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ECUACIONES DIFERENCIALES. Variables Separables N°2
ECUACIONES DIFERENCIALES. Variables Separables N°2
ECUACIONES DIFERENCIALES. Variables Separables N°2
VARIABLES SEPARABLES
FACULTAD DE INGENIERIA
dy g ( x)
Una ecuación diferencial de la forma = es separable o de variables separables,
dx h( y )
y se puede escribir de esta forma: h ( y ) dy=g ( x ) dx . Se soluciona integrando cada lado
de la ecuación por separado, se obtiene
∫ h ( y ) dy=∫ g ( x ) dx
EJEMPLO
Resolver
dy −6 x
=
dx e−7 x
Luego
dy =−6 xe7 x dx
∫ dy=∫ −6 xe 7 x dx
y=∫ −6 xe7 x dx
Recuerde
∫ udv=uv−∫ vdu
∫−6 xe 7 x dx
u=−6 x dv =e 7 x
e7 x
du=−6 dx v =
7
e7 x e7 x
∫−6 xe 7 x dx=¿ (−6 x ) ( ) ( )
7
−∫
7
(−6) dx ¿
6 xe 7 x 6 7x
¿− + ∫ e dx
7 7
6 xe 7 x 6 e 7 x
¿−
7
+ ( )
7 7
+C
6 xe 7 x 6 e7 x
¿− + +C
7 49
6 e7 x (1/7−x )
¿ +C
7
6 e7 x (1−7 x)
¿ +C
49
6 e7 x ( x −1/7)
¿− +C
7
6 e7 x (7 x −1)
¿− +C
49
EJEMPLO
Resolver
dy
=5 xcos(−2 x )
dx
Luego
dy =5 xcos (−2 x)dx
Entonces
∫ udv=uv−∫ vdu
Luego
5 cos(2 x )
¿
2(x sen (2 x)+
2 )
+C
5 cos (2 x)
¿
2( 2 )
+ x sen (2 x) + C
5
¿ ( 2 x sen (2 x)+cos (2 x) ) +C
4
5
¿ ( cos ( 2 x )+ 2 x sen (2 x ) ) +C
4
2. Resolver
dy
=−2 xcos(−3 x ) es
dx