Castella CHAMPS 50 Ejercicios de Ajedrez y Matematicas Final PDF
Castella CHAMPS 50 Ejercicios de Ajedrez y Matematicas Final PDF
Castella CHAMPS 50 Ejercicios de Ajedrez y Matematicas Final PDF
IO1
ii
INTRODUCCIÓN
Este libro proporciona material que enlaza el ajedrez con las matemáticas para la clase.
Hemos probado todos estos ejercicios y hemos comprobado que a la mayoría de los
alumnos les entusiasma, a veces incluso más que a sus maestros. El ajedrez es un juego de
mesa clásico que los niños y niñas lo disfrutan a todos los niveles. Utilizamos el tablero
y las piezas de ajedrez para transmitir información matemática coherente con el
programa de la escuela primaria (es decir, niños y niñas de 6 a 11 años) de matemáticas de
la mayoría de países. Solo es necesario un conocimiento básico de ajedrez: como se
mueven las piezas. No es necesario ser un jugador de ajedrez para utilizar este libro. El
objetivo principal es la resolución de problemas.
Aconsejamos trabajar el libro al ritmo de los alumnos. Algunos alumnos superan claramente
el nivel de edad indicado. La solución de problemas requiere continuidad. Se pide a los
alumnos que realicen una tarea o una investigación o que jueguen a un juego. A menudo se
dan consejos para superar los obstáculos intelectuales. Se proporciona un método de
solución para cada problema, pero siempre hay más de uno y habría que animar a los niños
y niñas a pensar por si mismos. El profesor puede desarrollar sus propios ejercicios
preliminares y de ampliación para adaptarse a la capacidad de los alumnos. Los ejercicios
posteriores requieren un nivel más elevado de abstracción y las soluciones son
susceptibles de error por lo que se requiere más intervención del profesorado.
Los juegos matemáticos son simples y fáciles de jugar. Ilustran algunos conceptos
fundamentales como la paridad y la simetría. Lo importante de estos juegos no es
ganar sino comprender los conceptos subyacentes. Los niños y niñas son felices al
descubrir que muchos de estos juegos se pueden ganar reconociendo que hay un patrón
subyacente. Esto forma parte de la constatación que la matemática proporciona un
patrón subyacente a las leyes científicas. Desde una perspectiva didáctica, los alumnos
están contentos al aprender "trucos" para ganar un juego o resolver un rompecabezas.
iii
El programa de referencia de la escuela primaria es de Singapur, ya que la
consideramos cercana a la metodología de resolución de problemas impulsada
por este proyecto. El "método" de Singapur ha alcanzado una amplia atención
internacional después de su éxito en los "rankings" de Pisa de la OCDE. El plan de
estudios de la escuela primaria es coherente con los actuales de Europa como han
validado los expertos en docencia del proyecto. Además de matemáticas, muchos de
estos ejercicios incorporan algunos principios de la teoría de juegos que, aunque
normalmente no se enseñen en la escuela primaria, es compatible con la capacidad de
la mayoría de niños y niñas.
Creemos que el mayor valor al trabajar con estos ejercicios reside en la estructura de los
problemas. Un problema bien estructurado es delicioso de resolver. Recomendamos a
los profesores que desarrollen i amplíen estos ejercicios y compartan sus experiencias en la
clase.
Este proyecto ha sido financiado a través de ErasmusPlus de la Unión Europea. Los socios
del proyecto han sido la Federación Eslovaca de Ajedrez (coordinador), Ajedrez en las
Escuelas y las Comunidades (Reino Unido), Ludus (Portugal), la Universitat de Girona
(España) y la Escuela Veľká Ida de Eslovaquia. También han colaborado en el proyecto Carlos
Santos, Carme Saurina Canals, Josep Serra, Mark Szavin, Stefan Löffler, Alessandro Dominici,
Malcolm Pein, Chris Fegan, Zdenek Gregor, Eva Repkova, Vladimir Szucs, Viera Klebuskova,
Niki Vrbova i Viera Harastova. El responsable del proyecto ha sido Stefan Marsina. Las fotos
de la clase son de Viera Harastova. Las imágenes del tablero de ajedrez se han realizado
utilizando el tablero de Logiq de LearningChess.com (Hungría).
John Foley
Rita Atkins
Carlos Santos
Viera Harastova
Marzo 2019
iv
edat
LOS 50 EJERCICIOS PÀGINA
8
16. CARRERA HACIA LA ESQUINA [TORRE] PAREJA 16
17. RECORTAR PAREJA 17
18. ARMY POWER PUZZLE 18
PAREJA
19. MÁXIMO NÚMERO DE CABALLOS 19
PAREJA
20. PIEZA MISTERIOSA PAREJA 20
21. POSICIÓN LÓGICA 21
PAREJA
22. FICHAS EN UNA LÍNEA [16] PAREJA 22
23. MAPA DE MOVIMIENTOS MÍNIMOS PAREJA 23
24.
25.
¿CUANTOS CAMINOS ? [PEÓN]
EL PEÓN LIGERO
PAREJA
PAREJA
24
25
26
9
26. EL JUEGO DE WYTHOFF [QQ] PAREJA
27. EL ROMPECABEZAS DE DOMINÓ PAREJA 27
28. EL ROMPECABEZAS DE TROMINÓ PAREJA 28
29. PUZZLEDE DOS DAMAS DOS PAREJAS 29
30. JAQUE MATE EQUIDISTANTE PAREJA 30
31. EL JUEGO DE LA RESTA PAREJA 31
32. NIM PAREJA 32
33. JUEGO DE MONEDAS DE ORO PAREJA 33
34. JUEGO DE NORTHCOTT PAREJA 34
35.
36.
JUEGO DE TORRES DESLIZANTES
¿CUÁNTAS RUTAS? [TORRE]
PAREJA
PAREJA
35
36 10
37. PASEO TORRE POR ELTABLERO MUTILADO PAREJA 37
PAREJA 38
38. PUZZLE ZIGZAG CON EL ALFIL
39. PUZLE DE CINCO DAMAS DOS PAREJAS 39
INDIVIDUAL 40
40. DIVIDIENDO EL TABLERO
41. EMBALDOSAR EL TABLERO INDIVIDUAL 41
PAREJA 42
42. PROBLEMA DE LOS DOCE CABALLOS
43. PUZZLE DE OCHO DAMAS PAREJA 43
44. ¿CUÁNTOS CUADRADOS EN UN TABLERO? PAREJA 44
45. PUZZLE DE PUNTUACIÓN DEL TORNEO INDIVIDUAL 45
46. PASEO ALEATORIO DEL REY PAREJA 46
47. CAMINATA ALEATORIA DEL REY PAREJA 47
48.
49.
LA INVENCIÓN DEL AJEDREZ GRUPO
¿CUÁNTOS RECTÁNGULOS EN EL TABLERO? GRUPO
48
49
11
50. LEAPER PROBLEM PAREJA 50
v
vi
TEMAS MATEMÁTICOS
1. COORDENADAS, POSICIONES, MOVIMIENTOS, LÁPIZ
2. PARIDAD, VISUALIZACIÓN, LÁPIZ
3. PATRONES, ORDENACIÓN, ÓRDENES, SECUENCIAS, SIMETRIAS
4. PARIDAD, SIMETRÍA
5. PARIDAD, SIMETRÍA
6. ARITMÉTICA, SÍMBOLOS, ECUACIONES, LÁPIZ
7. GEOMETRÍA, NOCIONES ESPACIALES, ENUMERACIÓN, INTERSECCIÓN
8. ENUMERACIÓN, PRINCIPIO DE DIRICHLET O DEL PALOMAR, MÁXIMO/MÍNIMO
9. ARITMÉTICA, PRUEBA Y ERROR, INPUT/OUTPUT
10. ENUMERACIÓN, SIMETRÍA
11. GEOMETRÍA, LÍNEAS RECTAS, PENDIENTE, REGLA
12. GEOMETRÍA, LÍNEAS RECTAS, PENDIENTE, REGLA, LÁPIZ
13. TRABAJAR HACIA ATRÁS A PARTIR DEL OBJETIVO
14. PARIDAD, LÁPIZ
15. ENUMERACIÓN
16. SIMETRÍA
17. FORMAS, SIMETRÍA
18. ENUMERACIÓN, DIAGRAMAS DE VENN, PRUEBA Y ERROR
19. ENUMERACIÓN, PARIDAD
20. PROPIEDADES DISJUNTAS, UNIÓN, SIMETRÍA
21. LÓGICA
22. LÍNEAS RECTAS, PENDIENTES, PRUEBA Y ERROR
23. ENUMERACIÓN, NOCIONES ESPACIALES
24. ENUMERACIÓN, NOCIONES ESPACIALES
25. LÓGICA, INFORMACIÓN, DIAGRAMAS EN ÁRBOLDIAGRAMES EN ARBRE
26. SIMETRÍA, TRABAJAR HACIA ATRÁS A PARTIR DEL OBJETIVO
27. FORMAS, PARIDAD
28. PRUEBA Y ERROR, SIMETRÍA, MÚLTIPLOS, DIVIDIR PARA GANAR
29. ENUMERACION, PRUEBA Y ERROR
30. GEOMETRÍA, MEDIDAS DE DISTANCIA, APRENDIZAJE ENTRE COMPAÑEROS
31. SIMETRÍA, MÚLTIPLOS
32. SIMETRÍA, MÚLTIPLOS, POTENCIES
33. SIMETRIA, MÚLTIPLOS, DIAGRAMAS EN ÁRBOL, TRABAJAR HACIA ATRÁS
34. SIMETRÍA, REPRESENTACIÓN
35. SIMETRÍA, PARIDAD, TRABAJAR HACIA ATRÁS
36. ENUMERACIÓN, TRIÁNGULO DE PASCAL
37. SIMETRÍA, ELIMINACIÓN
38. ENUMERACIÓN, TRIÁNGULO DE PASCAL
39. ENUMERACIÓN, TRIÁNGULO DE PASCAL
40. DESCOMPOSICIÓN DE FORMAS, PRUEBA Y ERROR
41. DESCOMPOSICIÓN DE FORMAS, ENUMERACIÓN, PRUEBA Y ERROR, MEDIDAS DE ÁREA, NÚMEROS CUADRADOS
42. ENUMERACIÓN, PRUEBA Y ERROR
43. ENUMERACIÓN, PRUEBA Y ERROR
44. ENUMERACIÓN, FORMAS, ARITMÉTICA, ORGANIZANDO LA INFORMACIÓN EN FICHAS
45. LÓGICA, ORGANIZANDO LA INFORMACIÓN EN FICHAS
46. ENUMERACIÓ, PRUEBA Y ERROR, SIMETRÍA
47. ENUMERACIÓN, PROPORCIÓ, ORGANIZANDO LA INFORMACIÓN EN FICHAS
48. CRECIMIENTO EXPONENCIAL, SECUENCIA GEOMÉTRICA
49. ENUMERACIÓN, FORMAS, ORGANIZANDO LA INFORMACIÓN EN FICHAS
50. ENUMERACIÓN, SIMETRÍA, ÁNGULOS
vii
viii
1. Cada casilla tiene un nombre Individual
Edad 6+ Coordenadas, posiciones, movimientos, lápiz
Ejercicio práctico
Explicar que cada casilla se conoce por sus
coordenadas: columna-letra y fila-número. Ejemplo b3 en la
Imagen 1: Andad por la calle (b) hasta la casa número 3.
b3
Para los alumnos pequeños, dibujar una línea desde la casilla
hasta sus coordenadas.
Repartir papeles con la impresión de un tablero de ajedrez.
Utilizar lápiz.
Tarea: escribir el nombre de cada casilla del tablero.
Juegos Imagen 1: Tablero
(a) El profesor dicta nombres de casillas y pide a la clase que le ponga una pieza (al
principio no es fácil).
(b) Dibuja la ruta (p. ej. a1-a5)
(c) Haz un movimiento (p. ej., c8-h3) y pide a la clase las coordenadas
(d) Coloca una torre en a1 y pregunta a la clase com se puede llegar a f5
(e) Dibuja un laberinto en el tablero y pregunta las coordenadas de la ruta de salida
(f) Utilizando las cintas de velcro, haz que los alumnos coloquen piezas en las casillas con
solo tocarlas.
1
2. Identifica el color de la casilla Grupo Clase
Edad 6+ Paridad, Visualización, lápiz
Ejercicio en la clase
El maestro está delante de un tablero vacío y pide a sus alumnos
que digan una casilla. El profesor identifica el color de la casilla,
por ejemplo, c4 es blanca. Repetirlo con los alumnos
Extensión
2
3. Categoria de las Piezas Grupo
Edad 6+ Patrones, ordenación, orden, secuencias, lápiz
Ejercicio práctico
Enseñar a la clase que los peones son todos de la misma medida y más pequeños que las otras
piezas. Observar que la medida de las piezas va disminuyendo si nos vamos acercando a la
esquina.
♚=♛ > ♝> ♞> ♜
Tareas a realizar:
(a) Encontrar cinco formas de clasificar las piezas de ajedrez, por ejemplo, según el color, si saltan o no, etc
(b) Encontrar cinco formas de ordenar las piezas de ajedrez, por ejemplo, según su valor, la medida de su base,
etc
Extensión
El profesor enseña a sus alumnos grupos de piezas y pide a la clase que explique el principio d’agrupación
Metodo de solución_
Interesa una combinación de enfoques para generar ideas
Respuesta
Clasificación
¨ Color de la pieza ¨ Luminoso o suave
¨ Puede/no puede moverse desde su posición ¨ Peones o piezas
inicial ¨ Más grande o más pequeña
¨ Color de la casilla que ocupa inicialmente ¨ Deslizaderas / Saltadoras
¨ Recorrido largo / recorrido corto ¨ Si pueden ponerse boca abajo
Orden
¨ Altura ¨ Ir más rápido hasta el otro lado del tablero
¨ Diámetro de la base desde su posición inicial desbloqueada
¨ Valor de cambio ¨ Alfabético (depende de la lengua)
¨ Número de piezas de cada clase ¨ Número de piezas que se pueden poner en
una casilla
Soluciones realizadas por alumnos:
3
4. Cruzar la Línea Pareja
Imagen 4(a) El primer jugador que Imagen 4(b) Gana el primero Imagen 4(b) El negro juega para
pase la línea es el ganador que llegue a la fila 8 / 1 evitar que el blanco llegue a la fila 8
Estrategia de juego
Este juego se basa en el concepto de Oposición del ajedrez. Una oposición directa se produce en el
tablero cuando los dos reyes estan uno frente al otro separados tan solo por una casilla. La oposición a
distancia se produce cuando los dos reyes se miran mutuamente i están separados un número impar (>1) de
casillas. Per lo tanto este juego está directamente relacionado con los conceptos de paridad y simetria.
Respuestas
4(a) Si el blanco juega primero 1.♔e2, hace el movimiento ganador. Si
observamos la línea azul, el negro será el primero en tener que escoger
un lado, d e j a n d o e l c a m i n o a b i e r t o p a r a q u e e l b l a n c o
e l i j a e l o t r o . Si el negro quiere mantenerse en la línea azul, el hecho
que haya un número impar de casillas entre los reyes es el factor
determinante para que gane el blanco.
4
5. El juego de Oposición Diagonal Pareja
Estrategia de juego
Respuesta
1.Rb2 es la jugada ganadora. Si observamos la línea azul, al avanzar, el negro será el primero en elegir un lado,
dejando el camino abierto para que el blanco lo elija.
Hay que tener presente que, en algún momento, la oposición diagonal se puede convertir en oposición
directa. En consecuencia, el alumno puede utilizar los conocimientos adquiridos previamente en una nueva
situación, un tema importante en matemáticas.
5
6. Aritmética con el ajedrez Individual
1♞ ♝ ♛ ♖ ♙
2♕ ♞ ♞ ♜
3♟♟♟♟♜♝♕♘♘♖♖
Respuestas
(a) 9
(b) 3
(c) No es posible ya que todas las piezas valen un número impar. Se
podrían encontrar cuatro piezas que sumaran 10 p.e. ♗+♗+♗+♙
(d)
1 Blanco
2 Blanco
3 Negro
6
7. Puzle de cuatro torres Pareja
Tareas:
(a) Colocar cuatro torres en casillas negras de manera que dominen todas las casillas blancas.
(b) Encontrar otra posición para conseguir la misma tarea.
Método de Solución_
El tablero tiene 32 casillas blancas. Cada torre domina 8 casillas blancas (4x8 = 32) . Observar que si una
torre está situada en una casilla blanca, tan solo dominará 6 casillas blancas. Situada en una casilla negra
dominará 8 blancas. Per lo tanto, estamos buscando cuatro casillas negras donde ubicar las torres.
Si las torres se colocan en casillas negras de columnas seguidas, p.e. una en a1 y otra en b2, entonces las
dos torres dominarían las casillas blancas b1 i a2, por lo tanto, en lugar de dominar 16 casillas blancas, tan
solo dominarían 14, que seria insuficiente. Observando vemos que las torres tienen que estar un
número par de casillas alejadas una de la otra ya que sus intersecciones tienen que ser solo
casillas negras.
Respuesta
Consejo: Empecemos buscando soluciones en la diagonal negra larga y, después, las otras.
7
8. Las Piezas Caidas Dos Parejas
En una sala de juego hay muchas piezas de ajedrez en el suelo. Las recogemos y
las contamos. ¿Cuántos juegos de ajedrez hay?
Método de Solución_
Respuesta
La respuesta tendría que ser un intervalo: una o más piezas pueden proceder de cada conjunto.
Es importante tener en cuenta que no todas las respuestas son simples números.
(a) Entre 3 y 17
Al menos 3 conjuntos son necesarios ya que un juego tiene 8 peones. Si un peón pertenece a
cada juego, necesitamos 17 juegos.
(b) Entre 3 i 20
El mínimo de 3 juegos va bien ya que incluye los 3 caballos blancos. Faltan 20 piezas que, en
el peor de los casos, podrían venir de 20 juegos. El color es irrelevante.
(c) Entre 3 i 10
El número mínimo no cambia. El número máximo está restringido por requisito que el
número de mesas sea 10 (es decir, 20 ÷ 2).
8
9. Puzle de ataque a la esquina Dos Parejas
Método de Solución_
• Establecer que las únicas piezas son las de larga distancia ♗♖♕
• Establecer que el número de casillas atacadas por cada pieza es ♗=1 ♖=2 ♕=3
• Explicar que el número de ataques de salida es igual al de entrada
• Tener en cuenta que solo hay una manera de obtener los totales de 4 i 12,
siendo el mínimo y máximo respectivamente
Respuesta
(a)♗♗♗♗ (d)♗♗♕♕
(b)♕♕♕♕ (e)♗♖♕♖
(c)♖♖♖♖ (f) ♕♗♗♖
9
10. El poder de la pieza Dos Parejas
El poder de una pieza varia según su posición en el tablero. Su poder es el número de casillas
que domina.
Respuesta
10(a) Caballo
10(b) Rey
10
11... Evitar Tres en una Línea Pareja
Empezamos con un tablero vacío. Dos jugadores se turnan para colocar las piezas del mismo color.
Un jugador pierde el juego si crea una línea recta de tres piezas. No hay ninguna obligación de
notificar a vuestro oponente que se ha llegado a una situación de perdida. Utilizad una regla
colocada a partir de la pieza central para comprobar si hay línea recta. El juego es bastante fácil, pero
puede haber confusión sobre como saber si una tercera pieza está en la misma línea que las
otras dos.
Método de solución
Comprobar el tablero después de cada movimiento. Una pieza puede estar en una línea recta de
tres, incluso si se encuentra a una cierta distancia.
Explicar que hay diferentes tipos de líneas rectas. Las líneas rectas utilizadas en los movimientos de
ajedrez de la torre son los más fáciles de reconocer:
+ Torre (Ortogonal)
• vertical (arriba, abajo)
• horizontal (izquierda, derecha)
Las líneas rectas utilizadas en los movimientos de ajedrez del alfil también son fáciles de reconocer:
x Alfil (Diagonal)
• izquierda abajo y derecha arriba (pendiente = 1)
• izquierda arriba y derecha abajo (pendiente = -1)
La pendiente entre dos piezas es el cociente entre la distancia vertical y la distancia horitzontal. Si
la pendiente entre dos piezas es la misma que la de ellas a una tercera, entonces las tres estan en la
misma recta. Las rectas hacia arriba hacia la derecha tienen pendiente positiva y las que apuntan
hacia abajo hacia la derecha tienen pendiente negativa.
11
12. Piezas en una Línea [11] Pareja
Tareas
(a) ¿Cuantos grupos de tres fichas podemos encontrar que esten
en línea recta?
Método de solución
(a) Los alumnos pueden encontrar fácilmente las líneas verticales y diagonales (a7-c6-e5;
e5-e4-e3; g7-e5-a1). Es más difícil encontrar líneas de pendiente distinta de la diagonal.
(b) Coloca una regla entre las dos fichas. Hay que asegurar que la
regla pase por las fichas. Buscar si hay una tercera ficha cerca.
Prueba-lo para todos los pares de fichas. También se puede
encontrar la pendiente de la recta entre los dos puntos.
La pendiente es el cociente entre la distancia vertical y horizontal
de una ficha a la siguiente, p.e. dos arriba y tres a la derecha.
A continuación, des del segundo punto mirar si hay otro punto
que tenga la misma pendiente.
Si es así, los tres puntos están en la misma línea recta. Prueba-lo
utilizando una regla (más detalles sobre el ejercicio 11).
12
13. El juego de Wythoff [Q] Pareja
Colocar una dama en h5 en un tablero vacío. Esta dama solo se puede mover hacia el oeste, sur-oeste o
sur. Los jugadores se turnan para mover la dama. El primer jugador que mueve la dama a a1 es el ganador.
Método de Solución_
Primero jugaremos con el objetivo que después jugaremos mejor.
Respuesta
El segundo jugador gana con la mejor jugada.
En su primer movimiento, el primer jugador no puede evitar permitir que el segundo
jugador llegue a una casilla segura o ir directamente a a1.
13
14..El Puzle de la Torre en la Esquina Pareja
Usar lápiz y papel con un tablero de ajedrez con una torre en a1.
Tarea: La torre debe pasar por todas las casillas del tablero y acabar en h8.
Condición: La torre no puede ocupar dos veces la misma casilla.
Método de Solución_
Después de probar distintas rutas, los alumnos decidirán que no es posible. Tendremos que
insistir en que no encontrar solución no es sinónimo de que no haya solución. Demostrar que
alguna cosa es imposible es un paso de gigante en la comprensión matemática de los alumnos.
Respuesta
Cada casilla visitada es una casilla clara, luego, la 63rd también tendría que ser clara, pero la
realidad indica que es una casilla oscura, luego la torre nunca acabará la tarea propuesta.
Extensión
Pregunta: ¿En qué medida de tablero seria posible este recorrido? La
Respuesta: tarea solo es posible en tableros de medida impar (7x7,
5x5 3x3 etc.)
14
15. El Recorrido Más Corto de la Torre Individual
Edad 8+ Enumeración
Actividades Sugeridas:
• Encontrar tantas maneras como sea posible para completar la visita de la torre.
• Dibujar cada ruta en el papel.
• Encontrar la duración de cada recorrido dibujado.
Observemos las casillas per donde pasa la torre. Es importante tener claro que la torre vuelve a su punto
de partida, a1. Dejar que los alumnos exploren los diferentes recorridos e indiquen cuales son las
casillas que visitan.
Exploración_
• ¿Cuál es el menor número de movimientos que puede completar el recorrido?
• ¿Cuál es la ruta más larga (el mayor número de movimientos) que podemos encontrar?
Un tour con el mínimo 16 movim. Un tour con 28 movim. El tour más largo con 56 movim.
Podemos demostrar que el más corto es de 16 movimientos. Algunos recorridos de la torre son
interesantes de estudiar. Para discutir:
• Si un recorrido empieza con un movimiento vertical, ha de acabar con
uno de horizontal.
• Verticales y horizontales se alternan.
• Tantos hay de verticales como de horizontales.
• La duración de cada recorrido es la misma.
15
16 Carrera hacia la Esquina [torre] Pareja
Edad 8+ Simetría
Usar un tablero, una torre y colores para marcar los movimientos. Coloca una torre en h8 y una señal en a1.
Esta torre solo se puede mover hacia el Oeste o hacia el Sur.
Los jugadores se turnan para mover la torre.
El primer jugador que llega a a1 gana el juego.
A los alumnos les gusta jugar a este juego. ¿Quien gana – el primer jugador o el segundo jugador?
Método de juego_
El segundo jugador tiene la estrategia ganadora. Debe mover la
torre a la diagonal a1-h8. A continuación, se muestra com
orientar a los alumnos hacia la solución:
16
17.Recortar Pareja
Usar copias de un tablero con una señal en h8. Ver Imagen 18(a)
Cada jugador, en su turno, dobla el tablero horizontal o verticalmente a lo largo de
cualquier línea marcada. Ver Imagen 18 (b).
No hay piezas en este juego. Pierde el que se queda con la señal. ¡En el juego original jugaron
con una gran barra de chocolate!
¿Quien gana – el primer jugador o el segundo?
Método de juego_
Para ganar, el jugador tendría que utilizar una estrategia geométrica. Haga lo que haga el primer jugador,
el segundo tendría que doblar el papel para dejar un tablero de forma cuadrada. Ver la imagen 18 (c).
17
18. Puzle del Poder de un Ejercito Pareja
Coloca uno de cada uno de los seis tipos de piezas del mismo color en sus casillas de
inicio. Ver Imagen 19(a).
1 vez
2 veces
3 veces
Q3: El mínimo numero de dominios es 5, logrado de varias formas. Ver Imagen 19(d).
Extensión
Q5 Anotar las casillas vacías y pedir a la clase que indique la posición de
las piezas.
Método Solución_
Los caballos que no se atacan entre sí, se llaman independientes.
Observa que un caballo cambia de color en cada movimiento (de
casilla blanca a negra y viceversa). Los caballos colocados en casillas
del mismo color serán independientes.
Respuesta
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20. Pieza misteriosa Pareja
Una pieza misteriosa tiene el poder de las distintas piezas que la forman.
Método Solución_
20
21. Posición Lógica Pareja
Edad 8+ Lógica
Método Solución_
(a) De (5) aprendemos que las piezas están verticalmente ubicadas en la columna c
(d) De (5) el caballo está por encima del rey y como c4 está ocupada, debe estar en c5 o
más arriba
Extensión
21. Solución
21
22. Fichas en una Línea Pareja
Los alumnos reconocen líneas horizontales, verticales y diagonales. Les resulta difícil identificar las
líneas con otras pendientes.
Tarea 1: Discutir estas dos posiciones y preguntar a la clase que encuentre líneas con pendiente
que tengan tres fichas.
(a) (b)
Tarea 2: Coloca 16 fichas en el tablero de manera que no haya tres en una línia.
Método Solución_
Resolver esto requiere prueba y error. Aquí hay algunos consejos:
• Empieza por poner las fichas en grupos (p.e. de cuatro) que simplifica la tarea.
• Coloca dos fichas en cada columna y cada fila pero que no toquen las diagonales. Ahora
comprueba las otras pendientes con una regla.
• Si nos acercamos a una solución, intentemos ajustar las fichas sistemáticamente.
Tarea 1
Tarea 2
22
23. Mapa de Movimientos Mínimos Pareja
23
24. ¿Cuantos Caminos? [peón] Pareja
El peón puede hacer cualquier movimiento en un cuadrado, ya sea hacia adelante o en diagonal.
Puede capturar una pieza imaginaria, por ello debe tenerse en cuenta.
Tarea: ¿Cuantas rutas diferentes hay para el peón?:
De A
(a) a2 Otro lugar
(b) d5 Otro lugar
(c) d4 d8
Método Solución_
Para cada posición posible del peón, cuenta el número de maneras en que el peón puede alcanzar
esa casilla y escribe ese número en ella. Empieza desde la posición original. Algunas preguntas
principales:
• ¿Cómo se pasa a la siguiente fila?
• ¿Qué haces con los números cuando subes una fila?
• ¿Es igualmente probable que el peón ocupe todas las casillas posibles?
Respuesta
24
25.El Peón Ligero Pareja
Método Solución_
En este experimento mental, la idea clave es que si sabes que un elemento es diferente, si es si
pesas dos, puedes sacar conclusiones sobre el tercero.
1st pesaje
2nd pesaje
Los alumnos deben entender que las ocho posibilidades (ocho peones) coinciden con las ocho
terminales del diagrama en árbol que describe la estrategia.
Extensión
¿Qué pasa si hay nueve peones, uno de ellos ligeramente más ligero que los otros?
La estrategia sigue funcionando, con una rama más (para el equilibrio entre ABC y DEF). Hay tres
resultados posibles (izquierda <derecha; izquierda = derecha; izquierda> derecha). Hay tres
formas de caminar a través de un árbol de un peso y nueve formas (3x3) de caminar a través de
un árbol de dos pesajes, y así sucesivamente. Tener en cuenta que 10 peones no se pueden
resolver con solo dos pesajes, se requieren tres pesajes.
25
26. El Juego de Wythoff [QQ] Pareja
Coloca dos damas del mismo color en h5 y g8 en un tablero de ajedrez vacío. Se estipula que estas
damas solo pueden moverse hacia el oeste, sudoeste o sur. Los jugadores se turnan para mover a la
dama. Proporcionar fichas para colocar en el tablero. El primer jugador en mover la dama a a1 es el
ganador. ¿Quién gana, el primer jugador o el segundo?
Método Solución_
Establecer una posición simétrica alrededor de la diagonal principal a1-h8.
A partir de entonces, el primer jugador copia los movimientos del segundo.
Una estrategia conocida como Tweedledum-Tweedledee.
Respuesta
El primer jugador puede ganar moviendo una dama a e8.
Extensión
Vamos a jugar con un solo rey a partir de h8. Como antes, el primer jugador
en mover el rey a a1 gana.
Sugerencia: trabajar hacia atrás desde la solución. Identifica las casillas donde no quieres aterrizar al rey
(marcados en rojo). Estrategia ganadora: evitar los cuadrados rojos.
El primer jugador puede ganar con la mejor jugada: Rey a g7, luego copiar el movimiento del oponente.
El juego del rey de Wythoff: los movimientos finales. El juego del rey de Wythoff: patrón completo
26
27. El rompecabezas de dominó Pareja
Respuestas
Extension
27
28.El rompecabezas de trominó Individuales
Respuesta
Imagen 29(b)
28
29. Puzzle de dos damas Dos Parejas
Método Solución_
(a) Sabemos por el contorno de poder que la dama es más fuerte en el centro del tablero. Por lo
tanto, empieza colocando una dama en una de las casillas centrales (por ejemplo, d4). Luego,
trata sistemáticamente de colocar la segunda dama lo más cerca posible. El número máximo
de 42 surge cuando las damas son (i) ortogonalmente adyacentes en el centro, o (ii) están a
una distancia de un caballo en el lado amplio de la primera dama (por ejemplo, d4 y e6).
(b) Sabemos por el contorno de poder que la dama es más débil en el borde del tablero.
Aprendemos de la tarea anterior que las damas se restringen entre sí cuando están en la
misma diagonal. El número mínimo de 32 casillas desocupadas surge cuando las damas están
(i) en las esquinas diagonales, o (ii) en las esquinas ortogonales.
Respuesta
29
30. Jaque mate equidistante Pareja
Método Solución_
Establece posiciones con dos piezas blancas que estén a la misma distancia de la casilla a1.
Ahora coloca el rey blanco en c3 y el rey negro en a1
i. Encuentra dos piezas blancas para hacer jaque mate.
ii. Asegúrate de que estas dos piezas blancas estén a la misma distancia del rey negro.
Respuesta
Hay soluciones diferentes con jaque mate. En las Imagen 30(a) y 30(b), la dama puede intercambiar
con la otra pieza y seguir dando jaque mate. Observa que la Imagen 30(c) es una solución falsa
porque la dama blanca puede ser capturada. La Imagen 30(d) tampoco es una solución porque la
posición es ilegal: el rey negro ya estaba en jaque en el movimiento anterior.
30
31. El juego de la resta Pareja
Coloca 10 fichas en tres filas. Los jugadores se turnan para eliminar 1, 2 o 3 fichas del
final de cualquier fila. El jugador que elimine la última ficha es el ganador.
Este juego está relacionado con la tabla del 3 veces (o la tabla del 4 si el número
máximo de fichas que se eliminarán es 4, etc.)
1 2 3 4 5 6 7 8
Estrategia de juego_
La mejor estrategia en los juegos de último movimiento es ganar pares
independientes de componentes idénticos. A partir de entonces, para cada par,
imita el movimiento de tu oponente: la Estrategia de "Tweedledum y
Tweedledee" (véase también el Ejercicio 26).
}
Plan Ganador
Extensión
Juega la posición en 31(c). El movimiento ganador es eliminar una fichar de
la primera fila. Para un método de solución, ver el siguiente Ejercicio 32 Nim.
s
31
32. Nim Pareja
Los jugadores se turnan para eliminar una o más fichas del final de
cualquier fila. La persona que elimina la última es el ganador.
Estrategia de juego
Un plan ganador es tratar de obtener simetría y luego copiar los movimientos de tu oponente. La
simetría surge cuando hay pares de filas con el mismo número de fichas en cada fila. Si tu oponente
elimina una o más fichas, eliminas el mismo número en la otra fila: Tweedledum y Tweedledee.
Plan Ganador
El movimiento ganador para el primer jugador es eliminar cuatro fichas de la primera fila para
dejar {1,3,2}. Haga lo que haga tu oponente, permite crear simetría en tu turno. Por ejemplo:
• Tu oponente elimina la fila 1 dejando {0, 3, 2}. En tu movimiento, elimina una ficha de la
segunda fila para dejar {0, 2, 2}. Esto es simétrico y puedes ganar como se describe arriba.
• Tu oponente elimina la tercera fila dejando {0, 3, 5}. En tu movimiento, quita dos fichas de la
primera fila para dejar {0, 3, 3}. Esto es simétrico y puedes ganar como se describe arriba.
[Edad 11+] Más general, el plan ganador es lograr simetría con respecto al número de "potencias de
2" (1,2,4,8). Por ejemplo, una fila de 7 comprende tres potencias de 2: 1, 2 y 4. En la posición inicial,
los grupos {5,3,2} se descomponen de la siguiente manera:
5=4+0+1
3=2+1
2=2+0
Esto da
Potencias de 2 1 2 4
Número 2 2 1
Al eliminar el 4, nos quedamos con estas potencias de 2: dos 1 y dos 2 Por lo tanto, la
jugada ganadora en el primer movimiento es eliminar cuatro fichas de la primera fila.
32
33. Juego de monedas de oro Pareja
Coloca diez fichas rojas en tres filas: 5,3,2. Además agrega una ficha
dorada en la fila más larga. Ver la Imagen 34 (a). Los jugadores se turnan
para eliminar cualquier número de fichas desde cualquier lugar de
cualquier fila. La ficha dorada debe ser la última en eliminarse y no
puede eliminarse junto con una roja.
El jugador que saque la ficha de oro es el ganador. ¿Quién gana?
Este juego se aconseja hacerlo después de haber jugado el Juego de
Resta (Ejercicio 31) y Nim (Ejercicio 32).
La estrategia convencional al jugar juegos de Resta es ser la persona que elimine la última ficha.
El giro en este juego es que la persona que quita la última fichar roja es el perdedor, no el
ganador, esta es la versión miserable del juego de Resta. La mejor estrategia es seguir la estrategia
ganadora convencional como si el juego se jugara solo con fichas rojas. Sin embargo, justo antes del
final, no le des otra opción al rival que quitar la última ficha roja.
Plan Ganador
Para simplificar, ignoramos la ficha dorada y jugamos para perder el juego con fichas rojas. Observa
que la disposición de las fichas rojas es la misma que en el Ejercicio 32. Por lo tanto, para tomar el
control del juego, el primer jugador debe eliminar 4 fichas rojas de la primera fila. Luego, el juego
sigue el árbol del juego en la Imagen 33(b), que establece las respuestas del Jugador 1 a los
movimientos del Jugador 2. El Jugador 1 gana al dejar una unidad (Recuadro 10) que es alcanzada
por varias rutas. El jugador 2 debe recoger la última ficha roja, después de lo cual el jugador 1
recogerá la ficha dorada. El jugador 1 alcanza una posición ganadora dejando dos pares (Cuadro 7) o
tres unidades (Cuadro 8).
1
Después Jugador 1
2 3 4 5 6
Después Jugador 2
7 8 10
Después Jugador 1
Después Jugador 2
33
34. El juego de Northcott Pareja
Este ejercicio es equivalente a Nim (Ejercicio 32) pero con espacios que representan fichas. La
distancia horizontal entre cada una de las fichas de color diferente es {2,3,5}. Cada movimiento
reduce la distancia, equivalente a eliminar una ficha en Nim. La estrategia de juego es, por lo
tanto, la misma que en Nim.
34
35. Juego de torres deslizantes Pareja
35
36.¿Cuántas rutas? [torre] Pareja
Recursos: Impresiones de estas posiciones con una torre en a1 y la casilla objetivo en color.
Tarea
La torre solo puede moverse hacia el norte o hacia el este, alternando la dirección en cada
movimiento. Calcula cuántas rutas diferentes hay para que llegue la torre:
Preguntas introductorias
• ¿Por qué crees que la torre solo puede moverse al Norte o al Este? Para que la torre se acerque
más a la casilla objetivo en cada movimiento. De lo contrario, podría haber muchas maneras de
llegar allí.
• ¿Por qué es importante alternar la dirección en cada movimiento? Estamos buscando diferentes
rutas, pero los movimientos subsiguientes en la misma dirección serían parte de la misma ruta.
¿De cuántas maneras puede llegar la torre a a5 desde a1? (Imagen 36(a))
Como alterna la dirección en cada movimiento, solo hay una ruta, el movimiento único de a1 a a5.
Método Solución_
• Comenzar desde la posición original. Para cada posición posible de la torre, cuenta el número de
formas en que puede alcanzar esa casilla y escribe ese número en ella.
• Truco de resolución: busca las casillas vecinas en la dirección de donde podría haber venido la
torre. Por ejemplo, para que la torre alcance c2, podría haber llegado a través de b2 o c1, por lo
que la suma de los números en b2 y c1 da el número total de rutas a c2; ver Imagen 36(b).
• Continúa numerando cada casilla hasta que llegues a la casilla objetivo.
Respuestas
Hay 20 rutas a d4 como se muestra en la Imagen 36(e). Hay 330 maneras de llegar a e8.
36
37. Paseo de Torre por un tablero mutilado Pareja
Retira las esquinas opuestas de un tablero de ajedrez. Coloca una torre en cualquier casilla. ¿Puede
la torre visitar todas las casillas del tablero mutilado sin pasar dos veces por la misma casilla?
Esta es una versión avanzada del Ejercicio 14, el Puzle de la Torre en la Esquina.
Método Solución
Utilizar lápiz y papel y impresiones de un tablero. Los alumnos deben hacer una investigación no
guiada primero. Deja que pidan aclaraciones sobre el problema. Espera preguntas como estas:
37
38.Puzle Zigzag con el Alfil Pareja
Método Solución_
Usa un tablero de ajedrez para encontrar formas para que el alfil llegue a g8 desde b1. Anota sus
rutas. Aquí hay dos ejemplos:
1st ruta: b1→d3→c4→g8
2nd ruta: b1→e4→d5→ g8
¿Cuántas rutas diferentes puedes encontrar? Hay un total de siete.
Para cada posición posible del alfil, cuenta el número de maneras que puede alcanzar esa casilla y
escribe ese número en ella. Comenzar desde la posición original.
Respuesta
(a) Hay 7 rutas desde b1 a g8.
(b) Hay 14+28+20+7=69 rutas al otro lado; ver Imagen 38(a).
(c) Hay 296 rutas distintas. Suma todos los números de la octava fila de las Imagenes 38 (a), 38
(b), 38 (c) y 38 (d).
38
39. Puzle de cinco damas. Dos Parejas
Edad 10+ Enumeración, triangulo de Pascal
Tarea
Reorganiza cinco damas de modo que ataquen cada casilla del tablero al menos una vez.
Los ataques deben cubrir todas las casillas ocupadas. Se dice que las piezas que atacan cada casilla
desocupada dominan el tablero de ajedrez. Se requiere un mínimo de cinco damas para dominar-lo.
Pregunta introductoria
¿Cuántas casillas puede atacar una dama?
Tener en cuenta que la dama no ataca la casilla en la que se encuentra.
21, 23, 25 o 27 dependiendo de su posición. Ver el contorno de la dama en la pregunta 40.
Método Solución_
Coloca cinco damas en el tablero.
Marca cada casilla que está bajo el ataque de una o más damas con un lápiz.
¿Cuántas casillas libres (desocupadas y no atacadas) puedes contar?
Intenta reducir el número de casillas libres moviendo una dama a una casilla diferente.
¿Puedes reducir el número de casillas libres a cero? Si es así, entonces has resuelto la tarea.
Respuestas
Hay exactamente 4860 formas diferentes de realizar la tarea.
Veamos algunos arreglos interesantes:
Imagen 39(a) Todas las damas se colocan en una diagonal larga.
Imagen 39(b) Todas las damas se colocan en una diagonal que no es la diagonal larga
Imagen 39(c) Todas las damas se colocan a lo largo de una sola columna del tablero de ajedrez.
Imagen 39(d) Ninguna de las damas se ataca
Observa que en (a) - (c) los ataques también cubren todas las casillas ocupadas.
39
40. Dividiendo el tablero Individual
Tarea
Divide el tablero de ajedrez en ocho cuadrados más pequeños para
que cada uno contenga al menos una cruz. No todos los cuadrados
dibujados tienen que ser del mismo tamaño.
Prueba diferentes cuadrados de tamaño de 2x2. Hay varios cuadrados potenciales que
contienen una cruz. Comienza desde una esquina del tablero y luego muévete hacia abajo y de
manera sistemática.
Respuesta
40
41. Embaldosar el tablero Dos Parejas
Preguntas introductorias
1. Una sola casilla del tablero tiene una área de 1 unidad.
¿Cuál es el área del tablero de ajedrez?
64 unidades.
2. Los cuadrados se dibujan en el tablero de ajedrez.
Haz una lista de la área de estos cuadrados.
¿Qué nombre se da a estos números?
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 y 64. Estos son números cuadrados.
Meterse en el problema
1. Coloca el tablero de ajedrez con cuadrados. Trata de usar diferentes tamaños de
cuadrados. Cuenta el número de cuadrados que has usado.
2. Intenta usar 16 casillas para colocar en el tablero. Encuentra tantas soluciones
diferentes como puedas.
Método Solución_
Reorganizar el mismo conjunto de casillas no constituye una nueva respuesta. La tarea tiene ocho
soluciones distintas. El maestro dará consejos a los alumnos hacia cada solución.
1. Todos los cuadrados son del mismo tamaño: Imagen 41(a)
2. Hay un cuadrado de 7x7: Imagen 41(b)
3. Usar un cuadrado de 5x5 y tres de 3x3: Imagen 41(c)
4. Usar tres cuadrados de 4x4: Imagen 41(d)
5. Hay dos cuadrados de 4x4 y seis de 2x2: Imagen 41(e)
6. Hay un cuadrado de 4x4 y once de 2x2: Imagen 41(f)
7. Usar un cuadrado de 4x4 y el mismo número de 3x3 que de 2x2: Imagen 41(g)
8. Hay ocho de 2x2 en esta solución: Imagen 41(h)
41
42. Problema de los doce caballos Pareja
Tarea
Coloca doce caballos en un tablero para que cada casilla sea atacada u ocupada.
Si no tienes suficientes caballos, usa fichas para representarlos.
Pregunta introductoria
¿Cuántas casillas puede atacar un caballo?
2, 3, 4, 6 o 8 según su posición. Ver el entorno del caballo en el ejercicio 10.
Método Solución_
1. Poner doce caballos en el tablero. Marcar cada casilla que esté bajo ataque (por uno o más
caballos) con una cruz. ¿Cuántas casillas libres (desocupadas y no atacadas) puedes contar?
a) Intenta reducir el número de casillas libres moviendo un caballo a una casilla distinta.
b) ¿Puedes reducir aún más el número de casillas libres?
2. Coloca tres caballos en b6, c6 y c5. Marca cada casilla que esté bajo el ataque de uno o más
caballos con una cruz. Ahora, una cuarta parte del tablero está casi completamente cubierta
con caballos y cruces. Trata de usar este arreglo de caballo para cubrir el resto del tablero.
Respuestas
Si cada casilla está ocupada o atacada por los caballos, entonces decimos que los caballos
dominan el tablero. Las dos soluciones se muestran en la Imagen 42(a) y en la Imagen 42(b).
Observa que si reflejamos una solución alrededor del eje central horizontal o vertical, o a lo
largo de las diagonales principales, obtenemos la otra solución. Además, los diagramas
tienen una simetría rotacional de orden cuatro (es decir, se ven iguales cuando se giran un
cuarto de vuelta o 90 grados).
42
43. Puzzle de ocho damas Grupo
Método Solución_
• Pon dos damas en el tablero de ajedrez que no se ataquen entre sí.
• Agrega otra dama de tal manera que ninguna dama ataque a ninguna otra.
• Añadir otra dama. Comprueba que todavía no hay damas bajo ataque.
• Incrementa la cantidad de damas una a una. ¿Puedes llegar a ocho damas?
No hay una fórmula para hacer esto. Los científicos informáticos utilizan un método llamado
"retroceso": cada vez que encuentre un conflicto, retroceda hasta la última ubicación y, en
su lugar, intente la siguiente casilla.
En una versión simplificada de esta investigación, faltan una o dos damas de la solución y la
tarea es colocar las damas restantes en las casillas correctas.
Mejor trabajar en papel con diagramas preparados.
Respuestas
En total hay 92 posiciones que cumplen los requisitos. Si excluimos todas las rotaciones y
reflexiones, solo hay 12. Algunas de estas se muestran a continuación:
43
44. ¿Cuántos cuadrados en un tablero de ajedrez? Individual
Edad 10+ Enumeración, Formas, Aritmética, Organizando la información en fichas
Tarea 1: ¿Cuántos cuadrados de todos los tamaños puedes encontrar en esta cuadrícula?
Total 5
Tarea 2: ¿Cuántos cuadrados de todos los tamaños puedes encontrar en esta cuadrícula?
Total 14
Método Solución_
Empieza por una cuadrícula pequeña y, paso a paso, amplía el tamaño del cuadrado.
Tarea 3: ¿Cuántos cuadrados de todos los tamaños puedes encontrar en una cuadrícula de 4x4?
Tarea 4: ¿Cuántos cuadrados de todos los tamaños puedes encontrar en un tablero? Completa la cuadrícula.
Número de cuadrados
Tamaño 1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 Total
1x1 1 1
2x2 4 1 5
3x3 9 4 1 14
4x4 16 9 4 1 30
5x5 25 16 9 4 1 55
6x6 36 25 16 9 4 1 91
7x7 49 36 25 16 9 4 1 140
8x8 64 49 36 25 16 9 4 1 204
Respuestas
1) 5
2) El número que falta es 4
3) 30
4) 204
44
45. Puzzle de Puntuación del Torneo Dos Parejas
Edad 10+ Lógica, Organizando la información en fichas
El sistema de puntuación para un torneo escolar es:
Ganar = 3 puntos Empatar = 2 puntos Perder = 1 punto
Cuatro alumnos (Alberto, Bridget, Cecilia y Dirk) juegan entre ellos una vez en un torneo. Te dicen
que:
1) Bridget fue el ganador
2) Dirk fue el último
3) Cecilia anotó una victoria, un empate y una derrota
4) Todos los jugadores anotaron un número diferente de puntos
¿Cuántos puntos anotó Alberto?
Pregunta introductoria (La relevancia de esto se hará evidente más adelante).
Distribuya 10 fichas en tres cuadrados sujetos al mínimo 2 y máximo 4 por cuadrado. 4,4,2; 4,3,3
excluyendo permutaciones
Método Solución_
Hay soluciones pasando por todos los resultados del juego. Podemos tomar un atajo al mirar las
implicaciones de la condición (4) de que cada jugador anotó un número diferente de puntos.
Establece que en un juego para 4 jugadores, hay 6 partidas (ver diagrama).
Demuestra que cada ronda resulta en 4 puntos, lo que da un total de 24 puntos en el torneo. (24 es un
invariante). Queremos distribuir 24 puntos en 4 jugadores con un mínimo de 3 y un máximo de 9. Las
combinaciones con puntos son:
1
Ganador Segundo Tercero Último Total A B
9 8 4 3 24 3
8 7 6 3 24 4 2
8 7 5 4 24
6
Solo uno en estas combinaciones tiene 6 puntos. C D
Esto da la tabla de puntos finales. 5
Respuesta
Alberto hizo 7 puntos.
45
46. Paseo aleatorio del Rey Pareja
Edad 10+ Enumeración, Prueba i Error, Simetría
Cada casilla de un tablero está ocupado por un rey. Cada rey se mueve de forma aleatoria a una
casilla adyacente. Supongamos que cada una puede acomodar a más de un rey.
¿Cuál es el mayor número de casillas vacías que podrían quedar?
Sugerencia: usa fichas de diferentes colores. Esto asegura que todos los saltos se "registran":
Si un rey salta, la ficha se pone en la casilla de llegada. Los alumnos mayores también pueden
trabajar en papel con un conjunto de impresiones de tablero de ajedrez vacías.
Preguntas introductorias
Respuesta
Estudiado el problema, los alumnos pueden llegar a la conclusión correcta de que, como máximo, 52 casillas
pueden permanecer vacías, de modo que todos los reyes pueden reunirse en 12 casillas. Ver 46(a) y 46(b).
Extensión
Pida a la clase que recoja tantas respuestas posibles con 52 casillas desocupadas como pueda.
Discuta cómo algunos de estos están relacionados entre sí por simetría. Por ejemplo, la Imagen
46(c) es un reflejo de la Imagen 46(b) por simetría de la vertical en rojo, y la Imagen 46(d) es una
rotación de 90 grados en el sentido de las agujas del reloj de la Imagen 46(b).
Algunas soluciones tienen su propia simetría: la Imagen 46(a) tiene una simetría rotacional de orden
4 alrededor del centro, mientras que la Imagen 46(b) tiene una simetría de línea con la horizontal
del tablero como línea de espejo. El color de las casillas se ignora.
46
47.Caminata aleatoria del Rey Pareja
Edad 11+ Enumeración, Proporción, Organizando la información en fichas
Un rey se mueve aleatoriamente a partir de a8. ¿Cuál es la probabilidad de que el rey regrese a a8 después de:
(a) Dos movimientos?
(b) Tres movimientos?
Preguntas introductorias
• ¿Cuántas casillas puede mover el rey de a8?
3: a7, b7 y b8
• ¿Cuántas casillas puede mover el rey desde a7 (y b8 por simetría)?
5: a6, b6, b7, b8 y a8
• ¿Cuántas casillas puede mover el rey desde b7?
8: a8, a7, a6, b6, c6, c7, c8 y b8
Método Solución_
(a) Completa esta tabla para tener en cuenta todas las posibilidades:
Primer No. de posibles No. de mov. cuando
movimiento a mov. desde allí el rey vuelve a a8
a7 5 1
b7 8 1
b8 5 1
TOTAL: 18 3
El rey regresa a a8 tres veces de 18, es decir, 1 de cada 6 veces en promedio (16.7%).
(b) Recopila información sobre el paseo del rey en una mesa más grande:
Primeros No. de posibles No. de mov. si el
2 mov. mov. desde allí rey vuelve a a8
a7, a8 3 0
a7, b8 5 1
a7, b7 8 1
a7, b6 8 0
a7, a6 5 0
b7, a8 3 0
b7, b8 5 1
b7, c8 5 0
b7, c7 8 0
b7, c6 8 0
b7, b6 8 0
b7, a6 5 0
b7, a7 5 1
b8, a8 3 0
b8, a7 5 1
b8, b7 8 1
b8, c7 8 0
b8, c8 5 0
TOTAL: 105 6
El rey regresa a a8 seis veces de cada 105, es decir, 2 de 35 veces en promedio (5.7%).
47
48. La invención del ajedrez Grupo
Para entender el dilema del inventor, usar un tablero reducido (4x4). Rellena todos los cuadrados
del tablero con granos de arroz. Los alumnos pueden «sentir» el rápido crecimiento mediante este
sencillo procedimiento. La tasa de crecimiento se hace más rápida cuanto más granos de arroz
obtenemos, la ilustración del crecimiento exponencial. Con una placa estándar de 8x8, obtenemos
lo siguiente que es imposible de manejar manualmente.
Pregunta intermedia
Que es mayor
a) El total de los granos de arroz de las casillas 1-8.
b) El número de granos de arroz de la casilla 9.
Respuesta: b)
Repita la pregunta para las comparaciones {1-16 v 17} y {1-32 v 33} con la misma respuesta.
Método Solución_
Este ejercicio implica hacer muchos cálculos largos. Se debe utilizar una calculadora u hoja de
cálculo para ahorrar tiempo y lograr precisión. La fórmula para el número de granos de arroz para n
casillas es 2 elevado a n-1.
Para convertir centavos a euros, se divide por 100.
Respuesta
La opción de doblar da una cifra mucho más alta. Aunque comienza lentamente, una vez que
se cubre la mitad del tablero, la situación ha cambiado dramáticamente. En la casilla 33, el total
de la duplicación ha alcanzado casi 43 millones de euros, superando a la primera opción de 33
millones de euros. Llenar el tablero completo costaría más que todo el dinero del mundo.
48
49.¿Cuántos rectángulos en un tablero de ajedrez? Pareja
Método de solución avanzada: un rectángulo está delimitado por dos líneas verticales y dos horizontales, como
se muestra en la Imagen 49 (a). Cada rectángulo está determinado únicamente por un par de líneas verticales y
horizontales. Hay tantos pares horizontales como verticales, por lo que es suficiente contar el número total de
pares verticales que se pueden dibujar.
Hay 9 formas de elegir la primera línea vertical y 8 formas de elegir la segunda. Hemos contado dos veces cada
par, por lo que el número de pares verticales es 9x8 / 2 = 36. También hay 36 pares horizontales. Para cada par
vertical podemos elegir cualquiera de los 36 pares horizontales, por lo tanto, hay 36x36 opciones, lo que da un
total de 1296 rectángulos.
49
50. Problema de Leaper Pareja
Los saltadores son piezas que se mueven m casillas en una dirección y luego n en n
ángulo recto. El único saltador utilizado en el ajedrez es el caballo, que es un saltador
(2,1).
m
Tareas
(a) Produzca un contorno de energía para cada uno de los saltadores siguientes:
(2,1) Caballo
(2,2) Alfil
(3,1) Camello
(3,2) Cebra [opcional]
(3,3) Tripper [opcional]
(4,1) Jirafa [opcional]
(b) Identifique los saltadores definidos por los mapas de contorno a continuación.
50(a) 50(b)
Método Solución_
Compare visualmente los diagramas dibujados en (a) con los contornos dados en (b).
Solución
(a) Alfil (2,2)
(b) Camello (3,1)
50