GEOMETRIA

Es parte de la matemtica que trata del estudio de las

propiedades de las figuras geomtricas y de las relaciones
existentes entre las medidas de sus extensiones.
Punto
Es un concepto abstracto cuya existencia aceptamos
dotndolo de la propiedad de ser tan pequeo que no tiene
dimensin, y se representa mediante una marca designada
por una letra mayscula.

Consideremos en la recta un punto llamado origen, este

punto divide a la recta en dos partes. El conjunto de puntos
ubicados a un lado del origen se llama semirrecta. La parte
de la direccin, que partiendo del origen, se prolonga
indefinidamente hacia un lado, se llama sentido.
Por consiguiente, el origen divide a la recta en dos
semirrectas que tienen la misma direccin pero sentidos
opuestos.

A se lee :" punto A ".

Lnea
Es el conjunto de infinitos puntos dispuestos siguiendo la
trayectoria descrita por el desplazamiento de un punto. Una
lnea limitada tiene por extensin su longitud.
Entre los tipos de lneas tenemos:
a) La lnea recta

b) La lnea curva

Rayo
Es la unin del origen y la semirrecta.

Segmento
Es la porcin de recta comprendida entre dos puntos
llamados extremos del segmento.

c) La lnea quebrada

d) La lnea mixta

Superficie
Es el conjunto de infinitos puntos generados por el
desplazamiento de una lnea. Cuando sta es limitada; su
extensin es el rea.

LA LNEA RECTA
Lnea Recta
Es el conjunto de infinitos puntos dispuestos siguiendo: una
trayectoria igual a la que describe un haz de luz en el vaco.
Dicha trayectoria se llama direccin. Por consiguiente. el
conjunto de puntos que conforman la lnea recta sigue una
direccin, La recta no tiene extremos.

A y B son los extremos del segmento AB . Dado que el

segmento es un conjunto de puntos, est sujeto a todas las
propiedades operaciones de conjuntos.
OPERACIONES CON LONGI TUDES DE SEGMENTOS
Todo segmento tiene una longitud cuya unidad de medida en
el Sistema Internacional de Unidades es el metro con su
mltiplos y submltiplos.

Segmento AB
Longitud del segmento AB = 5cm
Observacin:
Ntese que el segmento se denota con dos letras y una
barra superior, mientras que la longitud, solamente con dos
letras.
Cuando no se especifica el tipo de segmento se considerar
cerrado.
Con las longitudes de los segmentos se pueden realizar
operaciones:
Punto medio de un segmento
Dado un segmento, un punto M de AB se llama punto medio
si AM = MB.

Todo segmento tiene un solo punto medio.

Semirrecta

PROBLEMAS
1. En una recta se ubican lo puntos consecutivos A, B, C,
D y E; de tal manera que:

AC BD CE 55 y

BD 2

AE 3

Calcular:AE
A)21
B)22
C)11
D)33
E)45
2. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y
C; de tal manera que: AB BC = 10, luego se ubica el punto
M punto medio de AC calcular MB
A)3
B)4
C)5
D)10
E)2
3. En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R,
S y T; tal que: PR = RT; PQ +RS = 12 ST QR = 4 Calcular:
PQ
A)2
B)4
C)6
D)8
E)5
4. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C,
y D; de tal manera que:

AC CD

y 3BD 5 AB 72
3
5

Calcular BC
A)6
B) 12
C)9
D)8
E) 24
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,
C y D; tal que:

nAC mCD y mBD nAB m n

Calcular BC
A)2
B)1
C)0.5
D)3
E)0
6. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B,
C, D, E y F de tal manera que:

AC BD CE DF 39 y BE

5
AF
8

`Calcular AF
A)6
B)12
C)13
D)8
E)24
7. A, C, D y E son puntos colineales y consecutivos tal que
D sea punto medie de CE y AC - AE = 50 m. Hallar AD.
A) 35 m
B) 34 m
C) 30 m
D) 25 m
E) 20 m
8. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y
R. Entre los puntos Q y R se toma un punto H, tal que:

PH

HR
4

A) 7,2m
B) 5,6m
C) 3,8 m
D) 6,2m
E) 5,2m
9. Sean los puntos consecutivos y colineales sobre una
recta A, E, B, P y C; E es punto medio de AB y Pespunto
medio de EC. Hallar PC. Si: AB + 2(BC) = 36 m.
A) 9 m
B) 10 m
C)10,5 m
D) 12 m
E) 18 m
10. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C
tales que:

2 AB BC

AB
AC

Hallar AB,
A) 6 m
D) 9 m

B)7m
E) 10 m

15. Sobre una lnea recta

y AC 12m

suur
XY se

consideran los puntos

consecutivos A, B, C, D y E con la siguiente condicin:

AC +BD +CE = 44 m. Hallar la longitud del segmento. AB Si
AE = 25 m y DE = 2(AB).
A) 1m
B) 2m
C) 3m
D) 4m
E) 5m
16. En una recta se ubica los puntos consecutivos A. B, C, D
y E de modo que BD +AC + BE +AD +CE = (AE)(BD)

Calcular

1
1

AE BD

A) 1/2
B) 3
C) 1/3
D) 2
E) 1/6
17. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ,E
y F si

AC BD CE DF

m,
BC CD DE EF
AB BC CD DE
calcular

.
BC CD DE EF
A) m - 4
B) m
C) m-1
D) m +2
E) m - 3
18. En un recta se ubica los puntos consecutivos A, B, C yD
de modo que B es punto medio de AD. Calcule CD, si se
cumple que (AC)(AD)=16

y QR - 4(PQ) = 28 m. Hallar QH.

11. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B,

C, D y E tal que: 2(AB)=3(BC)=4(CD)=5(DE) y AE + BD =
56m. Hallar AB.
A) 12m
B)13m
C)14m
D) 15m
E)16m
12. Sobre una recta se tiene los puntos
consecutivos E,
F, G y H. Si EF = 8 m, GH = 9m y (EG)(GH)+(EF)(FH)=(FG)
(EH). Hallar FG.
A) 10 m
B) 12 m
C) 14 m
D) 17m
E) 20 m
13. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A M,
B, C, N y D. M y N, bisecan AB y BD respectivamente. Hallar
BC, sabiendo adems que: NC =4m, CD =MB v AD = 36m.
A) 1,2m
B) 2,5m
C) 1,8m
D) 3m
E) 2,8m
14. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos tales
que: AC + BD = 24 m. Hallar la distancia entre los puntos
medios de AB y CD.
A) 24 m
B) 48 m
C) 6 m
D) 12 m
E) 18 m

2
1
1

AC AB 2(CD)

A) 2
B)3
C) 4,5
D)5
E)6
19. En una recta se ubica los puntos A, B. C, D, E y F tal que

BE AB
AC = CE = EF y 2(BC) = 3(DE), calcular
2
2
DF CD
2

A) 3/2
D) 4/9

B) 2/3
E) 6/2

C) 9/4

C) 8 m

ANGULOS

b) ngulo recto: Mide 90.

El ngulo es la figura formada por dos rayos que tienen el

mismo origen.
Elementos:
Lados:

uuu
r uuu
r
OA y OB

Vrtice: O
Abertura: (alfa)
c) ngulo obtuso: Mide ms de 90 menos de 180

Notacin:

R AOB, AOB

d) ngulo llano: mide 180

Medida: m R AOB =
Medida de ngulos
Se mide el grado de abertura de los lados. El sistema de
unidades de medicin angular ms utilizado en geometra se
denomina Sistema Sexagesimal.
Para establecer la unidad se ha dividido la circunferencia en
360 partes (ver la siguiente figura) y cada parte se llama un
grado (1). Adems cada grado se ha dividido en 60 minutos
y cada minuto en 60 segundos.

1 60`

1` 60"

1 3600"

Medicin del ngulo

Bisectriz de un ngulo
La bisectriz de un ngulo es el rayo que tiene por origen el
vrtice y divide a la figura en dos ngulos congruentes.

Segn la posicin de sus lados

a) Adyacentes o consecutivos
Dos ngulos son adyacentes o un ngulo consecutivo del
otro, si tienen el vrtice y un lado comn, tal que los ngulos
estn ubicados a uno v al otro lado del lado comn. Si la
suma las medidas de dos ngulos consecutivos es 90, se
dice que son complementarios y si es 180 son
suplementarios.

ngulos complementarios
complemento de complemento de

uuur
OX bi sec triz R AOX R XOB

ngulos suplementarios
suplemento de suplemento de
b) ngulos opuestos por el vrtice
Dos ngulos son opuestos por el vrtice, si uno de ellos est
formado por la prolongacin de los lados del otro.
CLASIFICACIN DE LOS NGULOS.
Segn su medida
a) ngulo Agudo: Mide menos de 90.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Dos rectas en el plano son o bien paralelas o bien secantes.
Son paralelas cuando no tienen puntos comunes. Son
secantes cuando tienen un punto en comn, que a su vez
pueden ser perpendiculares si se cortan formando 4 ngulos

rectos, u oblicuas cuando se cortan formando ngulos

diferentes al de 90

Teorema
Rectas paralelas cortadas por una secante

Generalizacin:

NGULOS DE LADOS PARALELOS

a) Si los lados estn dirigidos en el mismo sentido, o en
sentidos contrarios dos a dos, son congruentes.

b) Si dos lados respectivos estn dirigidos en un sentido y los

otros dos en sentidos contrarios, entonces los ngulos son
suplementarios.

NGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

a) Si son agudos o obtusos, son congruentes.

I1 I 2 I 3 ........ I n D1 D2 D3 ........ Dn

PROBLEMAS
1. Calcular la medida de un ngulo, sabiendo que la suma
de su suplemento con su complemento, es igual al cudruple
del complemento del mismo ngulo
A)30
B)40
C)60
D)45
E)50
2. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD,
tal que los ngulos AOC y BOD son suplementarios calcular
la medida del ngulo que forman las bisectrices de los
ngulos AOB y COD, si m R BOC = 15 y m R AOB = 2(m

R COD)
A)50
B)100
C)90
D)80
E)70
3. Se trazan los ngulos consecutivos AOB, .BOC y COD
luego las bisectrices de los ngulos AOB y BOC son OM y
ON respectivamente. Calcular
m R MON, si m R COD=3m R MON y m R AOC+m R
NOM+m R COD = 270
A)30
B)25
C)45
D)15
E)35
4. El complemento de la diferencia que existe entre el
suplemento y el complemento de la medida de un ngulo es
igual a 4/9 de la diferencia que existe entre el suplemento de
la medida de dicho ngulo y el suplemento del suplemento de
la medida de dicho ngulo. Indicar la medida de dicho ngulo
A)45
B)30
C)60
D)90
E)130

b) Si uno es agudo y el otro obtuso, entonces son

suplementarios.

5.

En la figura, hallar x.

OP, OQ y OM son las bisectrices de los ngulos AOB, BOC y

P0Q. Se trazan los rayos OR y OS, tal que m R QOR =2m R

A) 135
B) 138
C)140
D) 145
E) 136
6. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD,
tal que la m S AOC = 80 y m S BOD = 60. Hallar la medida
del ngulo que forman las bisectrices de los ngulos AOB y
COD.
A) 80
B) 70
C) 75
D) 85
E) 90
7. La diferencia entre la medida de un ngulo y su
suplemento es igual al triple de su complemento. Hallar la
medida de dicho ngulo.
A) 0
B) 45
C) 60
D90
E) 80
8. El triple del suplemento del complemento de menos el
doble del complemento del suplemento de 2, es igual a
ocho veces el complemento del complemento de . Hallar .
A) 40
B) 60
C) 50
D) 70
E) 30
9. El complemento de la diferencia que existe entre el
suplemento de un ngulo y su complemento es igual a los 4/5
de la diferencia que existe entre el suplemento y el
suplemento del suplemento del mismo ngulo. Hallar la
medida del ngulo.
A) 80
B) 85
C)90
D) 70
E) 75
10. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD,

AOR y m R POS = 2m R COS. Calcular la medida del ngulo

MON, si el rayo ON es la bisectriz del ngulo ROS.
A) 10
B)20
C)30
D) 50
E) 15
15. Los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD estn en la
razn 1; 2 y 3 si la medida del ngulo formado por: las
bisectrices del R AOB y R COD es 60 Hallar m< AOD.
A) 45
B) 30
C) 150
D) 90
E) 120
16. Se dan los ngulos consecutivos AOB, BOC, COD y

uuur
uuur
OB bisectriz: del R AOD, OC bisectriz del
mR COD 2
, Si R EOB es aguado Hallar el
R BOE y
mR DOE 3
mximo valor entero de m R AOB.
DOE, siendo

A) 65
D) 86

B) 62
E) 84

C) 70

A) 24
B) 25
D) 30
E) 34
18. Hallar , si: M//N//C y A//B.

C) 28

.A) 18
B) 20
D) 220
E) 17
19. Segn la figura, hallar x. L1 //L2

C) 15

A) 55
D) 65
20. Si L1 //L2 hallar .

B) 60
E) 68

C)64

A) 15

B) 14

C) 18

17. Si

su
r su
r
L1 // L2 , Hallar

uuur
uuur
OX del S AOB y OY del
S m AOC =25 y m S XOY =45 hallar m BOD.

luego se trazan las bisectrices

S COD. Si
A) 60
D) 70
11. Los ngulos

B) 45
E) 30
AOB y BOC

complementarios. Sean

uuuu
r uuur
OM , ON

C)65
son
y

consecutivos

uuur
OP bisectrices

y
del

AOB, S BOC y S MON respectivamente. Hallar m S

PON.
A) 30
B) 17,5
C)25
D) 22,5
E) 20
12. En la regin interior del ngulo recto AOB se trazan los

uuur

rayos OE y

uuur
OF de

manera que los ngulos AOE, EOF y

FOB son consecutivos y m S EOB + m S AOF = 125. Hallar

m S EOF.
A) 35
B) 45
C)55
D) 65
E) 75

uuur uuur

13. Al rededor de un punto O, se trazan los rayos OA , OB ,

uuur
OC

uuur
OD consecutivos

tal que los ngulos AOB y BOC

forman un par lineal(adyacentes y suplementarios). Hallar m

R COD si m R AOD - m R AOB=30 v m R BOD=90.
A) 25
B) 30
C) 40
D) 45
E) 50
14. Se tienen los ngulos consecutivos y suplementarios
AOB y BOC tal que m R AOB - m R BOC = 120. Los rayos

D) 10
E) 12
21. Si L1 //L2 hallar

A) 8
B) 10
D) 15
E) 14
22. Segn la figura, hallar x. L1 //L2

A) 20
B) 21
C) 22
D) 18
E) 19
27. En el grfico AB // CD - = 42 , calcule a medida
del ngulo formado por L1 Y L2

C) 12
A) 16
D) 8

B) 26
E) 5

C) 18

TRIANGULOS

A) 60
B) 30
D) 37
E) 53
23. En la figura L1 // L2 ED DA Y CB AB.
Hallar x.

C)45

EL TRINGULO
Definicin
El tringulo es la figura geomtrica formada por la unin de
los segmentos que resultan de unir tres puntos no colineales
del plano.

A) 15
B) 12
D)10
E)9
24. En a figura, L1 // L2 + =252 Calcule x.

C) 11

Notacin: ABC Se lee: tringulo ABC

A) 52
B) 45
D) 48
E) 62
25. Segn el grfico, calcule x si L1//L2

C) 82

A) 100
B) 120
C) 140
D) 150
E) 135
26. En el grfico L1//L2 y el ngulo ABC es agudo, calcule el
mnimo valor entero de x.

CLASIFICACIN DE LOS TRIN CULOS

Para clasificar los tringulos se utilizan dos criterios: los lados
y los ngulos.
1. DE ACUERDO A SUS LADOS
a. Tringulo equiltero
Tiene los tres lados congruentes.

b. Tringulo issceles
Dos de sus lados son congruentes.

c. Tringulo escaleno.
Tiene los tres lados no congruentes.

2. DE ACUERDO A SUS NGULOS

a. Rectngulo
Tiene un ngulo recto.

(Propiedad de la mariposa)

Teorema de la condicin necesaria para la existencia de

un tringulo
En todo tringulo, la longitud de uno de los lados es menor
que la suma de las longitudes de los otros dos pero mayor
que la diferencia. Esta relacin es una condicin necesaria
para la existencia del tringulo.

b. Oblicungulo
b1. Acutngulo
Si tiene los tres ngulos agudos.
LNEAS NOTABLES
INCENTRO.
Es el segmento que divide al ngulo interno en dos partes
iguales. A cada ngulo interior le corresponde una bisectriz
interior y a cada ngulo exterior, una bisectriz exterior. El
punto donde concurren las bisectrices interiores se llama
INCENTRO.
b2.Obtusngulo
Se tiene un ngulo obtuso

TEOREMAS FUNDAMENTALES
La suma de las medidas de los tres ngulos interiores de
todo triangulo es 180.

Teorema del ngulo exterior

La medida del ngulo exterior es igual a la suma de las
medidas de los dos .ngulos interiores no adyacentes a l.

El punto I es el incetro del ABC.

EXCENTRO.
El punto donde concurren dos bisectrices exteriores y la
bisectriz interior del tercer ngulo, se llama EXCENTRO.
Todo tringulo tiene un incetro Y tres excentros.

El punto O es el excentro relativo al lado BC.