GUÍA DE PRÁCTICAS

Estudiante:

CI:
Paralelo:
Docente:Lic. Bismar Choque Nina

2020
 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

𝛼𝑟
𝑀

NÚMEROS REALES.

1. Clasifica a los siguientes números:

2. Determinar si los siguientes números son o no números racionales:

a) 7,555555 … b) 3,034035036037… c) 1,03034444444… d) 34,350350350351

3. Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales:

a) 1,23234234523456.... b) 1,23232323.... c) 1,234235236237... d) 1,23

4. Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama:

5. Representar sobre la recta los siguientes números:

6. Representar sobre la recta los siguientes números:

7. Escribe dos números racionales comprendidos entre:

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 a) 4/5 y 5/7 b) 1 y 3/2 c) −8/9 y 0

8. .Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordenarlos de menor a mayor:

a)
b) 𝜋; 1,67̂; 1,678̂ y 1,698̂
c)

9. Reducir a su mínima expresión:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

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10. Realizar las siguientes operaciones con intervalos y representar el resultado obtenido: a)
[−5,5] ∪]0,6[
b) [−5,5] ∩]0,6[
c) ]4,9] ∪]5,8]
d) ]4,9] ∩]5,8]
e) ] − ∞, 0[∪] − 1,4]
f) ] − ∞, 0[∩] − 1,4]
g) ] − 3,4] ∪]2,+∞[
h) ] − 3,4] ∩]2,+∞[

En los siguientes problemas, hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades y graficar
sobre la recta real dicha solución
21.

22.

23. 𝑥 + 1 < 2𝑥
24. 𝑥 𝑥
25.

26.

27. −9<0

28. 29.

30.

31.

32.

33.
34.
35.

36. − 400 <

80

37. Determine el valor de 𝑘, para que la inecuación

tenga un conjunto solución

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En cada uno de los siguientes ejercicios, resolver la inecuación dada y graficar sobre la recta real
dicha solución.

En cada uno de los siguientes ejercicios, resolver la inecuación dada y graficar sobre la recta real
dicha solución.

60. En cada uno de los siguientes ejercicios, resolver la ecuación dada y graficar sobre la recta real
dicha solución:
a) |3𝑥 − 2| = 4
b) |3𝑥 − 1| = 2𝑥 + 1
c) |𝑥 − 4| = 2𝑥 − 5

d) |2𝑥 + 3| = 3𝑥 + 7

e) |5 − 3𝑥| = 7 − 𝑥

f) |𝑥 + 5| = 3|𝑥 + 1|

g) |𝑥2 − 4| = 4 − 2𝑥

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 h)

i)

61. En cada uno de los siguientes ejercicios, resolver la inecuación dada y graficar sobre la recta
real dicha solución:
a) |2𝑥 − 1| < 7 i) |2𝑥 + 2|
b) |5 − 3𝑥 j) |4𝑥 − 3|

c) |𝑥 k) |3𝑥 𝑥

d) l) |𝑥

m) |𝑥 𝑥 e)
n) |2𝑥 + 1| − |𝑥

f) o) |3 − |2𝑥

g) |2𝑥 − 3| > |3 + 2| p) ||3𝑥

h) |5𝑥 + 2|

FUNCIONES.

1. Hallar y graficar el producto cartesiano 𝐴 × 𝐵, donde:

a) 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} y 𝐵 = {1,3,6}
b) 𝐴 = {3,6,7,9} y 𝐵 = {−1,0,3}
c) 𝐴 = {−3,−2,−1,0,1,2,3} y 𝐵 = {2}
d) 𝐴 = [0,2] y 𝐵 = {3}
e) 𝐴 = [−1,3[ y 𝐵 =]1,4]

2. Dada la relación 𝑅 hallar el Dominio, Rango y graficar.

a) 𝑅 ),(𝑔, ℎ)}
b) 𝑅 = {(1,2),(3,4), (2,1),(3,1), (3,2)}
c) 𝑅 = {(2,1),(2,2), (2,3),(2,4), (2,5),(2,7), (2,9),(2,14), (2,15)}
d) 𝑅
e) 𝑅
f) 𝑅
g) 𝑅

3. , hallar:
a) 𝑓(1)
b) 𝑓(2)
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 c) 𝑓(𝑎2 − 𝑏)

4. Si 𝑔 𝑥, hallar:
a) 𝑔
b) 𝑔

5. Indicar si las siguientes expresiones son funciones:

a) 𝐺 = {(1,2),(2,3), (3,4),(4,5)}
b) 𝐻 = {(3,6),(2,5),(7,1), (2,9)}
c) 𝑔
d) 𝐹

6. Hallar el Dominio y Rango de las siguientes funciones:

a)
d) a)
l) a)
a)
e)
m) a)
a)
a)
a)
a)
a)
𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 15 i)

b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 45 j)

c) k)

f) n) 𝑖 − 1) − 1
g)
h)

7. En las siguientes funciones; graficar, hallar el dominio y rango.

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 f) 𝑓(𝑥) = −3 − 𝑥
b) g)
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
h)
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
i)
e) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
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j) 𝑓(𝑥) = −3
k) 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
l) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3

m)
n) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 −2
o) 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑥2
p) 𝑔(𝑥) = −(𝑥2 + 1)
q) 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2
r) 𝑔(𝑥) = (3𝑥 + 1)2
s) 𝑔(𝑥) = −(5𝑥 − 3)2

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 𝑗(𝑥) =
−2
45𝑥 yy) 𝑗(𝑥)
t) 𝑔 𝑥 = 𝑥−6 zz) 𝑗(𝑥)
−5
u) = 2𝑥
v) aaa)
w) 𝑘(𝑥) =
2𝑥 bbb)
aa) bb) 3 𝑘(𝑥)
cc) dd) = 3−𝑥 ccc) 𝑘(𝑥)
ee)
) ff) 8. Graficar,
) hallar el
hh) 𝑖 𝑥 rango e
imagen.
a) 𝑓(𝑥) = 4sen𝑥
b)
c) 𝑦 = 2 sen 3𝑥
d)
e) 𝑦 = 2 sen(𝑥 + 1)
x) 𝑥

gg) + y)
z) ℎ(𝑥) = 2𝑥3
ii) jj)
kk) ll) = 𝑒𝑥 + 3 ddd)
mm) 𝑖(𝑥) = 𝑘(𝑥)
16𝑥 − 𝑥3 nn) = 𝑒2𝑥−1 eee)
𝑖(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 + 𝑘(𝑥)
𝑥−3
6 oo) 𝑖(𝑥) = 𝑥4 pp) =𝑒 fff)
𝑖(𝑥) = 𝑥5 qq) 𝑘(𝑥)
𝑖(𝑥) = 𝑥4 − 9 rr) 𝑥
= −𝑒 ggg)
𝑖(𝑥) = 16 − 𝑥4 𝑘(𝑥)
= 𝑒𝑥+1 − 2 hhh)
ss) tt)
𝑘(𝑥)
= 3 − 𝑒2𝑥+1 iii)
𝑘(𝑥)
= 𝑒−(3𝑥+2) jjj)
𝑘(𝑥)
xx)
−𝑥
= 𝑒 + 3 kkk)
uu) vv) ww)
 𝜋)
lll) 𝑙(𝑥) = ln 2𝑥 mmm) 𝑙(𝑥) = −3ln 𝑥 r) 𝑦 = tan(3 − 𝑥)
nnn) s) 𝑦 = − tan 𝑥
𝑙(𝑥) = ln(1 − 𝑥) ooo) aa)
y
ppp) 𝑙(𝑥) = 2 ln 𝑥 + 2 qqq) 𝑙(𝑥) = ln(𝑥 −
) bb)
1) + 3 rrr) 𝑦 = ln(2 − 𝑥) − 3 sss) 𝑦 =
log100(𝑥 + 1) ttt) 𝑦 = ln(𝑥2 − 9) uuu) 𝑦 =
ln(𝑥2 + 1) vvv) 𝑦 z

= − ln(𝑥2 + 𝑥 + 8) )

f) 𝑦 = sen 𝑥 +
1
g) 𝑦 = sen(3𝑥 9. Graficar, hallar el dominio
+ 𝜋) y rango.
h) 𝑦 = 2 − sen a)
𝑥
b)
i) 𝑦 = − sen(−𝑥)
ESCUELA MILITAR DE c)
INGENIERIA d)
LIC. BISMAR CHOQUE NINA
EMI - 2020 e) f)
g)
j) 𝑦 = 2 cos(𝑥 − 1) t) 𝑦 = −
h)
tan(2
k) 𝑦 = − cos 𝑥 − 𝑥)
i)
l) 𝑦 = −2 cos(2 − 3𝑥) u)
𝑦 = cot(−𝑥) j)
v) 𝑦 =
− cot𝑥
+ k)
m l)
)
m)
1
n) 𝑦 = cos(𝑥 + 1) − 1
o) 𝑦 = ln cos𝑥 w) 𝑦 =
cot(𝑥 − dd)

2)
p) 𝑦 = tan 𝑥 + 1
q) 𝑦 = 2 tan(2𝑥 − 1) x) 𝑦
= sec(𝑥 −

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 aa) b)

bb)

ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA a)

LIC. BISMAR CHOQUE NINA EMI -
2020 3. Encuent
ra csc𝛽 ,
sec 𝛽 y
cot 𝛽
cc)
a)
TRIGONOMETRIA.

1. Transformar al
sistema que se
indica:
a e) i)
) f) j) b)

g)
b
h)
)

) En los siguientes tres

ejercicios, supón que se
tratan de triángulos
d rectángulos.
)
4. encuentra los valores de
los
En cada uno de los siguientes
otros
triángulos halle el valor de y
cinco
determina los valores de las funciones
trigonométricas que se indican. funcion
es
2. Determine
y trigono
métrica
s de 𝛼
 5. encuentra los
valores de los otros
cinco funciones
trigonométricas de 𝛼

6. encuentra los
valores de los otros
cinco funciones
trigonométricas de 𝛼
7. ¿En qué cuadrante
se encuentra el lado
terminal de cada
uno de los siguientes
ángulos?
a) 1594° d)
f)

b) 1888°

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 e)
c) 2605°

8. En los siguientes incisos, encuentra sen𝛼 , cos𝛼 y tan 𝛼 para el ángulo 𝛼 que se
indica.
a) 3990° d) f)
b) 4815° 35𝜋

e)
6
c) 6360°

En cada uno de los siguientes ejercicios, determina la amplitud y el periodo de la función que se da, y
representa gráficamente
9. 𝑦 = 2 cos 2𝑥

10. 𝑦 = 3 sen 2𝑥

11. 𝑦 = 2 tan 2𝑥

12. Dado , hallar sen(𝑥 + 𝑦)

13. Dado , hallar cos(𝑥 + 𝑦)

14. Dado , hallar sen(𝑥 − 𝑦)

15. Demostrar
2 √5 √2
sen 𝑥 = y cos 𝑦 =
16. Dado el 5 2 hallar: sen(𝑥 + 𝑦) ;
sen(𝑥 − 𝑦) y cos(𝑥
+ 𝑦)

, hallar el valor de 𝑦 = 4 sen4 𝑥 + 3 cos3 𝑥 + 2 sec2 𝑥

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas

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En los siguientes ejercicios encuentra todas las soluciones entre 0 y 360° (o bien entre 0 y 2𝜋).

Resolver los siguientes problemas

43. ¿Cuál es el ángulo de depreciación del sol cuando un mástil de 35 metros de altura proyecta una
sombra de 50 metros?

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44. Un observador contempla la parte superior de un edificio, que está a 202 metros por encima del
nivel de sus ojos a un ángulo de elevación de 22°. ¿A qué distancia se encuentra el observador
del edificio?

45. Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. Si la parte que ha
caído hacia el suelo forma con éste un ángulo de 37°, y si la parte del tronco que ha quedado en
pie tiene una altura de 15 metros, ¿cuál era la altura del árbol?

46. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un ángulo de 31° con el suelo cuando su
extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle y forma un
ángulo de 42° cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la longitud
de la escalera es de 35 metros, ¿cuál es el ancho de la calle?

47. Un triángulo isósceles tiene una base de 15,9 cm y los ángulos de su base miden 54°28′, hallar
los lados iguales y la altura.

𝐵𝐶̅̅ 𝐴𝐶̅̅
48. Entre los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 forman un triángulo, la distancia ̅ ̅ mide 6 metros, la distancia ̅ ̅
mide 3 metros. El ángulo formado en el punto 𝐴 es 3 veces el ángulo formado en 𝐵. Hallar la
𝐴𝐵̅̅
longitud del lado ̅ ̅.

49. Un pentágono regular tiene lados de 33 centímetros. Determinar el radio del círculo
circunscrito.
En los siguientes ejercicios 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son longitudes de los lados opuestos a los ángulos 𝛼, 𝛽 y 𝛾,
respectivamente, de un triángulo oblicua.

50. Resuelva el triángulo, si 𝑎 = 5, 𝛼 = 44° y 𝛽 = 57°

51. Resuelva el triángulo, si 𝑎 = 5, 𝑏 = 10 y 𝛼 = 40°

52. Resuelva el triángulo, si 𝑎 = 24, 𝑐 = 32 y 𝛽 = 115°

53. Resuelva el triángulo, si 𝑎 = 18,𝛼 = 24 y 𝑐 = 12

54. Dos aviones parten del mismo aeropuerto a la misma hora. El primero vuela a 150 𝑘𝑚/ℎ en
una dirección de 320°. El segundo vuela a 200 𝑘𝑚/ℎ en una dirección de 200°. Después de
horas, ¿A qué distancia se encuentran los aviones entre sí?.

55. Un trozo de alambre de 6.5 metros de largo se dobla formando un triángulo. Uno de los lados
mide 1.5 metros y los otros 2 y 3 metros. Encuentre los ángulos del triángulo.

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 56. Un poste apunta en la dirección opuesta al Sol, formando un ángulo de 7° con la vertical.
Cuándo el ángulo de elevación del Sol es de 51°, el poste proyecta una sombra de 28 metros de
largo sobre el piso. ¿Cuál es la longitud del poste?

GEOMETRÍA ANALÍTICA.
1. Hallar la distancia entre los puntos que se indican

a) (−2,−3) y (1,1)

b) (0,4) y (6,0)

c)
2. Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:

a) 𝐴(−3,−3), 𝐵(−1,7),𝐶(5,2)

b) 𝐴(0, −3),𝐵(3,4),𝐶(−1,0)

c) 𝐴(−𝑎, −𝑎), 𝐵(0, −𝑎), 𝐶(𝑎, 0)

3. Encuentra el punto sobre el eje x que equidista de los puntos cuyas coordenadas son (0,
−2) y (6,4).

4. El segmento cuyos extremos son (−1,4) y (5, −5) ha sido dividido en tres partes
iguales. Encuentra las coordenadas de los puntos de división.

5. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos

a) (−2,1) y (5,5)

b) (−1,6) y (4,2)

6. El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos (−4,5) y (3, 𝑦) con la que pasa
por (−2,4) y (9,1) es de 135°. Hallar el valor de 𝑦.

7. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos 𝐴(−1,1) y 𝐵(3,1). Hallar las
coordenadas del tercer vértice.

8. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos

a) (−7, −3) y (−2,7)

b) (−5,3) y (3,5)

c) (3, −4) y (−1,2)

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 9. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (−4,3) y tiene la misma
pendiente que la recta 4𝑥 + 3𝑦 = 10

10. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por (−1, −3) y es paralela a la
recta que pasa por (3,2) y (−5,7).

11. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por (2,2) y es perpendicular a la
recta que pasa por (5, −3) y (3,1).

12. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 3𝑥 −
2𝑦 = 5 y 4𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0, e intercepta al eje de las ordenadas en 𝑦 = 3.

13. Encuentra el valor de 𝑘 de modo que la distancia de (3, −2) a la recta 12𝑥 + 5𝑦
+ 𝑘 = 0 sea igual a 3 unidades.

14. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (2,5) y forma un ángulo de 45°
con la recta 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0.

15. Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta 3𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0, y

se encuentra a una distancia de 3 unidades de ella.

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (12,6) y forma con los ejes
coordenados un triángulo de área igual a 150 𝑢2.

17. Hallar un punto de la recta 3𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 que equidiste de los puntos (−5,6);

(3,2).

18. Dada la ecuación de la circunferencia, hallar su centro, radio y graficar.

a) 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 + 5𝑦 − 14 = 0

b) 𝑥2 + 𝑦2 + 12𝑥 − 5𝑦 = 0

c) 2𝑥2 + 2𝑦2 − 16𝑥 − 4𝑦 + 24 = 0

d) 3𝑥2 + 3𝑦2 − 5𝑥 + 10𝑦 − 12 = 0

19. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos
(−4,1); (5,3).

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20. Hallar el valor de 𝑘 tal que la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥 − 6𝑦 + 𝑘 = 0, represente a una

circunferencia de radio .

21. Hallar la ecuación de una circunferencia que tenga el mismo centro que la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 6𝑦 + 16 = 0 y que es tangente a la recta que pasa por los puntos (−2,1)
y (2,7).

22. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,3) y (3, −1), y
cuyo centro está en la recta 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0.

23. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (3, −7), (6,2) y (8,
−2).

24. Encuentra la ecuación de una circunferencia cuyo radio es 5 y sea tangente a la recta 4𝑥
+ 3𝑦 − 16 = 0 en (1,4).

25. Encuentra la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto (−4,3) y sea
tangente a la recta 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 en (2,1).

26. Dada la ecuación de las siguientes parábolas, hallar todos sus elementos y graficar. a) 𝑥
= 2𝑦2

b) 𝑦2 = 4𝑥

c) 12𝑦 = 𝑥2

d) 3𝑦2 − 4𝑥 + 12𝑦 + 16 = 0

e) 𝑥2 + 10𝑥 + 6𝑦 + 19 = 0

f) 3𝑦2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 4 = 0

g) 𝑦2 + 4𝑥 + 2𝑦 − 19 = 0

h) 𝑥2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0

27. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (2,7), (7, −3) y cuya tangente
en V es 𝑥 + 2 = 0.

28. Encuentra la ecuación de una recta tangente a la parábola 𝑦2 = 8𝑥 que sea paralela a la
recta 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0.

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29. La entrada a una iglesia tiene la forma de parábola de 9𝑚 de alto y 12𝑚 de base. Toda
la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8𝑚.
¿Cuál es la altura máxima de la ventana?

30. Dada la ecuación de la elipse, hallar todos sus elementos y graficar.

a)
b) 36𝑥2 + 11𝑦2 − 144𝑥 − 44𝑦 − 208 = 0

c) 3𝑥2 + 4𝑦2 − 28𝑥 − 16𝑦 + 48 = 0

d) 9𝑥2 + 25𝑦2 − 18𝑥 + 100𝑦 − 116 = 0

e) 25𝑥2 + 16𝑦2 − 50𝑥 + 64𝑦 − 331 = 0

31. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos y vértices coinciden con los focos y vértices de
las parábolas 𝑦2 + 4𝑥 = 12, 𝑦2 − 4𝑥 = 12.

32. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (7, −2) y (−5, −2) y pasa
por (3,2).

33. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos focos están en la recta 𝑦 = −6, un extremo del

eje menor en (3, −1) y excentricidad .

34. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la elipse y que es perpendicular

a la recta 2𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0.

35. Dada la ecuación de la hipérbola hallar todos sus elementos y graficar.

a) 5𝑦2 − 9𝑥2 = 36

b) 9𝑥2 − 16𝑦2 − 18𝑥 + 32𝑦 − 151 = 0

c) 16𝑥2 + 72𝑦 + 32𝑥 − 9𝑦2 − 704 = 0

d) 4𝑦2 − 9𝑥2 − 18𝑥 + 32𝑦 + 19 = 0

e) 16𝑦2 − 9𝑥2 + 18𝑥 + 32𝑦 − 137 = 0

36. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyo eje imaginario mide 6, sus asíntotas son 𝑦 = 2𝑥 +
3, 𝑦 = −2𝑥 − 1 y su eje real es paralela a 𝑌.

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37. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la hipérbola y sea
perpendicular a la recta 4𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0.

38. Los cables de un puente de suspensión se encuentran a 50 pies por encima del
pavimento en las torres del puente y 10 pies por encima de la misma al centro del
puente. El pavimento sobre el puente tiene una longitud de 200 pies. A lo largo del
puente se encuentran espaciados cables verticales cada 20 pies. Calcular la suma de las
longitudes de dichos cables verticales.

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