Clase 2. Vibración Libre
Clase 2. Vibración Libre
Clase 2. Vibración Libre
l
Ecuación del movimiento de sistemas de 1 g.d.l.
(1)
(2)
(3)
(4)
Sustituyendo (3) y (4) en (1)
(5)
(6)
(8)
ó también
(9)
Propiedades dinámicas
𝑘𝑘
𝜔𝜔𝑛𝑛 = = frecuencia natural del sistema en radianes por segundo (rad/s)
𝑚𝑚
2𝜋𝜋 1
𝑇𝑇𝑛𝑛 = = = periodo natural del sistema en segundos (s)
𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑓𝑓
1 𝜔𝜔𝑛𝑛
𝑓𝑓𝑛𝑛 = = = frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo o Hertz (Hz ó 1/s)
𝑇𝑇𝑛𝑛 2𝜋𝜋
Ejemplo1
Ejemplo1
Utilizando métodos clásicos de resistencia de materiales para calcular deflexiones es posible obtener la siguiente
expresión
Ejemplo1
𝑘𝑘 2.5 𝑥𝑥 106 𝑁𝑁/𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚. 𝑠𝑠 −2 /𝑚𝑚
𝜔𝜔𝑛𝑛 = = = 2.5 𝑥𝑥 103 = 50 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝑚𝑚 100 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘
Y su periodo en segundos
1 1
𝑇𝑇 = 𝑓𝑓 = 7.96 = 0.126 s
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝛿𝛿𝑒𝑒 =
𝑘𝑘
La ecuación del movimiento es
𝑚𝑚𝑢𝑢̈ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0
Dividiendo entre m:
𝑢𝑢̈ + 𝜔𝜔2 𝑢𝑢 = 0
La solución es de la forma
𝑢𝑢̇ 𝑜𝑜
𝑢𝑢 𝑡𝑡 = + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑜𝑜 cos 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡
𝜔𝜔𝑛𝑛
Donde u es la deflexión vertical de la viga
Para la velocidad que tiene la masa en el momento del impacto se debe obtener la velocidad que tiene la caja después de haber
caído un metro. La energía cinética que tiene la caja en el momento del impacto es igual a la energía potencial. Por lo tanto
La máxima deflexión dinámica que tiene la viga en su centro se presenta en el instante cuando 50t=π/2
O cuando t = π/100 = 0.0314 s y la deflexión tiene un valor de 0.0886 m igual a la amplitud sinusoidal
La máxima fuerza inercial es igual a la fuerza estática por lo que habría de colocar la misma deflexión estática de 0.0886 m, o sea:
Vibración libre de sistemas de 1 g.d.l.
Calcular la rigidez del sistema, frecuencia circular natural, periodo natural de vibración, coeficiente de
amortiguamiento crítico, razón de amortiguamiento, coeficiente de amortiguamiento del sistema y
frecuencia amortiguada.
Solución
𝑚𝑚 = 750 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑢𝑢𝑜𝑜 = 35 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑢𝑢𝑓𝑓 = 8.75 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑡𝑡 = 18 𝑠𝑠
# 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 20 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐