Unidad 5 Álgebra Lineal

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOIR DE CINTALAPA
ALGEBRA LINEAL
ING. ALBERTO CAMACHO FERNÁNDEZ
FRANCISCO AHMAR MANDUJANO LÁZARO
UNIDAD 5
TRANSFORMACIÓN LINEAL
INVESTIGACIONES SOBRE:
-5.1 INTRODUCCIÓN EN LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

-5.2 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
-5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
-5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES,
REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONCENTRACIÓN Y ROTACIÓN.
°K
FECHA DE ENTREGA:
07 DIC DEL 2016
5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-

espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la
operación y la acción) de estos espacios.
Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las
cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la
suma y la multiplicación por escalares.
Propiedades generales.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)
Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por
Es lineal.
Entonces:
Por otro lado, para todo escalar c,
Como se cumplen las dos condiciones:
T es lineal.
Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido
a esto, una transformación lineal queda únicamente determinada por los valores
que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.
Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre

conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de
funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad.
Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben

nombres particulares:
Definición 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una
transformación lineal. Se dice que:
1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.
2. f es un epimorfismo si f es suryectiva.
3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.
En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio

vectorial en s i mismo:
Sea V un espacio vectorial. Una transformación lineal f : V → V se llama un
endomorfismo de V . Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo,
entonces se dice que es un automorfismo.
5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
Transformaciones lineales: núcleo e imagen.
Teorema 1
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
v2,. . ., vn en V y todos los escalares a1, a2,. . ., an:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de

la derecha es el vector cero en W.
Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}.
Sean w1, w2, . . . , wn vectores en W.
Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales

que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n.
Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.

Ejemplo:
Definición 1
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.

Entonces
i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, está dado por
Observación 1.
Observe que un T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de

manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en
encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que
cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los

vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la
imagen de v bajo T.
Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran

utilidad.
Teorema 4
Si T:V W es una transformación lineal, entonces

i.Un T es un subespacio de V.
ii.Im T es un subespacio de W.
Demostración.
i. Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de

forma que u + v y ∝u están en un T.
ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V.

Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w +
x y ∝w están en Im T.
Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero.
Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T

= {0}.
Ejemplo 4. Núcleo e imagen de la transformación identidad.
Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T

= V.
Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera
todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en
el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.
Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección
Sea T:R3 R3 definida por.
T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.
Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T =

{(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.
Definición 2. Nulidad y rango de una transformación lineal
Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.
Toda matriz A de m*n da lugar a una transformación lineal T:R´´ R´´´ definida por
Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A).
Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una
transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el
rango de una matriz.
5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una
transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de R n en
Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de
gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un
T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la
nulidad y el rango de una transformación lineal de R n-Rm determinando el espacio
nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se
sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en R n mediante una
simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier
transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede
representar mediante una matriz.
Teorema 1
Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n,
AT tal que
Demostración
Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1,
w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que
multiplica un vector en Rn por AT. si
Entonces
De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas

porque coinciden en los vectores básicos.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx =

BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene
que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada
una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto
muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.
Definición 1 Matriz de transformación

La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación
correspondiente a T o representación matricial de T.
NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar

tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz de
transformación diferente.
TEOREMA 2 sea AT la matriz de transformación correspondiente a laa

transformación lineal T. entonces.
i. Im T = Im A = CAT
ii. P(T) = p(AT)
iii. Un T = NAT
iv. v(T) = v(AT
Ejemplo 1 Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente ala proyección de un
vector en R3 sobre el plano xy.
Solución
Teorema 4
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una
transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las
bases B1 en V y B2 en W. entonces
i. p(T) =p(AT) ii. V(A) = v(AT) iii. V(a) + p(T) = n
Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de

transformación de T respecto a las bases estándar S n y Sm en Rn y Rm,
respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B2 a base Sm en Rm. Si
AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B 1 y B2, entonces.
Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.

Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial A T Ahora de
demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una
sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones,
compresiones, reflexiones y cortes.
Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la
coordenada x de un vector en R2 por una constante C >1.
Esto es
De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal
que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante C>1. Como
antes,
Entonces la representación matricial de T
Es de manera que
5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES, REFLEXIÓN,
DILATACIÓN, CONCENTRACIÓN Y ROTACIÓN.
Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación

lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las
transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al
momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple.
La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn
Transformaciones lineales
Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este

texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el
capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y
gráfica de la multiplicación matriz-vector.
1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio

euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio
euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto
de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal
situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es
como producir la imagen espejo de la matriz actual.
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos

dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un
cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos
del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde
tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la
dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí

el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el
punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección
de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto

puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza
para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la
rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las
manecillas del reloj.
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de

la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través
de la recta y = (−2x / 3).
Reflexión sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R2

en R2 que cada vector
Lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos

triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como
sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una

contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia
estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

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ING. ALBERTO CAMACHO FERNÁNDEZ

FRANCISCO AHMAR MANDUJANO LÁZARO

-5.1 INTRODUCCIÓN EN LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por

Por otro lado, para todo escalar c,

Como se cumplen las dos condiciones:

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre

Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio

Transformaciones lineales: núcleo e imagen.

iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn

Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de

Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales

Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

Observe que un T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de

Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran

Si T:V W es una transformación lineal, entonces

i. Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V.

Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero.

Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T

Ejemplo 4. Núcleo e imagen de la transformación identidad.

Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T

Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T:R3 R3 definida por.

T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T =

Definición 2. Nulidad y rango de una transformación lineal

Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.

De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas

Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx =

Definición 1 Matriz de transformación

NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar

TEOREMA 2 sea AT la matriz de transformación correspondiente a laa

Ejemplo 1 Representación matricial de una transformación de proyección

Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de

Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Entonces la representación matricial de T

Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación

Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este

1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio

2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos

3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí

4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto

Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de

En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R2

Lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.