Problema 1
Problema 1
Problema 1
CHAPINGO
GRADO Y GPO
5° 1
EQUIPO
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑚2 + 𝑏1 ( − ) + 𝐾1 (𝑦 − 𝑧) + 𝐾2 𝑦 = 𝑢
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑧 2 𝑑𝑧 𝑑𝑦
𝑚1 2
+ 𝑏1 ( − ) + 𝐾1 (𝑧 − 𝑦) = 0
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Definiendo las variables de estado:
𝑥1 = 𝑦
𝑑𝑦
𝑥2 =
𝑑𝑡
𝑥3 = 𝑧
𝑑𝑧
𝑥4 =
𝑑𝑡
Ahora:
𝑑𝑥1
= 𝑥2
𝑑𝑡
𝑑𝑥3
= 𝑥4
𝑑𝑡
Verificando…
𝑚2 𝑥̇ 2 + 𝑏1 (𝑥2 − 𝑥4 ) + 𝐾1 (𝑥1 − 𝑥3 ) + 𝐾2 𝑥1 = 𝑢
𝑚2 𝑥̇ 2 = −𝑏1 (𝑥2 − 𝑥4 ) − 𝐾1 (𝑥1 − 𝑥3 ) − 𝐾2 𝑥1 + 𝑢
𝑚2 𝑥̇ 2 = −𝑏1 𝑥2 + 𝑏1 𝑥4 − 𝐾1 𝑥1 + 𝐾1 𝑥3 − 𝐾2 𝑥1 + 𝑢
𝑚2 𝑥̇ 2 = −(𝐾1 + 𝐾2 )𝑥1 −𝑏1 𝑥2 + 𝐾1 𝑥3 + 𝑏1 𝑥4 + 𝑢
1
𝑥̇ 2 = (−(𝐾1 + 𝐾2 )𝑥1 −𝑏1 𝑥2 + 𝐾1 𝑥3 + 𝑏1 𝑥4 + 𝑢) respuesta
𝑚2
Para la masa 1
𝑚1 𝑥̇ 4 + 𝑏1 (𝑥4 − 𝑥2 ) + 𝐾1 (𝑥3 − 𝑥1 ) = 0
𝑚1 𝑥̇ 4 = −𝑏1 (𝑥4 − 𝑥2 ) − 𝐾1 (𝑥3 − 𝑥1 )
𝑚1 𝑥̇ 4 = −𝑏1 𝑥4 + 𝑏1 𝑥2 − 𝐾1 𝑥3 + 𝐾1 𝑥1
𝑚1 𝑥̇ 4 = 𝐾1 𝑥1 + 𝑏1 𝑥2 − 𝐾1 𝑥3 − 𝑏1 𝑥4
1
𝑥̇ 4 = 𝑚 (𝐾1 𝑥1 + 𝑏1 𝑥2 − 𝐾1 𝑥3 − 𝑏1 𝑥4 ) respuesta
1
𝑑𝑥1
= 𝑥2
𝑑𝑡
𝑑𝑥2 1
= (−(𝐾1 + 𝐾2 )𝑥1 − 𝑏1 𝑥2 + 𝐾1 𝑥3 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑢
𝑑𝑡 𝑚2
𝑑𝑥2
= 𝑥4
𝑑𝑡
𝑑𝑥4 1
= (𝐾 𝑥 + 𝑏1 𝑥2 − 𝐾1 𝑥3 − 𝑏1 𝑥4 )
𝑑𝑡 𝑚1 1 1
Definiendo las variables de salida
𝑦1 = 𝑦
𝑦2 = 𝑧
𝑦1 = 𝑥1
𝑦2 = 𝑥3
𝑚2 𝑥̇ 2 + 𝑏1 (𝑥2 − 𝑥4 ) + 𝐾1 (𝑥1 − 𝑥3 ) + 𝐾2 𝑥1 = 𝑢
−(𝐾1 + 𝐾2 )𝑥1 𝑏1 𝑥2 𝐾1 𝑥3 𝑏1 𝑥4 𝑢
𝑥̇ 2 = − + + +
𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2
𝑚1 𝑥̇ 4 + 𝑏1 (𝑥4 − 𝑥2 ) + 𝐾1 (𝑥3 − 𝑥1 ) = 0
𝐾1 𝑥1 𝑏1 𝑥2 𝐾1 𝑥3 𝑏1 𝑥4
𝑥̇ 4 = + − −
𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥̇ 3 = 𝑥4
𝑥̇ 1 0 1 0 0
𝑥̇ 3 0 0 0 1
𝑥̇ 4 K1/m1 b1/m1 -K1/m1 -b1/m1
= u
Problema 4
Considere el sistema masa-resorte-amortiguador, mostrado en la Figura 2. El
sistema está en reposo para t < 0. La fuerza u es la entrada del sistema y el
desplazamiento y se mide desde la posición de equilibrio antes de aplicarse u en
el tiempo t = 0 es la salida del sistema.
𝑥1 = 𝑦 𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥2 = 𝑦̇
= + u
y=
c) Función de Transferencia
𝑑2
𝑚ʆ{ 𝑦(𝑡)} = 𝑚(𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦(0))
𝑑𝑡2
𝑑
𝑏1 ʆ{ 𝑦(𝑡)} = 𝑠𝑦(𝑠) − 𝑦(0)
𝑑𝑡
𝑏1 (𝑠𝑦(𝑠))
𝑦(𝑠) 1
=
𝑢(𝑠) 𝑚𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + (𝐾1 + 𝐾2 )
Problema 7.
Considere el sistema masa-resorte-amortiguador mostrada en la Figura 4. El
sistema está en reposo para t < 0. La fuerza u es la entrada para el sistema y los
desplazamientos se miden a partir de sus respectivas posiciones de equilibrio
antes de aplicar u(t) en t = 0. Los desplazamientos son las salidas del sistema.
Obtener la representación en espacio de estados del sistema. Usar los siguientes
valores para los parámetros: m1 = 100 kg, m2 = 200 kg, kg, b = 25Nsm-1, k1 = 50Nm-
1, y k2 = 100Nm-1, La variable de entrada u(t) es una función escalón de magnitud 10
𝑥1 = 𝑧1
𝑥2 = 𝑧̇1
𝑥3 = 𝑧2
𝑥3 = 𝑧̇2
𝑥̇ 1 = 𝑧̇1 = 𝑥2
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥̇ 3 = 𝑧̇2 = 𝑥4
𝑥̇ 3 = 𝑥4
𝑚 1 𝑥̈ 2 + 𝑏𝑥2 + 𝑘1 𝑥1 + 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 ) = 0
𝑚 2 𝑥̈ 4 + 𝑘2 (𝑥3 − 𝑥1 ) = 𝑢
𝑚 1 𝑥̈ 2 = −𝑏𝑥2 − 𝑘1 𝑥1 − 𝑘2 𝑥1 + 𝑘2 𝑥3 = 0
𝑚 2 𝑥̈ 4 = −𝑘2 𝑥3 + 𝑘2 𝑥1 = 𝑢
𝑚 1 𝑥̈ 2 = −(𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 − 𝑏𝑥2 + 𝑘2 𝑥3 = 0
𝑚 2 𝑥̈ 4 = 𝑘2 𝑥1 − 𝑘2 𝑥3 + 𝑢
(𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 𝑏𝑥2 𝑘2 𝑥3
𝑥̈ 2 = − − + =0
𝑚1 𝑚1 𝑚1
𝑘2 𝑥1 𝑘2 𝑥3 𝑢
𝑥̈ 4 = − +
𝑚2 𝑚2 𝑚2
= +
𝑦1 1 0 0 0 0
𝑦2 = = + 𝑢
0 0 1 0 0
Problema 7.
La ecuación de movimiento de un sistema masa-resorte-amortiguador mostrado
en la Figura 5 es:
a) Obtener la función de transferencia G(s) = X(s)
U(s)
b) Simular la respuesta del sistema a una entrada escalón unitaria con los
valores de los parámetros m = 1 kg, b = 10Nsm-1 y k = 50Nm-1.
a)
̇ 𝑘𝑥 = 𝑏𝑢̇
𝑚𝑦̈ + 𝑏𝑥 +
̇ 𝑘𝑥 = 𝑏𝑢̇
𝑚𝑦̈ + 𝑏𝑥 +
Función de transferencia
𝑥(𝑠) 𝑏𝑠
=
𝑢(𝑠) 𝑚𝑠 2 +𝑏𝑠+𝑘
𝑥(𝑠) 10𝑠
= 2
𝑢(𝑠) 𝑠 + 10𝑠 + 50
ʆ-1{𝑥(𝑠)}
1
ʆ-1{𝑠2+10𝑠+50}
𝑒 −5𝑡
∗ sin(𝑡)
5