Angulo Gradiente

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El gradiente como perpendicular
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F ( x, y ,... ) = 0
Lgicamente, si se quiere atravesar F ( x, y ,... ) = 0

perpendicularmente en otro punto Q habr que tomar
el vector F ( Q ) .
F ( P )
F ( Q )
Q
Ejemplo. Para atravesar perpendicularmente la par2
bola de ecuacin y = x hay que proceder as:
se escribe el objeto F ( x, y ) = y - x 2 = 0 , cuyo
gradiente es F ( x, y ) = ( -2 x,1 ) . En el punto
P ( 0,0 ) hay que elegir el vector F ( 0,0 ) = ( 0,1)
y en el punto Q ( 1,1 ) el vector F ( 1,1 ) = ( -2,1 ) ,
como se muestra en el dibujo de la izquierda.
Q
Este proceso permite incluso calcular las rectas
r
perpendicular y tangente en cada punto. Por
ejemplo, en el punto Q ( 1,1 ) la recta perpendicular
r es aquella que pasa por dicho punto y que tiene
como vector director a ( -2,1 ) . La recta tangente
pasa por ese punto pero su vector es perpendicular
al vector ( -2,1 ) , es decir, tiene como vector director al vector ( 1, 2 ) . As, la recta r es
Matemticas
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x = 1 + l ( -2 )
y = 1 + l ( 1 )
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que se puede escribir como 2 x - y = 1 .
Ejemplo. Una recta en el plano tiene como ecuacin ax + by + c = 0 y es fcil calcular el vector
perpendicular: basta hacer el gradiente de F ( x, y ) = ax + by + c , que es F ( x, y ) = ( a, b ) .
Por ejemplo, la recta 3x - 5 y = 23 tiene como vector perpendicular a ( 3, -5 ) .
Ejemplo. Un plano en el espacio Ax + By + Cz + D = 0 tiene
como vector perpendicular a F ( x, y , z ) = ( A, B, C ) donde
F ( x, y, z ) = Ax + By + Cz + D .
Esto permite conocer rpidamente la ecuacin de un plano
conociendo su vector perpendicular y un punto por el que pasa.
Por ejemplo, un plano perpendicular al vector ( 3, -4,7 ) tiene
como ecuacin 3x - 4 y + 7 z + D = 0 . El valor D se calcula si
conocemos un punto del plano. Por ejemplo, si el plano contiene
al punto ( 1,1,0 ) entonces 3 1 - 4 1 + 7 0 + D = 0 .
( A, B, C )
Matemticas
de
U
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Departamento de Matemticas
Universidad de Extremadura
x = 1 + l ( 1 )
y = 1 + l ( 2 )
z - Departam
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n
y, despejando l en ambas ecuaciones, se tiene x + 2 y = 3 . La recta tangente a la parbola que

pasa por el punto Q es
Ax + By + Cz + D = 0
Propiedad fundamental del gradiente. En cada punto

P de un objeto F ( x, y,... ) = 0 el vector gradiente
F ( P ) atraviesa al objeto perpendicularmente.
z - Departam
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n
Hay muchos objetos que pueden representarse con una ecuacin F ( x, y ,... ) = 0 . Por ejemplo,
en el plano 2 la ecuacin y = x 2 es una parbola y 3x - 2 y = 1 es una recta. En el espacio 3
la ecuacin z = x 2 + y 2 es un paraboloide de revolucin y 3x - 2 y = 1 es un plano. Todos estos
objetos estn definidos por una funcin F . Para la primera parbola es F ( x, y ) = y - x 2 = 0 , y
el paraboloide es F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z = 0 .
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En cada punto de corte P de los objetos F ( x, y ,... ) = 0 y G ( x, y ,... ) = 0 el ngulo de corte es

el mismo que forman los vectores F ( P ) y G ( P ) .
Ejemplo. La grfica de la funcin sen x y el eje X se
cortan en el punto P ( p,0 ) formando un ngulo a que
se puede calcular. Para ello hay que escribir las ecuaciones
de ambos objetos. La grfica de sen x tiene como
a P
ecuacin y = sen x , es decir, F ( x, y ) = sen x - y = 0 .
El eje X tiene como ecuacin G ( x, y ) = y = 0 .En ese
punto de corte, el ngulo que se forma es el ngulo que
forman los vectores gradientes en dicho punto. Con lo cual, slo hay que saber determinar qu
vectores son esos. Como F ( x, y ) = ( cos x, -1 ) y G ( x, y ) = ( 0,1 ) , entonces
F ( p,0 ) = ( -1, -1) y G ( p,0 ) = ( 0,1) y as
a = ( ( -1, -1 ) , ( 0,1 ) ) = arccos
p
1
( -1 ) 0 + ( -1 ) 1
= arccos
=
( -1, -1 ) ( 0,1 )
2 4
Matemticas
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Ejemplo. Calcular el ngulo de corte de la grfica de la funcin e x y la recta y = 1 . Calcular las

rectas perpendicular y tangente a la grfica de e x en ese punto de corte.
Se trata de calcular el ngulo de corte entre los objetos
F ( x, y ) = e x - y = 0
G ( x, y ) = y - 1 = 0
e x - y = 0
y - 1 = 0
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se tiene
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El punto de corte es la solucin al sistema
es decir, el punto P ( 0,1 ) . Como
F ( x , y ) = ( e x , -1 ) , G ( x, y ) = ( 0,1 )
a = ( ( 1, -1 ) , ( 0,1 ) ) = arccos
z - Departam
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1 0 + ( -1 ) 1
1
p
= arccos
=
( 1, -1 ) ( 0,1 )
2 4
La recta perpendicular a y = e x que pasa por el punto ( 0,1 ) es
x = 0 + l ( 1 )
y = 1 + l ( -1 )
y su ecuacin queda como x + y = 1 .

La recta tangente en ese mismo punto es
x = 0 + l ( 1 )
y = 1 + l ( 1 )
Matemticas
de
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es decir, la recta x - y + 1 = 0 .
z - Departam
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Esta propiedad de perpendicularidad del vector gradiente permite adems conocer el ngulo de
corte entre objetos. Para ello slo hace falta saber la ecuacin de cada uno de los objetos y el
punto (o los puntos) de corte.
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z=2
Para calcular el ngulo de corte slo hay que ver

cules son los vectores gradientes. Como las
superficies son
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z = 0
G ( x, y , z ) = z - 2 = 0
P ( 1,1, 2 )
entonces
F ( x, y , z ) = ( 2 x, 2 y, -1 )
G ( x, y , z ) = ( 0,0,1 )
y se trata de calcular el ngulo que forman los vectores gradientes F ( 1,1,2 ) = ( 2,2, -1 ) y
G ( 1,1, 2 ) = ( 0,0,1) , y se obtiene un ngulo
1
( 2, 2, -1 ) ( 0,0,1 )
= arccos 70
3
( 2, 2, -1 ) ( 0,0,1 )
Matemticas
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arccos
El plano tangente a la superficie F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z = 0 en el punto P ( 1,1,2 ) es aquel

que es perpendicular al vector gradiente F ( 1,1,2 ) = ( 2,2, -1 ) y as la ecuacin del plano es
2x + 2 y - z + D = 0
y el valor D se puede calcular pues el punto P ( 1,1,2 ) pertenece al plano, y as
2 1 + 2 1- 2 + D = 0 .
El plano tangente es
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z - Departam
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2x + 2 y - z = 2
z=x +y
2
z - Departam
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Ejemplo. Las superficies z = x 2 + y 2 (paraboloide de revolucin) y z = 2 (plano horizontal a

altura 2) se cortan en el punto P ( 1,1,2 ) . Calcular el ngulo de corte. Determinar en ese punto el
plano tangente a la primera superficie.

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e

El gradiente como perpendicular

Lgicamente, si se quiere atravesar F ( x, y ,... ) = 0

que se puede escribir como 2 x - y = 1 .

y, despejando l en ambas ecuaciones, se tiene x + 2 y = 3 . La recta tangente a la parbola que

Propiedad fundamental del gradiente. En cada punto

El gradiente como perpendicular

En cada punto de corte P de los objetos F ( x, y ,... ) = 0 y G ( x, y ,... ) = 0 el ngulo de corte es

a = ( ( -1, -1 ) , ( 0,1 ) ) = arccos

Ejemplo. Calcular el ngulo de corte de la grfica de la funcin e x y la recta y = 1 . Calcular las

El punto de corte es la solucin al sistema

es decir, el punto P ( 0,1 ) . Como

La recta perpendicular a y = e x que pasa por el punto ( 0,1 ) es

y su ecuacin queda como x + y = 1 .

El gradiente como perpendicular

Para calcular el ngulo de corte slo hay que ver

El plano tangente a la superficie F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z = 0 en el punto P ( 1,1,2 ) es aquel

y el valor D se puede calcular pues el punto P ( 1,1,2 ) pertenece al plano, y as

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