0 0 , y 0 1
t
35) x 4 x 0 ; x 0 5 ; x 0 0
36) x 9 x 0 ; x 0 3 ; x 0 4
37) x x 2 x 0 ; x 0 0 ; x 0 2
42) x 9 x 1 0 ; x 0 0 x 0
43) x 4 x 1 3x ; x 0 x 0 0
5) F s
5s 5 6s 3
14) F s 2 2
4 4 s s2 s 6 s 2 2 s 8s 10
2s 1 s 2 9s 2
6) F s 15) F s
s 2 s 1 s 1 s 3
3 2
s 1
2
2s 2 10s
7) F s 16) F s
s 2
4
s 2
2s 5 s 1
s 1 e2 s
8) F s 17) F s 3
2s s 6
2
s
10 s 3 1 e 2 s 2
9) F s 18 F s
25 s 2 s2
3 e s
10) F s 19) F s
2 s 3 s2 1
3
s
se 2
11) F s s 12
20) F s
s2 4
1 s e s
12) F s 21) F s
s3 s s 1
3s 2 e2 s
13) F s 22) F s
s2 2s 10 s 2 s 1
31) f t te 4t cos (5t ) 40) f t sen(t ) u t
2
cosh (t )
32) f t 41) f t cos (2t ) u t
et
43) f t t et 5 u t 5
Para los ejercicios 44 – 49, haga corresponder cada gráfica con una de las funciones de a a f .
La gráfica de f t está dada por la figura siguiente:
a) f t f t u t a d) f t f t u t b
b) f t b u t b e) f t u t a f t u t b
c) f t u t a f) f t a u t a f t a u t b
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 7
44)
44)
45)
46) 47)
49)
48)
En los ejercicios 50 y 51 graficar las funciones dada y escribirlas en términos de la función escalón
unitario.
1 , 0 t 1
50)
1
51) 0 , 0 t 2
, 1 t 2
f t f t 3 , 2 t 5
1 , 2 t 3 t ,
t 5
1 , t 3
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 8
En los ejercicios 52 y 53 escribir en términos de funciones escalón unitario, la función f cuya grafica
es la siguiente.
52)
53)
En los problemas 54 al 60 expresar cada función en términos de la función escalón unitario. Además,
hallar L f t
54) 1 , 0 t 4 58) sen(t ) , 0 t 2
f t
f t 0 , 4 t 5 0 , t 2
1 , t5
55) 2 ,0 t 3 59) t , 0 t 2
f t f t
2 , t3 0 , t 2
56)
0 , 0t 3 2
f t
60)
sen (t ) , t 3
2
57) 0 , 0 t 1
f t 2
t , t 1
En los problemas 61 al 82 usar la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial
respectivo.
61) y 4 y e 4 t , y 0 2
62) y y 1 te t , y 0 0
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 9
63) y 2 y y 0 , y 0 1 , y 0 1
64) y 4 y 4 y t 3e 2t , y 0 0 , y 0 0
65) y 6 y 9 y t ; y 0 0 ; y 0 1
66) y 4 y 4 y t 3 ; y 0 1 ; y 0 0
67) y 6 y 13 y 0 ; y 0 0 ; y 0 3
68) 2 y 20 y 51y 0 ; y 0 2 ; y 0 0
69) y y e t cos(t ) ; y 0 0 ; y 0 0
70) y 2 y 5 y 1 t ; y 0 0 ; y 0 4
72) x 6 x 8x 2 0 ; x 0 x 0 0
73) x 3t 4 x ; x 0 0 x 0
74) x 4 x e t 8x ; x 0 x 0 0
81) 13 x 4 x x t et ; x 0 0 ; x 0 2
1) L t cos (2t ) 2) L t 2
s en h (t ) 3) L te 2t s en (6t )
En los ejercicios del 4 al 9, determinar la transformada de Laplace dada, sin evaluar la integral.
4) L T sen (T ) dT
0
t
7) L T et
0
t- T
dT
t t
5) L 0 e- T cos ( T ) d T 8) L t Te - T d T
0
10) L 1 e 2 t
12) L e 2t
sen (t )
11) L t 2
tet 13) Si L 1
F s f t , determinar L 1
SF s s 2
4
En los ejercicios 14 -20 usar la definición de convolución (o la definición de la transformada de una
integral) para determinar f t
1
1 1
1
14) L 18) L
s s 1
s 1 s 2
1
1
15) L 3 19) L 1
2
1
s s 1
2
s 4s 5
1 1 1 s
16) L 20) L
s s 1 s2 4
2
2
1
1
17) L 2
s 1
En los ejercicios que siguen usar el teorema de la transformada de una función periódica para
hallar la transformada de Laplace de la función cuya gráfica se muestra.
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 11
Onda Cuadrada
21)
Función Meandro
22)
En los ejercicios 27 al 36, utilizar la transformada de Laplace para resolver los problemas de valor
inicial.
27) y 4 y 1 ; y 0 0 ; y 0 1
28) y 3 y 4 y 0 ; y 0 1 ; y 0 1
29) y 5 y 6 y 1 ; y 0 1 ; y 0 0
31) y 9 y et ; y 0 1 ; y 0 2
32) y 4 y 4 y t 3 ; y 0 1 ; y 0 0
34) y 5 y 6 y u t 1 ; y 0 0 ; y 0 1
1 , 0 t 1
35) y y f t ; y 0 0 donde f t
1 , t 1
0 , 0 t
36) y y f t ; y 0 0 ; y 0 1 , donde
f t 1 , t 2
0 , t 2
t
37) f t ( t T) f T d T t
0
t
38) f t f ( T ) dT 1
0
39) f t cos(t ) e T f t T d T
t
0
t
40) f t 1 t
8
( T - t ) 3 f ( T) d T
3 0
41) y t 1 sen (t ) y T d T ; y 0 0
t
0
dy t
42) 6 y t 9 y T d T 1 ; y 0 0
dt 0
45) Por la ley de Kirchhoff para voltajes se puede demostrar que la ecuación diferencial que
expresa la carga instantánea, qt del capacitor de un circuito en serie LRC es
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 14
d2 q dq
q E t determinar la carga instantánea cuando L 1 henry ,
1
L 2
R
dt dt c
R 20 ohm , C 0.005 farad, E t 150 volt, t 0 , q 0 0 coulumb,
i 0 0 ampere.
1 2 s
1) 13) e
s2 s2
7 2 5
3) 15)
S s s2
10 48 24 6 1
5) 17) 4
3 2
S3 s s s s
1 3 s
7) , s0 19) 2
s s 92
s 16
2 2 s
9) 21)
3 s s 3
3 3
s 81
2
s2 1 s2 2
11) 23)
s 2
1 2 S s 2 4
t3
1) 3) 2cos(t ) 3 sen(t )
6
1 4 t 19 6 t
9) t 2 3t 1 27) y e e
10 10
2t
1 4 t 1 4t
11) e 5 29) y e e
5 3 3
5 e 4t 1 8 t 2 1 2t 5 t 1
15) 33) y e e e e t
4 9 9 18 2
7) t t 2
1 3 2 t
t e 23)
1
6 s 7
2
3 s 2 25
9) senh (5t ) 10cosh(5 t) 25)
s 2 25
2
5
1 5 2s 72 s
11) t 27)
5! s 2
9 2 s 2
9 3
1 6 s 5
13) 3cos (3t ) sen(3t ) et 29)
3 s 5 2 9 2
s 4 25
2
3 t
15) 2 e 3 te e
t t
31)
s 4 2 25
2
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 16
2 2 1
33) 53) f t 1 u t 1 u t 2 u t 3
s 2 3
s 2 2
s2
f t 2 4 u t 3
3 s 3 10
35) e 2 55) 2 4 e3 s
s s F s
s s
f t t 2 u t 1
e s
37) 2 57) 2 2 1
s F s e s 3 2
s s s
f t t t u t 2
e2 s 2e2 s
39) 59) 1 e2 s 2 e2 s
s2 s F s 2
s2 s s
se s
41) 2 61) y e 4 t t 2
s 4
5s 4 5 s
43) e 63) y e t 2t 1
s 1
2
1 2 2 3t 10 3 t
45) e 65) y t e te
9 27 27 9
3
47) b 67) y e 3 t sen (2t )
2
1 1 t 1
49) d 69) y e cos(t ) e t sen(t )
2 2 2
51) f t 3 u t 2 t 3 u t 5
s2 4 12 S 24
1) 3)
s 4
2 2
2
s 2 2 36
Transformada de Laplace. Mat415 Ciclo II / 2017 17
s
cot h
s 1 2
5) 25)
s s 1 1 s 1
2 2
1 1 3 2t 1
7) 27) e e2 t
s 2
s 1 4 8 8
3 s 2 1 1 5 5
9) 29) e 2 t e 3t
s 2 s 2 1
2
6 2 3
2 1 t 7 9
11) 31) e sen (3t ) cos (3t )
s 3 s 1
2
10 10 10
t
3 1 16 13 13
13) f T cos 2 t - 2T dT 31) 33) cos (3t ) sen (3t ) e2t et et
0 130 65 39 20 60
1 2
15) et t t 1 35) y t 1 e t 2 1 e 1 t u t 1 ó bien
2
1 e t , 0 t 1
y t 1 t t
2 e e 1 , t 1
17) t et 37) f t sen(t )
1 2t
19) e sen(t ) t cos(t ) 39) f t cos(t ) sen(t )
2
1 1
21) 41) y t sen(t ) t sen(t )
s 1 e as
2
a 1 1
q t u t 3 e u t 3
2 2 5 3t
23) bs 43)
s bs e 1 5 5
3 3 10t 3
45) q t e cos (10t) e10 t sen (10 t)
4 4 4