Gabarito Cálculo Recu 20.01.2020
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Cursillo Fourier f
Av. Dr. Gabriel Pellón (Calle'i)
San Lorenzo – Paraguay
Tema 1
𝟏
Utilizando el teorema de Lagrange para la función 𝒚 = √𝟏 + 𝒙, verificar que √𝟏 + 𝒙 < 𝟏 + 𝟐 𝒙
para 𝒙 > 𝟎.
Si una función 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏] y derivable en (𝑎, 𝑏) ⇒ ∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que:
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑓 ′ (𝑐) = … (∗)
𝑏−𝑎
Para demostrar esta desigualdad, tomamos como 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥 en [0, 𝑥]
1
Hallamos 𝑓 ′ (𝑥): 𝑓 ′ (𝑥) =
2√1+𝑥
Una vez verificadas las condiciones mencionadas anteriormente, verifiquemos la condición (∗)
1 √1 + 𝑥 − √1
=
2√1 + 𝑐 𝑥−0
1 2(√1 + 𝑥 − 1)
= … (1)
√1 + 𝑐 𝑥
Tomando: 0<𝑐
1<1+𝑐
√1 < √1 + 𝑐
1
< 1 … (2)
√1 + 𝑐
De (1) en (2)
2(√1 + 𝑥 − 1)
<1
𝑥
1
∴ √1 + 𝑥 < 1 + 2 𝑥
Gráfico.
0972 169 723
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Av. Dr. Gabriel Pellón (Calle'i)
San Lorenzo – Paraguay
Tema 2
1 + √2
𝑥0 =
2 𝑦 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 1 − √2
1 + √2
𝑦0 =
{ 2
Remplazando en (#), obtendremos la ecuación de la recta normal pedida.
1 + √2 1 + √2
𝑦− = (1 + √2) (𝑥 − )
2 2
Gráfico.
0972 169 723
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San Lorenzo – Paraguay
Tema 3
𝒙+𝟏 𝟐 𝟑
√
𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 (𝐥𝐧 ( ( ) )) − 𝐥𝐧(𝟐(𝒙 − 𝟏))
𝒙−𝟐
3 𝑥+1 2
𝑥 + 1
3 2
1 2. √(𝑥 − 2) 2
𝑦 ′ = − sin [ln ( √( ) )] . . −
𝑥−2 2 −𝑥 2 + 𝑥 + 2 2(𝑥 − 1)
√(𝑥 + 1)
3
𝑥−2
3
𝑥+1 2
2. sin [ln ( √(𝑥 − 2) )]
1
𝑦′ = − +
−(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 𝑥−1
[ ]
3
𝑥+1 2
2. (𝑥 − 1). sin [ln ( √( ) − (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2 )]
𝑦′ = −
(−𝑥 2 + 𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
[ ]
3
𝑥+1 2
2. (𝑥 − 1). sin [ln ( √( ) − (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2 )]
𝑦′ =
(𝑥 2 − 1)(𝑥 − 2)
Por lo tanto, la derivada de la función
𝑥+1 2 3
√
𝑦 = cos (ln ( ( ) )) − ln(2(𝑥 − 1))
𝑥−2
es:
3 𝑥+1 2
2. (𝑥 − 1). sin [ln ( √(𝑥 − 2) )] − (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑦′ =
(𝑥 2 − 1)(𝑥 − 2)
Tema 4
𝜋 𝜋
Para 𝑥 = 2
→ 𝑦′′ > 0 ∴ 𝐸𝑛 𝑃2 ( 2 , 1) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜.
5𝜋 5𝜋 3
Para 𝑥 = 6
→ 𝑦′′ < 0 ∴ 𝐸𝑛 𝑃3 ( 6 , 2) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜.
3𝜋 3𝜋
Para 𝑥 = 2
→ 𝑦′′ > 0 ∴ 𝐸𝑛 𝑃4 ( 2 , −3) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜.
4 sin2 𝑥 − sin 𝑥 − 2 = 0
1 + √33 𝑥 ≅ 1.0029669
sin 𝑥 = → {
8 𝑥 ≅ 2.1386257
1 − √33 𝑥 ≅ 3.7764595
sin 𝑥 = → {
{ 8 𝑥 ≅ 5.6483184
Por lo tanto, tenemos cuatro puntos de inflexión.
𝑃𝐼1 (1.0029669, 1.2646055)
𝑃𝐼2 (2.1386257, 1.2646055)
{
𝑃𝐼3 (3.7764595, −0.8896054)
𝑃𝐼4 (5.6483184, −0.8896054)
0972 169 723
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Av. Dr. Gabriel Pellón (Calle'i)
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Gráfico.