Tema 1.

Elementos geométricos

El punto.
El punto en geometría es un ente fundamental y un concepto difícil de de definir, nos lo
podemos imaginar como la marca más pequeña que se puede dibujar. En punto sólo tiene
posición, no tiene longitud, anchura o grosor. Se representa el punto por medio de un ‘’
punto dibujado’’, con una cruz o por una raya y se designa al punto conceptual por medio de
una letra mayúscula junto al punto dibujado como se muestra en la siguiente imagen.

No debe olvidarse que el ‘’punto dibujado’’ representa al concepto de punto pero no es un

punto conceptualmente, al igual que un punto dibujado en un mapa representa una
localidad pero no es la localidad misma. Un ‘’punto dibujado’’ diferencia de un punto
conceptual, tiene tamaño.

El segmento de recta.
Inicialmente se da la definición de recta: Una recta es un conjunto infinito de
puntos. Dados dos puntos cualesquiera en una recta, siempre existe un punto
que se encuentra entre ellos en esa recta. La recta AB, representada de manera
simbólica mediante (AB) ⃡ , se extiende infinitamente en direcciones opuestas,
como lo sugieren las flechas sobre la recta. Una recta también puede ser
representada por una sola letra minúscula. En las figuras 1.9(a) y (b) se
muestran las rectas AB y m. Cuando se utiliza una letra minúscula para designar
una recta, se omite el símbolo de recta; es decir, (AB) ⃡ y m pueden designar a
la misma recta.
Observe la posición del punto X en en la fi gura 1.9(c). Cuando tres puntos como A,
X y B están sobre la misma recta, se dice que son colineales. En el orden que se
muestra, el cual se simboliza A-X-B o B-X-A, el punto X se dice que está entre A y
B.

Definición segmento: Un segmento es la parte de una recta que consiste en dos puntos,
conocidos como puntos extremos, y todos los puntos entre ellos. (ver figura 1.11).
Es decir sobre una recta señalamos dos puntos B y C, se llama segmento al conjunto de
puntos comprendidos entre B y C, más estos dos puntos que se llama extremos del
segmento. generalmente al que se nombre en primer lugar se le llama origen y al otro,
extremo. De acuerdo a esto se admite el siguiente postulado: “La distancias más corta entre
dos puntos es el segmento que los une”
Un segmento se designa por la letras de sus extremos y con un trazo por encima. Ejemplo
el segmento BC se representa así ¯BC.
Se puede observar que ¯BC es un conjunto de puntos pero no es un número. Se utiliza BC
(omitiendo el símbolo de segmento) para indicar la longitud de este segmento de recta; así
pues, BC es un número.
Los lados de un triángulo o rectángulo son segmentos de recta. Los vértices de un
rectángulo se nombran en el orden que trazan sus lados de segmentos de recta ordenados.

Medida de segmentos: Medir un segmento es compararlos con otro elegido como unidad.
Para este fin se usan unidades de longitud del sistema métrico decimal, el sistema inglés o
de cualquier otro sistema.
Lo instrumentos usados para medir son las reglas graduadas, cintas, entre otros. Así, para
medir el segmento ¯BC se hace coincidir una división cualquiera (generalmente el cero) de
la regla con uno de los extremos del segmento y se observa la división que está más en
coincidencia con el otro extremo. La diferencia entre ambas lecturas da el valor de la
longitud del segmento. Ejemplo:
En este caso tenemos (ver figura 11):

Extremo A=5.0 cm,

Extremo B=10.5 CM,
Entonces, la longitud de ¯AB= 5.5 cm

También se puede usar el siguiente método: con un compás que tiene ambas puntas
metálicas, se toma la longitud del segmento (ver figura 12-A) y se lleva esta abertura sobre
la regla (Figura 2-B).
ERROR: Las medidas, en la práctica, son generalmente aproximadas. A la diferencia entre
la verdadera longitud del segmento y el valor obtenido se le llama error de medida. El error
puede ser por exceso, cuando se toma un valor mayor que el verdadero, o por defecto,
cuando se toma un valor menor que el verdadero. El error es debido a las imperfecciones
de nuestros sentidos, o de los instrumentos que empleamos, o a otras causas.

Operaciones con segmentos: Se puede proceder gráficamente así:

1. Suma de segmentos. Para sumar, por ejemplo, los segmentos ¯AB, ¯CD, ¯EF, se
procede así:

Sobre una recta indefinida (MN) ⃡ (figura 13) y a partir de un punto

cualquiera P, se llevan los segmentos que se van a sumar, en un sentido
determinado, uno a continuación de otro, haciendo que el extremo de cada sumando
coincida con el origen del siguiente. El segmento ¯AF, que tiene por origen el origen
del primero y por extremo el extremo del último, representa la suma.

¯AB + ¯CD + ¯EF = ¯AF

2. Sustracción de segmentos. Para la diferencia de los segmentos ¯AB - ¯CD se

procede así:
Sobre el segmento minuendo ¯AB (figura 14.) se lleva el segmento sustraendo ¯CD,
de manera tal que coincidan A y C.

El segmento resultante, ¯DB, representa la diferencia. Es decir:

¯AB - ¯CD = ¯DB
 3. Multiplicación de un segmento por un número real. El producto del segmento ¯AB
por un número natural, 4 por ejemplo, se obtiene llevando sobre una recta
cualquiera (MN) ⃡ (figura 15) y a partir de un punto cualquiera de ella, P, el
segmento ¯AB, tantas veces como indica el número, 4 en este caso, por el cual va a
multiplicar. Así:

¯PR = 4¯AB

4. División de un segmento en un número de partes iguales. Sea el segmento ¯AB que

se quiere dividir en 8 partes iguales. A partir de uno de los extremos del segmento
¯AB (figura 16), se traza una semirrecta AC, con cualquier inclinación, sobre AC y a
partir de A, se lleva un segmento de cualquier longitud b, tantas veces (8 en este
caso) como indica el divisor, El extremo del último segmento b, se une con B y se
traza paralelas b, se une con B y se traza paralelas al segmento ¯B8 por los puntos
1,2,3, etc. tendremos:
X = ¯AB / 8

“Las operaciones anteriores se pueden efectuar midiendo los segmento y operando con las
medidas obtenidas”

Igualdad y desigualdad de segmentos: Si al superponer dos segmentos ¯AB y ¯CD

(Figura 17). se puede hacer coincidir los dos extremos del primer segmento con los dos
extremos del segundo, dichos segmentos son iguales (=).
Cuando no se cumple la condición anterior , se dice que son desiguales.
De dos segmentos desiguales, uno de ellos es mayor que (>) o menor que (<) el otro. Así
¯AB > ¯EF y ¯EF < ¯AB (figura 17).
POSIBLES EJERCICIOS

El ángulo y la clasificación de los ángulos.

Un ángulo es la unión de dos rayos o semirrectas que comparten un punto extremo común.

Los rayos BA y BC se conocen como los lados

del ángulo. El punto extremo común de estos
rayos, B, se conoce como el vértice del ángulo.
Cuando se utilizan tres letras para nombrar un
ángulo, el vértice siempre se menciona en
medio, en el caso de la figura sería ∠ABC o
∠CBA. También una letra o número individual
se puede emplear para nombrar el ángulo, en
la figura se puede designar como ∠B (el vértice
del ángulo) o como ∠1. En notación de
conjuntos, ∠B = BA U BC .
La medición de un ángulo depende de que tanto debe rotarse uno de sus lados alrededor
del vértice, hasta que coincida con el otro lado. El grado es la unidad de medida para el
ángulo, la medida de un ángulo es el número de grados que contiene. Un angulo es positivo
si su sentido de giro es contrario a la manecillas del reloj, y el negativo si su sentido de giro
es a favor de las manecillas del reloj.

Las propiedades fundamentales de la medición de ángulos son las siguientes:

-Si un rayo BD (también es llamado bisectriz) parte del vértice de un ángulo ∠CBA
y pasa entre sus lados, el ángulo ∠CBA es igual a la suma de los ángulos ∠CBD
y ∠DBA, como se ve en la siguiente figura.

(Abro propiedades de los

ángulos CNZ, https://www.geogebra.org/classic/hqu8ubgw

En la siguiente aplicación https://www.geogebra.org/m/N2fx34Tt vemos el ejemplo del

ángulo ∠B que mide 60°. Si BA es rotado alrededor del vértice B, hasta que coincida con
BC , la medida de rotación sería 60°. Para utilizar el transportador hay que asegurar que el
vértice B coincida con el centro y un lado coincida con el diámetro 0°-180°. Hay que tener
en cuenta que el tamaño de un ángulo no depende de la longitud de los lados.

(Debe verse esto

en la aplicación).

Con el objetivo de medir ángulo con mayor precisión, dividimos 1° en 60 partes iguales,
denominadas minutos. Así, 1° = 60 minutos = 60’. Para una precisión mayor, cada minutos
se divide en 60 partes iguales denominadas segundos. De esta forma tenemos que 1° = 60’
y 1’ = 60’’.

Ejemplo: 1) Pasar 40.3° a grados y minutos

40° + 0.3°
1° 60’

0.3° x

0.3 °∗60 '

X= = 18’
1°
40.3° = 40° 18’

2) Pasar 60° 45’ 30’’ a grados decimales

60’’ 1’

30’’ x
30' '
X = 1’ * = 0.5’
60' '
= 45’ + 0.5’ = 45.5’

60’ 1°

45.5’ x
45.5 ' '
X = 1° * = 0.7583°
60 ' '
60° + 0.7583° = 60,7583°

Y también lo podemos expresar en radianes, https://www.geogebra.org/classic/bdfa9m8t

con la circuferencia que se muestra allí podemos explicarlo, cuando el arco que forman dos
puntos tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia, entonces el angulo central
que se forma equivale a un radián, por ejemplo, vemos en la figura que el radio es 4,2 si
movemos el segmento para cambiar de angulo, en un momento dado, el arco que se forma
medirá 4,2 (cuando se colorea de azul), en el primer caso 57,3° equivalen a 1 radián, y este
segmento se puede mover alrededor de la circunferencia hasta completar 2𝜋 radianes que
serían 6,28 radianes, entonces una circunferencias que tiene 360°, tiene igualmente 2𝜋
radianes, la mitad de la circunferencia (180°) entonces tiene 𝜋 radianes. Teniendo en
cuenta esto, decimos entonces que:

180° 𝜋 radianes

1° x
𝜋 𝜋 180°
x= , entonces 1° equivale a y 1 rad equivale a
180° 180° 𝜋

3) Pasar 60,7583° a radianes

180° 𝜋 radianes

60,7583° x

𝜋
X = 60,7583° * = 1,06043 radianes.
180°

Clasificación de los ángulos:

Según su medida:
https://www.geogebra.org/classic/ewrs3mug

Ángulo nulo: Es igual a 0°

Ángulo agudo: Cuando es mayor a 0° y menor a 90°
Ángulo recto: Es igual a 90°
Ángulo obtuso: Cuando es mayor a 90° y menor a 180°
Ángulo llano: Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la
misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180°
Ángulo reflejo: Cuando es mayor a 180° y menor a 360°
Ángulo convexo: Es menor a 180°
Ángulo cóncavo: Es mayor a 180°

Según su suma:
https://www.geogebra.org/classic/jnabv3uh

-Dos ángulos con medidas m1 y m2 se dice que son complementarios si y sólo si m1 + m2

= 90º. Se dice que son suplementarios si m1 + m2 = 180º.

Según su posición:

-Dos ángulos que tienen un lado común y cuyos interiores no se solapan se dice que son
adyacentes.

-Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que tienen el vértice común y los lados del
uno son prolongación de los del otro.

-Dos ángulos se llaman verticales cuando sus cuatro lados forman dos rectas que se cortan.

Ángulos formados por dos rectas cortadas por una secante:

-Cuando dos líneas se cortan en dos puntos por otra recta transversal se forman cuatro
pares de ángulos que se llaman ángulos correspondientes, situados al mismo lado de la
secante, uno interno y otro externo.

-Ángulos alternos internos: son dos ángulos internos no adyacentes, situados en distinto
lado de las paralelas y la secante.

Ángulos alternos externos: son dos ángulos externos no adyacentes, situados en distinto
lado de las paralelas y la secante.

Otros:

-Cuando dos ángulos tiene igual medida son congruentes

Tres funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente.

Las razones trigonométricas son funciones que describen relaciones entre los lados de los
triángulos rectángulos y sus ángulos internos. Las razones trigonométricas se manejan
como sinónimos de las funciones trigonométricas. Sin embargo, existe diferencias sutiles
entre ambos conceptos.
En primer lugar, la razón trigonométrica, tal como ha sido definida, está asociada a un
triángulo rectángulo, y por consiguiente, el ángulo que la genera esta dentro del rango 0-
90°, cosa que no ocurre cuando se maneja el concepto de función. Por otra parte, una
razón trigonométrica específica puede interpretarse como un caso de relación entre la, en
cambio, la función trigonométrica conceptualmente hace un mayor énfasis en la relación de
dependencia de las variables, misma que puede ser expresada a través de alguna igualdad
relacionada con las razones trigonométricas, Así se integran los dos conceptos.

Primero empezaremos dando una pequeña introducción enfocándonos en las razones

trigonométricas:

-En todo triángulo rectángulo se tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. La
hipotenusa es el mayor de los tres lados del triángulo.

En el triángulo rectángulo:

Cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene por lados la hipotenusa y uno de los
catetos.

Para un cierto ángulo agudo α, los catetos reciben el nombre de opuesto o de adyacente.

Cabe resaltar de la suma de todos los lados de un triángulo rectángulo suma 180°.
Teniendo en cuenta lo anterior ahora podemos definir los conceptos de seno, coseno y
tangente como funciones trigonométricas.

Consideremos el ángulo α, con el punto P(x,y) en lado terminal de α

En el triángulo OAP se cumple que: x 2+ y 2= r 2

Las funciones trigonométricas seno coseno y tangente para el ángulo α se definen de la

siguiente manera:

cateto opuesto a α AP cateto adyacente a α OA

Sen α = = Cos α = =
hipotenusa OP hipotenusa OP

cateto opuesto a α AP
Tan α = =
cateto adyacente a α OA

Entonces:
OA = x (la abscisa del punto P)
AP = y (la ordenada del punto P) r = √❑
OP = r (la distancia de P al origen)

Entonces, las nuevas definiciones de las funciones trigonométricas en función de las

coordenadas del punto P(x,y) son:

ordenada de P y abscisa de P x
Sen α = = Cos α = =
distancia de P alorigen r distancia de P al origen r

ordenada de P y
Tan α = =
abscisa de P x
El triángulo rectángulo formado por las coordenadas de P(x,y) puede inscribirse dentro de
un círculo de radio r llamado círculo trigonométrico. El uso de este círculo permitirá
visualizar con mayor facilidad algunas cuestiones de interés.

Ejercicio:
1) Determinar los valores de las funciones trigonométricas de seno, coseno y tangente del
ángulo α, si P Es un punto en el lado terminal de α, y las coordenadas de P (3,4)

4
Sen α =
r
3
Cos α =
r
4
Tan α =
3

Recordemos que (x,y) son las coordenadas del punto P, y por lo tanto también cambiarán
sus signos dependiendo del cuadrante en el que se encuentra localizado el punto P. Como
consecuencia de esto, valores de las funciones trigonométricas tendrán signo lo cual
dependerá del cuadrante en dónde queda el lado final del ángulo α. (No hay que olvidar que
en estas nuevas definiciones, el lado inicial siempre será el semieje X positivo).

Determinaremos a continuación, el signo de las funciones trigonométricas para un ángulo

en posición normal en cada uno de los cuadrantes de un sistema de coordenadas
cartesianas.

Primer cuadrante:
En este cuadrante, x 1es positiva, y 1es positiva. Además, En todos los casos r se considera
una distancia por lo que siempre será positiva.

y 1 +¿
Sen α = = ¿= +
r +¿¿

x1 +¿
Cos α = = ¿= +
r +¿¿

y 1 +¿
Tan α = = ¿= +
x1 + ¿ ¿

Segundo cuadrante

En este cuadrante tenemos:

y 2 +¿
Sen α = = ¿= +
r +¿¿

−x 2 −¿
Cos α = = ¿= -
r +¿¿

y 2 +¿
Tan α = = ¿= -
−x 2 −¿ ¿
Tercer cuadrante

En este cuadrante tenemos:

− y 3 −¿
Sen α = = ¿= -
r +¿¿

−x3 −¿
Cos α = = ¿= -
r +¿¿

− y 3 −¿
Tan α = = ¿= +
−x 3 −¿ ¿

Cuarto cuadrante

En este cuadrante tenemos:

− y 4 −¿
Sen α = = ¿= -
r +¿¿

x 4 +¿
Cos α = = ¿= +
r +¿¿

− y 4 −¿
Tan α = = ¿= -
x4 + ¿ ¿

En conclusión los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante:

 I II III IV

Seno + + - -

Coseno + - - +

Tangente + - + -

Con esta información, sólo necesitamos tener presente que, en cada cuadrante las
funciones positivas son.

Ejercicio

1) R(5,8) es un punto del lado final del ángulo α y S(3,6) es un punto del lado final del
ángulo β; ¿qué ángulo es mayor?

Pendiente geométrica.

Se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo

respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la “m” (pendiente) es el ángulo en
radianes). P, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa
la derivada de una función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el
trazado altimétrico de carreteras, vía férreas, canales y otros elementos constructivos.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección
positiva del eje de abscisas.

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de

inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m, Por tanto, se
puede escribir que:
m = Tg α
Si α es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta l en la figura 12.; si α ' es obtuso,
como para la recta l’ , la pendiente es negativa.

Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, y su ángulo
de inclinación será de 90°. Como tg 90° no está definida, la pendiente de una recta paralela
al eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda recta perpendicular al eje X
no tiene pendiente.

Calculo de pendiente:

Pendiente dados 2 puntos: Sean P(X1; Y1) y (X2; Y2)P2, dos puntos diferentes
cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es

m= Y2 - Y1 / X2 - X1 ; X1 ≠ X2

Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que es positiva, si por el contrario es menor que
0 es negativa, si es igual a 0 la recta es paralela al eje (X) del plano cartesiano, y si la
pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (Y) del plano cartesiano.
Pendiente dado un ángulo:
m = Tg α

Demostración: Consideremos la recta P1 y P2 de la figura 13, determinada por los puntos

P1 y P2, y sea α su ángulo de inclinación. Por P1 Y P2 trazamos las perpendiculares P1A1 y
P2A2 al eje X, y por P2 trazamos una paralela al eje X que corte a P1A1 en B. El ángulo
P1P2B = α , y, por trigonometría, tendremos,

BP 1
m=tg α = (4)
P2B

Las coordenadas de los puntos A1, A2 y B son A1(X1,0), A2(X2,0) y B(X1, Y2). Por tanto,
tenemos
B P 1= y 1− y 2, P2 B=A 2 A 1=x 1−x 2❑

Sustituyendo estos valores en (4), obtenemos lo que se quería demostrar.

Ejemplo: Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos
(1,6) y (5,2).

Solución: Se muestra la recta en la figura 14. Por el teorema tenemos, para la pendiente
−2−6 −8
m= = =−2
5−1 4
Para el ángulo de inclinación tenemos,

α =arc tg ( m)=arc tg (−2)=−63,4349; α=180−63,4349=116 °

EJERCICIOS PROPUESTOS
 1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-
3,2) y (7-3)
2. Dígase la pendiente de cada una de las siguiente rectas dirigidas (hacer el gráfico):
a) El eje X.
b) El eje Y.
c) Una recta paralela al eje X y dirigida hacia la derecha
d) Una recta paralela al eje X y dirigida hacia la izquierda

Noción de número complejo.

Coordenadas planas.

Rumbo y Azimut.

Rumbo: El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (<90°) que forma con un
meridiano de referencia, generalmente se toma como tal una línea Norte - Sur que puede
estar definida por el N geográfico o el N magnético ( ver imagen) (si no se dispone de
información sobre ninguno de los dos se suele trabajar con un meridiano, o línea de Norte
arbitraria).
Como se muestra en la figura, los rumbos se miden desde el Norte (Línea ON) o desde el
Sur (línea OS), en el sentido de las manecillas del reloj si la línea a la que se le desea
conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NOE o el SOW; o en el sentido contrario
si corresponde al cuadrante NOW o al SOE.
Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a que
cuadrante corresponde cada rumbo.

Por ejemplo en la figura las línea mostradas tiene los siguiente rumbos:
Líne RUMBO:
OA N30°E
OB S30°E
OC S60°W
OD N45°W

Como se puede observar en la notación del rumbo se escribe primero la componente N o S

del cuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E o W

Azimut: el azimut de una línea es la dirección de esta respecto al meridiano escogido, pero,
medida ya no como el rumbo, por un ángulo agudo, sino tomada como el ángulo que existe
entre la línea y un extremo del meridiano. Generalmente se toma el extremo Norte de éste y
el ángulo se mide en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. En igual forma, el
azimut puede ser verdadero, magnético o arbitrario, según el meridiano al cual se refiera. El
rumbo varía de 0° a 90° y el azimut de 0° a 360°. No se requiere indicar el cuadrante que
ocupa la línea observada. Para el caso de la figura, las mismas línea para las que se había
encontrado el rumbo tienen el siguiente azimut:

Línea AZIMUT
OA 30°
OB 150°
OC 240°
OD 315°

Contra Rumbo y contra Azimut (Rumbo o azimut inverso)

Cuando se desea conocer la dirección de una línea se puede ubicar un instrumento para
medirla en cualquiera de sus puntos extremos, por lo tanto se llaman rumbo y azimut
inversos a los observados desde el punto contrario al inicial. Para que quede más claro, si
en el ejemplo de la figura se midieron los rumbos y azimutes desde el punto O (Líneas OA,
OB, OC, y OD), el contra rumbo y contra azimut de cada línea corresponde a la dirección
medida en el sentido opuesto, desde cada punto hasta O.
Cuando se trata de rumbos, para conocer el inverso simplemente se cambian las letras que
indican el cuadrante por las opuestas (N - S y E - W) de manera que para la figura se
obtiene:

Líne RUMBO CONTRA-RUMBO

OA N30°E S30°W
OB S30°E N30°W
OC S60°W N60°E
OD N45°W S45°E

Por el contrario si se trata de azimutes, el inverso se calcula sumándole 180° al original si

este es menor o igual a 180°, o restando los 180° en caso de ser mayor.

Contra-azimut= azimut ±180°

Para la figura mostrada se observan los siguientes azimutes inversos:

Línea AZIMUT CONTRA- AZIMUT

OA 30° 30°+180°= 210°

OB 150° 150°+180°=330°
OC 240° 240°-180°=60°
OD 315° 315°-180°=135°

Vale la pena volver a decir que en ningún caso un rumbo (o un rumbo inverso) puede ser
mayor a 90°, ni un azimut (o contra azimut) mayor a 360°.

Conversiones

Conversión de rumbo a azimut: para calcular azimut a partir de rumbos es necesario

tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra la línea, Observando la figura se puede
deducir lo siguiente:

Cuadrante Azimut a partir del rumbo

NE Igual al rumbo pero sin indicar el cuadrante
SE 180°- Rumbo
SW 180° + Rumbo
NW 360° - Rumbo

Conversión de azimut a rumbo: observando la figura se ve que el cuadrante de la línea

depende del valor del azimut así:

Azimut Cuadrante Rumbo

0°-90° NE N -valor azimut- E
90°-180° SE S -180°-azimut- E
180° - 270° SW S -Azimut-180°-W
270- 360° NW N -360°-Azimut-W

Coordenadas polares.
Sistema métrico decimal.
Escala y dibujo de poligonales utilizando las coordenadas planas y polares.