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    Tarea N°05

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    Este documento contiene dos ejercicios de integrales triples resueltos. El primer ejercicio calcula la integral de superficie sobre una porción del primer octante del plano triple, dando como resultado 243/2. El segundo ejercicio calcula la masa de una superficie esférica sobre una circunferencia, dando como resultado 8K(4-2√3)π unidades de masa.

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    Descripción original:

    integral de superficie

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    TAREA N°05

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

    FACULTAD DE INGENIERÍA

    ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE


    INGENIERÍA CIVIL

    DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS

    ASIGNATURA: ANÁLISIS MATEMÁTICO III

    DOCENTE: ING. HORACIO URTEAGA BECERRA

    TEMA DE INVESTIGACIÓN:

    TAREA N°04: DESARROLLO DE EJERCICIOS DE LA INTEGRAL DE


    SUPERFICIE

    EQUIPO DE TRABAJO:

    ANGULO SOTO, SOILA SELENE

    CHÁVEZ BRAVO, LEONARDO FLAVIO

    FECHA DE PRESENTACIÓN:

    03/01/2020
    UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
    FACULTAD DE INGENIERÍA
    ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

    TAREA N° 05

    TEMA: INTEGRALES TRIPLES

    Resolver los siguientes ejercicios

    1. Calcular la integral de superficie ∬.(𝒚𝟐 + 𝟐𝒚𝒛)𝒅𝜽 , donde S es la porción


    𝑺
    del primer octante del plano triple impropia 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔.

    Solución

    i) S: 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔

    Si 𝑦 = 0 ∧ 𝑧 = 0 ⇒ 𝑥 = 3

    Si 𝑥 = 0 ∧ 𝑧 = 0 ⇒ 𝑦 = 6

    Si 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0 ⇒ 𝑧 = 3

    ii) Gráfica:

    𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔

    iii) Hallando los limites


    𝑦 = 6 − 2𝑥 − 2𝑧 = ℎ(𝑥, 𝑧)

    𝑑𝜃 = √𝑦𝑥2 + 𝑦𝑧2 + 1𝑑𝐴


    𝑦 = 6 − 2𝑥 − 2𝑧

    ANÁLISIS MATEMÁTICO III: Ejercicios aplicativos – Integrales Triples


    UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
    FACULTAD DE INGENIERÍA
    ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

    0 = 6 − 2𝑥 − 2𝑧
    𝑧 = 3 − 2𝑥

    iv) Integrando

    𝐼𝑆 = ∬.(𝑦 2 + 2𝑦𝑧)𝑑𝜃
    𝑆

    𝐼𝑆 = ∬.((6 − 2𝑥 − 2𝑧)2 + 2(6 − 2𝑥 − 2𝑧)𝑧)√4 + 4 + 1𝑑𝐴


    𝐷

    𝐼𝑆 = 3 ∬.(48 − 24𝑥 − 24𝑧 + 4𝑥 2 + 4𝑥𝑧)𝑑𝐴


    𝐷

    3
    3−𝑥
    𝐼𝑆 = 3 ∫ ∫ (48 − 24𝑥 − 24𝑧 + 4𝑥 2 + 4𝑥𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥
    0
    0

    𝟐𝟒𝟑
    𝑰𝑺 =
    𝟐

    2. Calcule la masa de la superficie S, si la densidad superficial en cualquier


    punto (𝒙, 𝒚, 𝒛) es 𝝆(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝑲√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 donde K es una constante; si S
    es la parte de la esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒, ubicada sobre la región limitada
    por la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏.

    Solución
    i) Grafica de la superficie S.

    𝑆: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 sobre la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

    Para 𝑧 = √3 ⇒ 𝑆 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

    ANÁLISIS MATEMÁTICO III: Ejercicios aplicativos – Integrales Triples


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    ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

    𝑥2 + 𝑦2 = 1

    𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
    =4

    ii) Masa de la superficie S:

    𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉

    𝑚 = ∬.𝜌𝑑𝑉
    𝑆

    𝑚 = ∬.𝐾√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑉
    𝑆

    𝑚 = ∬.𝐾√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 1𝑑𝐴
    𝐷

    𝑆𝑖 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2

    1 −𝑥
    ⇒ 𝑧𝑥 = (−2𝑥) =
    2√4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2

    1 −𝑦
    ⇒ 𝑧𝑦 = (−2𝑦) =
    2√4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2

    𝑥2 𝑦2
    𝑚 = ∬.𝐾√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 √ + 𝑑𝐴
    4 − 𝑥2 − 𝑦2 4 − 𝑥2 − 𝑦2
    𝐷

    ANÁLISIS MATEMÁTICO III: Ejercicios aplicativos – Integrales Triples


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    𝑥2 + 𝑦2 + 4 − 𝑥2 − 𝑦2
    𝑚 = 𝐾 ∬.√𝑥 2 + 𝑦 2 + 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 √ 𝑑𝐴
    4 − 𝑥2 − 𝑦2
    𝐷

    𝑑𝐴
    𝑚 = 4𝐾 ∬.
    2 2
    𝐷 √4 − 𝑥 − 𝑦

    iii) Pasando a coordenadas polares:

    𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
    𝑚 = 4𝐾 ∬.
    2
    𝐷 √4 − 𝑟
    2𝜋 1
    𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 4𝐾 2𝜋 1 1
    𝑚 = 4𝐾 ∫ ∫ =− ∫ ∫ (4 − 𝑟 2 )−2 (−2𝑟)𝑑𝑟𝑑𝜃
    0 0 √4 − 𝑟
    2 2 0 0
    2𝜋
    1
    𝑚 = −2𝐾 ∫ [2√4 − 𝑟 2 ] 𝑑𝜃 = −2𝐾[2√3 − 4](2𝜋) = −8𝐾(2√3 − 4)𝜋
    0 0

    𝒎 = 𝟖𝑲(𝟒 − 𝟐√𝟑)𝝅 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒔𝒂

    ANÁLISIS MATEMÁTICO III: Ejercicios aplicativos – Integrales Triples

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