División de Números Enteros

Divisin de nmeros enteros
La divisin de dos nmeros enteros es igual al valor absoluto del cociente de

los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se
obtiene de la aplicacin de la regla de los signos.
+
:
:
:
:
=
=
=
=
+
+
Ejemplo:
10 : 5 = 2
(10) : (5) = 2
10 : (5) = 2
(10) : 5 = 2
Propiedades de la resta de nmeros enteros
1 No interna
El resultado de dividir dos nmeros enteros no siempre es otro nmero entero.
2 No conmutativa
a:bb:a
Ejemplo:
6 : (2) (2) : 6
visin de nmeros enteros
1
DIVISIN DE NMEROS ENTEROS. REGLA DE LOS SIGNOS
Para hallar el cociente exacto de dos nmeros enteros se dividen sus valores
absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo,
y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.
Ejemplos:
(+12) : (+3) = +4
(+12) : ( -3) = - 4
(-12) : (-3) = +4
(-12) : (+3) = -4
(+20) : (+2) =
(- 80) : (-10) =
(- 49) : (+7) =
(+64) : (- 8) =
(- 70) : (- 7) =
(+81) : (- 9) =
(+36): (- 2)=
(- 42): (- 3)=
(+50): (- 5)=
(- 96): (- 6)=
(+80): (- 5)=
(- 72): (- 3)=
Calcula.
2
(-10) x = +20 x = = -2
(-12) x = - 48 x =
x (+8) = -72 x =
x (-9) = -81 x =
x (-13) = -39 x =
+20
-10
En cada caso, halla el valor de x.
www.indexnet.santillana.es Santillana
Pg. 1
Regla de los signos
+ entre + +
- entre - +
+ entre - - entre + Divisin (matemtica)
Cociente redirige aqu. Para otras acepciones, vase Cociente
(desambiguacin).
Dividir redirige aqu. Para otras acepciones, vase Divisin.
20 \div 4=5
En matemtica, la divisin es una operacin aritmtica de descomposicin que
consiste en averiguar cuntas veces un nmero (divisor) est contenido en otro
nmero (dividendo). El resultado de una divisin recibe el nombre de cociente.
De manera general puede decirse que la divisin es la operacin inversa de la
multiplicacin, si bien la divisin no es un operacin, propiamente dicha.
Debe distinguirse la divisin exacta (sujeto principal de este artculo) de la
divisin con resto o residuo (la divisin eucldea). A diferencia de la suma, la
resta o la multiplicacin, la divisin entre nmeros enteros no est siempre
definida; en efecto: 4 dividido 2 es igual a 2 (un nmero entero), pero 2 entre 4
es igual a un medio, que ya no es un nmero entero. La definicin formal de
divisin , divisibilidad y conmensurabilidad, depender luego del
conjunto de definicin.
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: FUNCIN

SENO, FUNCIN COSENO Y FUNCIN TANGENTE.
NDICE
PG. ANTERIOR (Traslaciones y dilataciones-2 parte)
Pg. Siguiente: Funciones trigonomtricas: grficas
0.INTRODUCCIN
Las funciones trigonomtricas surgen de una forma natural al estudiar el
tringulo rectngulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos
cualesquiera de sus lados slo dependen del valor de los ngulos del tringulo. Pero
vayamos por partes.
Primero consideraremos tringulos rectngulos ABC, rectngulos en A, con <B = 60 y <C
= 30. Todos los tringulos que dibujemos con estos ngulos son semejantes, y, por ello, las
medidas de sus lados proporcionales:
Esto quiere decir que si calculamos en el primer tringulo AC/BC obtendremos el mismo
resultado que si calculamos en el segundo tringulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que
esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te
convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito tringulos distintos con ngulos 90, 60 y 30
y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ngulo de 60
dividido por la longitud de la hipotenusa) para as comprobar que siempre se obtiene el
mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando tringulos, midiendo y
dividiendo las longitudes con ayuda de algn programa informtico (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta pgina (pero sin saltarte lo que
viene a continuacin).
Si realizamos las mismas divisiones en tringulos rectngulos con ngulos distintos a los
anteriores (por ejemplo: 90, 40, 50) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud
del cateto opuesto al ngulo de 40 entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el
mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ngulo de
40 entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40, y se escribe sen(40) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarn con ms detalle en clase y a partir de aqu definiremos las
razones trigonomtricas de ngulos agudos de tringulos rectngulos).
1. DEFINICIN DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS
AGUDOS:
En un tringulo rectngulo se define como seno de un ngulo agudo al valor obtenido al

dividir la longitud del cateto opuesto al ngulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ngulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del
cateto contiguo al ngulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ngulo agudo de un tringulo rectngulo al valor del
cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto
contiguo.
sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones
trigonomtricas, as como algunas de sus aplicaciones prcticas.
Pero antes de continuar vers a continuacin un applet que te permitir dibujar tringulos
rectngulos en los que el valor de un ngulo agudo lo fijas t, el tamao del tringulo lo
puedes cambiar y el applet te mostrar que los valores del seno, coseno y tangente no
dependen ms que del ngulo, no del tamao del tringulo.
2. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS CUALESQUIERA:

Las razones trigonomtricas se generalizan para ngulos cualesquiera utilizando
una circunferencia de radio 1 y cuyo centro est situado en el origen. Los ngulos
se miden en sentido antihorario y desde la direccin positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrs variar el ngulo, y para el valor del ngulo elegido
aparecer un tringulo rectngulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que
mide 1. Para un valor concreto del ngulo se llama sen(a) al cociente obtenido al
dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ =
PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno:
llamaremos cos(a) a la longitud de la proyeccin del radio sobre el eje de
abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello,
dependiendo del valor del ngulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el
seno del ngulo elegido ser positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el
que se encuentre.
La tangente de un ngulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno
entre el del coseno.
Las razones trigonomtricas de ngulos negativos se obtienen igual, pero los
ngulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que sern explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de frmula
fundamental de la trigonometra). (Se demuestra fcilmente aplicando el teorema
de Pitgoras al tringulo rectngulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno,
coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno estn comprendidos entre -1 y 1.
4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ngulo (las
tangentes existen para cualquier ngulo?), dan lugar al concepto de funciones
trigonomtricas: funcin seno, funcin coseno y funcin tangente. Es
imprescindible familiarizarse con las grficas de cada una de estas funciones y
conocer sus caractersticas principales.
A continuacin mostramos un applet que permite ver como se genera la grfica
de la funcin seno (sinusoide) al ir variando el ngulo:
Los ngulos a y d son...
Los ngulos b y c son...
Los ngulos b y d son...
Los ngulos b y a son...
Un
ngulo
es
la
regin
del
plano
comprendida
entre
dos
semirrectas con origen comn. A las semirrectas se las llama lados y

al origen comn vrtice.
El ngulo es positivo si
se
desplaza
en sentido
contrario
movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario .
Para medir ngulos se utilizan las siguientes unidades:
al
1 Grado sexagesimal ()
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ngulo central

correspondiente a cada una de sus partes es un ngulo de un grado (1)
sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2 Radin (rad)
Es la medida de un ngulo cuyo arco mide un radio .
rad = 360
rad = 180
30
/3 rad
rad
Se utilizan varias unidades para medir los

ngulos, la ms empleada en la vida
cotidiana es la sexagesimal, tambin es
utilizada sobre todo por los topgrafos
la centesimal y por los matemticos
el radian.
Sexagesimal
Aproximadamente en el ao 1000 a.C. los babilonios extienden a los crculos
celestes la divisin del da en 360 partes, y cada una de estas partes le llaman
grado sexagesimal. y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales,
que se nota por 90.
Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeracin de base 60,
dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina
minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y
cada una de estas subdivisiones lo notaron por 1''.
As pues tenemos que un ngulo recto mide 90, 1= 60' y 1'= 60''.
Recordemos como se opera con grados sexagesimales.
Suma :
Diferencia:
Multiplicacin de nmeros enteros

La multiplicacin de varios nmeros enteros es otro nmero entero, que tiene
como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se
obtiene de la aplicacin de la regla de los signos.
++=+
=+
+=
+=
Ejemplo:
2 5 = 10
(2) (5) = 10
2 (5) = 10
(2) 5 = 10
Propiedades de la resta de nmeros enteros

1 Interna
El resultado de multiplicar dos nmeros enteros es otro nmero entero.
formula de la multiplicacion de numeros enteros Ejemplo: ejemplo de la

multiplicacion
2 Asociativa
El modo de agrupar los factores no vara el resultado. Si a, b y c son nmeros

enteros cualesquiera, se cumple que:
(a b) c = a (b a)
Ejemplo:
(2 3) (5) = 2 [(3 (5)]
6 (5) = 2 (15)
30 = 30
3 Conmutativa
El orden de los factores no vara el producto.
ab=ba
Ejemplo:
2 (5) = (5) 2
10 = 10
4 Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin porque todo nmero multiplicado

por l da el mismo nmero.
a1=a
Ejemplo:
(5) 1 = (5)
5 Distributiva
El producto de un nmero por una suma es igual a la suma de los productos de

dicho nmero por cada uno de los sumandos.
a (b + c) = a b + a c
Ejemplo:
(2) (3 + 5) = (2) 3 + (2) 5
(2) 8 = (6) + (10)
16 = 16
6 Sacar factor comn
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor comn, podemos transformar la suma en
producto extrayendo dicho factor.
a b + a c = a (b + c)
Ejemplo:
(2) 3 + (2) 5 = (2) (3 + 5)
Divisin:

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Divisin de nmeros enteros

La divisin de dos nmeros enteros es igual al valor absoluto del cociente de

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: FUNCIN

En un tringulo rectngulo se define como seno de un ngulo agudo al valor obtenido al

2. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS CUALESQUIERA:

Los ngulos a y d son...

Los ngulos b y c son...

Los ngulos b y d son...

Los ngulos b y a son...

semirrectas con origen comn. A las semirrectas se las llama lados y

movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario .

Para medir ngulos se utilizan las siguientes unidades:

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ngulo central

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

Es la medida de un ngulo cuyo arco mide un radio .

Se utilizan varias unidades para medir los

Multiplicacin de nmeros enteros

Propiedades de la resta de nmeros enteros

El resultado de multiplicar dos nmeros enteros es otro nmero entero.

formula de la multiplicacion de numeros enteros Ejemplo: ejemplo de la

El modo de agrupar los factores no vara el resultado. Si a, b y c son nmeros

El orden de los factores no vara el producto.

El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin porque todo nmero multiplicado

El producto de un nmero por una suma es igual a la suma de los productos de

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

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