Tema 1 02 - Estructuras Hiperestáticas - Rev00 PDF

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
T1.02.00
FACULTAD REGIONAL PARANÁ
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
Tema 1. Introducción. Sistemas hiperestáticos.

Fundamentos. Conceptos básicos. Sistemas hiperestáticos.
Grados de indeterminación estática y cinemática.
Todos los análisis se basan en hipótesis que no están de acuerdo con la realidad. Esto no quiere
decir que los resultados de un análisis no sean muy aproximados.
Hardy Cross, Newlin Morgan “Estructuras continuas de hormigón armado”
1 INTRODUCCIÓN [1]
1.1 Contexto histórico del análisis de estructuras
Desde un punto de vista histórico, el Análisis de Estructuras entronca con la tradición de la Resistencia de
Materiales, y posteriormente, de la Teoría de la Elasticidad. Por tanto, su origen se remonta a la segunda mitad del
siglo XVIII y la primera mitad del siglo XIX, con el advenimiento de la Revolución Industrial y la aparición de la
fundición de hierro como material de construcción. Aquella tecnología “nueva” posibilitaba tipologías de construcción
innovadoras, evidenciándose entonces la necesidad de métodos de análisis para las nuevas formas estructurales.
Aunque son muchos los nombres de los ingenieros que contribuyeron a su desarrollo inicial, se destaca entre ellos
el de Louis Navier, que publicó trabajos de relevancia sobre cálculo de placas, arcos hiperestáticos y puentes
colgantes.
La Resistencia de Materiales y el Análisis de Estructuras se desarrollan extraordinariamente en la segunda mitad del

siglo XIX con la expansión, casi universal, del ferrocarril y la imperiosa necesidad de construir puentes de luces cada
vez mayores. Esto fomenta el avance de los métodos de cálculo de estructuras articuladas (primero isostáticas y
luego hiperestáticas). En la primera mitad del siglo XX aparece el hormigón armado como material de construcción
y, con él, las estructuras se vuelven más complejas, de nudos rígidos y con alto grado de hiperestaticidad. En
consecuencia, aparecen y se perfeccionan nuevos métodos de cálculo. Las guerras mundiales, el desarrollo
industrial y económico y, en la segunda mitad del siglo XX la aparición de las computadoras, han motivado y
posibilitado los avances más resonantes en el campo de la Mecánica de Estructuras.
1.2 Tipos de estructuras

Las estructuras pueden adoptar tipologías muy diversas, de acuerdo a su geometría y su forma de trabajo. Así,
podemos hablar de estructuras continuas cuando no es posible diferenciar los “distintos” elementos que la
conforman, y estructuras discretas o de barras cuando están formadas por piezas prismáticas enlazadas entre
sí.
Entre las estructuras continuas podemos distinguir aquellas en las que es posible identificar un “espesor” y hablar de
estructuras superficiales, tales como placas (elementos que trabajan a flexión), membranas (elementos que
trabajan a esfuerzos de tracción y / o compresión), láminas (que trabajan tanto a flexión como a esfuerzos de
tracción y / o compresión), etc.; de aquellas estructuras sólidas o masivas. En este último caso, dichas
estructuras pueden tener una geometría y un estado de cargas que hagan posible que se puedan analizar en el
PÁGINA 1
T1.02.00
plano (estados planos de tensión, estados planos de deformación, y sólidos con simetría de revolución); o ser, como
en el caso general, estructuras tridimensionales.
Figura Nº 1. Elementos continuos (sólidos). Placas y láminas.
La determinación del estado de esfuerzos (tensiones) y de desplazamientos (deformaciones) que actúan sobre las
estructuras continuas es un problema complejo que, generalmente, se aborda aplicando métodos aproximados de
discretización (diferencias finitas, elementos finitos, etc.) a las ecuaciones diferenciales o integrales de la Mecánica
de Sólidos, ya sea considerando la Teoría Matemática de la Elasticidad, o modelos más complejos que permitan
considerar efectos no lineales (materiales y geométricos). Esto es así ya que las soluciones analíticas para los
problemas continuos están restringidas a casos simples de geometría y de carga, y no son aplicables fácilmente a
casos más generales.
Además de la distinción anterior, las estructuras resistentes utilizadas en ingeniería civil pueden encuadrarse en
algunas de las categorías siguientes:
o Estructuras lineales, o de barras (por ejemplo: vigas, columnas).

o Estructuras de superficie (por ejemplo: placas, cáscaras).
o Estructuras de volumen, o sólidos.
Surge con claridad que la distinción, en principio, se debe a la importancia relativa que tiene una dimensión respecto
de las restantes. Así, en el primer caso, predomina la longitud sobre las dimensiones de la sección transversal; en el
segundo, el espesor es reducido frente a las restantes dimensiones; y finalmente, en el tercer caso, no hay ninguna
PÁGINA 2
T1.02.00
dimensión que predomine sobre las demás. Una cuarta categoría puede incluir aquellas estructuras mixtas, que
combinan dos o más de los tipos básicos.
Figura Nº 2. Elementos discretos. Barras.
Figura Nº 3. Elementos continuos. Sólidos con simetría axial.
En esta asignatura estudiaremos el comportamiento o respuesta de las estructuras lineales o de barras, frente a
las acciones que pueden obrar sobre las mismas.
2 ESTRUCTURAS DE BARRAS [2]

2.1 El todo y las partes
A efectos de formular un modelo representativo de la estructura, se supone el mismo como un todo, cuyo
comportamiento bajo las acciones a que se encuentra sometido, se quiere investigar.
Podemos suponer también al todo, como formado por partes, siempre que se defina en forma unívoca la
posibilidad de generar el todo a partir de las partes que lo integran. Si resultase posible establecer las relaciones o
leyes que definen el comportamiento de las partes y se pudiesen encontrar las relaciones que describiesen el
comportamiento del todo en función del de las partes, se habría encontrado un método para desarrollar el modelo
matemático de la estructura.
PÁGINA 3
T1.02.00
Conforme lo mencionado anteriormente, el análisis se centrará en modelos discretos compuestos por barras. En
este tipo de estructuras, el elemento común de mayor dimensión es la barra, y una forma de sistematizar la
desagregación del modelo es la de considerarlo dividido en barras.
Figura Nº 4. La estructura considerada como “el todo”.
Figura Nº 5. División del todo en “partes”.
Se supone entonces al todo formado por partes que son las barras. Estas partes se conectan entre sí mediante
los nudos, que materializan las condiciones de vinculación interna. Las partes se conectan con el exterior del
modelo mediante los apoyos, que materializan las condiciones de vinculación externa.
2.2 Barras
Precisemos el concepto de barra: representa a un sólido continuo en el que una de las dimensiones (longitud)
predomina con respecto a las otras dos transversales (ancho y altura). A partir de esta definición se puede
representar al sólido mediante una línea definida como el lugar geométrico de los baricentros de las distintas
secciones transversales.
2.3 Nudos
Se ha dicho ya que el nudo es el lugar geométrico al que concurren dos o más barras, y que se puede materializar
mediante un cuerpo tridimensional (en el caso general) de dimensiones despreciables en relación a las longitudes
PÁGINA 4
T1.02.00
de las barras. Se podrá, por tanto, considerar que el mismo es indeformable pues sus deformaciones son
despreciables en relación a sus dimensiones, que a su vez lo son respecto de las longitudes de las barras.
Conviene en este caso, efectuar una diferencia: entendemos por nodo, en el contexto de las estructuras de barras,
a todo punto del dominio de la estructura donde interesa conocer la respuesta (desplazamientos, esfuerzos internos)
ante las acciones a que se ve sometida. Esta definición tiene dos implicancias básicas:
o Todo nudo es un nodo, más no todo nodo es un nudo.

o En una estructura, pueden existir tanta cantidad de nodos como desee el analista estructural.
2.4 Conexiones
Las barras que conforman las estructuras lineales se hallan vinculadas entre sí a través de conexiones, o
uniones. Éstas, en el caso de las estructuras de plano medio (estructuras en la que los ejes de las barras que
conforman el modelo se encuentran en el mismo plano donde actúan las cargas y en el que se producen los
desplazamientos) pueden ser de tres tipos:
o Articuladas: impiden el desplazamiento relativo entre los distintos extremos de barras concurrentes, pero
permiten el giro relativo.
o Rígidas: no permiten ni el desplazamiento ni el giro relativo de los extremos de barra concurrentes.
o Combinadas.
Figura Nº 6. Conexiones articuladas, rígidas y combinadas.
2.5 Apoyos
Si bien los hemos distinguido ex profeso, podemos aceptar que los apoyos conforman un caso particular de nudo,
donde las barras se vinculan al exterior (a tierra).
Así, la unión o conexión de una barra con nudo o con un apoyo puede restringir todos o algunos de los
desplazamientos relativos entre las partes que vincula. De no restringir ningún desplazamiento, se estaría en
presencia de un extremo libre, donde no existen restricciones al libro movimiento del extremo de barra. Se aclara
que la restricción de desplazamientos se refiere a los de la barra con respecto al nudo o apoyo con el que se vincula
por medio de la conexión. La ausencia de restricciones en la dirección de determinados desplazamiento implica que
se pueden producir desplazamientos relativos en esas direcciones, entre la barra y el nudo o apoyo.
PÁGINA 5
T1.02.00
Analicemos esto para el caso de estructuras de plano medio, donde los extremos de las barras pueden
experimentar un desplazamiento propiamente dicho (pudiendo ser representado por sus componentes referidos a un
sistema cartesiano de referencia), y una rotación (respecto de un vector normal al plano del modelo). Por tanto,
habrá cuatro tipos de uniones, según se restrinjan los tres movimientos U 3  , dos U 2  , uno U 1  o ninguno
U 0  de ellos. De cada tipo de conexión, existirán tantas clases como combinaciones puedan hacerse de tres
elementos sin repetición, tomados de a 0, 1, 2 y 3. Fácilmente podemos observar que surgen los tipos que se
ilustran en la Figura Nº 7Figura Nº 7. Conexiones para estructuras de plano medio..
Figura Nº 7. Conexiones para estructuras de plano medio.
PÁGINA 6
T1.02.00
2.6 Tipos o configuraciones de estructuras de barras [1]

2.6.1 Sistemas planos, o de plano medio
Como se mencionó, son aquellos donde tanto los elementos estructurales como las acciones están contenidos en el
mismo plano. Entre ellas, podemos destacar:
o Vigas, aisladas o vinculadas mediante cadenas cinemáticas abiertas o cerradas.

o Pórticos.
o Reticulados.
o Estructuras mixtas.
2.6.2 Sistemas espaciales

Son aquellos en los que se presentan fuerzas actuantes no coplanares a la estructura, pudiendo ser ésta última
bidimensional o tridimensional:
o Emparrillados.
o Pórticos espaciales.
o Reticulados o armaduras espaciales.
o Estructuras mixtas.
Figura Nº 8. a) Reticulado plano. b) Pórtico plano.
Figura Nº 9. Emparrillado de vigas.
PÁGINA 7
T1.02.00
Figura Nº 10. Pórtico espacial.
En las estructuras planas, los esfuerzos internos que es necesario determinar para cada una de las barras son el
momento flector, el esfuerzo normal (axial), y el esfuerzo de corte. Obviamente, si de estructuras reticuladas se
trata, se tendrán solo esfuerzos axiales, habida cuenta que las conexiones articuladas no permiten transmitir
momentos de una barra a la otra.
En el caso de los emparrillados, estarán sometidos a esfuerzos de flexo-torsión simple, es decir, estarán sometidas
a momentos flectores y torsores respecto de ejes contenidos en el plano del emparrillado, y a esfuerzos de corte
normales a dicho plano.
En general, si la estructura es un pórtico espacial o una estructura mixta espacial, se tendrán los seis esfuerzos
internos: dos momentos flectores respecto de los ejes principales de inercia, dos esfuerzos de corte paralelos a
dichos ejes, el esfuerzo axial y el momento de torsión.
3 MODELO DE ANÁLISIS. HIPÓTESIS BÁSICAS [2] [1]

Dado que la estructura real sujeta a acciones es un fenómeno natural regido por un número infinito de variables,
requerirá, para su análisis, asumir una serie de hipótesis simplificativas que reduzcan ese número infinito a un
número finito de variables.
Dichas hipótesis deben ser cuidadosamente analizadas para lograr que las simplificaciones que se introduzcan
permitan una adecuada aproximación a la realidad. Evidentemente, lo dicho requiere que se acote el apartamiento
que surge de la introducción de las hipótesis simplificativas mediante el análisis experimental de la estructura
real.
Es obvio que el proceso de proponer una estructura, analizarla y aceptarla o descartarla en función del resultado del
análisis no puede ser efectuado en base al comportamiento real, sino sobre una representación teórica de la
estructura, que permita efectuar una simulación de la situación real. Existe entonces la necesidad de definir un
modelo teórico de análisis, lo suficientemente aproximado al comportamiento de la estructura real como para
que las conclusiones obtenidas para aquel, sean aplicables a ésta. Claramente, establecer el modelo de análisis
forma parte también del proceso de diseño estructural.
3.1 Equilibrio y compatibilidad

3.1.1 Equilibrio estático y elástico
Las fuerzas (acciones y reacciones) que actúan sobre una estructura deben estar en equilibrio estático. Esto
significa que deben formar un sistema de fuerzas de resultante nula y de momento resultante nulo, por tanto, deben
PÁGINA 8
T1.02.00
cumplir las ecuaciones que se conocen como ecuaciones de la estática, que en forma vectorial presentan la
forma siguiente:
F  0
i
i
[1]
Mi
o
i 0
Pero la condición de equilibrio estático, y las correspondientes ecuaciones que lo expresan matemáticamente, no
son sólo aplicables a la estructura considerada en su conjunto, sino que también debe satisfacerse para cada parte
integrante de ella, siempre que se consideren de forma explícita las fuerzas y momentos que el resto de la
estructura ejerce sobre la parte considerada (equilibrio elástico). De hecho, la condición de equilibrio global es
una condición necesaria, pero no suficiente, de equilibrio. Para que haya realmente equilibrio en una estructura, y no
existan, por ejemplo, mecanismos parciales, es necesario (y suficiente) que estén en equilibrio todas y cada una de
sus partes integrantes. En particular, las piezas que forman una estructura de barras deben estar en equilibrio,
siempre que se consideren las fuerzas y momentos de extremo de barra que la estructura ejerce sobre dichas
piezas. Análogamente, los nudos de la estructura deben estar en equilibrio bajo la acción de fuerzas y momentos
que actúan en los extremos de las barras que concurren a ellos.
Estas condiciones de equilibrio deben satisfacerse bajo cualquier hipótesis cinemática que se adopte.
Figura Nº 11. Estructuras reticuladas planas. Equilibrio estático y equilibrio elástico.
PÁGINA 9
T1.02.00
Figura Nº 12. Pórticos. Equilibrio estático y equilibrio elástico.
3.1.2 Compatibilidad de desplazamientos

Las condiciones de equilibrio no son las únicas que se deben considerar en el comportamiento de las estructuras.
Son igualmente relevantes las condiciones de compatibilidad sobre los desplazamientos, y que deben
satisfacerse en el proceso de deformación de la estructura bajo la acción de las cargas consideradas.
Deben cumplirse los siguientes requisitos fundamentales:
o Condiciones de apoyo: los desplazamientos deben ser tales que se cumplan las condiciones de
movimiento impuestas por los apoyos.
o Continuidad en los nudos: los desplazamientos deben ser tales que los extremos de las diferentes barras
que concurren en un nudo cumplan con las condiciones de movimiento impuestas por la conexión
correspondiente.
o Continuidad en las barras: los desplazamientos deben ser tales que se mantenga la continuidad de las
piezas (o barras) consideradas como elementos estructurales, es decir, que no se produzcan en ellas
huecos ni solapamientos.
Nuevamente, estas condiciones de compatibilidad se deben satisfacer bajo cualquier hipótesis cinemática que se
adopte (ver apartado 3.2.1).
PÁGINA 10
T1.02.00
Figura Nº 13. Reticulado plano. Compatibilidad de desplazamientos.
Figura Nº 14.Pórtico plano. Compatibilidad de desplazamientos.
En el caso de la Figura Nº 13, los puntos A y C tienen movimiento nulo, como corresponde a la condición de
contorno especificada en ellos, pero las barras AB y BC pueden girar alrededor de dichos apoyos. Los
desplazamientos del nudo B son únicos, y por lo tanto idénticos para los correspondientes extremos de barras que
concurren a él. Por otra parte, dado que en B existe una articulación, puede darse un giro relativo entre las barras
AB y BC. Dichas barras sufren un alargamiento y un acortamiento, por tanto estarán sometidas a esfuerzos de
tracción y compresión respectivamente.
En la Figura Nº 14 se observa una estructura aporticada, donde los movimientos (desplazamiento y giro) del punto
A son nulos, como corresponde a un extremo empotrado. Los movimientos del nudo B son únicos, y por tanto
idénticos para los correspondientes extremos de las barras que concurren a él. Por otra parte, dado que el nudo B
es rígido, no puede existir giro relativo entre las barras AB y BC (el ángulo entre barras de la estructura original se
mantiene invariable a través del proceso de deformación). En este caso, se tendrán acortamientos / alargamientos y
giros diferenciales de las distintas rebanadas de las barras, por lo cual las barras trabajarán a flexión compuesta.
3.2 Linealidad y principio de superposición

3.2.1 Linealidad geométrica
Se denomina también como Teoría de 1º Orden, o Teoría de las Pequeñas Deformaciones. Implica asumir que los
desplazamientos que experimente el modelo serán de magnitud despreciable en relación con las dimensiones de los
cuerpos que los experimenten. Esta hipótesis equivale a admitir que el modelo deformado por las acciones es
geométricamente igual al no deformado.
PÁGINA 11
T1.02.00
La adopción de esta hipótesis permite considerar, en el análisis cinemático, la geometría de los pequeños
desplazamientos (arco = seno = tangente); y en el análisis estático (equilibrio) la hipótesis de la indeformabilidad de
los cuerpos.
3.2.2 Linealidad mecánica

El material que conforma las barras se supone homogéneo, isótropo, y elástico, con respuesta mecánica lineal,
siendo por tanto aplicable entonces la Ley de Hooke. En este caso, las hipótesis responden exclusivamente a las
que se derivan de la Teoría Matemática de la Elasticidad Lineal.
3.2.3 Superposición de efectos

Como consecuencia directa de las hipótesis de linealidad, el principio de superposición de los efectos (o
simplemente, de superposición) establece que los efectos que un sistema de fuerzas origina sobre una estructura
son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema actuando por separado.
Alternativamente, se puede enunciar diciendo que los efectos que un sistema de fuerzas origina sobre una
estructura no dependen del orden de aplicación de las fuerzas del sistema sobre la estructura.
Figura Nº 15. Principio de superposición de efectos.
3.3 Acciones
Las acciones o causas podrán ser fuerzas generalizadas, variaciones volumétricas o desplazamientos
generalizados impuestos, que actuarán en forma cuasi estática, es decir que pasarán del valor cero al valor final
en un tiempo lo suficientemente largo para evitar efectos dinámicos. Se utiliza indistintamente el vocablo fuerza
como sinónimo de fuerza generalizada. Es decir, que se entenderá, salvo indicación en contrario, que fuerza
identifica a las fuerzas propiamente dichas y a los pares.
Idéntico temperamento se sigue con los desplazamientos generalizados, utilizando, salvo expresa referencia, el
término desplazamiento para identificar a los desplazamientos propiamente dichos ya las rotaciones, o giros.
PÁGINA 12
T1.02.00
4 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS

4.1 Definiciones [3]
Para analizar una estructura se debe establecer en primer lugar el diagrama de cuerpo libre de toda ella. En este
diagrama se considera a toda la estructura como un sólido rígido, y se sustituyen los vínculos por sus reacciones
correspondientes, con lo que se obtienen tantas incógnitas como reacciones de vínculo existan.
La Estática facilita tres (3) ecuaciones de equilibrio en el caso plano, y seis (6) en el caso espacial. En función de
cómo sea el número de reacciones incógnita I  , en relación con el número de ecuaciones de equilibrio E  , se
presentan en principio, tres casos diferentes.
o El número de reacciones es menor que el número de ecuaciones de equilibrio I  E   0 : la estructura es

un conjunto inestable, y se dice que es externamente inestable. Sin embargo, para ciertas
combinaciones particulares de carga exterior, la estructura puede considerarse en equilibrio,
denominándose éste como equilibrio inestable.
o El número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio I  E   0 . En principio, la
estructura es externamente isostática, ya que hay ecuaciones de la estática en número suficiente para
calcular todas las reacciones de vínculo. Sin embargo, la condición es necesaria pero no suficiente para
garantizar que la estructura es externamente isostática. En efecto, puede ocurrir que el número de
reacciones sea el correcto, pero que su disposición geométrica sea tal que la estructura sea inestable en
una determinada dirección. En este último caso, se dice que la estructura tiene inestabilidad externa.
Sucede, por ejemplo en una estructura de plano medio, cuando las tres reacciones intersecan en un punto
común, o cuando son paralelas.
o El número de reacciones es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio I  E   0 : la estructura
está, en principio, estáticamente indeterminada, y se dice que es externamente hiperestática. Resulta
necesario entonces introducir nuevas condiciones, además de las estáticas, para calcular las reacciones
exteriores. Al igual que el caso anterior, esta condición es necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que
aunque hay reacciones en exceso, éstas tengan una disposición espacial tal que no impidan la existencia
de algún tipo de inestabilidad en alguna otra dirección.
Al respecto de las estructuras hiperestáticas donde, como mencionamos I  E   0 , se pueden fijar

arbitrariamente I  E  valores a las incógnitas y resolver matemáticamente el sistema de ecuaciones resultante.
En tal caso, existirán infinitas soluciones que garanticen las ecuaciones de equilibrio de la estática: una por cada
valor que se asigne arbitrariamente a las incógnitas superabundantes. Pero, existirá un único juego de valores de
todas las incógnitas que, además verificará las condiciones de compatibilidad de desplazamientos. Por tanto, y
como más adelante se verá, dicho juego constituye la única solución del problema estructural planteado.
Veamos el siguiente ejemplo (Figura Nº 16). El número de reacciones de vínculo incógnita es I  4 , mientras que
el número de ecuaciones de equilibrio disponibles de la estática es E  3 . Por tanto, el sistema es externamente
hiperestático I  E   1  0 .
PÁGINA 13
T1.02.00
Figura Nº 16. Estructura hiperestática, y diagrama de cuerpo libre.
En este caso, si fijamos arbitrariamente el valor de una de éstas incógnitas (por ejemplo, RC ) podemos mediante
las ecuaciones de equilibrio, determinar los valores de las incógnitas restantes R A , R B  . Así, para cada valor
arbitrario que se fije para la una de las incógnitas, se tendrá un juego completo de valores RA , RB , RC  , por lo
que, evidentemente, existirán infinitos juegos que verifican equilibrio. Pero, como se dijo, la solución es única, por
tanto debemos determinar un juego único de valores.
Para ello, se utilizan ecuaciones suplementarias, que tienen que ver con la compatibilidad de los desplazamientos
de los puntos de la estructura. Así, para este caso, se podría sumar a las ecuaciones de la estática la condición que
la deformada del sistema, que pasa por A y por C, se anule en el punto B.
Por tanto, el juego de valores que constituye la solución única del sistema es aquel que garantiza el desplazamiento
nulo en el punto B.
vB  0 [2]
Figura Nº 17. Solución.
En las estructuras externamente isostáticas, el esquema de resolución discurre por el siguiente camino (Figura Nº
18), a partir de la geometría de la estructura y de la definición de las acciones:
o Cálculo de reacciones, estableciendo las ecuaciones de equilibrio estático de la estructura.

o Cálculo de esfuerzos internos, a partir de las ecuaciones de equilibrio elástico.
o Cálculo de la deformación de las barras, a partir de las ecuaciones constitutivas (de comportamiento).
o Cálculo de los desplazamientos de la estructura, a partir de las condiciones de compatibilidad en nudos y
apoyos.
PÁGINA 14
T1.02.00
Figura Nº 18. Esquema de solución de estructuras (externamente) isostáticas.
En las estructuras hiperestáticas (Figura Nº 19), no es posible aplicar el procedimiento anterior, ya que es necesario
considerar conjuntamente las condiciones de equilibrio y compatibilidad, dado el grado de indeterminación que
poseen dichas estructuras.
Figura Nº 19. Esquema de resolución de estructuras hiperestáticas.
4.2 Tipos de estructuras hiperestáticas [4]

A continuación se muestran una serie de esquemas con los principales tipos básicos de estructuras hiperestáticas.
En adelante se verá cómo determinar el grado de hiperestaticidad, o de indeterminación estática de las mismas.
PÁGINA 15
T1.02.00
4.2.1 Viga bi empotrada
Figura Nº 20
4.2.2 Vigas continuas
Figura Nº 21
4.2.3 Arcos bi apoyados y bi empotrados
Figura Nº 22
4.2.4 Pórticos bi apoyados y bi empotrados
Figura Nº 23
4.2.5 Marcos cerrados
PÁGINA 16
T1.02.00
Figura Nº 24
4.2.6 Anillos cerrados
Figura Nº 25
4.2.7 Pórticos múltiples
Figura Nº 26
4.2.8 Viga Vierendeel
Figura Nº 27
4.2.9 Arco atirantado
PÁGINA 17
T1.02.00
Figura Nº 28
4.2.10 Viga atirantada
Figura Nº 29
4.2.11 Reticulado hiperestático
Figura Nº 30
4.2.12 Pórtico mixto hiperestático
Figura Nº 31
4.3 Algunos ejemplos de estructuras hiperestáticas

4.3.1 Arcos
PÁGINA 18
T1.02.00
Figura Nº 32. Arena de Raleigh. Cubierta suspendida de arcos. Proyecto: M. Nowicki.
Figura Nº 33. Puente arco en Cuenca (España). Proyecto: Javier Manterola Armisén.
4.3.2 Pórticos simples
Figura Nº 34. Pórticos metálicos simples para nave industrial (Santa Fe).
PÁGINA 19
T1.02.00
Figura Nº 35. Sala de máquinas Central Térmica Luján de Cuyo (Mendoza). Proyecto: Ings. Kaufmann y Adue.
4.3.3 Viga Vierendeel
Figura Nº 36. Puente peatonal en Berlín (Alemania).
Figura Nº 37. Edificio de la ex compañía SOMISA (Buenos Aires). Proyecto: Arq. Mario Roberto Álvarez.
PÁGINA 20
T1.02.00
4.3.4 Viga atirantada
Figura Nº 38. Viga atirantada para cubierta (Rosario. Santa Fe).
4.3.5 Pórticos mixtos
Figura Nº 39. Nave en un supermercado (San Juan).
4.4 Características de las estructuras hiperestáticas [4]

El comportamiento de las estructuras hiperestáticas presenta tres aspectos particulares que no son observables en
las estructuras isostáticas.
Cada vínculo, interno o externo, incide en el comportamiento de los demás
Figura Nº 40
PÁGINA 21
T1.02.00
En el sistema isostático (Figura Nº 40), sin importar la rigidez axial del tensor, la reacción que aporta el mismo será
única para un determinado estado de cargas. Contrariamente, en el sistema hiperestático, la reacción en el mismo
tensor dependerá del comportamiento del vínculo agregado (tensor adicional).
Todo cambio en la geometría del sistema origina esfuerzos internos
Si se tiene un estado de deformaciones impuestas, se genera en la estructura un estado de autotensión, sin que
existan cargas exteriores. También podemos decir que la estructura se halla en un estado de coacción.
Veamos el siguiente ejemplo (Figura Nº 41), donde hay cambios de geometría por variaciones térmicas. En el caso
isostático, la deformación se produce libremente, al estar permitida por los vínculos. Para el caso hiperestático,
como la variación está impedida, por el vínculo de la derecha, se genera un estado de compresión uniforme en toda
la barra, sin que existan cargas exteriores.
Figura Nº 41
En la Figura Nº 42, se tiene el mismo caso, aplicado ahora a un pórtico.
Figura Nº 42
PÁGINA 22
T1.02.00
Otro caso viene dado por el movimiento de vínculos (Figura Nº 43). En la estructuras isostáticas, las reacciones de
vínculo y las leyes de esfuerzos pueden determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio. Si no actúan sobre
ellas sistemas de cargas aplicadas, las condiciones de equilibrio determinan que las reacciones de vínculo en los
apoyos sean nulas. En consecuencia, las leyes de esfuerzo también lo son, por lo que se deduce que las
estructuras isostáticas pueden deformarse libremente bajo la acción de los movimientos impuestos (que sean
compatibles, obviamente, con sus condiciones de sustentación isostática), y que este proceso se deformación no
produce reacciones exteriores ni esfuerzos internos.
Figura Nº 43
Así, en el caso de la viga de la izquierda, ante un descenso del apoyo B, se produce un giro como cuerpo rígido
alrededor de la articulación en A. Este movimiento no genera reacciones ni esfuerzos en la pieza.
En el caso de las estructuras hiperestáticas, hemos visto que pueden existir infinitas combinaciones de reacciones
autoequilibradas, ya que, como dijimos, no existen cargas externas. Estas combinaciones verifican el equilibrio
pero, de todas ellas, solo una verificará también las condiciones de compatibilidad, y en este caso, también las
condiciones de desplazamientos impuestos. Se generarán entonces esfuerzos internos en las estructuras
hiperestáticas que pueden llegar a provocar el colapso parcial o total de las mismas.
El estado de esfuerzos internos depende de las rigideces de los elementos de la estructura
Observemos el caso siguiente (Figura Nº 44): se tiene una viga continua de dos tramos, donde sólo el tramo AB se
encuentra cargado, y el BC está descargado. Evidentemente, la elástica es la que se muestra en la figura.
Podemos suponer entonces que se trata de dos vigas, sometidas: una (AB) a la carga distribuida y un momento
aplicado en el extremo B M B  , y la restante (BC) con sólo el momento aplicado en el extremo B (por acción y
reacción, igual en magnitud y de sentido contrario al que actúa sobre la viga AB).
Evidentemente, el valor de M B reflejará el grado de coacción al giro que le impone el tramo BC al tramo AB
cuándo sobre éste último actúan cargas. Dicho grado de coacción dependerá de la rigidez flexional del sector BC.
PÁGINA 23
T1.02.00
Figura Nº 44
Figura Nº 45
Analicemos los dos casos límites (Figura Nº 45):
o Caso límite 1: rigidez flexional infinita del tramo BC. El extremo B no experimentará giro alguno debido a la
gran rigidez del tramo BC, o sea que a los fines prácticos, se comporta como un empotramiento perfecto.
o Caso límite 2: rigidez flexional nula del tramo BC. El extremo B girará sin restricción, como si existiese allí
una articulación. A los fines prácticos, no existe coacción, y el extremo B se comporta como un extremo
apoyado.
PÁGINA 24
T1.02.00
Obsérvese, por tanto, las consecuencias de los casos límites: el valor de M B oscila entre el que corresponde al
q  L AB
2
caso límite 1, M B  , y el que corresponde al caso límite 2, M B  0 .

8
Evidentemente, el caso real será intermedio (Figura Nº 46), donde el valor de M B se encontrará entre los límites
citados. No obstante ello, lo conceptualmente importante es influencia que ejerce la rigidez de los elementos sobre
el estado de esfuerzos internos en los sistemas hiperestáticos.
Figura Nº 46
Una consecuencia de lo mencionado es el hecho que si se incrementa la rigidez de algún sector en particular de la
estructura, aumentan allí los esfuerzos internos; y a la inversa, rebajando la rigidez de esa parte, decrecen sus
solicitaciones.
Otra consecuencia es que, merced a lo expuesto, resulta necesario predimensionar los sistemas hiperestáticos
antes de poder analizarlos. Esto no era así en los sistemas isostáticos, donde sólo a partir de la geometría y del
sistema de cargas, y solo utilizando las ecuaciones de equilibrio, se podían determinar las reacciones, los esfuerzos
y demás. En este caso, no solo será necesario predimensionar en secciones sino también definir materiales.
4.5 Ventajas de las estructuras hiperestáticas [1]

Mayor rigidez
Son más rígidas aquellas estructuras en las que el grado de hiperestaticidad introduce un mayor número de
condiciones de compatibilidad. Así, una viga doblemente empotrada bajo carga uniforme presentará flechas mucho
menores que una viga doblemente articulada de la misma luz y sometida a la misma carga. La condición de giro
nulo en los apoyos resulta en una rigidez a flexión mucho mayor.
Ahorro de material
Un número más elevado de condiciones de continuidad suele conducir a una mejor distribución de las cargas y a
esfuerzos internos con valores máximos absolutos menores. Así, una viga doblemente empotrada bajo carga
uniforme presentará momentos flectores (positivos y negativos) menores que los que aparecen (siempre positivos)
en una viga doblemente articulada de la misma luz y sometida a la misma carga. Menores esfuerzos suelen
traducirse en ahorro de material al dimensionar adecuadamente las barras.
Mayor seguridad
PÁGINA 25
T1.02.00
El hecho de ser hiperestática le proporciona a la estructura una reserva de resistencia y una relativa capacidad de re
distribuir esfuerzos en situaciones excepcionales. Así, una viga doblemente empotrada bajo carga uniforme sufre un
grado de plastificación en los apoyos para carga creciente que la transforman en una viga isostática, que aún puede
soportar carga. Si le ocurriese una plastificación en el centro del tramo a una viga doblemente articulada, la misma
se transforma en un mecanismo, y colapsa.
4.5.1 Desventajas de las estructuras hiperestáticas

La principal desventaja de las estructuras hiperestáticas frente a las isostáticas consiste en su imposibilidad de
adaptarse, sin generar esfuerzos internos, a movimientos y deformaciones impuestos. Cuando este tipo de acciones
resulte previsible, debe contemplarse con cuidado el grado de indeterminación con que dicha estructura se proyecte.
Así, las estructuras fuertemente hiperestáticas pueden sufrir daños cuando se someten a grandes variaciones
térmicas, por ejemplo. Cuando esto sucede, se debe proyectar teniendo muy especialmente una adecuada
respuesta ante estas acciones.
5 GRADO DE INDETERMINACIÓN ESTÁTICA

5.1 Concepto
Como se mencionó anteriormente, cuando es posible determinar totalmente la distribución de los esfuerzos internos
que actúan sobre todas las barras que conforman una estructura utilizando solamente las ecuaciones de equilibrio
de fuerzas y momentos, sobre la estructura en su globalidad o sobre sus partes integrantes, la estructura está
estáticamente determinada.
Ahora bien, en general, las estructuras de barras están estáticamente indeterminadas. Son hiperestáticas, y
para resolverlas es necesario imponer, adicionalmente, condiciones de compatibilidad sobre sus desplazamientos.
5.1.1 Hiperestatismo externo

Puede definirse el grado de indeterminación estática externa o grado de hiperestaticidad externo de
la estructura como la diferencia entre el número de reacciones exteriores incógnita y el número de ecuaciones de la
estática (seis en el espacio, tres en el plano).
hext  n  e [3]
Donde n es el número de reacciones incógnitas y e es el número de ecuaciones que provee la estática. Así, en
las estructuras de la Figura Nº 47, la aplicación de la ecuación [3] permite determinar el valor de hext .
En la estructura a), el grado de hiperestaticidad externo se evalúa como:
hext  n  e  3  3  0 [4]
Es por tanto, externamente isostática. Ahora, en el caso de la estructura b):
hext  n  e  6  3  3 [5]
Por tanto, es externamente hiperestática.
5.1.2 Hiperestatismo interno
PÁGINA 26
T1.02.00
Las estructuras formadas por varias piezas pueden ser externamente isostáticas, y sin embargo, ser estáticamente
indeterminadas. Es decir, que a pesar de conocerse sus reacciones exteriores, es imposible determinar los
esfuerzos internos en todas sus secciones.
Figura Nº 47. Grado de indeterminación estática externa.
Para poder resolverlas, hay que suprimir los enlaces internos y sustituirlos por sus reacciones internas equivalentes.
Las incógnitas adicionales que aparecen al liberar enlaces internos determinan el grado de indeterminación
estática interna o grado de hiperestatismo interno.
Figura Nº 48: Exteriormente isostática. Internamente hiperestática.
Figura Nº 49. Exteriormente hiperestáticas. Internamente hiperestáticas.
Las estructuras de la Figura Nº 48 y Figura Nº 49 son internamente hiperestáticas, aunque externamente presenten
características distintas. Por tanto, es necesario tener una definición que permita evaluar el grado de
indeterminación estática de una estructura con independencia de si el origen de éste es la indeterminación de las
reacciones en los apoyos o en los enlaces internos.
PÁGINA 27
T1.02.00
5.2 Evaluación del grado de indeterminación estática en estructuras de plano medio

Al tratar con pórticos y cadenas de chapas y sistemas mixtos, la evaluación anterior (relativamente simple) se torna
más compleja. A continuación se presenta una expresión debida a Begliardo [5], que permite evaluar el grado de
indeterminación otorgando libertad en la elección de los sistemas libres, o chapas, como más adelante se verá.
La expresión es la siguiente:
Ge  hext  hint   S 4 2  S5  3  S 6  ...   i  3  Si    2  k2  3  k3  [6]
Dónde:
S 4 , S 5 , S 6 ,..., S i : Sistemas libres abiertos (chapas). El subíndice designa el número de fuerzas que se evidencian
en cada nudo o extremo para restituir las condiciones de equilibrio estático. Por ejemplo, en sistemas abiertos con
vínculos rígidos en sus extremos, corresponde S6 ; si un extremo está articulado, corresponde S5 ; para ambos
extremos articulados corresponde S 4 .
k 2 , k3 : Nudos del sistema dado que vinculan los sistemas libres (chapas) entre sí. El subíndice indica el número de
solicitaciones que se evidencian en el nudo de unión para restituir el equilibrio de fuerzas. Así, para nudos rígidos
corresponde k3 ; para nudos articulados corresponde k 2 .
La condición de estabilidad revela que, punto a punto, toda estructura deberá encontrarse en equilibrio bajo las
acciones externas. En función de ello, al seccionársela por partes se obtendrán sendas porciones de estructuras
equilibradas, evidenciándose en cada partición las solicitaciones internas (esfuerzos característicos) restitutorios del
estado estable. Esta afirmación permite descomponer el sistema original en chapas aisladas (barras rectas, curvas,
lineales o ramificadas) de modo más conveniente. No obstante, lo aconsejable es desmembrarla en
correspondencia con las articulaciones y abrir los marcos cerrados.
La estática, proporciona tres ecuaciones generales de equilibrio por lo que, por aplicación de la ecuación [3] para
cada chapa aislada, el grado de indeterminación estática externa será:
hi  i  3 [7]
Dónde i es el número de solicitaciones de vínculo de la barra o chapa aislada del sistema.
Así, para cada tipo de sistema aislado S i , el grado de indeterminación estática externa será:
 i  3   Si [8]
Donde S i es el número de sistemas aislados con i solicitaciones de vínculo de la barra o chapa aislada.
La suma de las indeterminaciones de cada una de las chapas en las que se descompone un sistema dado es:
hi   S 4 2  S5  3  S6  ...   i  3  Si  [9]
Ahora bien, al ensamblar nuevamente la estructura para volverla a su configuración original, la estática provee un
grupo de ecuaciones auxiliares que garantizan el equilibrio de nudos, y disminuye el grado de indeterminación. De
PÁGINA 28
T1.02.00
ello, en los nudos rígidos  k3  podrán plantearse tres ecuaciones (dos de proyección y una de momentos, o tres de
momentos); y en los articulados  k 2  , dos de proyección. El número total de ecuaciones adicionales será:
naux   2  k 2  3  k3  [10]
Componiendo ambas, se obtiene la ecuación [6].
5.2.1 Ejemplos de aplicación

En el caso del marco cerrado de la Figura Nº 50, se efectúan dos cortes, separando el marco en dos chapas. Así,
para la aplicación de la ecuación [6], se tiene:
o Dos chapas S8 .
o Dos nudos rígidos  k3  .
Entonces:
Ge  2   8  3   3  2  4 [11]
Figura Nº 50
Alternativamente, si se realiza un solo corte, con una sola chapa resultante, la ecuación [6] se evalúa como:
Ge  1  10  3   3 1  4 [12]
Evidentemente, el grado de indeterminación no varía para cualquier seccionamiento correcto que se practique.
Véase ahora el caso del pórtico de la Figura Nº 51. Efectuando el corte de la figura, resulta:
o Una chapa S7 .
o Una chapa S8 .
o Un nudo rígido  k3  .
Entonces:
Ge  1   8  3   1   7  3   3 1  5  4  3  6 [13]
PÁGINA 29
T1.02.00
Figura Nº 51
Cabe destacar que, en las estructuras de plano medio:
o Cortar (o suprimir la conexión) en un apoyo simple o un enlace simple (apoyo móvil, o tirante), equivale a
introducir una única incógnita.
o Cortar (o suprimir la conexión) en un apoyo o enlace doble (articulación externa o interna), equivale a
introducir dos incógnitas.
o Cortar (o suprimir la conexión) en un empotramiento o enlace triple (viga), equivale a introducir tres
incógnitas.
5.3 Evaluación del grado de indeterminación estática en estructuras espaciales

El razonamiento seguido en este caso es conceptualmente similar al utilizado para estructuras de plano medio. Se
remite a la referencia [5] para el desarrollo del tema y sus aplicaciones.
6 GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA. GRADO DE TRASLACIONALIDAD

[1]
6.1 Concepto
De forma general, se define el grado de indeterminación cinemática de una estructura como el número
mínimo de movimientos (desplazamientos y / o giros) que es necesario conocer para determinar completamente el
estado deformado de la estructura. Evidentemente, dicho estado deformado debe respetar las condiciones de
compatibilidad de la estructura.
6.2 Evaluación del grado de indeterminación cinemática

Suponiendo que los movimientos de las piezas individuales son continuos, el grado de indeterminación cinemática
puede calcularse como:
PÁGINA 30
T1.02.00
Gc  gl  nn  ca [14]
En la ecuación [14]:
Gc : Grado de indeterminación cinemática.
gl : Número de grados de libertad que se deben considerar por nudo.
nn : Número de nodos de la estructura.
ca : Número de grados de libertad prescritos por las condiciones de vínculo o de apoyo de la estructura.
El número de grados de libertad de la estructura viene determinado por el tipo de estructura de que se trate y por las
condiciones de compatibilidad entre las barras concurrentes.
En el caso de estructuras aporticadas espaciales, el número de grados de libertad por nudo es seis (6): tres
componentes de traslación y tres giros independientes alrededor de los ejes de la terna del sistema de coordenadas;
en las estructuras reticuladas espaciales, el número de grados de libertad por nudo es tres (3): tres traslaciones, ya
que los giros relativos entre las barras son libres.
Para las estructuras aporticadas de plano medio, el número de grados de libertad por nudo es tres (3): dos
componentes de traslación y un giro con respecto a un eje ortogonal al plano de la estructura; mientras que para las
estructuras reticuladas de plano medio, solo se tienen dos (2) componentes de traslación por nudo.
Figura Nº 52. Evaluación del grado de indeterminación cinemática.
Para el caso del reticulado (a)) en la Figura Nº 52, se tiene:
o gl  2 .
o nn  5 .
o ca  4
Evaluando entonces la expresión [14], obtenemos:
Gc  2  5  4  6 [15]
Ahora, para el pórtico (b)) de la Figura Nº 52:
PÁGINA 31
T1.02.00
o gl  3 .
o nn  4 .
o ca  4
Gc  3  4  4  8 [16]
Una manera alternativa de evaluar el grado de indeterminación cinemática es la planteada por Begliardo [6], para
sistemas estructurales de plano medio:
Gc   2  n    r j [17]
N V
Donde la correspondencia con la expresión [14] viene dada por:
 2  n  gl  nn
N
[18]
Y por:
r
V
j  ca [19]
En la expresión [18], el primer término del sumando entre paréntesis guarda relación con las posibilidades de
movimiento u, v  de todo nudo al que concurren dos o más barras según, por ejemplo, el par de ejes coordenados
x, y  que definen el plano de la estructura. El término n es el número de extremos de barra que concurre al nudo,
susceptible de rotar de manera independiente respecto de un eje normal al plano medio de la estructura. La
sumatoria debe extenderse a los N nudos de la estructura, considerada como cuerpo libre.
En cuanto a la expresión [19], r j son los vínculos a tierra de especie j , donde la sumatoria debe extenderse a los
V vínculos o apoyos a tierra de la estructura. Cabe recordar que en las estructuras de plano medio, los apoyos de
primera especie  j  1, U 1  restringen una grado de libertad r j  1 ; los apoyos de segunda especie
 j  2, U 2  restringen dos grados de libertad r j  2 ; y los apoyos de tercera especie  j  3, U 3  restringen
tres grado de libertad r j  3 .
6.3 Grado de traslacionalidad. Hipótesis de rigidez axial

Como es bien conocido, las estructuras de barras están sometidas, en el caso general, a esfuerzos de flexión
compuesta, corte y torsión, por lo cual las rebanadas diferenciales de dichas barras estarán sometidas a dichos
esfuerzos, como consecuencia de las deformaciones de dicha rebanada:
o Si se produce alargamiento o acortamiento de fibras, la rebanada diferencial estará sometida a esfuerzos

axiles.
o Si se producen deformaciones angulares (giros diferenciales de las secciones), la rebanada diferencial
estará sometida a momentos flectores.
o Si se producen distorsiones y / o alabeos, la rebanada diferencial estará sometida a esfuerzos de corte.
o Si se producen giros de las diferentes secciones a lo largo de un elemento diferencial de longitud de la
barra, la misma estará sometida a momentos torsores.
PÁGINA 32
T1.02.00
Como más adelante se verá, una vez calculadas las leyes de esfuerzos sobre una estructura, es posible calcular las
deformaciones de las diferentes rebanadas o elementos diferenciales, que por integración a lo largo de la pieza
permitirán calcular los movimientos relativos entre unos puntos y otros de las barras de una estructura.
En rigor, a la hora de determinar la geometría deformada de una estructura, se deberán considerar todos los efectos
anteriores, y siempre será posible hacerlo. Sin embargo, la práctica permite apreciar que los mismos no tienen la
misma importancia cuantitativa, en función de la forma de trabajo de las piezas.
Por ejemplo, para las barras o elementos que trabajan fundamentalmente a esfuerzos axiales (cables, barras de
reticulado, etc.), solo resulta importante cuantificar sus variaciones de longitud (a partir de las deformaciones
axiales), por lo que bastará reducir el análisis cinemático a la determinación de sus acortamientos o alargamientos.
En los sistemas aporticados se observa que salvo en casos particulares, las deformaciones y desplazamientos que
originan los esfuerzos axiales y de corte son mucho menos importantes, en términos relativos, que las / los que
provocan la aparición de momentos flectores y torsores. Esto provoca que, al realizar el análisis cinemático de estas
estructuras, se desprecie los efectos de la deformación de los primeros frente a los de los últimos. Así, en las
estructuras de plano medio, solo consideramos deformaciones y desplazamientos por flexión, y en los emparrillados
de vigas, los debidos a la flexión y a la torsión.
Este hecho simplifica notablemente el análisis cinemático de las estructuras de barras y nudos rígidos, ya que
entonces, bajo la hipótesis de linealidad geométrica, las barras mantienen su longitud inicial y sus ángulos relativos.
Se introducen así condiciones adicionales de compatibilidad entre los movimientos de los nudos extremos de las
barras, que redundan en la reducción del grado de indeterminación cinemática de la estructura.
Figura Nº 53: Grado de indeterminación cinemática con hipótesis de rigidez axial.
Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática teniendo en cuenta los aspectos anteriores se denomina grado
de indeterminación cinemática con hipótesis de rigidez axial, puesto que al despreciar las distorsiones y
los alargamientos o acortamientos, se asumen que las barras son indeformables en tal sentido.
En el caso a) de la Figura Nº 53, si se supone que las barras AB y CD son inextensibles (axialmente rígidas), los
movimientos verticales de los puntos B y C deben ser nulos; si la barra BC también es axialmente rígida, los
movimientos horizontales de los puntos B y C deben ser iguales. Se observa también que la cuerda de la barra AB
sufre una rotación con centro en el punto A, de la misma manera que la cuerda DC sufre una rotación con centro en
el punto D, y la barra BC sufre una traslación horizontal y no gira. Los puntos A y D se denominan centros
PÁGINA 33
T1.02.00
instantáneos de rotación (CIR) de las barras AB y CD, respectivamente. Además, obsérvese que los nudos B y
C son rígidos, manteniéndose inalterado el ángulo entre las barras luego de la actuación de las cargas.
Una forma de evaluar el grado de indeterminación cinemática con hipótesis de rigidez axial es la siguiente:
Gcr  gl  nn  ca  ni [20]
Donde Gcr es la indeterminación cinemática con hipótesis de rigidez axial, y ni es el número de barras
consideradas como axialmente rígidas. Los demás términos son ya conocidos.
Para el caso a) de la Figura Nº 53, se tiene:
Gcr  3  4  4  3  5 [21]
La forma deformada de la estructura queda determinada, en este caso, por la traslación horizontal de la barra BC
u  y por los giros de los nudos A, B, C y D. Las rotaciones de las cuerdas de las barras
 AB   AB , CD   CD  , para la hipótesis de linealidad geométrica se determinan mediante las relaciones
siguientes.
u
 AB   AB 
h1
[22]
u
 CD   CD 
h2
La Figura Nº 53 b), muestra una estructura similar, con simetría total (estructural y de carga). Esta condición, unida
a la hipótesis de rigidez axial, obliga a los puntos B y C a permanecer en sus posiciones iniciales. Por ello, la forma
deformada de la estructura queda perfectamente definida a partir de las rotaciones en los nudos A, B, C y D, que a
su vez deben ser simétricas dos a dos.
De lo dicho se desprende que la deformada de una barra cualquiera se puede generar a partir de la suma de los
efectos de:
o Un movimiento de sólido rígido, de traslación pura o de rotación alrededor de su centro instantáneo

de rotación (CIR).
o Y la deformación de flexión, que original los momentos flectores que soporta la barra.
El movimiento como sólido se traduce en un movimiento de los nudos extremos de la barra respecto de sus
posiciones iniciales. Dichos movimientos, para las distintas barras que concurren a un nudo, no son independientes
entre sí, sino que solo pueden producirse de forma que se satisfagan las condiciones de compatibilidad de
desplazamientos en los nudos.
Por otra parte, la deformación de flexión mantiene inalterada la longitud de la directriz de la barra (esto es, la
posición de los nudos extremos), pero modifica los giros de éstos, de forma que se satisfaga la condición de
compatibilidad de giros en los extremos de las barras concurrentes en un nudo rígido. Así, en la estructura a) de la
Figura Nº 53, el giro como sólido rígido de la barra AB  AB   AB  es distinto de los giros de los nudos A y B
 A ,  B  . La diferencia entre los anteriores radica en la deformación por flexión de la barra AB (que estará
sometida a momentos flectores a lo largo de su directriz).
PÁGINA 34
T1.02.00
En estas condiciones, el grado de indeterminación cinemática con hipótesis de rigidez axial viene dado por:
Gcr  gt  ng [23]
Dónde:
gt : Número de movimientos independientes de sólido rígido de las barras (traslaciones o giros alrededor de sus
CIR’s).
ng : Número de giros de nudo desconocidos.
El término gt ilustra el grado de traslacionalidad de la estructura, donde:
o Si gt  0 , la estructura es intraslacional o indesplazable. En ella, los nudos son fijos, esto es, sus
desplazamientos son nulos y sólo pueden experimentar rotaciones. Las únicas incógnitas cinemáticas del
problema son los giros de nudo ng  .
o Si gt  0 , la estructura es traslacional o desplazable. En ella los nudos pueden desplazarse
(respetando las condiciones de compatibilidad), y girar. Las incógnitas cinemáticas del problema son los
giros de los nudos ng  , y los movimientos independientes de sólido rígido de las barras
gt  .
Así, en el caso de la Figura Nº 53 a), gt  1 , y en b), gt  0 .
Una forma sencilla de calcular el grado de traslacionalidad de una estructura aporticada consiste en prescindir por
un momento de la deformación por flexión y considerar únicamente los movimientos como sólido rígido de las
barras. Para ello, basta con convertir todos los enlaces rígidos (empotramientos y nudos rígidos) en articulados. Se
tendrá así una estructura que será, en general, un mecanismo (barras unidas entre sí por rótulas). Se comprueba
así que el grado de traslacionalidad de la estructura original coincide con el número de mecanismos de la estructura
“articulada” resultante.
Para el caso de las estructuras de la Figura Nº 53, los mecanismos resultantes se ilustran en la Figura Nº 54,
donde se ve que en caso a) el mecanismo es de un grado de libertad, y en b), que el mecanismo es estable para
cargas simétricas.
Figura Nº 54. Mecanismos de barras articuladas. Determinación del grado de traslacionalidad.
PÁGINA 35
T1.02.00
Del procedimiento anterior se deduce que las estructuras desplazables deben su estabilidad a la rigidez de sus
nudos.
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] M. Cervera Ruíz and E. Blanco Díaz, Mecánica de estructuras. Libro 2: Métodos de análisis, Barcelona: UPC,
2002.
[2] A. Bignoli, M. Fioravanti, R. Carretero and M. Guaragna, Análisis Estructural, Buenos Aires: ATEC S.A., 1992.
[3] J. T. Celigüeta, "Curso de análisis estructural," EUNSA, Navarra.
[4] R. Kaufmann, "Análisis Estructural I. Tema 2: Sistemas hiperestáticos.," Rosario.
[5] H. F. Begliardo, "Fórmula unificada para la evaluación del grado de indeterminación estática en estructuras," in
20º Jornadas Argentinas de Ingeniería Estructural, Buenos Aires, 2008.
[6] H. F. Begliardo, "Fundamentos y evaluación del grado de indeterminación cinemática en estructuras," in 21º
Jornadas Argentinas de Ingeniería Estructural, Buenos Aires, 2010.
PÁGINA 36

Tema 1 02 - Estructuras Hiperestáticas - Rev00 PDF

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Tema 1 02 - Estructuras Hiperestáticas - Rev00 PDF

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Tema 1 02 - Estructuras Hiperestáticas - Rev00 PDF

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

Tema 1. Introducción. Sistemas hiperestáticos.

La Resistencia de Materiales y el Análisis de Estructuras se desarrollan extraordinariamente en la segunda mitad del

1.2 Tipos de estructuras

Figura Nº 1. Elementos continuos (sólidos). Placas y láminas.

o Estructuras lineales, o de barras (por ejemplo: vigas, columnas).

Figura Nº 2. Elementos discretos. Barras.

Figura Nº 3. Elementos continuos. Sólidos con simetría axial.

2 ESTRUCTURAS DE BARRAS [2]

Figura Nº 4. La estructura considerada como “el todo”.

Figura Nº 5. División del todo en “partes”.

o Todo nudo es un nodo, más no todo nodo es un nudo.

Figura Nº 6. Conexiones articuladas, rígidas y combinadas.

Figura Nº 7. Conexiones para estructuras de plano medio.

2.6 Tipos o configuraciones de estructuras de barras [1]

o Vigas, aisladas o vinculadas mediante cadenas cinemáticas abiertas o cerradas.

2.6.2 Sistemas espaciales

Figura Nº 8. a) Reticulado plano. b) Pórtico plano.

Figura Nº 9. Emparrillado de vigas.

Figura Nº 10. Pórtico espacial.

3 MODELO DE ANÁLISIS. HIPÓTESIS BÁSICAS [2] [1]

3.1 Equilibrio y compatibilidad

Figura Nº 11. Estructuras reticuladas planas. Equilibrio estático y equilibrio elástico.

Figura Nº 12. Pórticos. Equilibrio estático y equilibrio elástico.

3.1.2 Compatibilidad de desplazamientos

Deben cumplirse los siguientes requisitos fundamentales:

Figura Nº 13. Reticulado plano. Compatibilidad de desplazamientos.

Figura Nº 14.Pórtico plano. Compatibilidad de desplazamientos.

3.2 Linealidad y principio de superposición

3.2.2 Linealidad mecánica

3.2.3 Superposición de efectos

Figura Nº 15. Principio de superposición de efectos.

4 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS

o El número de reacciones es menor que el número de ecuaciones de equilibrio I  E   0 : la estructura es

Al respecto de las estructuras hiperestáticas donde, como mencionamos I  E   0 , se pueden fijar

Figura Nº 16. Estructura hiperestática, y diagrama de cuerpo libre.

Figura Nº 17. Solución.

o Cálculo de reacciones, estableciendo las ecuaciones de equilibrio estático de la estructura.

Figura Nº 18. Esquema de solución de estructuras (externamente) isostáticas.

Figura Nº 19. Esquema de resolución de estructuras hiperestáticas.

4.2 Tipos de estructuras hiperestáticas [4]

4.2.1 Viga bi empotrada

4.2.2 Vigas continuas

4.2.3 Arcos bi apoyados y bi empotrados

4.2.4 Pórticos bi apoyados y bi empotrados

4.2.5 Marcos cerrados

4.2.6 Anillos cerrados

4.2.7 Pórticos múltiples

4.2.8 Viga Vierendeel

4.2.9 Arco atirantado

4.2.10 Viga atirantada

4.2.11 Reticulado hiperestático

4.2.12 Pórtico mixto hiperestático

4.3 Algunos ejemplos de estructuras hiperestáticas

Figura Nº 32. Arena de Raleigh. Cubierta suspendida de arcos. Proyecto: M. Nowicki.

4.3.2 Pórticos simples

4.3.3 Viga Vierendeel

Figura Nº 36. Puente peatonal en Berlín (Alemania).