Calculo Integral C4 - 3.4 y 3.5

3 Aplicaciones de la Integral
3.4 Integrales impropias

En todo el estudio hecho hasta ahora se han utilizado dos propiedades fundamentales: la
función tenía que ser acotada y el intervalo de integración tenía que ser cerrado y
acotado.
En esta última sección extenderemos el cálculo de la integral de Riemann a:

1. Funciones definidas en intervalos no acotados: integrales impropias de primera
especie.
2. Funciones no acotadas: integrales impropias de segunda especie.
Integrales impropias de primera especie:

Las integrales de este tipo son de la forma
Siendo la función (f) acotada en el intervalo correspondiente.
Observación 1 Es evidente que las propiedades de la integral permiten reducir su estudio

al caso
Supongamos que se conoce una primitiva F de la función f. Entonces,

Definición 1
Sea f : [a,+∞) →R una función acotada.
1. Se dice que es convergente si, y sólo si, f es Riemann integrable para todo
intervalo [a,t], existe el límite y es un número real.

En este caso diremos que la función f es Riemann integrable en el intervalo [a,+∞).
2. Se dice que es divergente si, y sólo si, f es Riemann integrable para todo
intervalo [a,t], existe el límite y no es finito.
3. Se dice que es oscilante en el caso en que f no sea Riemann integrable en un

intervalo [a,t] o no exista el límite
Observación 2 La idea que subyace tras las integrales impropias de primera especie es
integrar hasta un punto t arbitrario y, después, hacer tender t al infinito.
Ejemplo 1
Dado a > 0, estudiaremos el carácter de la integral impropia de primera especie
según los valores del parámetro s ∈R.
Como
tenemos que,
1. Si s > 1, entonces es convergente y
2. Si s ≤ 1, I1 es divergente.
Ejemplo 1…
Si f : [a,+∞) →R es tal que f ≥ 0 y es Riemann integrable en todo intervalo [a,x],

entonces f es Riemann integrable en [a,+∞) si y sólo si, existe un M ≥ 0 tal que para
todo x ≥ a se tiene que:
Los principales criterios que tenemos para averiguar si una integral impropia de primera
especie es convergente se resumen en los siguientes resultados.
Teorema 1 (Criterio de comparación)
Sea f : [a,+∞) → R tal que f es Riemann integrable en todo intervalo de la forma [a,x].
Si existe g : [a,+∞) → R tal que para todo x perteneciente a [a,+∞) se tiene que
0 ≤ f(x) ≤ g(x) y además g es Riemann integrable en [a,+∞), entonces f es Riemann
integrable en [a,+∞).
Si utilizamos las funciones del ejemplo 1, como corolario tenemos lo siguiente:
Corolario 1
Sea f : [a,+∞) →R tal que f es Riemann integrable en todo intervalo de la forma [a,x].
Entonces:
1. Si para todo x perteneciente a [a,+∞) se tiene que
con s>1 entonces f es Riemann integrable en [a,+∞).
2. Si para todo x perteneciente a [a,+∞) se tiene que

con s ≤ 1, entonces f es divergente en [a,+∞).
Teorema 2 (Criterio de comparación por paso al límite)

Sean f,g : [a,+∞) → R tales que son Riemann integrables en todo intervalo de la
forma [a,x] y, además, f ≥ 0, g > 0.
Sea:
entonces:
1. Si α = 0 y g es Riemann integrable en [a,+∞), tenemos que f es Riemann
integrable en [a,+∞)
2. Si α = +∞, tenemos que, si f es Riemann integrable en [a,+∞), se verifica que g

es Riemann integrable en [a,+∞)
3. Si α es un número real no nulo, tenemos que f es Riemann integrable en [a,+∞) si

y sólo si, g es Riemann integrable en [a,+∞)
Tambien este caso, si utilizamos las funciones del ejemplo 1, obtenemos el siguiente
corolario:
Corolario 2
Sea f : [a,+∞) → R tal que f es Riemann integrable en todo intervalo de la forma [a,x]
y, además, f ≥ 0. Sea:
entonces:
1. Si α es finito y s>1, entonces f es Riemann integrable en [a,+∞).
2. Si α es no nulo y s<1, entonces la integral es divergente
Ejemplo 2
Para la integral
tenemos que:
y este último límite es 1∈R, si s=2. Entonces la integral es convergente y

es Riemann integrable en [1,+∞).
Integrales impropias de segunda especie:
En este caso, nos encontraremos con funciones definidas en intervalos tales que tienen un
comportamiento asintótico en alguno de sus extremos. En el caso de que la función
presentase un comportamiento similar en otros puntos del dominio (por ejemplo, un
intervalo de extremos a, b), y estos fuesen x1,··· ,xn, aplicando las propiedades de la
integral, tenemos que ó
con lo que podemos reducir el estudio al caso donde sólo tengamos asíntotas en los
extremos del intervalo. Es más, podemos pensar que la asíntota sólo está en un extremo
del intervalo ya que para todo c∈(a,b), se tiene que
Integrales impropias de segunda especie…
Para este caso, si existiese una primitiva F de f, entonces,
1. Si f(x) no está acotada en b:
2. Si f(x) no está acotada en a:
Por lo tanto, podemos afirmar que la idea básica que inspira el cálculo de las integrales
impropias de segunda especie es integrar hasta un punto t arbitrario en el interior de [a,b)
y, después, hacer tender t al extremo de integración donde la función sea no acotada.
Definición 2
Sea f: [a,b) →R una función tal que y que no presenta más asíntotas
verticales en [a,b). Entonces:

Definición 2…
1. Se dirá que la integral es convergente, si f es Riemann integrable en [a,t] para

todo t∈[a,b), existe el límite y es un número real. En este caso se dirá
que la función f es Riemann integrable en [a,b)
2. Se dirá que la integral es divergente, si f es Riemann integrable en [a,t] para
todo t∈[a,b), existe el límite y no es finíto.
3. Se dirá que la integral es oscilante en el caso en que f no sea Riemann

integrable en un intervalo [a,t], con t∈[a,b), o no exista el límite
De la misma forma podríamos definir la integrabilidad cuando la asíntota está en el extremo

“a” del intervalo de definición de la función (en este caso, f:(a,b]→ R es una función tal
que y no presenta más asíntotas verticales en (a,b]
1. Se dirá que la integral es convergente, si f es Riemann integrable en [t,b] para
todo t∈(a,b], existe el límite y es un número real.
En este caso se dirá que la función f es Riemann integrable en (a,b].
2. Se dirá que la integral es divergente, si f es Riemann integrable en [t,b] para

todo t∈(a,b], existe el límite y no es finito.
3. Se dirá que la integral es oscilante en el caso en que f no sea Riemann

integrable en un intervalo [t,b], con t∈(a,b], o no exista el límite:
Ejemplo 3
Veamos un ejemplo en el cual aparecen unas funciones que posteriormente servirán como
funciones de referencia para estudiar la convergencia, o no, de numerosas integrales
impropias de segunda especie. Estas funciones son de la forma
1. En el caso de no acotación en el extremo superior de integración,

Ejemplo 3…
2. En el caso de no acotación en el extremo inferior de integración,
se puede probar que, al igual que en el caso anterior, la

integral es convergente si y sólo si, s < 1.
Al igual que para las integrales de primera especie, para las de segunda tenemos una serie
de resultados que nos permiten saber cuando una integral de este tipo es convergente.
Teorema 3
Sea f:[a,b)→R una función tal que … … y que no presenta más asíntotas verticales
en [a,b).
Supongamos que, para todo x∈[a,b), f es Riemann integrable en [a,x] y que f≥0.
Entonces, f es Riemann integrable en [a,b) si y sólo si, existe un M≥0 tal que ………………
para todo x∈[a,b).
Análogamente, sea f:(a,b]→R una función tal que ………………. y que no presenta más
asíntotas verticales en (a,b].
Supongamos que, para todo x∈(a,b], f es Riemann integrable en [x,b] y que f≥0.
Entonces, f es Riemann integrable en (a,b] si y sólo si, existe un M≥0 tal que …………..
para todo x∈(a,b]. Obviamente, en cualquiera de los dos casos, cuando existe …………….
3.5 Aplicaciones Integrales impropias


EJERCICIOS 1211-3.4B-AP.PATERNO MATERNO NOMBRE
1 Hallar la integral de https://www.youtube.com/watch?v=rf6Wq72qDyI
2 Hallar la integral de
3 Hallar el área comprendida entre la curva de Agnesi

y el eje de las absisas
https://www.youtube.com/watch?v=F2N_GXIJ7hg
4 Calcular el área de la región limitada por las curvas ,
5 Hallar el área de la región comprendida entre xy=1 ,

a la derecha de las rectas x=1

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3.4 Integrales impropias

En esta última sección extenderemos el cálculo de la integral de Riemann a:

Integrales impropias de primera especie:

Siendo la función (f) acotada en el intervalo correspondiente.

Observación 1 Es evidente que las propiedades de la integral permiten reducir su estudio

Supongamos que se conoce una primitiva F de la función f. Entonces,

intervalo [a,t], existe el límite y es un número real.

intervalo [a,t], existe el límite y no es ﬁnito.

3. Se dice que es oscilante en el caso en que f no sea Riemann integrable en un

Si f : [a,+∞) →R es tal que f ≥ 0 y es Riemann integrable en todo intervalo [a,x],

Teorema 1 (Criterio de comparación)

2. Si para todo x perteneciente a [a,+∞) se tiene que

Teorema 2 (Criterio de comparación por paso al límite)

2. Si α = +∞, tenemos que, si f es Riemann integrable en [a,+∞), se veriﬁca que g

3. Si α es un número real no nulo, tenemos que f es Riemann integrable en [a,+∞) si

2. Si α es no nulo y s<1, entonces la integral es divergente

y este último límite es 1∈R, si s=2. Entonces la integral es convergente y

1. Si f(x) no está acotada en b:

2. Si f(x) no está acotada en a:

verticales en [a,b). Entonces:

1. Se dirá que la integral es convergente, si f es Riemann integrable en [a,t] para

2. Se dirá que la integral es divergente, si f es Riemann integrable en [a,t] para

todo t∈[a,b), existe el límite y no es ﬁníto.

3. Se dirá que la integral es oscilante en el caso en que f no sea Riemann

De la misma forma podríamos deﬁnir la integrabilidad cuando la asíntota está en el extremo

1. Se dirá que la integral es convergente, si f es Riemann integrable en [t,b] para

todo t∈(a,b], existe el límite y es un número real.

En este caso se dirá que la función f es Riemann integrable en (a,b].

2. Se dirá que la integral es divergente, si f es Riemann integrable en [t,b] para

3. Se dirá que la integral es oscilante en el caso en que f no sea Riemann

1. En el caso de no acotación en el extremo superior de integración,

2. En el caso de no acotación en el extremo inferior de integración,

se puede probar que, al igual que en el caso anterior, la

3.5 Aplicaciones Integrales impropias

3.5 Aplicaciones Integrales impropias

3 Hallar el área comprendida entre la curva de Agnesi

4 Calcular el área de la región limitada por las curvas ,

5 Hallar el área de la región comprendida entre xy=1 ,

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