Criterio de La Raíz
Criterio de La Raíz
Criterio de La Raíz
Radio de convergencia
En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de
una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:
Índice
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1Definición
2Ejemplos
o 2.1Radio de convergencia finito
o 2.2Distancia a la singularidad
o 2.3Radio de convergencia infinito
3Véase también
Definición[editar]
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el
nombre de serie de potencias centrada en . La serie converge absolutamente para un
conjunto de valores de que verifica que , donde r es un número real radio de
convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de pertenecientes
al intervalo , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo
que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie
converge solo para , . Si lo hace para cualquier valor de ,
Ejemplos[editar]
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus
respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
Radio de convergencia finito[editar]
La función en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias , tiene el siguiente
aspecto:
.
(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es . Eso significa
que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al es menor que , por ejemplo el ,
entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que
remplazarlo en la función, de hecho
.
(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el , al remplazarlo
en la serie, ésta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
.
y como "x" pertenece a todos los reales, pues tiene un radio de convergencia
infinito, ya que su dominio de dicha "x", es E (R).
http://tesci321m.blogspot.mx/2012/07/tema-44-radio-de-convergencia.html