UNIVERSIDAD DE ORIENTE.

NÚCLEO DE MONAGAS.
UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS.
SECCIÓN DE MATEMÁTICAS.

MATEMÁTICA III.
(008-2814)
FUNCIONES VECTORIALES.

Prof. Willians Medina.

Maturín, Abril de 2022.

 Funciones vectoriales.

4.1.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.

1. En los ejercicios siguientes, determine el dominio de la función vectorial.
1 4t 1 2  t 5
a) r (t )  (t 2  3) i  j b) r (t )  i j 2 k
t 1 t t 1 t 1
1 1
c) r (t )  i t j d) r (t )  i  4  t j
t 3 t
t 1 2 1 t
e) r (t )  i  j  4t k f) r (t )  i  j  9t k
t t t t 1
2t 4 7t
g) r (t )  ln (t  1) i  e1/ t j h) r (t )  i j 2 k
4t 2
9t 2
t 1
i) r (t )  (sen 1t ) i  ln (t  1) j j) r (t )  (cos 1 t ) i  (sec1 t ) j
1
k) r (t )  t 2i  4  t j  cot t k l) r (t )  i  16  t 2 j  e t 2 k
t
3 5
m) r (t )  t 2i 4t j  k n) r (t )  ln t i  16  t 2 j  2 k
t 1
2
t 9
9t2
1

ñ) r (t )  ln t i  1  t j  2 k
2 t 2 4
o) r (t )  ln (t  4) i  2
j  2t 1 k
t
1 1
p) r (t )  tan t i  4  t 2 j  k q) r (t )  4  t 2 i  tan t j  k
2t t 1
r) r (t )  ln sen t i  16  t 2 j  ln t  4 k s) r (t )  ln cos t i  4 t 2  1 j  4  t 2 k
et  1 ln (1  t 2 ) ln (t 2  4)  t 
t) r (t )  i  j  csc 2 t k u) r (t )  i  ln  je k
t

2e t
t 1
2
t 6 1 t 
v) r (t )  t 2  9 i  ln t  3 j  (t 2  2 t  8) k
Respuesta: a) (   ,1)  (1,   ) ; b) (   , 1)  ( 1, 0 )  ( 0 ,1)  (1,  ) ; c) [ 0 , 3 )  ( 3 ,   ) ; d)
(   , 0 )  ( 0 , 4 ] ; e) (   , 0 )  ( 0 , 4 ] ; f) (   , 0 )  ( 0 ,1)  (1, 9 ) ; g) (  1, 0 )  ( 0 ,   ) ; h) (1, 2 ) ; i) (  1,1] ; j)
{ 1,1} ; k) [  2 , 0 )  ( 0 ,  )  (  , 4 ] ; l) [  4 , 0 )  ( 0 , 4 ] ; m) [  2 ,  1)  (  1,1)  (1, 4 ] ; n) ( 0 , 3 )  ( 3, 4 ] ; ñ)
( 0 ,1] ; o) [  3,  2 )  ( 2 , 3] ; p) (  2 ,  2 )  (  2 , 2 )  ( 2 , 2 ] ; q) [  2 ,  2 )  (  2 ,1)  (1, 2 )  ( 2 , 2 ] ; r)
(  4 ,   )  (   , 0 )  ( 0 , )  ( , 4 ] ; s) [  2 ,  2 )  (  2 ,  12 ]  [ 12 , 2 )  ( 2 , 2 ] ; t) ( 1, 0 )  ( 0 , ln 2 )  ( ln 2 ,1) ;
u)  ; v) (   ,  3)  ( 3,   ) .
4.2.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.
2. En los ejercicios siguientes, evaluar el límite.
 2 1 
a) lim (t i  cos t j  sen t k ) b) lim  3 t i  2 j  k c) lim (t i  4  t j  k )
t  t 2 t 1 t  t4


 1  cos t   sen t   sen 2 t 

d) lim  t 2i  3t j  k e) lim  e t i  j  e t k  f) lim  i  e t j  e t k 
t 0 t  t 0 t  t 0 t 
 ln t 1   ln t 1 
g) lim  t i  2 j k h) lim  t i  2 j k
t 1 t 1 t 1  t 1 t 1 t 1 
 2 3t t2  4 t 2  t  2   t 2  8  3t t 2  3t  2 7 t  7 
i) lim  i j k j)  i  j  k
2  t t 4  t 2  lim
t 1 t 2
 1 t 2
 3 t  4 3 t  3 
t2
   
1 3 t  2 t  2t  3  1 3 t 3  t  5 3 t  1 
k) lim  i  j  l)  i  k
3 2t  2 
lim
  t  2  2  3 2t  4  
2 2
t 3
 9 t 2   4 t 3 
Matemática III (008-2814). 2
 Funciones vectoriales.

 4t 2  t  5 3 t 1 4  3t 4  t   2  t3  5 t 2 1 1  t 
m) lim  i  j  k n) lim  i  j  k
t  1  25 t  25    t  1  1  3 t 2  t  1 t  t  2t  2 1 3 t 
2 4 2
 t 1 t t   
 t e 3 t  1 1  cos 2 t   t sen t t 2  1 1 e t  e t  2 t 
ñ) lim  i j k  o) lim  i j  k
t  0 ln(t  1) t2 t  0  1  cos t  
2
 t   t t sen t 
 e t  e t sen 3t 1  sen t  e t   1 t 
p) lim  i j  k  q) lim  e t i  j  2 k
t 0
 sen t t  32 sen 2 t (tan 1 t ) 2  t  t t 1 
 t t t2 
r) lim  3 i 2 j 2 k 
t   ln t  2 t t 1 t  2t  2 

 t  2t  3 2  3 t 2  2t  7 t 3  7 t 2  15 t  9 
s) lim  i  j  k
t  3  t  2 t  15    
2 3 2
 t 2
 2 t 3
 4 t  15 t 5 t 3 t 9 
Respuesta: a)  i  j ; b) 6 i  3 j  2 k ; c) 4 i  k ; d) 0 i  0 j  0 k ; e) i  j  k ; f) 2 i  j  k ; g) i  12 j  12 k ; h) No
2 1

existe; i) No existe; j)  43 i  15 j  73 k ; k) 181 i  4 j ; l) 22 i  135 k ; m) 509 i  23 j  26 k ; n)  94 i  92 j  32 k ; ñ)

i  3 j  k ; o) 2 i  12 j  2 k ; p) 2 i  32 j  12 k ; q) 0 i  0 j  0 k ; r) 12 i  k ; s)  332 i  25 6
j  12 k .
4.3.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.
3. En los ejercicios siguientes hállese la derivada de la función vectorial dada.
2t 1
a) r (t )  e 2 t i  t e t j b) r (t )  ln 1  t i  1  t 2 j c) r (t )  i  ln (1  4 t 2 ) j d)
2t 1
1
r (t )  sen 1 (2 t ) i  tan (3t ) j  k e) r (t )  sec 1 (3t ) i  cosh (2 t ) j  tanh (4 t ) k
t
1 t 4 8t
Respuesta: a) 2 e 2 t i  (e t  t e t ) j ; b) i j ; c) i  j; d)
2 (1  t ) 1 t 2 (2 t  1) 2
1 4t 2
2 1 1
i  3 sec 2 (3 t ) j  2
k ; e) i  2 senh (2 t ) j  4 sech 2 (4 t ) k .
1 4t 2 t t 9t 1
2

 2t 1 t 2 
4. Sea r (t )   , ,1  . Demuestre que el coseno del ángulo entre r (t ) y r  (t ) es constante y determínelo.
 1  t 2
1  t 2

Respuesta: cos  0 .
5. Sean A , B vectores no nulos. Sea r (t )  e 2 t A  e 2 t B . Demuestre que r  (t ) tiene la misma dirección de r (t ) .
recta.
6. Hallar la derivada, con respecto al parámetro t, del volumen del paralelepípedo construido sobre los tres
vectores:
a (t )  i  t j  t 2 k b (t )  2 t i  j  t 3 k c (t )  t 2i  t 3 j  k
Respuesta: V  4 t (t 2  1) .
4.4.- INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.
7. [LL] Calcular el vector de posición teniendo en cuenta las condiciones dadas:
1 1
a) r (t )  (t 2  9) i  (2 t  5) j b) r (t )  tan t i  j c) r (t )  tan t i  sec t j  k
t t
d) r (t )  3 i  2 j  e k
t t t
e) r (t )  ln t i  t j
2
f) r (t )  e i  e j  t e k
3t 3 t 3t

1 1 1 1 1
g) r (t )  i j h) r (t )  i 2 j , r (0)  j i) r (t )  t 2i  j , r (3)  2 i  5 j
4t 2
4t 2
t2 t 1 t 2
1 2 ln t 1 1
j) r (t )  i  j , r (1)  3i  2 j k) r (t )  i  tan t j  2 k , r (0)  4 i  3 j  5 k
t t t 1 t 1
Matemática III (008-2814). 3
 Funciones vectoriales.

l) r (t )  et sen t i  cos t j  et k , r (0)  i  j  k m) r (t )  sen 2t i  2 cos 2 t j , r ( )  0

n) r (t )  cos 2 t i  cos 2 t j  2 sen 2 t k , r (0)  i ñ) r (t )  2 et / 2i  2 e t / 2 j  2 cosh 12 t k , r (2)  2 e i  2 e 1 j  k
Respuesta: a) r (t )  ( 13 t 3  9 t ) i  (t 2  5t ) j  C ; b) r (t )  ln sec t i  ln t j  C ;
3t 2t
c) r (t )  ln sec t i  ln sec t  tan t j  ln t  C ; d) r (t )  i j  et k ;
ln 3 ln 2
1 3 t
e) r (t )  (t ln t  t ) i  3 t j  C ; f) r (t )  3 e i  3 e j  ( 19 e3t  13 t e3t ) k  C ;
1 3 1 3t

t 2
g) r (t )  12 tan 1 t i  14 ln  1
 j ; h) r (t )  (ln t  2  ln 2) i  (tan t  1) j ;
t 2
i) r (t )  ( 3 t  7) i  (ln t  2  5) j ; j) r (t )  (ln t  3) i  (ln 2 t  2) j ;
1 3

  t 1  
k) r (t )  [ln (t  1)  4]i  [ln (sec t )  3] j   12 ln    5 k ;
  t 1 
l) r (t )  [ 12 et (sen t  cos t )  32 ]i  (sen t  1) j  (2  et ) k ;
m) r (t )  [ 12 t  12 sen (2 t )  12  ]i  [2 t  sen (2 t )  2 ] j ;
n) r (t )  [ 12 t  14 sen (2 t )  1]i  12 sen (2 t ) j  [cos (2 t )  1] k ;
ñ) r (t )  (4 et / 2  2 e) i  (4 e t / 2  6 e 1 ) j  (4 senh 12 t  4 senh 1  1) k .
4.5.- MOVIMIENTO CURVILÍNEO.
1 1 1 2
8. Si r (t )  ln   i  t j  k . Hallar A (2) . Respuesta: A (2)  i  j  2k
t  t 1 4 16
9. En los ejercicios a) r (t )  cos t , sen t  , b) r (t )  cos 3t , sen 3t  , i) Encuentre el vector velocidad, ii)
demuestre que el vector velocidad es perpendicular al vector posición, iii) demuestre que el vector aceleración está
en la dirección opuesta del vector posición.
10. [GT] En los ejercicios siguientes, determinar los vectores velocidad y aceleración para cualquier valor de t.
Calcúlese también la rapidez, y hállense dichos vectores para el instante particular dado.
a) r (t )  (t  1) i  (t 2  1) j , t  2 b) r (t )  et i  e 2 t j , t  ln 3
c) r (t )  [ln (t  1)] i  t 2 j , t  1 d) r (t )  (2 cos t ) i  (3sen t ) j , t  4
e) r (t )  (cos 2 t ) i  (2 sen t ) j , t  0 f) r (t )  cos t , sen t 
g) r (t )  cos 3t , sen 3t  h) r (t )  (sec t ) i  (tan t ) j , t  6
i) r (t )  (cosh 3t ) i  (2 senh t ) j , t  0
j) r (t )  (a cos  t ) i  (a sen  t ) j , siendo a y  constantes positivas, t  3 .
k) r (t )  et , cos t , sen t  l) r (t ) sen 2 t , ln (1  t ) , t 
m) r (t )  e t cos t , e t sen t , e t 
Respuesta: a) v (t )  i  2 t j , a (t )  2 j , v (2)  i  4 j , a (2)  2 j , v (2)  17 ; b) v (t )  et i  2 e 2 t j ,
1
a (t )  et i  4 e 2 t j , v (ln 3)  3i  92 j , a (ln 3)  3 i  94 j , v (ln 3)  19 733 ; c) v (t )  i  2t j ,
t 1
1
a (t )   i2 j, v (1)  12 i  2 j , a (1)   14 i  2 j , v (1)  12 17 ; d) v (t )  2 sen t i  3cos t j ,
(t  1) 2
a (t )  2 cos t i  3 sen t j , v ( 4 )   2 i  12 2 j , a ( 2 )   2 i  32 2 j , v ( 2 )  13
2 e)
v (t )  2 sen 2 t i  2 cos t j , a (t )  4 cos 2 t i  2 sen t j , v (0)  2 j , a (0)  4 i , v (0)  2 ; f)
v (t )   sen t , cos t  ; g) v (t )   3sen 3t , 3cos 3t  ; h) v (t )  sec t tan t i  sec 2 t j ,
a (t )  (sec3 t  sec t tan 2 t ) i  2 sec 2 t tan t j , v ( 6 )  23 i  43 j , a ( 6 )  10
3 3
i  3 83 j , v ( 6 )  13 20 ; i)

Matemática III (008-2814). 4

 Funciones vectoriales.

v (t )  2 senh 3t i  2 cosh t j , a (t )  9 cos 3t i  2 senh t j , v (0)  2 j , a (0)  9 i , v (0)  2 ; j)

v (t )  a  sen  t i  a  cos  t j , a (t )  a  2 cos  t ) i  a  2sen  t j , v ( 3 )  a  ( 2
3
i  12 j ) ,
1
a ( 3 )  a  2 ( 12 i  3
j ) , v ( 3w )  a  ; k) v (t )  et ,  sen t , cos t  ; l) v (t )  2 cos 2 t ,
,1 .
1 t
2

11. La ecuación de un movimiento es r (t )  3 cos t i  4 sen t j , donde t es el tiempo. Determinar la trayectoria de

este movimiento, la velocidad y aceleración del mismo. Construir la trayectoria del movimiento y los vectores de la
velocidad y de la aceleración para los instantes t  0 , t  4 y t  2 .
x2 y2
Respuesta: x  3 cos t , y  4 sen t ,   1 , v (t )  3 sen t i  4 cos t j .
9 16
12. [GT] Hállense la velocidad V y la aceleración A de los movimientos definidos en los ejercicios siguientes.
Calcúlese también el ángulo  que forman V y A en el instante t  0 .
a) r (t )  et i  et sen t j  et cos t k b) r (t )  tan t i  senh 2 t j  sech 3 t k
c) r (t )  ln (t 2  1) i  tan 1 t j  t 2  1 k
Respuesta: a) v (t )  et [i  (cos t  sen t ) j  (cos t  sen t ) k ] , a (t )  et (i  2 cos t j  2 sen t k ) ,   cos 1 ( 15
5 ) ; b)
v (t )  sec 2 t i  2 cosh 2 t j  3sech 3t tanh 3t , a (t )  2 sec 2 t tan t i  4senh 2 t j  9sech 3t (tanh 2 3t  sech 3t ) k , 2

2t 1 t 2 (1  t 2 ) 2t 1
  2 ; c) v (t )  i 2 j k , a (t )  i 2 j k ,   2 .
t 1 t 1
2
t 1
2 (t  1)
2 2
(t  1) 2 (t  1)
2 3

13. El radio vector de un punto móvil, en cualquier instante de tiempo se da por la ecuación r (t )  i  4 t 2 j  3t 2 k .
Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del movimiento.
y z
Respuesta: La recta x  1,  , v (t )  8 t j  6 t k , a (t )  8 j  6 k .
4 3
14. La ecuación de un movimiento es r (t )  2 cos t i  2 sen t j  3t k . Determinar la velocidad y aceleración de este
movimiento. ¿A qué son iguales la magnitud de la velocidad y de la aceleración y cuáles son sus direcciones en los
instantes t  0 y t  4 ?
Respuesta: x  2 cos t , y  2 sen t , z  3t (Hélice circular). v (t )  2 sen t i  2 cos t j  3 k ,
a (t )  2 cos t i  2 sen t j , v (t )  13 , a (t )  2 .
15. [BD] Un punto situado en la rosca de un tornillo, que se enrosca en una viga, describe una hélice circular
x  a cos , y  a sen  , z  h  , donde  es el ángulo de giro del tornillo, a es el radio del tornillo y h la
elevación correspondiente al giro de un radiante. Determinar la velocidad del movimiento del punto.
d d
Respuesta: v (t )  (a sen  i  a cos  j  h k ) , v (t )   a 2  h 2 , donde   es la velocidad angular de
dt dt
rotación del tornillo.
16. [BD] La ecuación de un movimiento es r (t )  cos  cos ( t ) i  sen  cos ( t ) j  sen ( t ) k , donde  y  son
constantes y t es el tiempo. Determinar la magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración del movimiento.
Respuesta: v (t )   cos  sen ( t ) i   sen  sen ( t ) j   cos ( t ) k , v (t )   ,
a (t )   2 cos  cos ( t ) i   2sen  cos ( t ) j   2sen ( t ) k , a (t )   2 .
17. La ecuación del movimiento de un proyectil (prescindiendo de la resistencia del aire) en el espacio es
r (t )  vo t  12 g t 2 k , donde v0  v0 x , v0 y , v0 z  es la velocidad inicial. Hallar la velocidad y aceleración en cualquier
instante.
Respuesta: v (t )  vo  g t k , v (t )  v02x  v02y  (v0 z  g t ) 2 , a (t )   g k , a (t )  g .
18. [GT] La posición de un punto en el instante t está dada por las fórmulas x  et cos t , y  et sen t .
a) Pruébese que A  2V  2 r .
Matemática III (008-2814). 5
 Funciones vectoriales.

b) Demuéstrese que el ángulo formado por el radio vector r y el vector aceleración A es constante, y calcúlese ese
ángulo. Respuesta: b)  / 2 .
19. Sean A y B dos vectores constantes. ¿Cuál es el vector velocidad de la curva r (t )  A  B t ?
Respuesta: B .
20. Asuma que la curva diferenciable r (t ) se encuentra sobre la esfera de radio 1. Demuestre que el vector
velocidad es perpendicular al vector posición. [Sugerencia: Comience con la condición r (t ) 2  1 ].
21. Pruebe que si la aceleración de una curva es siempre perpendicular a su velocidad, entonces su velocidad es
constante.
22. [DZ] Suponga que r (t )  t 2 i  (t 3  2 t ) j  (t 2  5 t ) k es el vector de posición de una partícula en movimiento.
a) ¿En qué puntos la partícula pasa por el plano x y? Respuesta: ( 0 , 0 , 0 ) , ( 25 ,115 , 0 ) .
b) ¿Cuáles son su velocidad y aceleración en los puntos del inciso a?
Respuesta: v (0)  2 i  5 k , a (0)  2 i  2 k , v (5)  10 i  73 j  5 k , a (5)  2 i  30 j  2 k
23. [DZ] Encuentre la velocidad y aceleración de una partícula cuyo vector de posición es r (t )  6 t i  tj  t 2 k
cuando ésta pasa por el plano  x  y  z  4 .
Respuesta: v (1)  6 i  j  2 k , v (4)  6 i  j  8 k , a (1)  2 k , a (4)  2 k
24. [EP] Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una hélice dada por
r (t )  sen t i  cos t j  (t 2  3t  2) k , donde la componente k mide la altura en metros por encima del suelo y t  0 .
Si la partícula sale de la hélice y se mueve a lo largo de la recta tangente a la hélice, cuando está 12 m por encima
del suelo, proporcione el vector dirección para la recta. Respuesta: cos 5i  sen 5 j  7 k .
25. [MT] Considerar una partícula moviéndose sobre la trayectoria r (t )  cos t i  sen t j  t k , donde t es el tiempo.
En el tiempo t   la partícula deja la trayectoria y se va por una tangente (como se despega el lodo de una rueda
de bicicleta). Hallar la ubicación de la partícula en el tiempo t  2 . Suponer que ninguna fuerza actúa sobre ella
después de dejar la hélice. Respuesta: (  1,   , 2 ) .
26. [MT] Suponer que una partícula que va siguiendo la trayectoria r (t ) t 2 , t 3  4 t , 0  sale por una tangente en
t  2 . Calcular la posición de la partícula en t  3 . Respuesta: ( 8 , 8 , 0 ) .
27. [MT] Suponer que una partícula sigue la trayectoria r (t )  et , e t , cos t  hasta que sale por una tangente en
t  1 . ¿Dónde está en t  2 ? Respuesta: ( 2 e , 0 , cos 1  sen 1) .
28. [MT] Hallar la trayectoria r (t ) tal que r (0)  0 ,  5 ,1 y r (t ) t , et , t 2  .
Respuesta: r (t )  12 t 2 , et  6 , 13 t 3  1 .
29. [DZ] La velocidad de una partícula en movimiento es V (t )  10 t i  (3t 2  4 t ) j  k . Si la partícula empieza en
t  0 en ( 1, 2 , 3 ) , ¿cuál es su posición en t  2 ? Respuesta: r (2)  19 i  2 j  5 k
30. [EP] Considere la curva r (t )  2 t i  7 t j  9  7 t  4 t 2 k . ¿Dónde corta la recta tangente en t  14 al plano x
z? Respuesta: (  12 , 0 , 4377 )
31. [EP] Considere la curva r (t )  sen t cos t i  sen 2t j  cos t k , 0  t  2 . Para t  6 , ¿en donde la recta tangente
intersecta al plano x y?
t 1
32. Si V (t )  (t 2  1) i  j  5 t k , hallar r (t ) y A (t ) .
t
1
Respuesta: r (t )  ( 13 t 3  t ) i  (t  ln t ) j  52 t 2 k  C , A (t )  2 t i  2 j  5 k .
t
t 1 t 1
2
t
33. Si V (t )  2 i j k , hallar r (5) sabiendo que r (8)  2 ,  1, 4 
t  5t  6 1 t 1 t 2
4.6.- LONGITUD DE ARCO.
34. Encuentre la longitud de la curva definida por la función indicada en el intervalo dado.

Matemática III (008-2814). 6

 Funciones vectoriales.

a) r (t )  t , ln t  entre t  12 y t  2 . b) r (t ) t , ln cos t  entre t  0 y t  14  .

c) r (t ) t  sen t , t ,1  cos t  entre t  0 y t  2  . d) r (t )  cos t , sen t , t  (espiral) entre t  0 y t  1 .
e) x  2 cos t , y  2 sen t , z  3 t (espiral) desde t  0 hasta t   .
3
f) r (t )  cos 2 t , sen 2 t , 3t  (espiral) entre t  1 y t  3 . g) r (t )  sen 2 t i  cos 2 t j  2 t 2 k entre t  0 y t  1 .
3
h) r (t )  4 t 2 i  3sen t j  3 cos t k entre t  0 y t  2 .
i) x  et cos t , y  e t sen t , z  e t desde t  0 hasta un valor arbitrario de t.
j) r (t )  (t  1) i  t 2 j  (1  2 t ) k entre t  1 y t  2 .
k) r (t )  (t 2  1) i  (t  13 t 3 ) j  (t  13 t 3 ) k entre t  0 y t  1 .
l) y  12 x 2 , z  16 x 3 desde x  0 hasta x  6 .
m) x 2  3 y , 2 x y  9 z desde el punto O ( 0 , 0 , 0 ) hasta el punto M ( 3, 3, 2 ) .
 x a ax
n) y  a sen 1   , z  ln   desde el punto O ( 0 , 0 , 0 ) hasta el punto M ( x0 , y0 , z0 ) .
a 4 ax
Respuesta (En unidades de longitud): d) 2 ; e) 9  4 2 ; f) 2 13 ; h) 13; i) 3 (e t  1) ; k) 4
3 2 ; l) 42; m) 5;
n) x0  z0 .
35. Encuentre la longitud de la curva dada en los siguientes intervalos.
i) t  0 a t  18  . ii) t  0 a t  3 . iii) t  0 a t  13 .
a)  cos 4 t , sen 4 t , t  b)  t , 2 t , t 2  c)  e3 t , e3 t , 3 2t d)  t , t 3 , t 4 
 17
Respuesta: a) ; b) 3
2 ( 41  1)  54 log [ 15 (6  41) ] ; c) 3
2
e 2  32 e 2  6
8
36. [GT] Pruébese que la longitud del arco descrito por el extremo de r (t )  3 cos t i  3 sen t j  t 2 k cuando t varía
desde 0 hasta 2, es 5  94 ln 3 .
37. [WM] Un insecto vuela describiendo la curva r (t )  e t i  e t j  2 t k desde el punto (1,1, 0) hasta el punto
3
(2 , 12 , 2 ln 2) . ¿Qué distancia recorre el insecto en su movimiento? Respuesta: 2 Unidades de longitud.
38. Encuentre la integral para la longitud de la curva r (t )  e , sen t , t  entre t  1 y t   .
t


Respuesta: 
1
e 2 t  cos 2 t  1 d t

39. [BD] La posición de un punto en cualquier instante t ( t  0 ) se determina por las ecuaciones x  2 t , y  ln t ,
z  t 2 . Hallar la velocidad media del movimiento entre los instantes t  1 y t  10 . Respuesta: 11  19 ln 10 .
4.7.- VECTOR TANGENTE UNITARIO (T), NORMAL UNITARIO (N) Y BINORMAL UNITARIO (B).
40. Hallar los vectores unitarios principales T, N, B de la curva dada en el punto indicado:
a) x  t , y  t 2 , z  t 3 en el punto t  1 . b) x  1 cos t , y  sen t , z  t en el punto t  2 .
c) y  x 2 , z  2 x en el punto x  2 .
i  2 j  3k 3i  3 j  k  11i  8 j  9 k ik
Respuesta: a) T (1)  , B (1)  , N (1)  ; b) T ( 2 )  , N ( 2 )   j ,
14 19 266 2
ik i  4 j  2k  2i  k  4i  5 j  8k
B ( 2 )  ; c) T (2)  , B (2)  , N (2) 
2 21 5 105
41. Hallar los vectores unitarios de la tangente y normal principal de la espiral cónica r (t )  et (cos t i  sen t j  k )
en un punto arbitrario. Determinar los ángulos que forman estas rectas con el eje 0Z.

Matemática III (008-2814). 7

 Funciones vectoriales.

1 1
Respuesta: T (t )  [(cos t  sen t ) i  (sen t  cos t ) j  k ] , cos (T , z )  ,
3 3
1
N (t )   [(sen t  cos t ) i  (sen t  cos t ) j ] , cos ( N , z )  0 .
2
Recta tangente, recta normal y recta binormal a una curva.
42. [JM] Determine la ecuación de la a) recta tangente, b) recta normal principal y c) recta binormal a la curva
x  2 t 2  1 , y  1  t , z  t 2 en el punto (1, 0 ,1) .
x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 z 1
Respuesta: a)   ; b)   y c)  , y  0.
4 1 2 4 20 2 2 4
43. [BD] Hallar un punto en la curva x  t , y  t 2 , z  t 3 , de modo que la recta tangente en éste sea paralela al

plano x  2 y  z  4 . Respuesta: (  1,1,  1) y (  13 , 19 ,  271 ) .

44. [BD] Hallar las ecuaciones de la tangente, de la normal principal y de la binormal en un punto arbitrario de la
curva x  14 t 4 , y  13 t 3 , z  12 t 2 . Hallar los puntos en que la tangente a esta curva es paralela al plano
x  3 y  2 z  10  0 .
x  14 t 4 y  13 t 3 z  12 t 2 x  14 t 4 y  13 t 3 z  12 t 2
Respuesta: Tangente:   , Binormal:   , Normal principal:
t2 t 1 1  2t t2
x  14 t 4 y  13 t 3 z  12 t 2
  . M 1 ( 14 ,  13 , 12 ) , M 2 ( 4 ,  85 , 2 )
t 3  2t 1 t 4  2t 3  t
45. Dada la hélice circular x  a cos t , y  a sen t , z  b t . Escribir las ecuaciones de las rectas que forman las
aristas del tetraedro intrínseco en un punto arbitrario de dicha línea. Determinar los cosenos directores de la
tangente y de la normal principal.
x  a cos t y  a sen t z  b t x  a cos t y  a sen t z  b t
Respuesta: Tangente:   , Binormal:   , Normal
 a sen t a cos t b b sen t  b cos t a
x  a cos t y  a sen t
principal:  , z  bt .
cos t sen t
46. Escriba la ecuación paramétrica para la línea tangente a la curva dada en el punto dado en cada uno de los
siguientes casos.
a) r (t ) sen t , cos t  en t  13  b) r (t )  cos 4 t , sen 4 t , t  en el punto t  18  .
c) r (t ) t , 2 t , t 2  en el punto ( 1, 2 ,1 ) . d) r (t )  e3t , e 3t , 3 2 t  en t  1 .
e) r (t )  t , t 3 , t 4  en el punto ( 1,1,1 ) .
x  12 t , y  12  ( 0 ,1, 18  )  t (4 , 0 ,1) ; (1, 2 ,1)  t (1, 2 , 2 ) ;
3 3
Respuesta: a) 2 2
t; b) c) d)
( e3 , e 3 , 3 2 )  t (3 e3 ,  3 e 3 , 3 2 ) ; e) (1,1,1)  t (1, 3, 4 ) .
47. Sea r (t )  a cos t , a sen t , b t  , donde a y b son constantes. Sea  (t ) el ángulo que la línea tangente en un
b
punto dado de la curva hace con el eje z. Demuestre que cos  (t ) es la constante 2 .
a  b2
48. Demuestre que los vectores velocidad y aceleración de la curva en el problema 42 tienen longitud constante.
49. Sea r (t ) una curva diferenciable. Un plano o una línea que es perpendicular al vector velocidad r  (t ) en el
punto r (t ) se dice que es normal a la curva en el punto t o también en el punto r (t ) . Encuentre la ecuación de la
línea normal a las curvas a) r (t )  cos t , sen t  y b) r (t )  cos 3t , sen 3t  en el punto 13  .
Respuesta: y  3 x e y 0.
50. Dada la curva x  a t , y  b t 2 , z  t 3 , en donde 2 b 2  3 a , demostrar que las tangentes forman un ángulo
constante con la recta que pasa por el origen y por el punto (1, 0 ,1) , y hallarlo. Respuesta:  / 4 radianes.
Matemática III (008-2814). 8
 Funciones vectoriales.

51. [JM] Dada la curva x  t 3  1 , y  t 2  t , z  4 t 3  3 t  1 . Hallar la distancia desde el origen de coordenadas a

la tangente a la curva en el punto t  1 . Respuesta: 2 116 Unidades de longitud.
52. [JM] Determinar el ángulo de la tangente en un punto cualquiera a la curva representada por las ecuaciones
y  x 2 , z  23 x 3 con la bisectriz de los ejes x y z. Respuesta: 4 radianes.
Plano normal, plano rectificante y plano osculador a una curva.
53. Encuentre la ecuación del plano normal a la curva r (t )  et , t , t 2  en el punto a) t  1 ; b) t  0 .
Respuesta: a) e x  y  2 z  e 2  3 ; b) x  y  1
54. [BD] Escribir las ecuaciones de la tangente y del plano normal a las curvas siguientes:
a) x  R cos 2 t , y  R sen t cos t , z  R sen t cuando t  14  .
b) z  x 2  y 2 , x  y en el punto ( 1,1, 2 ) .
c) x 2  y 2  z 2  25 , x  z  25 en el punto ( 2 , 2 3 , 3 ) .
d) z  x 2  y 2 , y  x en el origen de coordenadas.
x  12 R z  2 R
2

Respuesta: a) Tangente:  , y  12 R , Plano normal: 2 x z  0; b) Tangente:

2  2
x 1 y 1 z  2 x2 y2 3 z 3
  , Plano normal: x  y  4 z  10  0 ; c) Tangente:   , Plano normal:
1 1 4 2 3 1 2 3
2 3 x  y  2 3 z  0 ; d) Tangente: x  y , z  0 , Plano normal: x  y  0
55. Hallar las ecuaciones de la recta tangente, del plano normal y del plano osculador de la curva x  t , y  t 2 ,
z  t 3 en el punto M ( 2 , 4 , 8 ) .
x  2 y  4 z 8
Respuesta: Tangente:   , Plano normal: x  4 y  12 z  114  0 , Plano osculador:
1 4 12
12 x  6 y  z  8  0 .
56. [JM] Dada la curva, cuyas ecuaciones son 2 z 2  y , z  x 2 . Hallar la ecuación del plano osculador y del plano
rectificante en el punto (1, 2 ,1) .
Respuesta: Plano osculador: 16 x  y  12 z  6  0 , Plano rectificante: 98 x  44 y  127 z  137  0 .
57. Encuentre la ecuación del plano osculador para cada una de las curvas en el punto dado.
a) r (t )  sen t , cos t , t  en t  12 
b)  cos 4 t , sen 4 t , t  en el punto t  18  Respuesta: x  4 z  12 
c)  t , 2 t , t 2  en el punto ( 1, 2 ,1 ) Respuesta: y  2 x
3 t
d)  e , e
3t
,3 2 t  en t  1 Respuesta:  x  e 6 y  2 e3 z  6 e3
e)  t , t 3 , t 4  en el punto ( 1,1,1 ) Respuesta: 2 x  2 y  z  1
f) x  e t , y  e t , z  2 t en el punto t  0 Respuesta: x  y  2 z  0
g) x 2  4 y , x 3  24 z en el punto ( 6 , 9 , 9 ) Respuesta: 9 x  6 y  2 z  18  0 .
58. [BD] Hallar las ecuaciones de la tangente, del plano osculador, de la normal principal y de la binormal de la
curva dada en el punto indicado. Calcular los cosenos directores de la binormal en este punto.
a) x  t , y  t , z  12 t 2 en el punto t  2 . b) y 2  x , x 2  z en el punto ( 1,1,1 ) .

Matemática III (008-2814). 9

 Funciones vectoriales.

x2 y2 z2

Respuesta: a) Tangente:   , Plano osculador: x  y  0 , Normal principal:
1 1 2
x2 y2 z2 x2 y2
  , Binormal:  , z  2 , cos   12 , cos   12 , cos   0 ; b) Plano osculador:
1 1 1 1 1
x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1
6 x  8 y  z  3  0 ; Normal principal:   ; Binormal:  
31 26  22 6 8 1
59. [BD] Hallar las ecuaciones del plano osculador, de la normal principal y de la binormal a la hélice cónica
x  t cos t , y  t sen t , z  b t en el origen de coordenadas. Hallar los vectores unitarios de la tangente, de la
normal principal y de la binormal en el origen de coordenadas.
Respuesta: Plano osculador: b x  z  0 . Normal principal: x  0 , z  0 , Binormal: x  b z  0 , y  0 ,
1 1
T (0)  (i  b k ) , B (0)  (b i  k ) , N (0)  j
1 b 2
1 b2
Intersección de curvas y planos en el espacio.
60. En qué puntos la curva  2 t 2 ,1  t , 3  t 2  intersecta al plano 3 x  14 y  z  10  0 ?
Respuesta: ( 2 , 0 , 4 ) y ( 18 , 4 ,12 ) .
1
61. [JB] Demostrar que la curva x  t 2 , y  3 t , z  2 t 2 perfora la superficie 2 x 2  y 2  2 z  15 en el punto
(1, 3, 2 ) .
62. [JB] Demostrar que la curva x  t 2  2 t , y  t 3  6 t , z  t 2 perfora la esfera x 2  y 2  z 2  32 en un punto de
la curva donde t  2 .
63. Demuestre que las dos curvas ( et , e 2 t , 1  e t ) y (1   , cos  , sen  ) se intersectan en el punto ( 1,1, 0 ) . ¿Cuál
es el ángulo entre sus tangentes en ese punto?
Respuesta: 12  .
t 1 t2
64. Hallar el valor que hay que dar al parámetro m, para que la curva x  , y  t 2  1, z  se corte con la
t 1 t 1
curva: x  1 6 s , y  15  3 m  s (90  17 m) , z  m s . Respuesta: m  12 , m  0 y m  6 .
Curvas planas.
65. [EP] Considere la curva r (t )  2 t i  t 2 j  (1  t 2 ) k .
a) Demuestre que la curva se encuentra en un plano y determine la ecuación de este plano.
b) Para t  2 , ¿en dónde la recta tangente intersecta al plano x y?
66. Demostrar que la curva dada es plana y hallar el plano en que se encuentra:
a) x  1  3t  2 t 2 , y  2  2 t  5 t 2 , z  1  t 2 Respuesta: 2 x  3 y  19 z  27  0 .
1 t 1 t2
b) x  , y  , z  Respuesta: 2 x  y  z  1  0 .
t 2  t 1 t2  t 1 t 2  t 1
3 3t  2t 2  8t  1
c) x  , y , z Respuesta: x  y  z  1  0 .
t2 t 1 t2  t  2
d) x  cos t  3 (sen t  1) , y  cos t  3 (sen t  1) , z  2 (cos t  1) Respuesta: x  y  z  2 .
67. Una partícula se mueve en el plano, de manera que en el instante t se encuentra ubicada en el punto
 4t t 2  4 
 2 , 2  . Demostrar que la partícula se mueve en una circunferencia con centro en el origen.
t 4 t 4
4.8.- CURVATURA Y TORSIÓN.
68. Demuestre que la curvatura de una recta es cero en cada uno de sus puntos.
69. Encuentre la curvatura como una función de t de las curvas:
a) r (t ) t , sen t  b) r (t ) sen 3t , cos 3t  c) r (t )  cos t , sen t , t 
d) r (t )   sen 3t , cos 3t , t  e) r (t )  a cos t , a sen t , c t  , a > 0 y c > 0
Matemática III (008-2814). 10
 Funciones vectoriales.

f) r (t )  et , e t , 2t
a
Respuesta: e) ; f) 2 /(e t  e t ) 2
a c2 2

70. Calcular las curvaturas de flexión y de torsión de las siguientes curvas en cualquier punto:
a) x  et cos t , y  et sen t , z  et (Hélice circular)
b) r (t )  a cos t i  a sen t j  b t k , a  0 (Hélice circular)
c) x  a cosh t , y  a senh t , z  a t , a  0 (Hélice hiperbólica)
2 t 1 1  t a 1 b 1 1
Respuesta: a)   e ,  e ; b)   2 ,  2 ; c)    .
3  3 a b  a b
2 2
 2 a cosh 2 t
71. Calcular la curvatura de la línea x  cos t , y  sen t , z  cosh t cuando t  0 . Respuesta:   2.
266
72. Encuentre la curvatura de la curva r (t ) t , t 2 , t 3  en a) t  1, b) t  0 , c) t  1 . Respuesta: a) .
98
73. Sea la curva plano definida por r (t )  x (t ) , y (t )  . Demuestre que la curvatura está dada por
| x  (t ) y  (t )  x  (t ) y  (t ) |
 (t )  3
.
[ x  2 (t )  y  2 (t ) ] 2
74. Si una curva está parametrizada por x  t , y  f (t ) (la parametrización natural de una función y  f (x) ,
encuentre una simplificación de la fórmula de la curvatura.
75. [GT] Hállese el punto de la curva dada en el cual es mínimo el radio de curvatura
a) y  e x b) y  sen x
76. Encuentre el radio de curvatura de la curva r (t ) t , ln t  . Para qué t es el radio de curvatura un mínimo?
3

77. Encuentre el radio de curvatura de la parábola y  x 2 . Respuesta: 12 (1  4 x 2 ) 2

78. Encuentre el radio de curvatura de la elipse dada por r (t )  a cos t , b sen t  , donde a y b son constantes.
3
(a 2sen 2t  b 2 cos 2 t ) 2
Respuesta: .
ab
t
 u2 t
 u2
79. La espiral de Cornu está dada por x (t )   cos du , y (t )   sen
du .
0
2 0
2
a) Hallar la longitud de arco de esta curva desde t  0 hasta t  a .
b) Hallar la curvatura de la gráfica cuando t  a .
c) La espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli encontró que la espiral tiene una relación
interesante entre curvatura y longitud de arco. ¿Cuál es esta relación?
Respuesta: a) L  a , b) K   a , c) K   L .
t t
cos u sen u
80. Encuentre la curvatura de la curva definida por x (t )   du , y (t )   du en términos de la longitud
0 u 0 u
de arco s . Respuesta:  s .
81. Durante el partido efectuado en el Estadio Monumental de Maturín, el día domingo 08 de Julio de 2007, en el
primer gol anotado por la selección de México contra la selección de Paraguay, el balón describió una curva cuya
ecuación es r (t )  t 2 i  3 t j  (3  2 t 2 ) k . Cuando pasó a través de la arquería en t = 1 s, calcular:
a) Vector velocidad, rapidez, vector aceleración, curvatura, torsión, radio de curvatura y radio de torsión del balón.
b) Los vectores del triedro móvil de Frenet.
2 2 2
82. Sea T la recta tangente en el punto P ( x , y ) a la gráfica de la curva x 3  y 3  a 3 , a  0 . Mostrar que el radio
de curvatura en P es el triple de la distancia del origen a la recta tangente T. [Sugerencia: La parametrización de
esta curva es x  a cos 3 t e y  a sen 3t ]
Matemática III (008-2814). 11
 Funciones vectoriales.

Componentes normal y tangencial de la aceleración.

83. La ecuación de un movimiento es r (t )  t i  t 2 j  t 3k . Determinar en los instantes t  0 y t  1 : a) la
curvatura de flexión de la trayectoria y b) las componentes tangencial y normal del vector aceleración del
movimiento. Respuesta: a) K  2 , aT  0 , a N  2 ; a) K  17 19
14 , aT  14 , a N  2 14 .
22 19

84. [RL] Una partícula se mueve según la fórmula dada. Hallar i) la velocidad, su módulo y la aceleración de la
partícula; ii) las componentes tangencial y normal de la aceleración; iii) la curvatura de la trayectoria.
a) r (t )  4 t i  4 t j  2 t k b) r (t )  4 t i  3cos t j  3 sen t k c) r (t )  et cos t i  et sen t j  et k
Respuesta: a) i) v (t )  4 i  4 j  2 k , v (t )  6 , A (t )  0 ; b) i) v (t )  4 i  3sen t j  3cos t k , v (t )  5 ,
A (t )  3cos t j  3 sen t k , ii) A.T  0 , A. N  3 , iii)  3
25 ; c) i)
v (t )  (et sen t  et cos t ) i  (et cos t  et sen t ) j  et k , v (t )  3 et , A (t )  2 et sen t i  2 et cos t j  et k , ii)
A.T  3 et , A. N  2 et , iii)  
2
3 et .

Matemática III (008-2814). 12