Taller Vectores, Rectas y Planos PDF
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SECCIÓN 1: VECTORES
Ejercicios sugeridos del texto: Poole, David. Álgebra Lineal: una introducción mo-
derna. Cuarta edición, Cengage Learning, 2017.
- Vectores: Sección 1.1: 1 al 22.
- Vectores: Sección 1.2: 1 al 31.
P1 (2, 1), Q1 (3, 3), P2 (4, −2), Q2 (2, −3), P3 (−3, −1), Q3 (0, −2).
Considere también los vectores u = P1 Q1 , v = P2 Q2 y w = P3 Q3 . Calcular:
a. El vector u − 2v + w.
b. La magnitud del vector w, kwk.
c. Los ángulos entre los vectores u, v y entre los vectores u, w.
d. P royv (u) y P royw (u).
√
Resp: a. (8,3). b. 10. c. 143.1◦ , 81.2◦ . d. 45 (2, 1), 1
10
(3, −1).
2. Verifique que el triángulo con vértices A(-3,2), B(1,0), C(4,6) es un triángulo rectángu-
lo.
3. Halle todos los valores del escalar k para los cuales los dos vectores siguientes son
ortogonales. 2
1 k
u = −1
v= k
2 −3
Resp: -2, 3.
√
−240+ 85,683
Resp: 407
.
6. A partir del dibujo que se muestra al final del taller, se puede demostrar que el área
A de un triángulo se puede calcular ası́:
Calcule el área del triángulo cuyos vértices son A(1,-1), B(2,2), C(4,0).
Resp: 4.
|Ax1 + By1 + C|
d= √
A2 + B 2
Ejercicios sugeridos del texto: Poole, David. Álgebra Lineal: una introducción mo-
derna. Cuarta edición, Cengage Learning, 2017.
- Rectas y planos: Sección 1.3: 8, 18, 23, 24, 27, 28, 29 y 30.
Resp: a) x = 3t + 3, y = 5, z = −3t + 7. b) x = 2t + 2, y = −t − 3, z = 3t + 4.
3
3. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8,8,7) es paralela a la recta
que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2).
4. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (0,1,1) y (1,-1,6) es perpendicular
a la recta que pasa por los puntos (-4,2,1) y (-1,6,2).
a. El plano que pasa por el punto (1,-1,1) y tiene vector normal î + ĵ − k̂.
b. El plano que pasa por el punto (6,3,2) y es perpendicular al vector −2î + ĵ + 5k̂.
c. El plano que pasa por el punto (-2,8,10) y es perpendicular a la recta con ecuaciones
paramétricas x = 1 + t, y = 2t, z = 4 − 3t.
d. El plano que pasa por el punto (4,-2,3) y es paralelo al plano 3x − 7z = 12.
e. El plano que contiene a la recta con ecuaciones paramétricas x = 3+2t, y = t, z = 8−t
y es paralelo al plano 2x + 4y + 8z = 17.
f. El plano que pasa por los puntos (3,-1,2), (8,2,4), (-1,-2,-3). Resolver este problema por
dos métodos diferentes.
g. El plano que pasa por el punto (-1,2,1) y contiene la recta de intersección de los planos
x + y − z = 2 y 2x − y + 3z = 1.
6. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Si dos planos no son
4
paralelos, entonces se cortan en una recta y el ángulo entre los dos planos se define como
el ángulo agudo entre sus vectores normales. Verifique que las ecuaciones paramétricas
de la recta de intersección de los planos z = x + y y 2x − 5y − z = 1 son,
1 1
x = 6t, y = − + t, z = − + 7t
6 6
y que el ángulo entre ellos es:
2
arc cos √ ≈ 77,82◦ .
90
7. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2), es pa-
ralela al plano x + y + z = 2 y perpendicular a la recta x = 1 + t, y = 1 − t, z = 2t.
Resp: 25/3.
ku × vk
2
10. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(4, −1, 3)
y B(−1, 3, 4).
11. Hallar la ecuación del plano que contiene los puntos P (1, −3, 2), Q(2, 3, −1) y R(−1, 2, 1).
a. Calcule el ángulo θ.
b. Encuentre el área del triángulo de tres formas distintas, a saber: