Calculo Vectorial

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO
INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA PAZ
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
CALCULO VECTORIAL
PROF: ING. CARLOS PADILLA RAMOS
TEMA: UNIDAD I: VECTORES EN EL ESPACIO

UNIDAD II: CURVAS PLANAS, ECUACIONES
PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS
POLARES.
UNIDAD III: FUNCIONES VECTORIALES DE UNA
VARIABLE REAL.
UNIDAD IV: FUNCIONES VECTORIALES DE UNA
VARIABLE REAL.
UNIDAD V: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.
ALUMNO: JOSÉ JULIÁN LÓPEZ MARRUFO

GRUPO: D TURNO: MATUTINO
FECHA: 28 DE JULIO DEL 2021
INDICE
UNIDAD I.- VECTORES EN EL ESPACIO. ............................................................................................ 4
1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica. ............ 4
1.2 Álgebra vectorial y su geometría. ............................................................................................... 6
 Suma de Vectores: ................................................................................................................. 6
 Método de extremo con origen o cabeza con cola............................................................... 7
 Suma por el método del paralelogramo ............................................................................... 8
 Resta de Vectores................................................................................................................... 9
1.3 Producto escalar y vectorial. .................................................................................................... 10
 Producto Escalar por un Vector.......................................................................................... 10
 Producto escalar o producto punto .................................................................................... 12
 Producto Cruz o Vectorial ................................................................................................... 13
1.4 Ecuación de la recta. .................................................................................................................. 17
1.5 Ecuación del plano. .................................................................................................................... 18
1.6 Aplicaciones. .............................................................................................................................. 21
Unidad II.- CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES. ....... 25
2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. ............... 25
 Ecuación paramétrica de la recta ....................................................................................... 25
 Ecuación paramétrica del circulo ....................................................................................... 27
 Ecuación Paramétrica de una parábola ............................................................................. 29
 Ecuación Paramétrica de la hipérbola ............................................................................... 32
2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. ........................................................................ 40
2.3 Tangentes a una curva............................................................................................................... 40
2.4 Área y longitud de arco. ............................................................................................................ 42
2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. ............................................................ 44
2.6 Cálculo en coordenadas polares. .............................................................................................. 49
UNIDAD III: FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL .............................................. 51
3.1 Definición de función vectorial de una variable real. ............................................................. 51
3.2 Límites y continuidad de una función vectorial. ..................................................................... 52
3.3 Derivada de una función vectorial. .......................................................................................... 55
3.4 Integración de funciones vectoriales. ...................................................................................... 56
3.5 Longitud de arco. ....................................................................................................................... 58
3.6 Vectores tangente, normal y binormal. .................................................................................... 61
2
3.7 Curvatura ................................................................................................................................... 63
3.8 Aplicaciones. .............................................................................................................................. 65
UNIDAD IV: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES ................................................. 69
4.1 Definición de una función de varias variables......................................................................... 69
4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. ........................... 70
4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables. ...................................................... 76
4.4 Derivadas parciales. .................................................................................................................. 78
4.5 Incrementos y diferenciales...................................................................................................... 80
4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. .................................................................................. 82
4.7 Derivadas parciales de orden superior. ................................................................................... 84
4.8 Derivada direccional y gradiente. ............................................................................................ 86
4.9 Valores extremos de funciones de varias ................................................................................ 89
UNIDAD V: INTEGRACIÓN MULTIPLE ............................................................................................ 90
5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. ....................................................................................... 91
5.2 Integrales iteradas. .................................................................................................................... 92
5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. ........................................................................ 93
5.4 Integral doble en coordenadas polares.................................................................................... 94
5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. ....................................................... 95
5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. ........................................................... 96
5.7 Campos vectoriales. ................................................................................................................. 100
5.8 La Integral de línea. ................................................................................................................. 101
5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física................................................. 102
5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones.................................................................................. 106
FUENTES......................................................................................................................................... 108
UNIDAD I .................................................................................................................................... 108
UNIDAD II ................................................................................................................................... 108
UNIDAD III.................................................................................................................................. 108
UNIDAD IV .................................................................................................................................. 109
UNIDAD V ................................................................................................................................... 110
3
UNIDAD I.- VECTORES EN EL ESPACIO.
1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su

interpretación geométrica.
 Definición de Vector:
Desde el punto de vista físico y matemático se define como un objeto matemático que se
representa como un segmento de recta que se asemeja a una flecha, el cual contiene 3
características, que son: Magnitud (longitud que tiene el vector), dirección (lo
comprenderemos como el ángulo de elevación del vector o la recta sobre la que se encuentra),
y sentido (hacia donde apunta el vector), estos se encuentran representados en los espacios
vectoriales de base ℝ2 𝑦 ℝ3 , donde ℝ2 es un espacio vectorial de 2 dimensiones x , y, y en
ℝ3 se utiliza x, y, z
DIRECCIÓN
MAGNITUD O MÓDULO
SENTIDO
Ilustración 1: Vector en 𝑹𝟐
Se escribe el nombre del vector denominado por una letra con una flecha sobre él, como por
ejemplo:
𝐴
⃗⃗⃗ = (𝐵)
𝑢
𝐶
Siendo A, B, C números reales:
2
⃗⃗⃗ = (3)
𝑢
4
Los vectores normalmente se anclan al origen es decir, son libre pero normalmente surgen de
ahí, pero no es una regla.
4
El modulo como también se le puede conocer a la magnitud de un vector se calcula por medio
del teorema de Pitágoras que en este caso en la formula tratándose de vectores se cambia la
“h” o la “c” por el valor absoluto del nombre del vector, en este caso “u”:
ℝ2 = |𝑢
⃗ | = √𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦
ℝ3 = |𝑢
⃗ | = √𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 + 𝑐 2 𝑧
Ejemplo en ℝ2 :
ℝ2 = |𝑢
⃗ | = √𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦
1
𝑢
⃗ = ( )
5
⃗ | = √12 + 52 = √26 = 5.099

|𝑢
|𝑢
⃗ | = 5.099
Dado el resultado significaría que la longitud o el módulo del vector desde el punto “A” al “B”
tiene el valor de 5.099.
Ejemplo en ℝ3 , es similar al anterior la diferencia está en agregar un nuevo dato dentro de la

raíz que corresponde al tercer eje llamado z:
2
𝑢
⃗⃗⃗ = (3)
4
ℝ3 = |𝑢
⃗ | = √𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 + 𝑐 2 𝑧
⃗ | = √22 + 32 + 42 = √29 = 5.385

|𝑢
|𝑢
⃗ | = 5.385
Al igual que el anterior el valor

obtenido es la magnitud o el modulo del vector desde el origen a la cabeza o punto B del
vector, se coloca valor absoluto por que el valor absoluto al ser una medida este no puede ser
negativa y evita que la magnitud o el modulo sean negativas en caso de ser negativas.
5
1.2 Álgebra vectorial y su geometría.
Dentro de las operaciones más comunes que se pueden realizar con los vectores son la suma,
resta y multiplicación principalmente.
 Suma de Vectores:
Existen diferentes formas de calcular la suma de vectores, de las cuales en realidad ninguna es
compleja, alguna de ellas puede parecer pero no es lo que parece, así que comenzaremos por
el método algebraico el cual es al que me refiero. La suma de vectores por método algebraico
consiste en sumar las coordenadas de los vectores involucrados con su respectivo homologo,
es decir, sean los vectores:
1 7
𝑢
⃗ = ( ) Y 𝑣= ( )
5 5
Se sumarian el 1 con 7 que corresponden a x como par ordenado y el 5 con 5
correspondientes a y como par ordenado, para obtener el nuevo vector que denominaremos
como w.
1 7 1+7 8
𝑢
⃗ + 𝑣 = ( )+ ( )= ( )=( )
5 5 5+5 10
8
𝑤
⃗⃗ = ( )
10
El vector de color azul corresponde al vector “u”
El vector rojo corresponde al vector llamado ”v”
El vector morado es el vector resultante de la

suma de ambos vectores, es decir, aquel que es
linealmente dependiente de los vectores “u” y “v”.
La física de la secundaria y preparatoria ayuda
mejor la comprensión del tema donde se
involucraba en temas de estática y puede que en
cinemática o dinámica para la comprensión y
estudio de los objetos y fuerzas en el espacio
como postes, cables y proyectiles pertenecientes
a la vida cotidiana.
Ilustración 2: Suma de Vectores en 𝑹𝟐
La suma de vectores contiene la propiedad de conmutación, es decir, que no importa el orden

en el que se encuentren los elementos, el resultado va a ser el mismo:
6
𝑢
⃗ +𝑣 = 𝑣+𝑢
⃗
 Método de extremo con origen o cabeza con cola

Como se había comentado anteriormente los vectores los definimos como objetos
matemáticos que son libres, es decir, que no necesariamente se encuentran anclados al origen,
en este método se utilizaran.
Ejemplo en ℝ2 :
Los vectores 𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ , suponiendo que se
encuentran esparcidos en diferentes
lugares del espacio vectorial, para realizar
la suma por este método, la parte trasera
del vector se coloca en la cabeza del vector
anterior (el cual será nuestro vector base o
inicial), es decir, la cola del vector la
colocamos en la cabeza del vector anterior
y así sucesivamente, y una vez terminado
con todos los vectores el vector resultante
de la suma será aquel vector que se
encuentra comprendido entre la cola del
vector inicial y la cabeza del vector final,
teniendo una figura similar como la que se
muestra a continuación:
Los vectores se unen de forma alfabética o
los acomodamos de manera continua y
solamente sería cuestión de trazar el
vector desde la cola del vector inicial en este caso el vector 𝑢
⃗ a la cabeza del último vector que
hayamos puesto 𝑤 ⃗⃗ .
7
 Suma por el método del paralelogramo
El método se emplea en dos vectores, en donde la cola de los vectores los colocaremos en la
cabeza del vector contrario formando un paralelogramo, del punto donde se desprenden u
originan los dos vectores base o iniciales hasta la punta donde se juntan las cabezas de los dos
vectores finales será el nuevo vector resultado de la suma de los 2 vectores base o iniciales
Tenemos los siguientes 2 vectores, en
donde la cola del vector rojo 𝑣 la
colocaremos en la cabeza del vector azul 𝑢
⃗
y posteriormente haremos la misma
acción con el otro vector para que se
forme la figura de un paralelogramo.
Una vez que se haya formado la figura del

paralelogramo solo se tendría que trazar el
vector desde el punto A hasta el punto B el
cual se muestra en la figura nombrado con
la letra W de color negro.
8
 Resta de Vectores
La resta de vectores es similar a la suma de vectores, el proceso de operación es el mismo
de hecho, la diferencia está en la graficación de los vectores o su interpretación, a todas las
restas no se les puede aplicar a ley conmutativa.
𝑢
⃗ +𝑣 ≠ 𝑣+𝑢
⃗
Ejemplo:
En la imagen se presentan los siguientes
vectores:
3
𝑢
⃗ = ( )
5
4
𝑣= ( )
2
3 4 3−4 −1
𝑢
⃗ − 𝑣 = ( )−( )= ( )= ( )
5 2 5−2 3
−1
𝑤
⃗⃗ = ( )
3
El vector 𝑤⃗⃗ es el vector resta de la operación
que lo podemos colocar entre las cabezas de los
dos vectores iniciales ya que el vector resta es
eso, es el vector que se coloca entre las cabezas
de los dos vectores iniciales y la flecha siempre
debe apuntar al vector al que se le va a restar 𝑢
⃗ el otro vector o la cola del vector resta debe
estar en la cabeza del vector 𝑣 .
9
1.3 Producto escalar y vectorial.
 Producto Escalar por un Vector
La multiplicación de un vector por un número real o como comúnmente se le llama en el
mundo de los vectores por un escalar tendría ciertos efectos el vector al momento de hacer la
operación como; aumentar y reducir el tamaño del vector y cambiar de sentido, básicamente
se alterarían las características que tiene un vector; magnitud, sentido y dirección, cuando se
esto sucede o se va a realizar, se le conoce como escalamiento de un vector.
Se escribe de 2 maneras, una más corta que otra, normalmente la más larga se utiliza para
mostrar el proceso de operación.
𝑎
𝑘𝑢
⃗ = 𝑘( )
𝑏
Siendo a, b y K números reales.
El producto tiene ciertos comportamientos al escalar un vector que podríamos considerar
como propiedades, como que;
 Si k fuese mayor que 1 el vector aumentara de longitud (magnitud o módulo).

 Si k fuese menor que 0 el vector cambiara de dirección.
 Si k fuese en un intervalo de 1 y 0 el vector disminuirá su tamaño o longitud.
Ejemplo:
1
𝑢
⃗ = ( )
5
1 2
2𝑢
⃗ = 2 ( )= ( )
5 10
2
𝑤
⃗⃗ = ( )
10
Se pueden presentar las situaciones anteriormente descritas

como propiedades, como se muestra en las imágenes un ejemplo
de cada uno:
10
En la imagen el vector inicial es multiplicado por un numero
positivo decimal, perteneciente al rango entre 0 y 1 por lo tanto el
resultado será pequeño y por ende se muestra en la imagen el
vector a ¼ de tamaño del vector original
En esta imagen el vector es resultante de la multiplicación de un

numero negativo (-1) por lo que el resultado será negativo y este
quedara graficado en el cuadrante número 3 donde ambos ejes
corresponden a tener digno negativo
11
 Producto escalar o producto punto
Este tipo de producto me da como resultado un escalar o un número real que es el ángulo
comprendido entre los vectores con los que se hace la operación, es decir, el resultado
siempre es un número de ahí su nombre, esta operación tiene algunas propiedades las cuales
están escritas a continuación:
|𝑎| ∙ |𝑎| = |𝑎 |2
|𝑎| ∙ |𝑏⃗| = 𝑏⃗ ∙ 𝑎
𝑎 ∙ (𝑏⃗ + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏⃗ + 𝑎 ∙ 𝑐
(𝑘𝑎) ∙ 𝑏⃗ = 𝑘(𝑎 ∙ 𝑏⃗) = 𝑎 ∙ (𝑘𝑏⃗)
⃗0 ∙ 𝑏⃗ = 0
El producto punto se escribe la multiplicación por medio de un punto y ahí 2 formas

diferentes de calcularse una es simplemente la multiplicación
𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑢
⃗ = (𝑑, 𝑒, 𝑓)
⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑑, 𝑒, 𝑓) = (𝑎)(𝑑) + (𝑏)(𝑒) + (𝑐)(𝑓)
𝑣∙ 𝑢
La otra habrá que multiplicarse por una razón trigonométrica para obtener su inversa y
obtener el ángulo.
⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢
𝑢 ⃗ | ∙ |𝑣 | cos 𝜃
En esta fórmula se despeja el coseno para obtener la razón trigonométrica y sacar la inversa
de la misma y obtener el ángulo entre los vectores involucrados.
𝑢
⃗ ∙𝑣
= cos 𝜃
|𝑢
⃗ | ∙ |𝑣 |
𝜃 = cos −1 𝜃
Recordando que ahí 2 formas diferentes de escribir una razón trigonométrica inversa que son
comúnmente usadas en otras fuentes de información.
tan−1 𝜃 = 𝐴𝑟𝑐 tan 𝜃
2 5
𝑢
⃗ = ( ) 𝑣= ( )
4 2
2 5
⃗ ∙ 𝑣 = ( ) ∙ ( ) = (2)(5) + (4)(2) = 10 + 8 = 18
𝑢
4 2
Ahora calculamos la magnitud o módulo de cada vector y lo multiplicamos por la razón
trigonométrica.
ℝ2 = |𝑢
⃗ | = √𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦
12
⃗ | = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 ≈ 4.472
|𝑢
|𝑣 | = √52 + 22 = √25 + 4 = √29 ≈ 5.385
⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢
𝑢 ⃗ | ∙ |𝑣| cos 𝜃
𝑢
⃗ ∙𝑣
= cos 𝜃
|𝑢
⃗ | ∙ |𝑣|
18 18
= ≈ 0.7474 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≈ cos 0.7474
4.472 ∗ 5.385 24.081
𝐴𝑟𝑐 cos 0.7474 ≈ 41.62°
 Producto Cruz o Vectorial

Este producto tiene como resultado un vector en la que su grafica se realiza en ℝ3 ya que el
vector resultante es ortogonal o perpendicular a los vectores iniciales diferentes de cero, lo
que significa que el vector resultante se sale del plano de los vectores iniciales y eso es
imposible tratándose en el plano ℝ2 , este producto es una operación 2x1 porque al calcularla
obtenemos tanto el vector perpendicular o normal como también lo conoceremos más
adelante y el área correspondiente al paralelogramo formado con los vectores iniciales.
Para resolver este producto, se calculara el determinante por el método de cofactores
escribiendo las coordenadas de los vectores en una matriz, así que aquí será de gran ayuda
recordar temas de algebra lineal.
⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑢 𝑣 = (𝑑, 𝑒, 𝑓)
𝑖 𝑗 𝑘
[𝑎 𝑏 𝑐]
𝑑 𝑒 𝑓
Una Vez reescritos las coordenadas en una matriz, comenzaremos a calcular el determinante
por el método de cofactores para lo cual se necesitara una matriz de signo para poder realizar
el resto de la operación.
+ − +
[− + −]
+ − +
Para realizar esto, señalaremos o remarcaremos la columna y renglón que intervienen en la
posición (11), recordemos que para ubicar un número dentro de una matriz se le asigna una
coordenada en donde el primer número significa fila y el segundo columna por lo tanto
comenzando con la primera posición se marcaran la fila y el renglón 1, en esta caso
pondremos a ambos de color rojo, así será sucesivamente hasta la tercera posición para este
caso del producto cruz o vectorial.
13
𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘
𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏
[𝑎 𝑏 𝑐 ] = +𝑖 [ ] [𝑎 𝑏 𝑐 ] = −𝑗 [𝑑 𝑓] [𝑎 𝑏 𝑐 ]=+𝑘 [ ]
𝑒 𝑓 𝑑 𝑒
𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑓
Una vez marcada las filas el número que se encuentra en la intersección de las filas marcadas
se colocara y se multiplicara por el signo de acuerdo a la posición que tenga dentro de la
matriz de signos y multiplicara a una matriz que estará conformada por 4 números
acomodados en filas que quedaron en la matriz original después de marcar las filas y
columnas
𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏
= +𝑖 [ ] −𝑗 [𝑑 𝑓 ] + 𝑘 [𝑑 ]
𝑒 𝑓 𝑒
𝑖[(𝑏)(𝑓) − (𝑐)(𝑒)] − 𝑗[(𝑎)(𝑓) − (𝑐)(𝑑)] + [(𝑎)(𝑒) − (𝑏)(𝑑)]
Ejemplo:
⃗ = (2, 3, 4)
𝑢 𝑣 = (0, 4, 5)
𝑖 𝑗 𝑘
[2 3 4]
0 4 5
3 4 2 4 2 3
[2 3 4] = +𝑖 [ ] [2 3 4] = −𝑗 [ ] [2 3 4]=+𝑘 [ ]
4 5 0 5 0 4
0 4 5 0 4 5 0 4 5
𝑖[(3)(5) − (4)(4)] − 𝑗[(2)(5) − (0)(4)] + 𝑘[(2)(4) − (0)(3)]
𝑖[15 − 16] − 𝑗[10 − 0] + 𝑘[8 − 0]
𝑖[−1] − 𝑗[10] + 𝑘[8]
−𝑖 − 10𝑗 + 8𝑘
𝑢
⃗ × 𝑣 = −𝑖 − 10𝑗 + 8𝑘
𝑢
⃗ × 𝑣 = (−1 − 10 + 8)
Lo último son las coordenadas del vector resultante, esto lo podemos graficar directamente,
posteriormente a esto podemos encontrar su magnitud o módulo.
⃗ | = √𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 + 𝑐 2 𝑧
|𝑢
⃗⃗ | = √12 + (−10)2 + 82 = √4 + 16 + 64 = √84 ≈ 9.165

|𝑤
14
Cuando se trata en ℝ2 se habla de i, j, pero al resolver el determinante se obtendría el área del
paralelogramo el cual es igual a la magnitud o módulo del vector resultante perpendicular
pero se tendría que utilizar el método de la mano derecha para encontrar la dirección el cual
consiste en cerrar la mano hacia donde se encuentre el vector con el que se va a multiplicar,
por ejemplo si se multiplica 𝑢
⃗ × 𝑣 entonces pondríamos la mano destendida en 𝑢 ⃗ y la
cerraríamos en dirección al vector 𝑣 y el pulgar lo levantaríamos hacia arriba significando que
apunta hacia esa dirección.
Si fuese de otra manera como que colocáramos la mano destendida en el vector 𝑣 entonces
habría que cerrar la mano hacia el vector 𝑢
⃗ pero significaría que tendríamos que invertir
nuestra mano y el vector resultante o el pulgar en este caso apuntaría hacia abajo como en la
imagen 2
⃗
𝑢
𝑢
⃗ × 𝑣
Ilustración 3: de 𝑢
⃗ hacia 𝑣 Ilustración 4: de 𝑣 hacia 𝑢
⃗
15
Ejemplo del vector resultante si fuera en sentido contrario, es decir, de 𝑣 × 𝑢
⃗ anteriormente
fue 𝑢
⃗ × 𝑣.
𝑖 𝑗 𝑘
[2 3 4]
0 4 5
4 5 0 5 0 4
[0 4 5] = +𝑖 [ ] [0 4 5] = −𝑗 [ ] [0 4 5]=+𝑘 [ ]
3 4 2 4 2 3
2 3 4 2 3 4 2 3 4
𝑖[(4)(4) − (5)(3)] − 𝑗[(0)(4) − (5)(2)] + 𝑘[(0)(3) − (4)(2)]
𝑖[16 − 15] − 𝑗[0 − 10] + 𝑘[0 − 8]
𝑖[1] − 𝑗[−10] + 𝑘[−8]
𝑖 + 10𝑗 − 8𝑘
𝑢
⃗ × 𝑣 = 𝑖 + 10𝑗 − 8𝑘
𝑢
⃗ × 𝑣 = (1 + 10 − 8)
16
1.4 Ecuación de la recta.
La geometría Analítica estudia el análisis de las operaciones geométricas y esto es uno de los
puntos principales que toca, la recta vectorial en este caso es la siguiente:
(𝑥, 𝑦) = 𝑃 + 𝑡(𝑣 )
Donde:
𝑃 = Punto que conozco
𝑡 = es una variable que yo conozco y que multiplicara a un vector
𝑣 = Es el vector resultante (director) de la operación de la resta.
Ejemplo:
La ecuación de la recta se determina a partir de dos puntos que podríamos considerar como
vectores y cuya diferencia de dichos vectores es nuestro vector director que le dará sentido a
la recta que se encontrara entre los dos puntos.
La ecuación de la recta a encontrar es la que se encuentra entre el punto A y B pero el vector

resultante es el vector director, es decir, que el vector director como su nombre lo indica es,
indicara el sentido que tendrá la recta ya que como se sabe una reta es solo a simple vista una
línea sin sentido que puede ascender o descender pero de eso se encarga el vector resultante
de la resta de los dos vectores iniciales que en realidad
son puntos pero en este caso le pusimos como vectores
para darle un mejor entendimiento.
3𝑥 + 5𝑦 = 36
36 − 3𝑥
𝑦=
5
La recta anterior es la recta de la ecuación pero la recta
a encontrar es la recta de la ecuación vectorial, la cual
se conforma de las coordenadas de los dos puntos en la
que intersecta, la cual la podemos obtener
inmediatamente del software.
17
La interpretación de la ecuación de la recta es desplazarse un entero a la derecha y caer o
bajar 0.6 y así sucesivamente en toda la recta la cual es infinita.
La ecuación paramétrica es la ecuación vectorial de la recta en este ejemplo es:

𝑥 = (2, 6) + 𝜆(5, −3)
Que conforme la ecuación vectorial de la recta:

(𝑥, 𝑦) = 𝑃 + 𝑡(𝑣 )
𝑃 = 2, 6
𝜆 = 5, −3
Lambda 𝜆 o 𝑡 es lo mismo, porque representan una variable que está multiplicando a la recta
ya que una recta es infinita donde todos los puntos donde toca son su solución.
1.5 Ecuación del plano.

En este tema se aplican los productos anteriormente vistos; el producto punto y el producto
cruz, en el que el producto cruz como sabemos nos da como resultado un vector el cual es
perpendicular a otros vectores, lo que significa que existe un ángulo de 90° entre los vectores
iniciales y el obtenido pero que ahora le llamaremos vector normal, para esta ecuación se
obtiene la siguiente formula:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃0 𝑃 ∙ 𝑛⃗
18
Donde:
𝑃0 = Un punto sobre el plano
𝑃 = Es cualquier otro punto sobre el plano
𝑛⃗ = Un vector normal
𝑃0 = (a, b, c)
𝑃 = (x, y, z)
𝑛⃗ = (A, B, C)
Obtenemos primero la resta del punto sobre el plano con el de cualquier punto del plano
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃0 𝑃 = (a, b, c) - (x, y, z) = (a – x, b – y, c – z)
Realizamos el producto punto con el vector normal
(a – x, b – y, c – z) ∙ (A, B, C) = 0 → Ecuación Vectorial del Plano
𝐴(𝑎 − 𝑥) + 𝐵(𝑏 − 𝑦) + 𝐶(𝑐 − 𝑧) = 0
𝐴𝑎 − 𝐴𝑥 + 𝐵𝑏 − 𝐵𝑦 + 𝐶𝑐 − 𝐶𝑧 = 0
Ejemplo:
𝑛⃗ = (2, −3, 2)
𝑃0 = (3, −4, 1)
𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃0 𝑃 = (3, −4, 1) − (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 3, 𝑦 − (−4), 𝑧 − 1) = 0
(𝑥 − 3, 𝑦 − (−4), 𝑧 − 1) ∙ (2, −3, 2) = 0
2(𝑥 − 3) ± 3(𝑦 + 4) + 2(𝑧 − 1) = 0

2𝑥 − 6 − 3𝑦 − 12 + 2𝑧 − 2 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 20 = 0
19
Interpretando la gráfica el punto B no se encuentra dentro del plano pero si se encuentra el
punto U o la cabeza del vector correspondiente a la coordenada 𝑢⃗ = (2, −3, 2)
20
En las últimas imágenes colocamos unas rectas sobre cómo sería el vector normal y el vector
que 𝑛⃗ considerado como vector inicial o base siendo el punto c (-1, -3, 5) parte del plano de la
ecuación obtenida formando el ángulo de 90° comprendido entre el que sería el vector normal
y el inicial.
(𝑥 − 3, 𝑦 − (−4), 𝑧 − 1) ∙ (2, −3, 2) = Ecuación Vectorial del plano
2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 20 = Ecuación general vectorial del plano
1.6 Aplicaciones.
La física tiene muchas aplicaciones, en la física básica por decirlo así tiene también una
variedad de aplicaciones en sus diferentes ramas mismas que podrían considerarse como
ingeniería aplicada en materias como tecnología, mecánica e ingeniería de materiales.
1).- Involucrándonos en la estática que es una rama de la física que más se utiliza el tema de
los vectores, la trayectoria que recorre una fuerza o un objeto puede calcularse con el modulo
del vector que representa dicha fuerza u objeto, como ejemplo los balines de un cartucho de
escopeta que salen disparados del cañón que se simulan en la siguiente imagen.
Siendo los vectores los siguientes en un

momento dado después de ser proyectados:
𝑐 = (2, 4)
𝑏⃗ = (3, 5)
⃗ = (4, 6)
𝑢
𝑣 = (5, 6)
⃗⃗ = (5, 5)
𝑤
𝑎 = (5, 4)
𝑑 = (4, 2)
𝑒 = (3, 1)
Calculamos el módulo o la magnitud de cada uno de ellos para saber la distancia recorrida
|𝑐| = √22 + 42 = √20 ≈ 4.472
21
|𝑏⃗| = √32 + 52 = √34 ≈ 5.830
⃗ | = √42 + 62 = √52 ≈ 7.211

|𝑢
|𝑣 | = √52 + 62 = √61 ≈ 7.810
⃗⃗ | = √52 + 52 = √50 ≈ 7.071

|𝑤
|𝑎| = √52 + 42 = √61 ≈ 7.810
|𝑑| = √42 + 22 = √20 ≈4.472
|𝑒| = √32 + 12 = √10 ≈ 3.162
2).- El Producto cruz o vectorial como también se le conoce es una operación de 2x1 en la que
en una operación se obtiene un resultado pero que se puede interpretar de dos maneras;
como las coordenadas del vector perpendicular o normal y el área del paralelogramo formado
por los vectores iniciales u originales.
Por ejemplo: Determinemos el área del paralelogramo si el vector normal resultante de una
operación cruz es: 𝑣 = (−3, −9, 6) teniéndose como dato los siguientes vectores:
𝑣 = (2, 3, 5) ⃗⃗ = (1, 3, 5).
𝑤
22
Sabemos que la coordenada del vector es: 𝑣 = (−3, −9, 6) por lo tanto desarrollando las
operaciones, tendríamos que calcular su magnitud.
|𝑣 | = √−32 + −92 + 62 = √126 ≈ 11.224
Interpretando la solución, el área del paralelogramo seria de 11.224 Unidades cuadradas

aproximadamente tomando en cuenta los primeros 3 decimales.
3).- Para el cálculo de la ecuación de la recta es necesario poner en práctica la resta de

vectores, el cual dentro de la ecuación de la recta tiene como finalidad mostrar hacia donde se
dirige la recta, es decir, asciende o desciende.
A continuación se muestra unos vectores por donde la cabeza de los vectores serán los dos
puntos por los cuales pasara la recta, los puntos B y C.
En la siguiente imagen se muestra el vector
resultante de la operación resta entre los dos
vectores bases o iniciales
El vector obtenido de la resta, lo colocamos en las
cabezas de los dos vectores para que veamos por
donde se va a poner o v y hacia dónde se dirige, ya
que recordemos que los vectores son cuerpos u
objetos (como se podría mencionar) libre, es decir,
que no necesariamente están anclados al origen del
plano en el que se trabaje.
23
En el resultado de la resta, el vector resultante muestra que la recta va en forma descendente
o que va disminuyendo, como ya sabemos la formula por decirlo así nos indica:
(𝑥, 𝑦) = 𝑃 + 𝑡(𝑣 )
En las siguientes imágenes veremos que en la primera (izquierda) tenemos la ecuación de la

recta en su forma general, mientras que en la segunda (derecha) tenemos la ecuación
vectorial de la recta; 𝑥 = (4, 1) + 𝜆(−2, 4) la misma como lo indica está compuesta por un
punto del plano en este caso “B’ ” y por la coordenada del vector 𝑎, recordando también 𝑡 = 𝜆.
24
Unidad II.- Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas
polares.
2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su

representación gráfica.
Comencemos el capítulo con la definición de un parámetro:
PARAMETRO: Un parámetro, generalmente, es cualquier característica que pueda

ayudar a definir o clasificar un sistema particular. Es decir, es un elemento de un
sistema que es útil o crítico al identificar el sistema o al evaluar su rendimiento,
estado, condición, etc. (Wikipedia, 2021).
Interpretando la definición, un parámetro es algo auxiliar para poder comprender o analizar
un sistema o cierto objeto en específico, como ejemplo común de este tema es en el área de la
cinemática o dinámica en la que un objeto que se mueve necesita de un parámetro, es decir, de
algo, un dato por ejemplo para poder entender o analizar su comportamiento que en este caso
sería el tiempo (t). Es en este caso donde las ecuaciones paramétricas se utilizan necesitando
mejor una variable extra, porque en una ecuación normal no paramétrica se utilizan: 𝑦 =
𝑓(𝑥) 𝑜 𝑥 = 𝑔(𝑦), dicha variable extra es el tiempo (t) y así cada una de las otras variables
será una función respecto a la tercera variable llamada (t) tiempo.
Una ecuación paramétrica se representa como un sistema de ecuaciones en donde cada una de
las ecuaciones sería una función que corresponde a cada una de las variables en función de la
nueva variable que normalmente se la denomina como (t) de tiempo.
Se utilizan en ℝ2 : 𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝑥 = 𝑓(𝑡)
Se utilizan en ℝ3 : 𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝑧 = ℎ(𝑡)
 Ecuación paramétrica de la recta

Para la ecuación paramétrica de la recta se comienza con la ecuación vectorial de la recta la
cual es la siguiente:
(𝑥, 𝑦) = 𝑃 + 𝑡(𝑢
⃗)
O
(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) + 𝑡(𝑎, 𝑏)
A partir de ella se comienza hacer operaciones algebraicas para obtener la parametrizada
25
(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) + 𝑡(𝑎, 𝑏)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) + 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡
(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑜 + 𝑎𝑡, 𝑦𝑜 + 𝑏𝑡
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑏𝑡
Ejemplo:
𝑥 = (2, 6) + 𝑡(5, −3)
(𝑥, 𝑦) = (2, 6) + 5𝑡 − 3𝑡
(𝑥, 𝑦) = 2 + 5𝑡, 6 − 3𝑡
𝑥 = 2 + 5𝑡
𝑦 = 6 − 3𝑡
La imagen de arriba es del resultado de obtener la ecuación vectorial de la recta, mientras que
la de abajo es de la operación anterior, es decir, de la obtención de la ecuación paramétrica de
la recta misma que cubre o corresponde al vector director de la imagen de arriba
26
 Ecuación paramétrica del circulo
La ecuación general de un círculo con centro en el origen es: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 siendo en la
ecuación paramétrica sustituidas por una razón trigonométrica, teniendo como resultado:
𝑥 = rcos 𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃
Si nosotros tuviésemos un triángulo
rectángulo dentro de la circunferencia el eje
“y” correspondería al radio por el 𝑠𝑒𝑛 𝜃 y el
eje “x” correspondería al radio por el cos 𝜃
siendo así la ecuación paramétrica del
círculo:
𝑦 = sen 𝜃 𝑥 = rcos 𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥 = cos 𝜃
Ejemplo:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 36
√𝑥 2 + 𝑦 2 = √36
𝑥+𝑦 =6
𝑥 = cos 𝜃, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 = 6
𝑥 = 6cos(𝑡)
𝑦 = 6𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
27
En el caso de una circunferencia en la que su centro está fuera del origen se utiliza la ecuación
paramétrica de la siguiente forma partiendo también de la ecuación general de la
circunferencia con origen fuera del centro:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2
(𝑥 − ℎ)2 = 𝑥, 𝑥𝑜 = ℎ
(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑦, 𝑦𝑜 = 𝑘
𝑥 = 𝑥𝑜 + rcos 𝜃
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃
Ejemplo:
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 6)2 = 36
√(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 6)2 = √36
(𝑥 − 3) + (𝑦 − 6) = 6
28
𝑥 = 3 + 6cos(𝑡)
𝑦 = 6 + 6𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
 Ecuación Paramétrica de una parábola

La ecuación paramétrica de una parábola también parte de la ecuación de ella, la siguiente
ecuación es de una parábola con vértice fuera del origen.
𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 )
Donde le damos le asignamos el valor de (t) y despejamos “x”, lo mismo para la “y”:
𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝑡
𝑥 = 𝑡 + 𝑥𝑜
𝑦 − 𝑦0 = 𝑎𝑡 2
𝑦 = 𝑎𝑡 2 + 𝑦𝑜
𝑥 = 𝑡 + 𝑥𝑜
29
𝑦 = 𝑎𝑡 2 + 𝑦𝑜
También se puede presentar con vértice en el origen como:
De forma vertical, apertura hacia arriba o abajo si es negativa:
𝑥=𝑡
𝑦 = 𝑡2
De forma horizontal, apertura hacia la derecha o izquierda si es negativa:
𝑥 = 𝑡2
𝑦= 𝑡
Ejemplo con vértice fuera del origen teniendo el punto A(3, 6):
𝑦 − 6 = (𝑥 − 3)2
𝑥 =𝑡+3
𝑦 − 6 = (𝑥 − 3)2
𝑦 = (𝑥 − 3)2 + 6
𝑥 =𝑡+3
𝑦 = (𝑡 − 3)2 + 6
30
Ejemplo con vértice en el origen:
𝑦 = 𝑥2
La parábola abre hacia arriba por que la “y” es cuadrática y positiva, si fuese negativa abriría
hacia abajo.
𝑥=𝑡
𝑥=𝑡
𝑦 = −𝑡 2
𝑦 = 𝑡2
31
𝑥 = 𝑡2 𝑥 = −𝑡 2
𝑦=𝑡 𝑦=𝑡
Cuando la “x” se encuentra con un exponente cuadrático y es positivo abre hacia la derecha y
cuando es todo lo contrario, es decir, cuando la “x” esta cuadrática y es negativa abre hacia la
izquierda
 Ecuación Paramétrica de la hipérbola

Partimos al igual que en las anteriores de la ecuación general de la hipérbola la cual contiene
dos, una para los casos en que se encuentre en el origen y otra para cuando se encuentre fuera
de ella.
En el origen con sus focos en el eje “x” (hipérbola horizontal):
𝑥2 𝑦2
− =1
𝑎2 𝑏 2
𝑥2 𝑦2
√ − = √1
𝑎2 𝑏 2
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
− = 1 → = cosh 𝜃 , = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑥𝑜 = 𝑎, 𝑦𝑜 = 𝑏
𝑥 = 𝑥𝑜 + acosh 𝜃
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑏𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
32
Ejemplo:
𝑥2 𝑦2
− = 36
22 32
𝑥2 𝑦2
√ − = √36
22 32
𝑥 𝑦
− =6
2 3
𝑥 = 2cosh(𝑡)
𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑡)
En el origen con sus focos en el eje “y” (hipérbola vertical):
𝑦2 𝑥2
− =1
𝑏 2 𝑎2
𝑥2 𝑦2
√ − = √1
𝑏 2 𝑎2
33
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
− = 1 → = cosh 𝜃 , = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
𝑥𝑜 = 𝑏, 𝑦𝑜 =𝑎
𝑥 = 𝑥𝑜 + bcosh 𝜃
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑎𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
Ejemplo:
𝑥2 𝑦2
− = 36
32 22
𝑥2 𝑦2
√ − = √36
32 22
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
− = 6 → = 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑡) , = cosh (𝑡)
3 4 3 2
𝑥 = 3senh(𝑡)
𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑡)
34
Fuera del origen con sus focos en el eje “x” (hipérbola horizontal)
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
− =1
𝑎2 𝑏2
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
√ − = √1
𝑎2 𝑏2
𝑥−ℎ 𝑦−𝑘 𝑥−ℎ 𝑦−𝑘

− =1→ = cosh 𝜃 ,
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
= 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
Ejemplo:
(𝑥 − 3)2 (𝑦 − 4)2
− =9
22 62
(𝑥 − 3)2 (𝑦 − 4)2
√ − = √9
22 62
𝑥−3 𝑦−4 𝑥−3 𝑦−4

− =3→ = cosh 𝜃 , = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
2 6 2 6
𝑥𝑜 = 3, 𝑦𝑜 = 4
𝑥 = 3 + 2cosh(𝑡)
𝑦 = 4 + 6𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑡)
35
Fuera del origen con sus focos en el eje “y” (hipérbola vertical)
(𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2
− =1
𝑎2 𝑏2
(𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2
√ − = √1
𝑎2 𝑏2
𝑦−𝑘 𝑥−ℎ 𝑦−𝑘 𝑥−ℎ

− =1→ = cosh 𝜃 , = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
Ejemplo:
(𝑦 − 4)2 (𝑥 − 3)2
− = 36
62 22
(𝑦 − 4)2 (𝑥 − 3)2
√ − = √36
62 22
36
𝑦−4 𝑥−3 𝑦−4 𝑥−3
− =6→ = senh 𝜃 , = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃
6 2 6 2
𝑥𝑜 = 4, 𝑦𝑜 = 3
4 + 6 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡)
{
3 + 2cosh(𝑡)
Ecuación Paramétrica de Elipse

Al igual que todas las anteriores la ecuación paramétrica se obtiene a través de la ecuación
general de la elipse, la cual es muy similar a la de la hipérbola pero con la diferencia que los
dos cocientes que conforman la ecuación de la elipse se suman.
Se mostraran a continuación las formulas de la elipse cuando se encuentra en el origen y fuera
de él, comenzando con la del centro en el origen.
𝑥2 𝑦2
− =1
𝑎2 𝑏 2
𝑥2 𝑦2
√ − = √1
𝑎2 𝑏 2
37
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
− = 1 → = cosh 𝜃 , = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑥 = 𝑥𝑜 + acos 𝜃
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃
Ejemplo:
𝑥2 𝑦2
√ − = √25
42 22
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
− 25 → = cos (𝑡) , 2 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
4 4
𝑥 = 4cos(𝑡)
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
Ahora obtendremos la ecuación paramétrica de la elipse con su centro fuera del origen:
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+ =1
𝑎2 𝑏2
38
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
√ + = √1
𝑎2 𝑏2
𝑥−ℎ 𝑦−𝑘 𝑥−ℎ 𝑦−𝑘

+ =1→ = cosh 𝜃 , = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑥 + 𝑎𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
{ 𝑜
𝑦0 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
Ejemplo:
(𝑥 − 4)2 (𝑦 − 6)2
+ = 25
82 102
(𝑥 − 4)2 (𝑦 − 6)2
√ + = √25
82 102
𝑥−4 𝑦−6 𝑥−4 𝑦−6

+ =1→ = cosh 𝜃 , = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜃
8 10 8 10
𝑥𝑜 = 4, 𝑦𝑜 = 6
4 + 8𝐶𝑜𝑠 (𝑡)
{
6 + 10𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
39
2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica.
La derivada de una ecuación paramétrica se realiza por medio de la derivada por la regla de la
cadena:
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡
= ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥
Siendo la última representada por su inversa para multiplicar a la derivada del lado izquierdo.
𝑑𝑡 1
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡
Teniendo como resultado la fórmula de derivación de la siguiente manera:
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑦 1
= ∙ = 𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Ejemplos con diferentes exponentes:
𝑥 = 𝑡2 𝑥 = 𝑡 2 + 2𝑡 + 5 𝑥 = 4𝑡 5 + 2𝑡 4 + 5𝑡
𝑦 = 𝑡 3 + 5𝑡 2 + 12𝑡 + 8 𝑦 = 𝑡 6 + 5𝑡 3 + 12𝑡 + 8
𝑦=𝑡
𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑦 = 𝑡 2 + 2𝑡 + 5 = 4𝑡 5 + 2𝑡 4 + 5𝑡
𝑑𝑡
= 𝑡 2 = 2𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝑡 3 + 5𝑡 2 + 12𝑡 + 8 = 𝑡 6 + 5𝑡 3 + 12𝑡 + 8
= 𝑡=1 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑦
= 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑦 2𝑡 + 2 𝑑𝑦 20𝑡 4 + 8𝑡 3 + 5
= 2 = 5
𝑑𝑥 3𝑡 + 5𝑡 + 12 𝑑𝑥 6𝑡 + 15𝑡 2 + 12
2.3 Tangentes a una curva.

La derivada de una función es la pendiente tangente que pasa por el punto de una función,
vamos a obtener el punto tangencial o el punto por donde va a pasar la recta tangente, las
coordenadas del vector director que nos indica el sentido de la recta tangente y por ultimo
con los datos ya obtenidos encontrar la ecuación vectorial de la tangente. Suponiendo que 𝑡 =
1
y la ecuación paramétrica es la siguiente:
3
𝑥 = 2𝑡 2 + 2𝑡
𝑦 = 5𝑡 2 + 3
40
Evaluamos “t” en las funciones con un valor de
1 2 1 2 2 24
𝑥 = 2( ) + 2( ) = + =
3 3 9 3 27
1 2 5 32
𝑦 = 5( ) + 3 = + 3 =
3 9 9
24 32
𝑃( , )
27 9
El resultado obtenido son los puntos de tangencia, es decir, es el punto por donde va a pasar la
recta tangente.
Derivamos las funciones para obtener la pendiente (m) de la tangente que sería:
𝑑𝑦 2𝑡 2 + 2𝑡 4𝑡 + 2
= 2
= =𝑚
𝑑𝑥 5𝑡 + 3 10𝑡
Evaluamos el valor de “t” en el resultado de la derivada anterior
1 4 10
𝑥 = 4( ) + 2 = + 2 =
3 3 3
1 10
𝑦 = 10 ( ) =
3 3
10 10
( , ) = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
3 3
El resultado anterior son las coordenadas del vector director que indica hacia donde se dirige
la pendiente tangencial
24 32
Calculamos la ecuación vectorial de la tangente, la cual pasa por el punto 𝑃 (27 , 9
) y que
10 10
tiene como vector director: ( 3 ,3
).
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑏𝑡
24 10
𝑥= + 𝑡
27 3
32 10
𝑦= + 𝑡
9 3
41
2.4 Área y longitud de arco.
Tenemos el conocimiento que para realizar el cálculo del área es necesario una integral
definida entre ciertos puntos, en coordenadas rectangulares seria:
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
En este caso tratándose de ecuaciones paramétricas la formula cambia a la siguiente:

𝑡2
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ 𝑦(𝑡) ( ) 𝑑𝑡
𝑡1 𝑑𝑡
Ejemplo: Determinaremos el área del ecuación parametrizada en un rango de −4 ≤ 𝑡 ≤ 4
𝑥 = 𝑡 2 + 5𝑡
{
𝑦 = 𝑡+4
Determinamos los puntos donde se encontraría la ecuación graficada, sustituyendo los valores
de 𝑡 = −4 𝑦 𝑡 = 4
42
𝑥 = 𝑡 2 + 5𝑡 = (4)2 + 5(4)ˆ = 16 + 20 = 36
𝑦 = 𝑡 + 4 = (4) + 4 = 8
𝑥 = 𝑡 2 + 5𝑡 = (−4)2 + 5(−4)ˆ = 16 + (−20) = −4

𝑦 = 𝑡 + 4 = (−4) + 4 = 0
𝑃𝑜 = 𝐴 = (36, 8), 𝑃1 = 𝐵 = (−4, 0)
𝑡2
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ 𝑦(𝑡) ( ) 𝑑𝑡
𝑡1 𝑑𝑡
4 4
𝐴 = ∫ (𝑡 + 4)(2𝑡 + 5)𝑑𝑡 = ∫ (2𝑡 2 + 13𝑡 + 20)𝑑𝑡
−4 −4
4 4
2
2(4)3 2(−4)3 256
∫ (2𝑡 )𝑑𝑡 = [ − ] =
−4 3 3 −4
3
−4 4
13(4)2 13(−4)2
∫ (13𝑡)𝑑𝑡 = [ − ] =0
4 2 2 −4
−4
∫ 20𝑑𝑡 = [20(4) − (20(−4)]4−4 = 160
4
256 736
+ 0 + 160 =
3 3
43
4
736 2
𝐴 = ∫ (𝑡 + 4)(2𝑡 + 5)𝑑𝑡 = 𝑢
−4 3
En el caso del cálculo vectorial para el cálculo de la longitud de arco que se trata con funciones
paramétricas también habrá ciertas diferencias en la fórmula:
𝑡2
𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2
∫ √( ) + ( ) 𝑑𝑡
𝑡1 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Ejemplo: para este ejemplo utilizaremos el mismo problema anterior.

𝑥 = 𝑡 2 + 5𝑡
{
𝑦 = 𝑡+4
−4 4 4
∫ √(2𝑡 + 5)2 + (1)2 𝑑𝑡 = ∫ (2𝑡 + 5 + 1)𝑑𝑡 = ∫ (2𝑡 + 6)𝑑𝑡
−4 −4 −4
4 4 4
2𝑡 2 2(4)2 2(−4)2
∫ (2𝑡)𝑑𝑡 = [ ] = [ − ] = [16 − 16] = 0
−4 2 −4 2 2 −4
4
∫ (6)𝑑𝑡 = [6𝑡]4−4 [6(4) − 6(−4)]4−4 = 48
−4
0 − 48 = −48
−4
∫ √(2𝑡 + 5)2 + (1)2 𝑑𝑡 = 48 𝑢
−4
2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares.

La comprensión de estos temas se origina de un triángulo rectángulo,
Las coordenadas cartesianas se componen de lo que en
el triángulo serian C. adyacente (x), C. Opuesto (y), en
coordenadas polares se conforman de radio (r), y el
Angulo en el lugar de (x, y) respetivamente en donde:
Un ángulo positivo = En sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Un ángulo negativo= En sentido a las manecillas del
reloj.
𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝜃
Cuando nos encontramos una ecuación paramétrica lo podemos hacer al modo que nos
asegura, que es por medio de la tabulación donde le damos valores a 𝜃 para obtener 𝑟 y
posteriormente a ello graficar los puntos obtenidos en el plano.
En las coordenadas polares obtenemos diferentes figuras en las diversas ecuaciones que se
pueden obtener;
44
CÍRCULOS
Para darnos una imagen de cómo serán las figuras en el plano es bueno recordar lo siguiente:
cos 𝜃 = 𝐷𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
−cos 𝜃 = 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
Sen 𝜃 = 𝐴𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
−Sen 𝜃 = 𝐴𝑏𝑎𝑗𝑜
Cuando las ecuaciones tratan alguna de las anteriores razones trigonométricas dependiendo
si son positivas negativas se grafican arriba o abajo en el caso del seno y derecha o izquierda
en el caso del coseno.
La ecuación del círculo para graficarlo tan solo es escribir 𝑟 = 𝑎 donde “a” es cualquier
número, el resultado de graficarlo es un círculo ya que la única figura que contiene radio es el
círculo y algunas otras figuras más parecidas}
Ilustración 1 Ilustración 2
Ilustración 3
45
Para la graficación de los círculos tangenciales los cuales son la ilustración 2 y 3 se les da un
𝑎
intervalo de 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 al graficarlo y tomamos en cuenta que su radio es 2 donde a es el
diámetro que lo cruza.
CARACOLES
Nuevamente recordamos que dependiendo de la razón trigonométrica que tengamos sea la
posición en la que la gráfica se encontrara, suponiendo que su ecuación sea una de las 2
ecuaciones:
Cuando se comparan los numero iniciales “a” y ”b” no importa el signo que tengan:
𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃
Si a = b será una figura graficada en el origen como:
𝑟 = 3 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃
Sumamos los dos números al inicio de la ecuación
para obtener el corte en la punta.
El número “a” es el corte en los ejes laterales a la
figura.
Si a < b es una figura que contiene un ovalo en su

interior en el que similar a los otros:
𝑟 = 0.5 + 1.5𝑐𝑜𝑠 𝜃
Sumamos los dos números al inicio de la
ecuación para obtener el corte en la punta.
Restamos para encontrar en la punta del ovalo
interior.
El número “a” es el corte en los ejes laterales a
la figura en este caso 0.5 y -0.5
46
Si a > b resulta la figura del lado izquierdo
1
𝑟= + 𝑐𝑜𝑠𝜃
3
Sumamos los dos números al inicio de la ecuación para
obtener el corte en la punta.
Restamos para encontrar en la punta de la parte de abajo
El número “a” es el corte en los ejes laterales a la figura.
Para graficar las imágenes anteriores se realiza en un
intervalo de 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
ROSAS
Antes de la graficación de las mismas realizamos unas operaciones antes para obtener datos
que nos ayudara a la graficación.
𝑟 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
𝑟 = 𝑎 cos(2𝜃)
1.- El número de pétalos se calculan según el número que es, si es impar se dejan tal y como
están y se grafica en un intervalo 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 si el número es par se multiplica el número de
pétalos por 2 y se grafica en un intervalo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, el numero de petalos (𝑛)es el número
que esta junto al ángulo 𝜃.
360°
2.- El ángulo entre pétalos = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑡𝑎𝑙𝑜𝑠
3.- Ubicación del 1er pétalo en cos es en el eje x y sen el ángulo se calculó con la siguiente
𝜋
formula 𝜃 = 2𝑛
47
LEMNISCATAS
Las lemniscatas están en diagonal dependiendo de la razón trigonométrica en la que se utilizan
sus ecuaciones, si es seno, están en diagonal a la derecha o izquierda y si es coseno es de manera
vertical si es negativos y de manera horizontal si es positivo. Estas son algo similar a las rosas,
se pueden calcular los pétalos tal cual fueran las de una rosa pero dividiéndolas entre dos.
48
2.6 Cálculo en coordenadas polares.
Calcularemos el área entre el área dentro de 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 y fuera de 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Para la solución del problema se utilizara la fórmula de la siguiente integral
1 𝜃2 2
𝐴= ∫ 𝑟 𝑑𝜃
2 𝜃1
Colocamos los valores en la integral:
1 𝜃2
𝐴= ∫ [(3𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 − (2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 ] 𝑑𝜃
2 𝜃1
Necesitamos obtener el rango de ángulos de nuestra

integral definida, para eso realizamos las siguientes
operaciones:
3𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
4𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 2
4 1
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = =
2 2
𝜋
𝜃 = 30° = 𝑟𝑎𝑑
6
Los 30° obtenidos son la elevación que hay en desde
el eje x hasta la intersección con el circulo y la
posterior figura al círculo, eso significa que por
simetría en el otro ángulo del otro lado también
5𝜋
tiene un valor de 30° que al restárselo a 180° equivale a 150° que equivale a 6
5𝜋
1 6
𝐴 = ∫ [(3𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 − (2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 ] 𝑑𝜃
2 𝜋
6
También podemos expresar la integral de la siguiente manera:

𝜋
1 2
𝐴 = ∫ [(3𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 − (2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 ] 𝑑𝜃(2)
2 𝜋
6
𝜋 𝜋
Desde 6 hasta 2 que representaría desde la intersección de las figuras del lado derecho hasta
el eje y que representaría la mitad y por ende lo multiplicamos por dos para obtener el área
1 1
completa, por esa misma razón se eliminan el 2 y el 2 por que el 2 multiplica al 2
𝜋
2
𝐴 = ∫ [(3𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 − (2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 ] 𝑑𝜃
𝜋
6
49
𝜋
2
𝐴 = ∫ [9𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 4 + 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃] 𝑑𝜃
𝜋
6
𝜋
2
𝐴 = ∫ [8𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 4] 𝑑𝜃
𝜋
6
1−cos(2𝜃)
Usamos identidad trigonométrica en 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 2
𝜋
2 1 − cos(2𝜃)
𝐴 = ∫ [8 + 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 4] 𝑑𝜃
𝜋 2
6
𝜋
2 8 − 8cos(2𝜃)
𝐴= ∫ [ + 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 4] 𝑑𝜃
𝜋 2
6
𝜋
2
𝐴 = ∫ [4 − 4cos(2𝜃) + 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 4] 𝑑𝜃
𝜋
6
Cancelamos los números cuatros que se encuentran en los extremos:

𝜋
2
𝐴 = ∫ [−4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 4cos(2𝜃)] 𝑑𝜃
𝜋
6
𝜋
4𝑠𝑒𝑛 (2𝜃) 2
𝐴 = [−4 cos 𝜃 − ]𝜋
2
6
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
𝐴 = [−4 cos ( ) − 2𝑠𝑒𝑛 2 ( )] − [−4 cos ( ) − 2𝑠𝑒𝑛 2 ( )]
2 2 6 6
𝜋 𝜋
Coseno de 2 nos da como resultado 0 y se cancelan los números 2 en el 2𝑠𝑒𝑛 2 ( 2 ) y quedaría
𝑠𝑒𝑛 𝜋 que es igual a 0.
𝜋 √3
𝐶𝑜𝑠 ( ) =
6 2
𝜋 2𝜋 𝜋 √3
𝑆𝑒𝑛 2 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 ( ) =
6 6 3 2
Al sustituir en la integral que desarrollamos las anteriores sustituciones y simplificaciones nos
quedaría:
𝐴 = 0 − [2√3 − √3] = 3√3
𝐴 = 3√3 𝑢2
50
UNIDAD III: FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3.1 Definición de función vectorial de una variable real.

Una función vectorial de una variable real es una función cuyo dominio es un conjunto de
números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores en ℝ𝑛 , 𝑓(ℝ) → ℝ𝑛
ℝ2 , 𝑓(ℝ) → ℝ2 = 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)
ℝ3 , 𝑓(ℝ) → ℝ3 = 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)

Donde: 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) o 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡) son funciones vectoriales componentes de la variable real
del parámetro "𝑡", las funciones vectoriales se pueden escribir como: 𝑓 (𝑡) siendo una función
vectorial de la forma:
𝑟(𝑡) = [𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)]
𝑟(𝑡) = [𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑧(𝑡)]
El dominio recordemos que son los valores definidos para una función, por lo tanto puede
haber restricciones en cuento a los valores que puede ser.
𝑓 (𝑡) = √4𝑡 + 5, 𝑒 5𝑡 , ln(5𝑡 + 2)
Siendo la función vectorial anterior un ejemplo para la explicación, la raíz correspondería a

“x” la cual en este caso si tiene restricción la cual debe ser positiva porque no hay raíces de
números negativos a excepción de que se hable de números imaginarios o complejos pero
fuera de las raíces no hay restricciones para “x”.
En el caso de “y” que corresponde en el lugar de la exponencial, no tiene ninguna restricción
porque el exponente puede tomar cualquier número real.
En el lugar de “z”, es decir, en el lugar del logaritmo natural si hay restricción debido a que se
encuentra un logaritmo natural y el cual al igual que en “x” este debe ser necesariamente un
valor positivo.
Demostración:
√4𝑡 + 5 ln(5𝑡 + 2)
4𝑡 + 5 ≥ 0 5𝑡 + 2 ≥ 0
4𝑡 ≥ −5 5𝑡 ≥ −2
−5 −2
𝑡≥ 𝑡 ≥
4 5
𝑡 ≥ −1.25 𝑡 ≥ −0.4
51
Obtenidos los resultados de que “x” toma valores de -1.25, y todo valor perteneciente a los
reales y “z” toma valores de -0.4, todos tienen en común el -0.4 dentro de su dominio por lo
tanto el dominio va desde -0.4 hasta el infinito; [-0.4, +∞), es decir, toma al -0.4 hasta el más
infinito
3.2 Límites y continuidad de una función vectorial.

El cálculo de una función vectorial o multivariable puede ser más complejo debido a que se
puede aproximar por diferentes lados, siendo el límite de una función vectorial:
𝑓(𝑡) = [𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑧(𝑡)]
lim 𝑓 (𝑡) = (lim 𝑥(𝑡) , lim 𝑦(𝑡) , lim 𝑧(𝑡)) = 𝑢

⃗
𝑡→𝑎 𝑡→𝑎 𝑡→𝑎 𝑡→𝑎
lim 𝑓 (𝑡) = (lim 𝑥(𝑡)𝑖 , lim 𝑦(𝑡)𝑗 , lim 𝑧(𝑡)) 𝑘 = 𝑢

⃗
𝑡→𝑎 𝑡→𝑎 𝑡→𝑎 𝑡→𝑎
Ejemplo:
2
𝑡2 + 6
𝑓(𝑡) = 𝑡 + 5, √8𝑡,
𝑡
2
𝑡2 + 6
lim (𝑡 + 5, √8𝑡, )
𝑡 →2 𝑡
𝑡2 + 5
lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑥(𝑡 2 + 5), lim 𝑦(√8𝑡), lim 𝑧 ( )
𝑡→2 𝑡→2 𝑡→2 𝑡→2 𝑡
lim 𝑥(𝑡 2 + 5) = (2)2 + 5 = 9

𝑡→2
lim 𝑦(√4𝑡) = √8(2) = 16

𝑡→2
𝑡2 + 5 (2)2 + 6 4 + 6 10
lim 𝑧 ( )= = = =5
𝑡→2 𝑡 (2) 2 2
𝑡2 + 6
lim (𝑡 2 + 5, √8𝑡, ) = (9, 16, 5)
𝑡 →2 𝑡
𝑓 (𝑡) = (9, 16, 5)
52
Para que una función sea continua debe de cumplir ciertos requisitos, existen propiedades
para que una función sea continua mismas que se utilizan en las funciones no vectoriales
1.- 𝑓 (𝑡0 ) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎
2.- lim 𝑓 (𝑡) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎

𝑡→𝑡0
3.- lim 𝑓 (𝑡) = 𝑓 (𝑡0 )

𝑡→𝑡0
Lo último también se puede interpretar como, el resultado del 2do inciso sea igual al
resultado del 1er inciso.
Ejemplo:
𝑡2 − 1 3
𝑓(𝑡) = { 𝑡 − 1 , 𝑡 , 𝑡≠1
〈2, 1〉, 𝑡=1
Suponiendo que 𝑡0 = 1:
1.- 𝑓 (𝑡0 ) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎
Existe, la cual es la coordenada 〈2, 1〉.
2.- lim 𝑓 (𝑡) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎

𝑡→𝑡0
𝑡2 − 1 3
lim ( ,𝑡 )
𝑡→1 𝑡−1
53
𝑡2 − 1 (𝑡 − 1)(𝑡 + 1)
lim ( )= = 𝑡 + 1 = (1) + 1 = 2
𝑡→1 𝑡−1 𝑡−1
lim(𝑡 3 ) = 13 = 1
𝑡→1
𝑅 = 〈2, 1〉
3.- lim 𝑓 (𝑡) = 𝑓 (𝑡0 )

𝑡→𝑡0
𝑓 (𝑡0 ) = lim 𝑓 (𝑡)

𝑡→𝑡0
〈2, 1〉 = 〈2, 1〉
La función anterior es continua por que cumple con la propiedad de continuidad.
54
3.3 Derivada de una función vectorial.
Sea la función vectorial 𝐹 𝑡 entonces diremos que 𝐹 ′ 𝑡 es la derivada de dicha función y se
define mediante:
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
𝑓 (𝑡) = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
La derivada de una función vectorial es la derivada de cada una de las funciones que
conforman la función vectorial, recordemos que una función vectorial se conforma de
funciones, cada una de las funciones corresponde respectivamente a cada una de las variables
𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡)𝑖̂, 𝑦(𝑡)𝑗̂, 𝑧(𝑡)𝑘) 𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡)𝑖̂, 𝑦(𝑡)𝑗̂)
𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) 𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))
𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡)
𝑓(𝑡) = {
𝑓(𝑡) = {𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡)
𝑧(𝑡)
Siendo la función vectorial derivable, la función la expresamos:

𝑓(𝑡) = (𝑥´(𝑡)𝑖̂, 𝑦´(𝑡)𝑗̂, 𝑧´(𝑡)𝑘) 𝑓(𝑡) = (𝑥´(𝑡)𝑖̂, 𝑦´(𝑡)𝑗̂)
𝑓(𝑡) = (𝑥´(𝑡), 𝑦´(𝑡), 𝑧´(𝑡)) 𝑓(𝑡) = (𝑥´(𝑡), 𝑦´(𝑡))
𝑥´(𝑡) 𝑥´(𝑡)
𝑓(𝑡) = {
𝑓´(𝑡) = {𝑦´(𝑡) 𝑦´(𝑡)
𝑧´(𝑡)
Ejemplo:
𝑓(𝑡) = (√2𝑡 + 5, 4𝑡 2 + 16, 2𝑡 + 3)
𝑥(𝑡) = √2𝑡 + 5
𝑓(𝑡) = {𝑦(𝑡) = 4𝑡 2 + 16
𝑧(𝑡) = 2𝑡 + 3
1 𝑑𝑦 1 1 1 1
𝑥(𝑡) = √2𝑡 + 5 = (2𝑡 + 5)2 ∙ (2𝑡 + 5) = (2𝑡 + 5)−2 ∙ 2 = 1 =
𝑑𝑥 2 √2𝑡 + 5
(2𝑡 + 5)2
𝑦(𝑡) = 4𝑡 2 + 16 = (2)(4𝑡) + 0 = 8𝑡
𝑧(𝑡) = 2𝑡 + 3 = 2(1) + 0 = 2
1
𝑥´(𝑡) =
1 √2𝑡 + 5
𝑓´(𝑡) = ( , 8𝑡, 2 ) = 𝑓´(𝑡) =
√2𝑡 + 5 𝑦´(𝑡) = 8𝑡
{ 𝑧´(𝑡) = 2
55
3.4 Integración de funciones vectoriales.
Las integrales de una función vectorial son muy útiles para ingenieros, físicos y otras personas
que tratan con conceptos como fuerza, trabajo, momentum, velocidad y movimiento. Por
ejemplo, la velocidad de un objeto se puede describir como la integral de una función vectorial
que describe la aceleración del objeto. Esto es porque la aceleración se define como el índice
de cambio de la velocidad de un objeto. La aceleración es la derivada de la velocidad y la
velocidad es la integral de la aceleración.
Ejemplo:
𝐴(𝑡) = (−1,5), 𝑣 (𝑡) = ∫ 𝐴(𝑡) 𝑑𝑡
∫(−1,5)𝑑𝑡 = ∫ −1𝑑𝑡 + ∫ 5𝑑𝑡 = −1 ∫ 𝑑𝑡 + 5 ∫ 𝑑𝑡 = −1(𝑡) + 𝑐 + 5(𝑡) + 𝑐 = −𝑡 + 5𝑡 + 𝑐′
𝐴(𝑡) = (−𝑡, 5𝑡)

−𝑡
𝐴(𝑡) = {
5𝑡
Ejemplo:
Utilizaremos el ejemplo anterior:
1
𝑓´(𝑡) = ( , 8𝑡, 2 )
√2𝑡 + 5
1 𝑑𝑢
∫( ) 𝑑𝑡 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑢 = 2𝑡 + 5, 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑡, = 𝑑𝑡
√2𝑡 + 5 2
1 1 1 1
1 1 1 1 𝑢−2+1 1 𝑢2 1 2𝑢2 2𝑢2 1 1
∫( ) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑡 = ( )= ( )= ( ) = = 𝑢2 = (2𝑡 + 5)2
2√𝑢 2 2 −1 + 1 2 1 2 1 2
2 2
= √2𝑡 + 5 + 𝑐
𝑡1+1 8𝑡 2
∫(8𝑡) 𝑑𝑡 = 8 ∫ = = 4𝑡 2 + 𝑐
1+1 2
∫ 2𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑑𝑡 = 2(𝑡) = 2𝑡 + 𝑐
√2𝑡 + 5
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ {4𝑡 2 + 16 𝑑𝑡 = (√2𝑡 + 5, 4𝑡 2 + 16, 2𝑡 + 3)
2𝑡 + 3
(𝑡) = (√2𝑡 + 5, 4𝑡 2 + 16, 2𝑡 + 3
𝑥(𝑡) = √2𝑡 + 5
𝑓(𝑡) = {𝑦(𝑡) = 4𝑡 2 + 16
𝑧(𝑡) = 2𝑡 + 3
3 3
1 1 (2𝑡 + 5)2 2(2𝑡 + 5)2 2√(2𝑡 + 5)3
∫ √2𝑡 + 5 𝑑𝑡 = ∫(2𝑡 + 5)2 𝑑𝑡 = (2𝑡 + 5)2+1 = = = +𝑐
3 3 3
2
2 2 )𝑑𝑡 2 )𝑑𝑡
𝑡 2+1
∫(4𝑡 + 16) 𝑑𝑡 = ∫(4𝑡 + ∫(16)𝑑𝑡 = 4 ∫(𝑡 + 16 ∫ 𝑑𝑡 = 4 ( ) + 16(𝑡)
2+1
4𝑡 3
= + 16𝑡 + 𝑐´
3
𝑡1+1 𝑡2
∫(2𝑡 + 3)𝑑𝑡 = ∫ 2𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 3𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 + 3 ∫ 𝑑𝑡 = 2 ( ) 𝑑𝑡 + 3(𝑡) = 2 ( ) + 3𝑡
1+1 2
2𝑡 2
= 2
+ 3𝑡 + 𝑐
José Julián López Marrufo Pág. 57

2√(2𝑡 + 5)3
+𝑐
3
3 2√(2𝑡 + 5)3 4𝑡 3 2𝑡 2
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 4𝑡 + 16𝑡 + 𝑐´ 𝑑𝑡 = ( + 𝑐, + 16𝑡 + 𝑐´ , + 3𝑡 + 𝑐 )
3 3 3 2
2𝑡 2
{ 2 + 3𝑡 + 𝑐
3.5 Longitud de arco.

𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡)𝑖̂, 𝑦(𝑡)𝑗̂, 𝑧(𝑡)𝑘) 𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡)𝑖̂, 𝑦(𝑡)𝑗̂)
𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) 𝑓(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))

Las expresiones anteriores son funciones vectoriales representadas en las dos formas más
comunes. Siendo la fórmula de longitud de arco:
𝑏
𝐿 = ∫ √[𝑥´(𝑡)]2 + [𝑦´(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑎≤𝑡≤𝑏
𝑎
𝑏
𝐿 = ∫ √[𝑥´(𝑡)]2 + [𝑦´(𝑡)]2 + [𝑧´(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑎≤𝑡≤𝑏
𝑎
Para obtener la longitud de arco se deberán de hacer ciertos pasos para llegar al resultado
Ejemplo:
𝑏
∫ √[𝑥´(𝑡)]2 + [𝑦´(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
𝑎

𝑓 (𝑡) = 𝑡 + 2, 2𝑡, 5𝑡 + 6
𝑥(𝑡) = 𝑡 + 2
𝑓 (𝑡) = { 𝑦(𝑡) = 2𝑡
𝑧(𝑡) = 5𝑡 + 6
Calculamos la derivada de cada una de las funciones que conforman a la función vectorial
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑡 + 2, (𝑡 + 2) = 1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑦(𝑡) = 2𝑡, (2𝑡) = 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑧(𝑡) = 5𝑡 + 6, (5𝑡 + 6) = 5
𝑑𝑥
El resultado obtenido anteriormente lo colocamos dentro de la fórmula de longitud de arco,
en este caso para tres variables.
𝑏
𝐿 = ∫ √[𝑥´(𝑡)]2 + [𝑦´(𝑡)]2 + [𝑧´(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑎
2
𝐿 = ∫ √[1]2 + [2]2 + [5]2 𝑑𝑡 0≤𝑡≤2
0
2 2
𝐿 = ∫ (1 + 4 + 25)𝑑𝑡 = ∫ (30)𝑑𝑡 = 30𝑡 = [30(2) − 30(0)]20 = 60 − 0 = 60
0 0
Ejemplo 2:
Primero calculamos la derivada de cada función del problema
𝑓 (𝑡) = 4𝑡 + 3, √4𝑡 + 2, 6𝑡
𝐿 = ∫ √[𝑥´(𝑡)]2 + [𝑦´(𝑡)]2 + [𝑧´(𝑡)]2
𝑥(𝑡) = 4𝑡 + 3
𝑓 (𝑡) = {𝑦(𝑡) = √4𝑡 + 2
𝑧(𝑡) = 6𝑡
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) = 4𝑡 + 3 = (4𝑡 + 3) = 4
𝑑𝑥
𝑑𝑡 1 1 −
1 1 1
𝑦(𝑡) = √4𝑡 + 2 = (√4𝑡 + 2) = (4𝑡 + 2)2 = (4𝑡 + 2) 2 = 1 =
𝑑𝑥 2 2√4𝑡 + 2
2(4𝑡 + 2)2
𝑑𝑡
𝑧(𝑡) = 6𝑡 = (6𝑡) = 6
𝑑𝑥

2 2 2
1 1
𝐿 = ∫ √[4]2 + [ ] + [6]2 𝑑𝑡 = ∫ √16 + + 36 𝑑𝑡
0 2√4𝑡 + 2 0 16𝑡 + 8
1 1
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2
√
= ∫ 52 + 𝑑𝑡 = ∫ (52 + ) 𝑑𝑡 = ∫ (52𝑡)2 + ∫ ( )
0 16𝑡 + 8 0 16𝑡 + 8 0 0 16𝑡 + 8
1 2
3 1 2 2 2
(52𝑡)2 (16𝑡 + 8) 2√(52𝑡)3 2 2√(52𝑡)3 1
+ = [ + ] = [ + ]
3 3 3 48𝑡 + 24 3 25𝑡 + 12
2 2 0 0
[ ] 0
3 3
2√(52(2)) 1 2√(52(0)) 1
+ − + =
3 25(2) + 12 3 25(0) + 12
[ ] [ ]
707.0779281 − 0.83333333 = 706.9945948
2 2
1
𝐿 = ∫ √[4]2 + [ ] + [6]2 𝑑𝑡 = 706.9945948
0 2√4𝑡 + 2

3.6 Vectores tangente, normal y binormal.
El vector unitario es aquel cuya longitud es uno, el vector tangente es aquel vector que toca a
una curva en un solo punto mientras que los vectores normales y binormales son similares,
son vectores que se encuentran perpendicularmente a otro vector, es decir, hay un ángulo de
90° entre ellos, la diferencia está en que el vector normal es perpendicular a un vector
mientras que l binormal esta perpendicular a dos vectores o también conocidos como
ortogonales.
Vector tangente unitario:

𝑢
⃗ 𝑑𝑟
⃗ =
𝑇 ; 𝑢
⃗ =
|𝑢
⃗ | 𝑑𝑡
Vector normal unitario:
⃗
𝑑𝑇
⃗ = 𝑑𝑡
𝑁
⃗
𝑑𝑇
| |
𝑑𝑡
Vector binormal unitario:

⃗ = 𝑇
𝐵 ⃗ 𝑥𝑁
⃗
Ejemplo; determinar el vector tangente, el vector normal y el vector binormal de la siguiente

función:
1 3 1
𝐹 (𝑡) = 𝑡 𝑖̂ + 𝑡 2 𝑗̂ + 5𝑘̂
3 2
Se comienza calculando el vector tangente, para eso se debe derivar la función, para {obtener
el vector 𝑢
⃗.
Vector tangente unitario:
𝑑 1 3 1
𝑢
⃗ = ( 𝑡 𝑖̂ + 𝑡 2 𝑗̂ + 5𝑘̂ ) = 𝑡 2 𝑖̂ + 𝑡𝑗̂
𝑑𝑥 3 2
⃗ | = √(𝑡 2 )2 + (𝑡)2 = √𝑡 4 + 𝑡 2 = √𝑡 2 (𝑡 2 + 𝑡 2 ) = 𝑡 √𝑡 2 + 1
|𝑢
𝑡 2 𝑖̂ + 𝑡𝑗̂ 𝑡(𝑡 + 1)
⃗ =
𝑇 =
𝑡√𝑡 2 + 1 𝑡√𝑡 2 + 1
𝑡𝑖̂ + 𝑗̂
⃗ =
𝑇
√𝑡 2 + 1
Vector normal unitario:
⃗
𝑑𝑇 𝑑 𝑡 1
= ( 𝑖̂ + 𝑗̂)
𝑑𝑡 𝑑𝑡 √𝑡 2 + 1 2
√𝑡 + 1

Derivamos cada uno de los términos:
𝑢 𝑢´ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣´
=
𝑣 𝑣2
𝑑1 𝑑 2
𝑑 𝑡 ∙ √𝑡 2 + 1 − 𝑡 ∙ √𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1 𝑡2 (√𝑡 2 + 1) − 𝑡 2
= 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = − =
𝑑𝑡 √𝑡 2 + 1 2 1
(√𝑡 2 + 1) √𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1
𝑡2 + 1 − 𝑡2
=
√𝑡 2 + 1
𝑡
𝑑 𝑡 2 1
= √𝑡 + 1 2 =
𝑑𝑡 √𝑡 2 + 1 (√𝑡 2 + 1) (𝑡 2 + 1)√𝑡 2 + 1
𝑑1 𝑑 𝑡
𝑑 1 ∙ √𝑡 2 + 1 − 1 ∙ √𝑡 2 + 1 2 𝑡
= 𝑑𝑡 𝑑𝑡
2 = √𝑡2 + 1 = −
𝑑𝑡 √𝑡 + 1
2
(√𝑡 2 + 1) 𝑡 +1 (𝑡 + 1)√𝑡 2 + 1
2
1
1 𝑡
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 = −
(𝑡 2 + 1)√𝑡 2 + 1 (𝑡 2 + 1)√𝑡 2 + 1
Magnitud del vector tangente unitario:
⃗
𝑑𝑇 1
= (𝑖̂ − 𝑡𝑗̂)
𝑑𝑡 (𝑡 + 1)√𝑡 2 + 1
2
⃗ → |𝐴| = |𝑎| ∙ |𝐵
𝐴 = 𝑎𝐵 ⃗|
⃗
𝑑𝑇 1 1 1
| |= | | ∙ |𝑖̂ − 𝑡𝑗̂| = ∙ √1 + 𝑡 2 = 2
𝑑𝑡 (𝑡 2 + 1)√𝑡 2 + 1 (𝑡 2 + 1)√𝑡 2 + 1 𝑡 +1
⃗
𝑑𝑇 1
| |= 2
𝑑𝑡 𝑡 +1
𝑖̂ − 𝑡𝑗̂
(𝑡 2 + 1)√𝑡 2 + 1 (𝑡 2 + 1)(𝑖̂ − 𝑡𝑗̂) (𝑖̂ − 𝑡𝑗̂)
⃗ =
𝑁 = =
1 (𝑡 2 + 1)√𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1
1
𝑡2 + 1
(𝑖̂ − 𝑡𝑗̂)
⃗ =
𝑁
√𝑡 2 + 1
Vector Binomial Unitario:
1 1
⃗ =
𝐵 (𝑡𝑖̂ + 𝑗̂) × (𝑖̂ − 𝑡𝑗̂)
√𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1

1
⃗ =
𝐵 (𝑡𝑖̂ + 𝑗̂) × (𝑖̂ − 𝑡𝑗̂)
√𝑡 2 + 1
(𝑡𝑖̂ + 𝑗̂) × (𝑖̂ − 𝑡𝑗̂) = 𝑡𝑖̂ × 𝑖 − 𝑡 2 𝑖̂ × 𝑗̂ + 𝑗̂ × 𝑖̂ − 𝑡𝑗̂ × 𝑗̂
La imagen de la izquierda nos indica el

resultado del producto de los vectores
unitarios, si se realiza la multiplicación en
sentido a las manecillas del reloj el
resultado será negativo, de ser en sentido
contrario a las manecillas del reloj será
positivo como se muestra en la imagen. El
resultado en sentido a las manecillas del
reloj es en cadena:
𝑖̂ × 𝑘̂ = −𝑗̂
𝑘̂ × 𝑗̂ = −𝑖̂
𝑗̂ × 𝑖̂ = −𝑘̂
Siendo el resultado de los productos de los vectores unitarios:
𝑡𝑖̂ × 𝑖 = ⃗0
−𝑡 2 𝑖̂ × 𝑗̂ = 𝑘̂
𝑗̂ × 𝑖̂ = −𝑘̂
⃗
𝑡𝑗̂ × 𝑗̂ = 0
= −𝑡 2 𝑘̂ − 𝑘̂ = −(𝑡 2 𝑘̂ + 𝑘̂ ) = −(𝑡 2 + 1)𝑘̂
1 (𝑡 2 + 1)𝑘̂
= [−(𝑡 2 + 1)𝑘̂ ] = −
√𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1
Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de
referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.
3.7 Curvatura.
La curvatura nos indica que tan agudamente se dobla una curva. Existen dos tipos de
curvaturas: la intrínseca y extrínseca. Que tan curva es una curva.
La intrínseca se describe por la variedad de Riemann en cada punto. Mientras que la
extrínseca es una curva en el espacio que se tiene su torsión, punto inicial y la dirección.
Hablando matemáticamente sea una curva suave en el plano o espacio, dada por r (t), donde t
es el parámetro longitud de arco. Se representa con la letra K.
La curvatura se obtiene con la siguiente formula:

|𝑓´(𝑡) × 𝑓´´(𝑡)|
𝑘(𝑡) =
|𝑓´(𝑡)|3
Y su radio se define por la siguiente expresión:

1
𝑝(𝑡) =
𝑘(𝑡)
Ejemplo:
Curvatura de 𝑟(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑐𝑜𝑠𝑡, 4𝑡
Calculamos las primera y segunda derivada involucradas:
𝑟´(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠𝑡, −2𝑠𝑒𝑛𝑡, 4
𝑟´´(𝑡) = −2𝑠𝑒𝑛𝑡, −2𝑐𝑜𝑠𝑡, 0
Calculamos el producto cruz:
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝑖̂ 𝑖̂
𝑟´ × 𝑟´´ = | 2𝑐𝑜𝑠𝑡 −2𝑠𝑒𝑛𝑡 4| | 2𝑐𝑜𝑠𝑡 −2𝑠𝑒𝑛𝑡|
−2𝑠𝑒𝑛𝑡 −2𝑐𝑜𝑠𝑡 0 −2𝑠𝑒𝑛𝑡 −2𝑐𝑜𝑠𝑡
−4𝑠𝑒𝑛2 𝑡𝑘̂ + 8𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖̂ + 0, 0 − 8𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗̂ − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡𝑘̂
𝑟´ × 𝑟´´ = 8𝑐𝑜𝑠𝑡, −8𝑠𝑒𝑛𝑡, −4𝑠𝑒𝑛2 𝑡 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
−4𝑠𝑒𝑛2 𝑡 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 = −4(𝑠𝑒𝑛2 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡) = −4(1) = −4

𝑟´ × 𝑟´´ = 8𝑐𝑜𝑠𝑡, −8𝑠𝑒𝑛𝑡, −4
Calculamos la magnitud del resultado del producto cruz:
|𝑟´ × 𝑟´´| = √(8𝑐𝑜𝑠𝑡)2 + (−8𝑠𝑒𝑛𝑡 2 )+(−4)2
|𝑟´ × 𝑟´´| = √64𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 64𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 16
|𝑟´ × 𝑟´´| = √64(𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) + 16 = √64(1) + 16 = √64 + 16 = √80
Calculamos la magnitud de la primera derivada:
|𝑟´(𝑡)| = √4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 16 = √4(𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) + 16 = √4(1) + 16 = √20
|𝑓´(𝑡) × 𝑓´´(𝑡)| √80 1

𝑘(𝑡) = 3
= = 0.1 =
|𝑓´(𝑡)| √20 10
El radio de curvatura se obtiene de la siguiente expresión:
1
𝑝(𝑡) =
𝑘(𝑡)
1
1 10
𝑝(𝑡) = = 1 = = 10
1 1 1
10 10

El radio de curvatura tiene un valor de 10, significa que desde la curva hasta el eje mide 10
unidades.
3.8 Aplicaciones.
Aplicaciones a la física de las funciones vectoriales
𝑟(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))
𝑑𝑟 𝑑𝑣
𝑣(𝑡) = 𝑎(𝑡) =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, |𝑣(𝑡)| = 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧
9.8𝑚 32 𝑝𝑖𝑒
∑ 𝐹 = 𝑚𝑎, 𝑔= =
𝑠2 𝑠2
Ejemplo 1:
Una partícula parte de su posición inicial 𝑟(0) = 〈1,0,0〉 con una velocidad inicial 𝑣(0) = 𝑖 −
𝑗 + 𝑘 su aceleración 𝑎(𝑡) = 4𝑡𝑖 + 6𝑡𝑗 + 𝑘. Calcule su velocidad y tiempo en t.
La aceleración es prácticamente la derivada que sería la velocidad pero al mismo tiempo la
velocidad es la derivada de la posición
𝑎 → 𝑣´(𝑡) → 𝑟´(𝑡)
Comenzamos integrando la aceleración para obtener la aceleración:
∫(4𝑡)𝑑𝑡 𝑖 + ∫(6𝑡)𝑑𝑡 𝑗 + ∫ 𝑑𝑡 𝑘
𝑣(𝑡) = 2𝑡 2 𝑖 + 3𝑡 2 𝑗 + 𝑡𝑘 + 𝑐
Evaluamos con cero porque es la condición que da el problema v (0).
𝑖 − 𝑗 + 𝑘 = 2(0)2 𝑖 + 3(0)2 𝑗 + (0)𝑘 + 𝑐
𝑣(𝑡) = (2𝑡 2 + 1)𝑖 + (3𝑡 2 − 1) + (𝑡 + 1)𝑘
𝑟(0) = ∫(2𝑡 2 + 1) 𝑑𝑡 𝑖 + ∫(3𝑡 2 − 1) 𝑑𝑡 𝑗 + ∫(𝑡 + 1) 𝑑𝑡 𝑘
2𝑡 3 𝑡2
𝑟(0) = ( + 𝑡) 𝑖 + (𝑡 3 − 𝑡)𝑗 + ( + 𝑡) 𝑘 + 𝑐
3 2
Al evaluar con cero el resultado de la integral obtendría en su mayoría cero a excepción de la

“c”; 𝑟(0) = 𝑖, 𝑖 = 𝑐
2𝑡 3 𝑡2
𝑟(0) = ( + 𝑡 + 1) 𝑖 + (𝑡 3 − 𝑡)𝑗 + ( + 𝑡) 𝑘
3 2

Ejemplo 2:
Un objeto de masa “m” se desplaza en una trayectoria circular con rapidez angular constante
𝜔 tiene un vector de posición 𝑟(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑖 + 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑗 calcule la fuerza que actúa hacia el
objeto y demuestre que se dirige al origen.
𝑑2 𝑟
Utilizando la 2da ley de newton tenemos que: 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑑𝑡 2 la aceleración es la segunda
derivada de la posición siendo así la posición:
𝑟(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑖 + 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑗
𝑟´(𝑡) = −𝑎𝜔𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖 + 𝑎𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑗
𝑟 ′′ (𝑡) = −𝑎𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑖 − 𝑎𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑗
Sustituimos el valor de la aceleración en la expresión de la segunda ley de newton

𝐹 = 𝑚𝑎𝜔2 (−𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑗)
Ejemplo 3:
1
Si 𝑟(𝑡) = 𝑡 2 𝑖 + 𝑡2
𝑗 describe la trayectoria que un objeto sigue en el plano, determine la
velocidad y la rapidez cuando 𝑡 = 1.
1
𝑟(𝑡) = 𝑡 2 𝑖 + 𝑗
𝑡2
La expresión anterior define la posición en cualquier instante “t” entonces si queremos
encontrar la velocidad calcularemos la derivada de la función
𝑑𝑟
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑡
|𝑣(𝑡)| = 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧
2
𝑣(𝑡) = 𝑟´(𝑡) = 2𝑡𝑖 −
𝑡3
𝑣(1) = 2𝑖 − 2𝑗
|𝑣(1)| = √22 +22 = 2√2 = 2.82
Ejemplo 4:
Un automóvil se empuja con una rapidez de 4 pies/s desde un escarpado acantilado frente al
mar que tiene una altura de 81 pies. Encuentre la rapidez a la cual el automóvil golpea el agua.
Al tratarse de una caída se involucra la gravedad y se toma en cuenta como una altura que cae
en dirección del eje “y” negativo, por eso se escribe el -32.
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑎(𝑡) = (0, −32)
𝑠2
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑣(0) = (4,0)
𝑠

𝑟(0) = (0, 81)
La aceleración es 0 suponiendo que aún se encuentra el vehículo arriba y si la integramos
obtendríamos velocidad y el resultado sería la constante 1 (c1) de la integral del cero y -32t +
c2 de la integral del -32
𝑎(𝑡) = (0, −32)
𝑣(𝑡) = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡 = (𝑐1 − 32𝑡 + 𝑐2 )
Tendríamos que encontrar el valor de las constantes:

𝑣(0) = (4,0)
𝑣(0) = (𝑐1 , 𝑐2 ) = (4,0)
𝑐1 = 4
𝑐2 = 0
La ecuación dada hasta el momento, define la velocidad del objeto:
𝑣(𝑡) = (4, −32𝑡)
No sabemos cuánto tiempo tardara el objeto en tocar el agua pero trataremos de determinar
la ecuación posición la cual sería la integral de ecuación de velocidad respecto al tiempo (t):
𝑟(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = (4𝑡 + 𝑐3 −16𝑡 2 + 𝑐4 )
𝑟(𝑡) = (4𝑡 + 𝑐3 −16𝑡 2 + 𝑐4 )

𝑟(0) = (0,81)
𝑟(0) = (𝑐3 , 𝑐4 ) = (0,81)
𝑐3 = 0
𝑐4 = 81
𝑟(𝑡) = (4𝑡, 81−16𝑡 2 )
Despejamos para saber el tiempo en que tarda en llegar el mar en este caso nuestro punto
cero:
81−16𝑡 2 = 0
81 9
𝑡= √ = = 2.25 𝑠
16 4
𝑝𝑖𝑒
𝑣(2.25) = (4, −72)
𝑠
|𝑣(2.25)| = 72.11 𝑝𝑖𝑒𝑠 /𝑠

UNIDAD IV: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES
4.1 Definición de una función de varias variables.

Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma
definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará
regida por más de unas variables independientes. Es muy común trabajar con funciones de
tres variables, generalmente llamadas z = f(x, y).
La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x)

dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que
dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el
movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define
por funciones que varían respecto al tiempo “t”. Son funciones de una única variable
dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no
depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables.
Una función de “n” variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P, W) en el que
dos pares ordenados distintos cualesquiera no tienen el mismo primer elemento. P es un
punto del espacio numérico n- dimensional y “w” es un número real. El conjunto de todos los
puntos P admisibles recibe el nombre de dominio de la función, y el conjunto de todos los
valores resultantes de “w” se denomina contra dominio de la función.
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma
definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará
regida por más de unas variables independientes. Es muy común trabajar con funciones de
tres variables, generalmente llamadas z = f(x, y). La idea de relación es más compleja puesto
que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que
les corresponde un valor de z.

4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y
superficies de nivel.
Se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más
claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no
todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de
variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente
no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no
gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente:
Si “f” es una función de dos variables, entonces la gráfica de “f” es el conjunto de todos los
puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) de ℝ3 para los cuales (𝑥, 𝑦) es un punto del dominio de 𝑓 𝑦 𝑧 = 𝐹(𝑥, 𝑦)
Ejemplo:
La grafica de la función: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2

Ejemplo 2:
La función “f” está definida por: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 4

Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre
en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de
valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el
conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar al caso de funciones de dos variables, pero
ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir,
el dominio depende de cómo interactúan estas variables. Por ejemplo:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas
variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás
se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
𝐷𝑜𝑚[𝑓] = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ
De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad
son todos los reales, pues nunca se indefine:
𝑖𝑚[𝑓] = ℝ

En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores
que toman “x” y “y” en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función
anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se comprende como todos los puntos en el plano de los valores que puede tomar
las variables “x” y “y”.
Otras explicaciones:
Una función, cualquier función, tienen tres características:
1.- un conjunto “x”, o dominio.
2.- un conjunto “y”, o codominio
3.-Una regla de asignación que asocia a cada elemento “x” del dominio “X” normalmente
escrita con la notación 𝑓: 𝑋 → 𝑌.
Para una función esta anotación indica todos los elementos de una función particular, aunque
no hace explicita la naturaleza de la regla de asignación. Esta notación también sugiere la
naturaleza del “mapeo” de una función, lo que se muestra a continuación:
Ejemplo:

Miremos como ejemplo la asignación de numero de seguridad social de cada ciudadano, este
emparejamiento define una función donde a cada ciudadano se le asigna un numero de
seguridad social, siendo el dominio el número de ciudadanos y el codominio todos los
números de seguridad social, por otro lado si hablaramos de la asignación de casas a cada
ciudadano no se trataría de una función, porque en una casa puede haber más de una persona,
es decir, una casa no significa que solo hay una persona.
El rango de una función 𝑓: 𝑋 → 𝑌 es el conjunto de aquellos elementos de "𝑌" que son valores
reales de "𝑓". Es decir, el rango de "𝑓" consta de aquellas "𝑦" en "𝑌" tales que 𝑦 = 𝑓(𝑥) para
ciertas "𝑥" en "𝑋". En otras palabras, son los valores del codominio que toma el dominio, como
se ilustra en la imagen anterior.
CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL
Si “f” es una función de “n” variables, entonces la gráfica de “f” es el conjunto de todos los
puntos (𝑥1 , 𝑥2 … … … 𝑥𝑛 ) es en un punto del dominio de “𝑓" 𝑦 "𝑤" = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 … … … 𝑥𝑛 )
Ejemplo:
La función” está definida por: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 describiendo las superficies de nivel
de “f” para (𝑎)𝑘 = 4, (𝑏)𝑘 = −4, 𝑦 (𝑐)𝑘 = 0
Para (𝑐)𝑘 = 0, 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0

Para (𝑏)𝑘 = −4, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = −4
Para (𝑎)𝑘 = 4, 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 4

4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables.
Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima
también a otro número. En una función de dos variables del tipo y = f(x), cuando x se
aproxima al valor de “a”, la función se acerca al valor “L” que corresponde al límite. La
notación es así:
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑐
Cuando “x” tiende al valor de “c”, la función “f” tiende al valor de “L”. Algunos límites son
obvios y corresponden al mismo valor de “c” evaluado en la función. Sin embargo, los límites
no se usan en casos obvios sino en funciones más complejas donde el valor de una función
puede ser desconocido o inaccesible. No se ahondará demasiado en este asunto.
En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función “f” tiende a un valor
“L”. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a los que se
aproximan todas las variables independientes que componen a la función.

𝑒 𝑥𝑦 − 1
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Por ejemplo, la función anterior es una función cualquiera de dos variables. En este caso, es el
límite de dicha función cuando tanto “x” como y (variables independientes) tienden a 0. El
valor de las tendencias puede cambiar, pero es necesario considerar a ambas variables.
Al igual que funciones de unas variables independientes, los límites pueden existir o pueden
no existir. En caso de que existan, puede ser que el procedimiento para encontrar el valor del
límite no sea tan directo. Esto quiere decir, que al evaluar directamente los valores de las
variables en la función, podría haber una indefinición matemática como 0/0. En tal situación,
un procedimiento algebraico para simplificar la función podría ser suficiente, pero si aun así
el resultado se indefine o la función es irreducible, se necesita un procedimiento especial.
Ejemplo:
Se tiene el límite:
𝑥𝑦
lim
𝑥→(1,1) 𝑥 2 + 𝑦2
En este ejemplo, el límite se obtiene directamente por evaluación:
𝑥𝑦 1(1) 1
lim = =
𝑥→(1,1) 𝑥 2 +𝑦 2 1+1 2
Ejemplo 2:
𝑥−𝑦 0−0 0
lim = =
𝑥→(0,0) √𝑥 − √𝑦 √0 − √0 0
Se realizan ciertas operaciones algebraicas para evitar la indeterminación:
𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 √𝑥 + √𝑦 𝑥 − 𝑦(√𝑥 + √𝑦)

lim = ( )= = √𝑥 + √𝑦 = √0 + √0 = 0
𝑥→(0,0) √𝑥 − √𝑦 √𝑥 − √𝑦 √𝑥 + √𝑦 𝑥−𝑦
Finalmente el límite es 0.
Existen otras funciones cuyos límites directos se indefinen y que además no pueden
resolverse por ningún método de simplicación. Para ello se debe analizar distinto.
Para las funciones de dos variables, “x” se podía aproximar a un valor acercándose tomando
valores menores (por la izquierda) o tomando valores mayores (por la derecha). Solo existen
dos posibilidades. En funciones de varias variables ocurre lo mismo, sin embargo el
acercamiento ocurre hacia un punto (x, y), y al ubicarlo en el espacio, el acercamiento puede
hacerse desde una cantidad infinita de direcciones y no solo eso, sino de trayectorias. Por
ejemplo, al punto (0,0) se le puede aproximar por la trayectoria de la función 𝑦 = 𝑥 2 , por

izquierda y por derecha, así como por la trayectoria de la función 𝑥 = 𝑧, 𝑧 = 𝑥. El objetivo es
aprovechar todo lo anterior para encontrar un límite que pareciera que no puede ser resuelto.
Ejemplo:
2
𝑥2 − 𝑦2
lim ( 2 )
𝑥→(0,0) 𝑥 + 𝑦 2
Esta límite se indefine inmediatamente al evaluar directamente. Así mismo, la función no

puede simplificarse más. Pero este no es el fin del camino. El primer paso es elegir una
trayectoria por la cual acercarse al puntos (0,0). Por ejemplo la función 𝑦 = 0 (por el eje x). Al
sustituir en la función, queda un límite de una sola variable:
2 2
𝑥 2 − (0)2 𝑥2
lim ( ) = ( ) = (1)2 = 1
𝑥→(0,0) 𝑥 2 + (0)2 𝑥2
El límite existe. Ahora elegir alguna otra trayectoria. Por ejemplo, 𝑦 = 0 (acercándose por el
eje y). Sustituir en el límite original:
2 2
(0)2 − 𝑦 2 −𝑦 2
lim ( ) = ( ) = (−1)2 = 1
𝑥→(0,0) (0) + 𝑦 2 𝑦2
El resultado fue el mismo. Basta con encontrar dos resultados iguales con dos trayectorias
distintas para afirmar que el límite existe. De no ser iguales, el límite no existiría.
CONTINUIDAD
Se dice que una función es continua cuando puede dibujarse su gráfica sin separar el lápiz de
la superficie sobre la que se dibuja. Pero esta definición es fácil de entender geométricamente
pero, Matemáticamente, para una función de dos variables, una función es continua en un
valor de 𝑥 = 𝑎 si se cumplen las siguientes condiciones:
El límite cuando x tiende al valor de “a” existe.
La función evaluada en a existe.
El límite cuando “x” tiende al valor de “a” y la función evaluada en “a” son iguales.
Pues resulta que en funciones de varias variables, la definición de continuidad es igual, pero
aplica no para un valor de una sola variable, sino para un punto P(x, y) sobre el cual quiera
evaluarse la continuidad. Solo es necesario encontrar el límite, evaluar la función en el mismo
punto y comparar valores.
4.4 Derivadas parciales.

𝜕𝑦
Las derivadas parciales se diferencian de las derivadas de una variable por: 𝜕𝑥
La razón de definir un nuevo tipo de derivada es que cuando una función es multivariable,
queremos ver cómo cambia la función al mover una sola variable mientras mantenemos fijas
las demás.

𝜕𝑓
Con respecto a las gráficas tridimensionales, podemos ver la derivada parcial al rebanar la
𝜕𝑥
gráfica de "𝑓" con un plano que representa el valor constante de "𝑦" y medir la pendiente de
la curva que resulta a lo largo del corte.
Sea “f” una función de las variables “x” y “y”, la derivada parcial de “f” con respecto a “x” es la
función, denotada por 𝐷1 𝑓, tal que su valor en cualquier punto (𝑥, 𝑦) del dominio de “f” está
dado por la siguiente expresión si el límite existe:
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷1 𝑓 = lim
∆𝑥→0 ∆𝑥
De manera semejante o similar la derivada parcial de “f” con respecto a “y” es la función,
denotada por 𝐷2 𝑓, tal que su valor en cualesquier punto (x, y) del dominio de “f” está dado por
la siguiente expresión si el límite existe:
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷2 𝑓 = lim
∆𝑦→0 ∆𝑦
Ejemplo:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 3 − 4𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 2

Si realizamos la derivada respecto a “x” se tomaría a “y” como constante y se obtendrá lo
siguiente:
𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦)
3(3𝑥 3−1 ) − 2(4𝑥 2−1 ) + 3(1)𝑦 2 + cos 𝑥𝑦 2 ∙ (𝑥𝑦 2 )
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕(𝑥, 𝑦)
= 9𝑥 2 − 8𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 𝑦 2 cos 𝑥𝑦 2
𝜕𝑥
Si realizamos la derivada respecto a “y” se tomaría a “x” como constante y se obtendría lo
siguiente:
𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦)
3(0)3 − −4𝑥 2 (1) + 2(3𝑥𝑦 2−1 ) + cos 𝑥𝑦 2 ∙ (2(𝑥𝑦 2−1 ))
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕(𝑥, 𝑦)
= −4𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 2
𝜕𝑦
4.5 Incrementos y diferenciales.

Cuando la variable independiente 𝑥 que pasa de un valor inicial 𝑥1 a un valor final 𝑥2 y cuya
diferencia de se representa: Δ𝑥, Δ𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 se le llama incremento.
Para encontrar el incremento se multiplica “f” por “x” más ∆𝑥 y sustituirlo por “x” en la
función.
Incremento: ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
Diferencial: 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

Ejemplo 1:
Sea 𝑦 = 3𝑥 2 − 5
Calcular:
a)∆𝑦 a un ∆𝑥 en 𝑥
Δ𝑦 = 3(𝑥 + Δ𝑥)2 − 5 − 3𝑥 2 − 5
Δ𝑦 = 3(𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 ) − 5 − (3𝑥 2 − 5)

Δ𝑦 = 3𝑥 2 + 6𝑥∆𝑥 + 3∆𝑥 2 − 5 − 3𝑥 2 + 5
Δ𝑦 = 6𝑥∆𝑥 + 3∆𝑥 2
b) ∆𝑦 cuando 𝑥 cambia de 2 a 2.1

∆𝑦 = 6(2)(0.1) + 3(0.1)2
∆𝑦 = 1.23
Diferencial:
𝑑𝑦 = 6𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 6(2)(0.1)
𝑑𝑦 = 1.2
Dado un punto 𝑃 de abscisa 𝑥 en la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), si se le da un incremento ∆𝑥, se tendrá
otro punto 𝑄 de abscisa 𝑥 + ∆𝑥 . Ahora, trazando la tangente a la curva en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦), y
desde 𝑥 + ∆𝑥 se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la
tangente, se aprecia claramente como la diferenica 𝑑𝑦 y el incremento ∆𝑦 no son iguales

∆𝑦 Es lo que se incrementa la recta tangente y 𝑑𝑦 es lo que se incrementa la función cuando
se aumenta x en ∆𝑥.
El porcentaje de error en que se incurre por utilizar el incremento en lugar de la diferencial
está dado por:
∆𝑦 − 𝑑𝑦
% 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = % 𝑒 = | | ∙ 100
∆𝑦
Un error menor de 3%m es aceptado como una buena aproximación. Este porcentaje depende
del valor de ∆𝑥, ya que cuanto menor sea, mejor será la aproximación.
Ejemplo 2: Usar la diferencial para determinar la formula:
𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥
𝑢 = 𝜋𝑟 2 ℎ
𝑑𝑢 = (2𝜋𝑟ℎ)𝑑𝑟
∆𝑦 = 𝜋(𝑟 + ∆𝑟)2 ℎ − 𝜋𝑟 2 ℎ
∆𝑦 = 2𝜋𝑟ℎ∆𝑟 + 𝜋ℎ(∆𝑟)2
4.6 Regla de la cadena y derivada implícita.

En la derivación implícita, diferenciamos cada lado de la ecuación con dos variables
(usualmente 𝑥 y 𝑦) al tratar una de las variables como una función de la otra. Esto llama al uso
de la regla de la cadena.
Suponga que "𝑢" es una función diferenciable de las "𝑛" variables 𝑥1, 𝑥2 … … . 𝑥𝑛 y que cada una
de estas variables es a su vez de una función de las "𝑚" variables 𝑦1, 𝑦2 … … . 𝑦𝑛 suponga
𝜕𝑦
además que cada una de las derivadas parciales 𝜕𝑥𝑖 (𝑖 = 1,2, … … … 𝑛; 𝑗 = 1,2, … … … 𝑚) existe.
𝑖
Entonces "𝑢"es una función de 𝑦1, 𝑦2 … … . 𝑦𝑛

𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥1 𝜕𝑢 𝜕𝑥2 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑛
= + + ⋯………+
𝜕𝑦1 𝜕𝑥1 𝜕𝑦1 𝜕𝑥2 𝜕𝑦1 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑦1
𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥1 𝜕𝑢 𝜕𝑥2 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑛
= + + ⋯………+
𝜕𝑦2 𝜕𝑥1 𝜕𝑦2 𝜕𝑥2 𝜕𝑦2 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑦2
Ejemplo 1:
La derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 se trata la variable "𝑦" como una función de "𝑥"
𝑥2 + 𝑦2 = 1
𝑑 2 𝑑
(𝑥 + 𝑦 2 ) = (1)
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑 2 𝑑 2
(𝑥 ) + (𝑦 ) = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦
2𝑥 + 2𝑦 ∙ =0
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2𝑦 ∙ = −2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑥
= −
𝑑𝑥 𝑦
𝑑𝑦
Observemos que la derivada de 𝑦 2 es 2𝑦 ∙ 𝑑𝑥
y no simplemente 2𝑦. Esto es porque tratamos
"𝑦" como una función de "𝑥".
Ejemplo 2:
𝜕𝑧
𝑧 = 𝑦𝑥 2 𝑧 2 − 𝑥𝑦 4 + 𝑥𝑧 =?
𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
= 2𝑥𝑦𝑧 2 − 𝑦4 + 𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
− 2𝑥 2 𝑦𝑧 −𝑥 = 2𝑥𝑦𝑧 2 − 𝑦 4 + 𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑧
(1 − 2𝑥 2 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥) = 2𝑥𝑦𝑧 2 − 𝑦 4 + 𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧 2𝑥𝑦𝑧 2 − 𝑦 4 + 𝑧
=
𝜕𝑦 1 − 2𝑥 2 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥
𝜕𝑧
𝑧 = 𝑦𝑥 2 𝑧 2 − 𝑥𝑦 4 + 𝑥𝑧 =?
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
= 𝑥 2 𝑧 2 + 2𝑥 2 𝑦𝑧 − 4𝑥𝑦 3 + 𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
= 2𝑥 2 𝑦𝑧 −𝑥 = 𝑥 2 𝑧 2 − 4𝑥𝑦 2
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
Factorizamos la derivada:
𝜕𝑧
(1 − 2𝑥 2 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥) = 𝑥 2 𝑧 2 − 4𝑥𝑦 2
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝑥 2 𝑧 2 − 4𝑥𝑦 2
=
𝜕𝑦 1 − 2𝑥 2 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥

4.7 Derivadas parciales de orden superior.
Las derivadas parciales indicadas son simplemente derivadas de orden superior, es decir,
segundas derivadas, terceras derivadas, etcétera. Es igual de simple que en el cálculo de dos
variables. Pero, las derivadas de segundo orden aumentan en número conforme se deriva. Por
ejemplo, la derivada parcial de z respecto a x se puede derivar respecto a "𝑥𝑦" respecto a "𝑦",
así mismo, cada una de estas segundas derivadas se pueden derivar de nuevo respecto a
ambas posibilidades. Para la primera derivada respecto a "𝑦" ocurre lo mismo.
𝜕2𝑦
= 𝑓𝑥𝑥
𝜕𝑥 2
𝜕2𝑧
= 𝑓𝑦𝑦
𝜕𝑦 2
Las anteriores son la derivada de la derivada de la derivada de "𝑧" respecto a "𝑥", ahora
respecto a "𝑦" (arriba). La segunda derivada de la derivada respecto a "𝑦", ahora respecto a
"𝑥" (abajo).
Podemos calcular derivadas parciales de orden superior teniendo en cuenta cual es la variable
respecto a la cual estamos derivando. De esta forma, una vez que hemos calculado la derivada
𝜕𝑓
de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) respecto a la variable 𝑥, es decir, 𝜕𝑥
; podemos calcular la segunda
derivada respecto a la variable "𝑥" y para esto usamos la siguiente notación;
𝜕𝑓
𝜕( ) 𝜕2𝑦
𝜕𝑥
=
𝜕𝑥 𝜕𝑥 2
De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable "𝑦" y usamos la
siguiente notación:
𝜕𝑓
𝜕( ) 𝜕2𝑦
𝜕𝑥
=
𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥
Una vez que hemos calculado de la derivada de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) respecto a la variable "𝑦",
𝜕𝑦
es decir, 𝜕𝑥 ; podemos calcular la segunda derivada respeto a la variable "𝑥"y para esto usamos
la siguiente notación:
𝜕𝑓
𝜕( ) 𝜕2𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥
De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable "𝑦" y usamos la
siguiente notación:
𝜕𝑓
𝜕( ) 𝜕2𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕𝑥 𝜕𝑦 2

Cuando estamos aprendiendo a calcular derivadas parciales y más aún, de orden superior; es
normal que uno se enrede con tantas variables. Con el diagrama que veremos a continuación
se puede entender con un poco más de claridad que variables debemos considerar al derivar:
Otra notación que puede ser útil para aligerar la escritura de las derivadas parciales consiste
en escribir la función usar un subíndice sobre esta para indicar cuál es la variable respecto a la
cual estamos derivando de la siguiente forma:
𝜕𝑓
𝑓𝑥 =
𝜕𝑥
Podemos así, denotar las derivadas de orden superior como sigue:
𝜕2𝑦
= (𝑓𝑥 )𝑥 = 𝑓𝑥𝑥
𝜕𝑥 2
𝜕2𝑦
= (𝑓𝑥 )𝑦 = 𝑓𝑥𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕2𝑦
= (𝑓𝑦 )𝑦 = 𝑓𝑦𝑦
𝜕𝑥 2
𝜕2𝑦
= (𝑓𝑦 )𝑥 = 𝑓𝑦𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦

En vista de esto, podemos replantear el diagrama visto anteriormente usando esta nueva
notación:
Ejemplo:
𝜕2 𝑦
Sea: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 6 + 𝑦 2 − 8 una función definida en varias variables, calcule 𝜕𝑥 2 .
Para calcular la derivada, se debe calcular primero la derivada de "𝑓" respecto a la variable "𝑥"
𝜕𝑓 𝜕(2𝑥 6 + 𝑦 2 − 8) 𝜕(2𝑥 6 ) 𝜕(𝑦 2 ) 𝜕(8)
= = + +
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 12𝑥 5 + 0 − 0 = 12𝑥 5
𝜕𝑥
𝜕𝑓
Calculamos entonces la derivada de la función 𝜕𝑥 = 12𝑥 5 respecto a la variable "𝑥"
𝜕2𝑓 𝑑(12𝑥 5 )
= =0
𝜕𝑥 2 𝑑𝑥
4.8 Derivada direccional y gradiente.

Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto
ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto.
Por tanto, el gradiente de una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) en el punto (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) es

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
(( ) ,( ) ,( ) )
𝜕𝑥 (𝑥0 ,𝑦0 ,𝑧0 ) 𝜕𝑦 (𝑥 ) 𝜕𝑧 (𝑥0 ,𝑦0 ,𝑧0 )
0 ,𝑦0 ,𝑧0
Se denota por ∇𝑓. Es decir,

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
∇𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ,𝑧0 ) = (( ) ,( ) ,( ) )
𝜕𝑥 (𝑥0 ,𝑦0 ,𝑧0 ) 𝜕𝑦 (𝑥 ) 𝜕𝑧 (𝑥0 ,𝑦0 ,𝑧0 )
0 ,𝑦0 ,𝑧0
Cada derivada parcial en el punto (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) se llama componente del gradiente en ese punto.
La derivada en un punto de una función real de variable real informa de lo que varía la función
por cada unidad que varía la variable independiente en ese punto. La misma información da el
gradiente con cada una de sus componentes: informa de lo que varía la función por cada
unidad que varía cada variable en el punto que se considere. Así, que el gradiente de una
función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) en el punto (3, −2,4)sea (2, 0, −1) significa que, por cada unidad que varía
"𝑥" en los entornos más pequeños de tres manteniéndose "𝑦" y "𝑧" en los valores 𝑦 = −2 y
𝑧 = 4, "𝑓" varía 2; que "𝑓" disminuye 1 por cada unidad que se incrementa "𝑧" en pequeños
entornos de 4 con "𝑥" e "𝑦" en 3 y -2.
El gradiente de la función "𝑓" en cualquier punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) se designa por:
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
∇𝑓 = ( , , )
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
El símbolo ∇ se llama nabla. Se dice que nabla es un operador que, para tres variables𝑥, 𝑦, 𝑧
𝜕 𝜕 𝜕
∇= ( , , )
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Puesto delante de una función "𝑓" real de tres variables reales indica (5); o sea, da el
gradiente de "𝑓".
Gradiente de "𝑓" se designa también con grand "𝑓", de manera que se puede escribir
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
gradf = ∇𝑓 = ( , , )
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Parece que el nombre se debe al nombre griego de un instrumento musical parecido a un arpa
que tiene aproximadamente forma triangular. También parece que se lo puso Maxwell más o
menos humorísticamente. Como el símbolo de la letra griega delta mayúscula es Δ, el de nabla,
∇, es una delta invertida.
Que nabla es un operador significa que se puede relacionar con las funciones de diferentes
formas. La única relación que se utiliza en este artículo consiste en ponerlo delante de una
función real de varias variables reales. Puesto así significa gradiente de esa función. Por
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
ejemplo; ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( , , ).
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
El gradiente de f es, por tanto, una función vectorial de las mismas variables reales que "𝑓".
Si una función vectorial es el gradiente de una función escalar, la función escalar se llama
potencial de la función vectorial. Por tanto la función "𝑓" es el potencial de la función

vectorial gradf = ∇f . Con la nueva notación resulta que el operador ∇ se puede escribir con
cualquiera de los tres miembros de la igualdad
𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕
∇= ( , , )= 𝑖+ 𝑗+ 𝑘
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Y el gradiente de "𝑓" con cualquiera de los siguientes cuatro miembros:
𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = ∇𝑓 = ( , , ) = ( 𝑖 + 𝑗+ 𝑘)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
De la constatación de que el gradiente es un vector surgen algunas interpretaciones
interesantes.
Ejemplo: El gradiente de la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 2 𝑦𝑧 + 5𝑥𝑧 + 6 es la función vectorial.
∇𝑓 = (6𝑥𝑦𝑧 + 5𝑧, 3𝑥 2 𝑧, 3𝑥 2 𝑦 + 5𝑥)

Los gradientes en los puntos (0, 2, −1) y (1, −1, −1) son, respectivamente, los vectores
∇𝑓(0,2,−1) = −5𝑖
∇𝑓(1,−1,−1) = 𝑖 − 3𝑗 + 2𝑘
La función diferencial de "𝑓" en cada punto (0, 2, −1) es la función de (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧)
𝑑𝑓 = ∇𝑓 ∙ 𝑑𝑟 = (6𝑥𝑦𝑧 + 5𝑧 )𝑑𝑥 + (3𝑥 2 𝑧) 𝑑𝑦 + (3𝑥 2 𝑦 + 5𝑥)𝑑𝑧
Las funciones diferenciales en los puntos (0, 2, −1) y (1, −1, −1) son respectivamente
d𝑓(0,2,−1) = ∇𝑓(0,2,−1) ∙ 𝑑𝑟 = −5𝑑𝑥
d𝑓(1,−1 ,−1) = ∇𝑓(1,−1 ,−1) ∙ 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 − 3𝑑𝑦 + 2𝑑𝑧
DERIVADA DIRECCIONAL
Suponga que "𝑓" es una función de las tres variables "𝑥", "𝑦" y "𝑧" si "𝑈" es el vector unitario
cos 𝛼𝑖 + cos 𝛽𝑗 + cos 𝛾𝑘, entonces la derivada direccional de "𝑓" en la dirección de"𝑈",
denotada por 𝐷𝑢 𝑓, esta dada por:
(𝑥 + ℎ cos 𝛼, 𝑦 + ℎ cos 𝛽, 𝑧 + ℎ cos 𝛾) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐷𝑢 𝑓 = lim
ℎ→0 ℎ
Si este límite existe.
Ejemplo: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦 2 − 𝑦𝑧 + 𝑧 2 Calculemos la tasa de variación de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
en (1, −2, −1) en la dirección del vector 2𝑖 − 2𝑗 − 𝑘.
2 2 1
El vector unitario en la dirección 2i – 2j – k es 𝑈 = 3
𝑖 − 3
𝑗 − 3
𝑘
2 2 1
𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (6𝑥 + 𝑦) − (𝑥 − 4𝑦 − 𝑧) − (−𝑦 − 2𝑧)
3 3 3
Por lo que la tasa de variación de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) en (1, −2, −1) en la dirección de "𝑈" está
determinada por:

2 2 1
𝐷𝑢 𝑓(1, −2, −1) = (4) − (10) − (0)
3 3 3
𝐷𝑢 𝑓(1, −2, −1) = −4
4.9 Valores extremos de funciones de varias

EXTREMOS ABSOLUTOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Se dice que la función "𝑓" de dos variables tiene un valor máximo absoluto en su dominio "𝐷"
del plano "𝑥𝑦" si existe algun punto (𝑥0, 𝑦0 ) en "𝐷" tal que 𝑓(𝑥, 𝑦) para todos los puntos (𝑥, 𝑦)
de "𝐷". En tal caso, 𝑓(𝑥0, 𝑦0 ) es el valor máximo absoluto de "𝑓" en "𝐷".
Se dice que la función "𝑓" de dos variables tiene un valor minimo absoluto en su dominio "𝐷"
del plano "𝑥𝑦" si existe algun punto (𝑥0, 𝑦0 ) en "𝐷" tal que 𝑓(𝑥0, 𝑦0 ) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦). Para todos los
puntos (𝑥, 𝑦) de "𝐷". En tal caso, 𝑓(𝑥0, 𝑦0 ) es el valor mínimo absoluto de "𝑓" en "𝐷".
EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Se dice que una función "𝑓" de dos variables tiene un valor máximo relativo en el punto
(𝑥0, 𝑦0 ) si existe un disco abierto en 𝐵(𝑥0, 𝑦0 ) tal que 𝑓(𝑥0, 𝑦0 ) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) para todos los puntos
(𝑥, 𝑦) de "𝐵". Se dice que una función "𝑓" de dos variables tiene un valor minimo relativo en el
punto (𝑥0, 𝑦0 ) si existe un disco abierto 𝐵(𝑥0, 𝑦0 ) tal que 𝑓(𝑥0, 𝑦0 ) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) pero todos los
puntos (𝑥, 𝑦) de "𝐵".
PUNTO CRÍTICO
Si (𝑥, 𝑦) existe en todos los puntos de algún disco abierto 𝐵(𝑥0, 𝑦0 ) el punto (𝑥0, 𝑦0 ) es un
punto crítico de "𝑓" si una de las siguientes condiciones cumple:
𝑓𝑥 (𝑥0, 𝑦0 ) = 0 𝑦 𝑓𝑦 (𝑥0, 𝑦0 ) = 0
𝑓𝑥 (𝑥0, 𝑦0 ) 𝑜 𝑓𝑦 (𝑥0, 𝑦0 ) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛
Ejemplo: Determinemos los extremos relativos de la función por:
g(x, y) = 4 − √x 2 + y 2
Al calcular las derivadas parciales se obtiene:

𝑥 𝑦
g 𝑥 (x, y) = − 𝑦 g 𝑦 (x, y) = −
√x 2 + y 2 √x 2 + y 2
El dominio de "𝑔" es el conjunto de todos los puntos de ℝ2 y g 𝑥 y g 𝑦 existen en todos los

puntos diferentes de (0,0). Además, g 𝑥 (𝑥, 𝑦) = 0 solo cuando 𝑥 = 0, pero g 𝑦 (𝑥, 𝑦) ≠ 0. Por
tanto, el único punto crítico de "𝑔" es (0,0). Como 𝑔(0,0) = 4 y si (x, y) ≠ (0,0), entonces.
𝑔(𝑥, 𝑦) = 4 − √x 2 + y 2 < 4
De modo que "𝑔" tiene un valor máximo de 4 en (0, 0), el cual también es un valor máximo
absoluto. A continuación la graficación la punta del vector rojo es el máximo.

UNIDAD V: INTEGRACIÓN MULTIPLE

5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles.
Una integral doble es similar a una integral definida de una función de una variable, ∫ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
Cuando 𝐹(𝑥) ≥ 0 en [a, b], esta integral representa el área bajo la curva 𝑦 = 𝐹(𝑥) sobre el
intervalo. Pero recordemos que la integral puede definirse sin recurrir al concepto de área,
mediante sumas de Riemann. Comenzamos por dividir el intervalo [a, b] en "𝑛" subintervalos
𝑏−𝑎
que, “por simplicidad”, los tomaremos de igual ancho ∆𝑥 = 𝑛
. Se enumeran los
subintervalos con 𝑖 = 1, 2, 3 … … … , 𝑛 y elegimos un valor de "𝑥" en cada subintervalo (𝑥𝑖 )
Pensemos en una función de dos variables 𝑓: 𝑅 ⊂ ℝ2 → ℝ, cuyo dominio es un rectángulo

cerrado "𝑅" con lados paralelos a los ejes coordenados. El rectángulo "𝑅" puede describirse en
términos de dos intervalos cerrados [a, b] y [c, d], que representan a sus lados a lo largo de los
ejes "𝑥" e "𝑦".
𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}
Ejemplo:
Utilizar la integral doble para calcular el área de la región acotada por𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑦 =𝑥+2
Igualamos las ecuaciones para encontrar los cortes
4 − 𝑥2 = 𝑥 + 2
0 = 𝑥 + 2 − 4 + 𝑥2
0 = 𝑥 − 2 + 𝑥2 = 𝑥2 + 𝑥 − 2
0 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
𝑥 + 2 = 0, 𝑥 = −2 | 𝑥 − 1 = 0, 𝑥=1

Realizamos la integral interna:
1 4−𝑥 2
∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
−2 𝑥+2
4−𝑥 2
4−𝑥 2
∫ 𝑑𝑦 = 𝑦|
𝑥+2 𝑥+2
= 4 − 𝑥 2 − (𝑥 + 2)
= 4 − 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = −𝑥 2 − 𝑥 + 2
Realizamos la integral externa:
1
∫ (−𝑥 2 − 𝑥 + 2)𝑑𝑥
−2
1
𝑥3 𝑥2
= − − |
3 2 −2
(1) (1)2 (−2)3 (−2)2

[− − ] − [− − ]
3 2 3 2
9
= = 4.5𝑢2
2
5.2 Integrales iteradas.

Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en
contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con
respecto a diferentes variables).
Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en
cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es
decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial “dx” o la diferencial “dy”
o viceversa.
La región de integración en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada por
rectas. Y Con frecuencia, uno de los órdenes de integración hace que un problema de
integración resulte más sencillo de como resulta con el otro orden de integración.
Las integrales dobles de igual modo pueden ser utilizadas para calcular el volumen de una
región sólida.
Para que la integral doble de f en la región R exista es suficiente que R pueda expresarse como
la unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongan y que sean vertical u
horizontalmente simples, y que "𝑓" sea continua en la región "𝑅".
Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que se encuentra
entre el plano "𝑥𝑦" y la superficie dada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Ejemplo:
1 1
∫ ∫ 𝑥𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0 0
1 1
∫ 𝑥𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑥 ∫ 𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦 → 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑑𝑢 = 2𝑦 𝑑𝑦
0 0
𝑥 𝑥 1 2 3
= ∫ √𝑢 𝑑𝑦 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 → 𝑢2
2 2 3
2 𝑥 3 1
2 2 )2
∙ [(𝑥 + 𝑦 ]
3 2 0
𝑥 3 3 1 3 3
[(𝑥 2 + 1)2 − (𝑥 2 + 0)2 ] = [𝑥 ((𝑥 2 + 1)2 − 𝑥(𝑥 2 )2 )]
3 3
1 3
[𝑥(𝑥 2 + 1)2 − 𝑥 4 ]
3
1 1 3
∫ (𝑥(𝑥 2 + 1)2 − 𝑥 4 ) 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 2 + 1, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
3 0
1 1 3 1 1 3 1 3 2
∫ 2𝑥(𝑥 2 + 1)2 𝑑𝑥 = ∫ (𝑢)2 𝑑𝑢 = 𝑢2 ∙
3 0 3 0 2 5
1 2 1 2 5 1 𝑥5
= ∙ ∙ (𝑥 + 1)2 − ∙
2 5 3 3 5
1 5 1 5 5 1
[(𝑥 2 + 1)2 − 𝑥 5 ] = [(22 − 1) − (12 − 1) 𝑥 5 ] = (4√2 − 2)
15 15 15
5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares.

Para definir la integral doble de una función sobre una región "𝑅" en el plano "𝑥𝑦", iniciamos
dividiendo a “R” en rectángulos cuyos lados fueran paralelos a los ejes coordenados. Ésta era
la forma natural para usarlos porque sus lados tenían valores constantes, ya sea de "𝑦" o de
"𝑥". En coordenadas polares, la forma natural es un “rectángulo polar”, cuyos lados tienen
valores constantes de "𝑟" y "𝑢".
Suponga que una función 𝑓(𝑟, 𝜃) está definida sobre una región "𝑅" acotada por los rayos 𝜃 =
𝛼, 𝑦 𝜃 = 𝛽, por las curvas continuas 𝑟 = 𝑔1 (𝜃) y 𝑟 = 𝑔2 (𝜃). Suponga también que 0 ≤
𝑔1 (𝜃) ≤ 𝑔2 (𝜃) ≤ 𝛼 para cualquier valor de "𝜃" entre "𝛼" y "𝛽". Entonces "𝑅" esta dentro de
una región con forma de abanico "𝑄", definida por las desigualdades 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝛼 y 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽.

La región; 𝑔1 (𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝑔2 (𝜃) 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 esta contenida en la región con forma de abanico
Q: 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝛼 y 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽. La partición de "𝑄" mediante arcos de circunferencia y rayos
induce una partición de "𝑅".
Ejemplo:
1 2
∫ ∫ (4𝑥 3 − 9𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥
0 1
2 2 2 2
∫ 4𝑥 𝑑𝑦 − ∫ 9𝑥 𝑦 𝑑𝑦 = 4𝑥 ∫ 𝑑𝑦 − 9𝑥 ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦
3 2 2 3 2
1 1 1 1
2
𝑦3
[4𝑥 3 𝑦]12 − [9𝑥 2
] = 4𝑥 3 (2 − 1) − 3𝑥 2 (23 − 13 )
3 1
1 1 1
3 2)
4𝑥 4 21𝑥 3
∫ (4𝑥 − 21𝑥 𝑑𝑥 = [ ] −[ ]
0 4 0 3 0
= (14 − 04 ) − 7(13 − 03 )
= 1 − 7 = −6
= −6
5.4 Integral doble en coordenadas polares.

Cuando calculamos una integral doble como:
∬ 𝑓 𝑑𝐴
Y si también se desea expresar la función "𝑓" y los limites de integración de la región "𝑅" en
coordenadas polares (𝑟, 𝜃), la forma de desarrollar el pequeño pedazo de área es:
𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟
Ya que cuando nosotros tenemos graficada una expresión en coordenadas polares
comúnmente se trata de una figura que es redonda o tiene segmentos circulares o curvaturas

dentro de su figura y el polo circular va cambiando conforme avanza en la figura y llega al
rango que la figura alcanza.
Más allá de esta única regla, trabajar con estas integrales dobles implica en mayor medida
cuidar que los límites de integración describan apropiadamente la región RRR.
Integrar por medio de coordenadas polares es útil siempre que tu función o tu región cuenten
con alguna clase de simetría radial. Por ejemplo, las coordenadas polares son adecuadas para
integrar sobre discos o para integrar funciones que incluyen la expresión 𝑥 2 + 𝑦 2
Ejemplo:
2 𝜋
∫ ∫ (𝑟𝑠𝑒𝑛2 𝜃)𝑑𝜃𝑑𝑟
0 0
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 =
2
𝑟 𝜋
∫ (1 − cos 2𝜃)𝑑𝜃
2 0
𝜋
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑟 𝜋 𝜋
𝑟 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑟∫ ( ) 𝑑𝜃 = [∫ 𝑑𝜃 − ∫ (cos 2𝜃)𝑑𝜃 ] = [𝜃|𝜋0 − ]
0 2 2 0 0 2 2
𝑟 1 𝑟 1
[(𝜋 − 0) − (𝑠𝑒𝑛2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛0)] = [𝜋 − (0 − 0)]
2 2 2 2
2
𝑟 2 𝜋 𝑟2 𝜋
∫ 𝑟𝑑𝑟 = ( | ) = (4 − 0)
2 0 2 2 0 4
5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen.

Así como se define las integrales para funciones de variables y las integrales dobles para
funciones de dos variables, se definen las integrales triples para funciones de tres variables. Se
trata primero como el caso más simple donde "𝑓" se define como una caja rectangular.
La integral triple de "𝑓" sobre la caja "𝐵" es:
𝑙 𝑚 𝑛
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = lim ∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗𝑘, 𝑦𝑖𝑗𝑘, 𝑧𝑖𝑗𝑘 )∆𝑉

𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1
Si este límite existe se obtiene una expresión más simple para la integral triple
El método práctico para evaluar integrales triples es expresarlas como integrales iteradas. El
teorema de fubini para integrales triples es; si "𝑓" es continúa en el cuadro rectangular "𝐵" =
[𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] × [𝑟, 𝑠] entonces:
𝑟 𝑑 𝑏
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑟 𝑐 𝑎

Ejemplo.
Evalué la integral triple ∭ 𝑥𝑦𝑧 2 𝑑𝑉 donde "𝐵" es la caja rectangular dada por:
𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧), 0 ≤ 𝑥 ≤ −1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 3 }
∭ 𝑥𝑦𝑧 2 𝑑𝑉
3 2 1
∫ ∫ ∫ (𝑥𝑦𝑧 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧
0 −1 0
3 2 1
∫ ∫ (𝑦𝑧 2 ) ∫ (𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
0 −1 0
1
𝑥2 (𝑦𝑧 2 ) 2 1 (𝑦𝑧 2 ) 1
(𝑦𝑧 2 ) [ ] = [𝑥 ]0 = [(1)2 − (0)2 ] = 𝑦𝑧 2
2 0 2 2 2
3 2 2
1 1 𝑦2 1 1 1
∫ 𝑧 2 ∫ 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑧 2 [ ] = 𝑧 2 [𝑦 2 ] = 𝑧 2 [(2)2 − (−1)2 ] = 𝑧 2 [4 − 1]
0 2 −1 2 2 −1 4 4 4
3 3
3 3 3 3 𝑧3 1 1 27 3
∫ 𝑧 2 𝑑𝑧 = ∫ 𝑧 2 𝑑𝑧 = [ ] = [𝑧 3 ]30 = [(3)3 − (0)3 ] = 𝑢
0 4 4 0 4 3 0 4 4 4
5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Las coordenadas cilíndricas se usan para describir regiones que son simétricas respecto a
algunos de los ejes.
(𝑟, 𝜃): Coordenadas polares de “”p´””
Z = distancia dirigida de “P” al plano

"𝑥𝑦"
Al lado izquierdo se encuentra el punto

“”p´””.
El siguiente teorema muestra el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas para calcular

integrales triples.

Sea "𝑓" continúa en el solido Ε ⊂ ℝ3 , entonces se cumple:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃); 𝑟𝑠𝑒𝑛( 𝜃); 𝑧)|𝑟|𝑑𝑉
Donde en la integral anterior el solido Ε debe estar descrito en coordenadas cilíndricas.

CAMBIO DE COORDENADAS CILINDRICAS
El siguiente teorema muestra el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas para calcular
integrales triples.
Sea "𝑓" continúa en el solido Ε ⊂ ℝ3 , entonces se cumple:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃); 𝑟𝑠𝑒𝑛( 𝜃); 𝑧)|𝑟|𝑑𝑉
Donde en la integral anterior del solido Ε debe estar descrito en coordenadas cilíndricas.
Lo principal que debes recordar de las integrales triples en coordenadas cilíndricas es que 𝑑𝑉,
que representa un pedacito de volumen, se desarrolla como:
𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝑧
Usar las coordenadas cilíndricas puede simplificar enormemente una integral triple cuando la
región que estás integrando tiene algún tipo de simetría radial alrededor del eje "𝑧".
Al resolver integrales dobles en coordenadas polares, la clave que hay que recordar es cómo
desarrollar la unidad de área pequeña 𝑑𝐴 en términos de 𝑑𝑟 𝑦 𝑑𝜃.
Ten en cuenta que la variable "𝑟" es parte de este desarrollo. Escribir la pequeña unidad de
volumen 𝑑𝑉 en una integral triple en coordenadas cilíndricas es básicamente igual, salvo que
ahora tenemos un término de 𝑑𝑧:

Recuerda, la razón por la que esta pequeña "𝑟" aparece en las coordenadas polares es que un
mini "rectángulo" cortado por líneas radiales y circulares tiene longitudes laterales 𝑟 𝑑𝜃 y 𝑑𝑟
Lo importante a recordar aquí es que 𝜃 no es una unidad de longitud, por lo que 𝑑𝜃 no

representa una longitud pequeña de la misma manera en la que lo hacen 𝑑𝑟 𝑦 𝑑𝑧. Lo que mide
son radianes, y hay que multiplicarlos por la distancia "𝑟" desde el origen para que se
convierta en una medida de longitud.
ESFERICA
Distintos personas tienen diferentes nombres para las variables en coordenadas esféricas. En
este artículo utilizaré la siguiente convención. (En todas las descripciones la "línea radial" es
la línea entre el punto del que estamos dando las coordenadas y el origen).
"𝑟" Indica la longitud de la línea radial.
𝜃 el ángulo alrededor del eje "𝑧". Específicamente, si proyectas la línea radical en el plano
"xy", 𝜃 es elángulo que hace esa línea con el eje "𝑥".
Φ el ángulo entre la línea radical y el eje "𝑧".
Cuando resuelves una integral triple, si eliges describir la función y los límites de tu región con
coordenadas esféricas, (𝑟, Φ, θ), el volumen pequeño 𝑑𝑉 se desarrolla como se indica a
continuación:

Convertir a coordenadas esféricas puede hacer que las integrales triples sean mucho más
fáciles de resolver si la región que estás integrando tiene alguna simetría esférica.
A continuación deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares en

coordenadas esféricas
Para ellos si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 es una función continua y si definimos:

𝑔(𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝑓(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
Ejemplo:
3 √9−𝑥 2 √9−𝑥 2 −𝑦 2 1
∫ ∫ ∫ 𝑧(𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 )2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
−3 −√9−𝑥 2 0
Observemos que:

0 ≤ 𝑧 ≤ √9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , −√9 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ √9 − 𝑥 2 , −3 ≤ 𝑥 ≤ 3
Es decir, la región de integración corresponde al solido limitado por el casquete superior de la

esfera centrada en el rigen de radio 3.
Usando las ecuaciones de transformación, se tiene que, para describir el sólido sobre el cual se
integra:
𝜋
0 ≤ 𝜌 ≤ 3; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋; 0 ≤ 𝜙 ≤
2
Luego:
𝜋
3 √9−𝑥 2 √9−𝑥 2 −𝑦 2 1 2𝜋 3
2
2 2 2 )2
∫ ∫ ∫ 𝑧(𝑥 − 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ ∫ (𝜌 cos 𝜙𝜌) 𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙
−3 −√9−𝑥 2 0 0 0 0
5.7 Campos vectoriales.

Un campo vectorial, es una función que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector.
Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha
velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.
Los campos vectoriales son uno de los conceptos fundamentales de la física. Sin ellos es
imposible entender el electromagnetismo, la óptica, o ramas más avanzadas de la física como
la gravitación o la mecánica cuántica.
Otros ejemplos de campos vectoriales:
1. Campo de velocidades de una rueda que gira alrededor de un eje.
2. Campo de velocidades de un fluido dentro de un tubo.
3. Campos eléctricos.
4. Campos magnéticos.
5. Campos gravitatorios.
Campos Gravitatorios
Los campos gravitatorios se definen mediante la Ley de gravitación de Newton que establece
𝑚1 𝑚2 𝐺
que la fuerza gravitacional entre dos objetos de masa 𝑚1 𝑦 𝑚2 es: 𝐹 = |𝐹|2 𝑢 donde;
"𝑟"Es la distancia entre los dos objetos y 𝐺 es la constante gravitacional y "𝑢" es el vector
unidad que va del origen a (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Supongamos que el objeto de masa 𝑚1 está ubicado en el origen de ℝ3 (por ejemplo podría ser
la masa de la tierra y el origen de coordenadas su centro). Para encontrar la fuerza de
atracción debemos determinar la dirección y sentido del vector 𝐹.

Sabemos que "𝑟" es el vector posición, como la fuerza gravitacional ejercida sobre el objeto de
𝑟
masa 𝑚2 actúa hacia el origen, el vector unitario en esta dirección es: 𝑢
⃗ = ‖𝑟‖ si tenemos:
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑥𝑘
El campo gravitatorio tiene la propiedad de que todo vector F apunta hacia el origen y su
magnitud es la misma en todos los puntos equidistantes del origen.
Gráficamente vemos que los vectores equidistantes del origen tienen igual módulo.
Campo de velocidades
Cuando se pretende describir un fluido es conveniente indicar la velocidad con que pasa un
elemento de fluido por un punto del espacio. En el caso de flujo estacionario (no depende del
tiempo), se usa un campo vectorial de velocidades 𝑉(𝑧; 𝑦; 𝑧). Entonces 𝑉 asigna un vector a
cada punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) en un cierto dominio. Una línea de flujo de un campo de velocidades marca
la trayectoria seguida por una partícula del fluido moviéndose en dicho campo, de forma que
los vectores que representan el campo de velocidades son tangentes a las líneas de flujo. La
representación por medio de líneas de flujo es usada, por ejemplo, para mostrar el
movimiento de un fluido alrededor de un objeto (como el ala de un avión); las corrientes
oceánicas también se representan mediante líneas de flujo, así como las térmicas que son
columnas de aire ascendente que son utilizadas por las aves para planear, y también para
vuelos en aladeltas, parapentes y planeadores sin motor.
5.8 La Integral de línea.

Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva
definida en el plano o en el espacio. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
1. El cálculo de la longitud de una curva en el plano o en el espacio.
2. El cálculo del trabajo que se realiza para mover un objeto a lo largo de una trayectoria
teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el
mismo.
3. Cuando nos referimos a un sistema cuya masa está distribuida de forma continua en una
región del plano, los conceptos de masa, centro de gravedad y momentos se definen mediante
Integrales en línea.
Sea 𝛼 = [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 una curva 𝑐1 y 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ un campo escalar continuo, la integral de línea
de "𝑓" a lo largo de 𝛼 se define como:

Por lo tanto hemos de calcular la integral simple en el dominio de definición del parámetro
que define la curva, 𝑡 𝜖 [𝑎, 𝑏], de la evaluación del campo escalar sobre la curva multiplicado
por el modulo del vector tangente a la curva.
Ejemplo:
Evaluar∫ 𝑥𝑦 5 𝑑𝑠 si 𝐶: la mitad de arriba de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 del punto (4, 0) a

(−4, 0)
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)√(𝑥´)2 + (𝑦´)2 𝑑𝑡
∫ 𝑥𝑦 5 𝑑𝑠
𝑥 = 4 cos 𝑡, 𝑥´ = −4𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦´ = 4 cos 𝑡
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 5
𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (4 cos 𝑡)(4𝑠𝑒𝑛𝑡) 5
= 46 cos 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛5 𝑡
Limites Integral: Punto final: (−4, 0)
Punto inicial (4, 0) 𝑥𝑓 = −4 = 4 cos 𝑡
𝑥0 = 4 = 4 cos 𝑡 = −1 = cos 𝑡
= 1 = cos 𝑡 𝑥𝑓 = 𝑡 = 𝜋
𝑥0 = 𝑡 = 0
𝜋
∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)√(−4𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + (4 cos 𝑡)2 𝑑𝑡 = 16𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 16𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
0
𝜋
46 ∫ cos 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛5 𝑡 𝑑𝑡 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡
0
𝜋
𝑠𝑒𝑛6 𝑡 46 46
6
4 ( | = (𝑠𝑒𝑛6 𝑡|𝜋0 = [(𝑠𝑒𝑛 𝜋)6 − (𝑠𝑒𝑛 𝜃)6 ] = 0
6 0 6 6
5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física.

Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a
inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector
sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el
área tiende a cero. Aquí, ∆𝑠 es el área de la superficie apoyada en la curva 𝐶, que se reduce a
un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo sino solo su componente

según la dirección normal a ∆𝑠 y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el
rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en
planos perpendiculares.
PROPIEDADES:
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y
diferenciable en todos sus puntos. Si el campo escalar f(x, y, z) tiene derivadas parciales
continuas de segundo orden entonces 𝐹 = 0
Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) es un campo vectorial conservativo entonces 𝐹 = 0
Si el campo vectorial 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) es una función definida sobre ℝ3 cuyas componentes tienen
derivadas parciales continuas y el 𝐹 = 0, entonces, 𝐹 es un campo vectorial conservativo

En este caso la rotación es constante, independientemente de su posición, la cantidad de
rotación es el mismo en todo punto del espacio.

DIVERGENCIA
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo
saliente en una superficie que encierra un fluido. Si el volumen elegido solamente contiene
fuentes o sumideros su divergencia es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo
vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por
unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero.
Para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación. Donde “S” es una
superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, “B” es el campo magnético, “V” es el
volumen que encierra dicha superficie “S” y es el operador nabla.
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere
decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente. Si el
signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que
constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros
de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula.
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan
porque sus líneas de campo son cerradas sobre sí mismas, es decir, no tienen extremos donde
nacen o mueren.
De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual
denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.
Sea el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦), 𝑒 𝑥 cos(𝑦), 𝑧) determine su divergencia
Demuestre que cualquier campo vectorial definido por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑓(𝑦, 𝑧), 𝑔(𝑥, 𝑧), ℎ(𝑥, 𝑦)),
es incomprensible:
𝑑𝑖𝑣(𝑓) = 0
5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones.

Sea 𝐴 ⊂ ℝ2 en una región regular en la dirección del eje 𝑌 y 𝑃: 𝐴 → ℝ de clase 𝐶 1 entonces:

Sea 𝐵 ⊂ ℝ2 en una región regular en la dirección del eje 𝑌 y 𝑄: 𝐵 → ℝ de clase 𝐶 1 entonces:
Sea 𝑅 ⊂ ℝ2 en una región regular y 𝑃, 𝑄: 𝐵 → ℝ de clase 𝐶 1 entonces:
Si consideramos 𝐹 = (𝑃, 𝑄, 0) se puede escribir:
TEOREMA A LA DIVERGENCIA EN EL PLANO

Sea 𝛼 una curva cerrada simple que acota la región 𝑅, entonces
Sea 𝑅 ⊂ ℝ2 una región regular. Si 𝛼 es la normal unitaria exterior ha 𝜕𝑅 y 𝐹 = (𝑃, 𝑄, 0): 𝑅 ⊂

ℝ2 es de clase 𝑐1 , entonces:
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Si 𝑉 es un solido ℝ3 limitado por una superficie 𝑆 orientada por su normal exterior y
𝐹 : 𝑉 → ℝ3 Es un campo de vectores. Entonces:
TEOREMA DE STOKES
Sea 𝑆 ⊂ ℝ3 una superficie regular parametrizada por 𝑥 : 𝑈 ⊂ ℝ3 → 𝑆 siendo 𝑈 una región

regular y (𝑢, 𝑣) → 𝑥 (𝑢, 𝑣), 𝐹 : 𝑆 ⊂ ℝ3 → ℝ3 un campo vectorial de clase 𝐶 1 . Entonces:
Siendo 𝐶 = 𝑥 (𝜕𝑅)

FUENTES
UNIDAD I
https://www.youtube.com/watch?v=PquPODE1UBc
https://www.youtube.com/watch?v=aYlICOhaO1g&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
https://www.youtube.com/watch?v=MEscwXX82Ig&list=PL9SnRnlzoyX2-
qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=zQ-GiHU_ckw&list=PL9SnRnlzoyX2-
qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=4
https://www.youtube.com/watch?v=N5f7pYTNcFM
https://www.youtube.com/watch?v=v13fgi4lDpQ&t=304s
https://www.youtube.com/watch?v=7RpFjPEuybM&t=390s
Se incluyen las grabaciones de clase.
UNIDAD II
Fuentes de Páginas de Internet

CFMAR07. (05 de diciembre de 2012). SlideShare. Obtenido de SlideShare:
https://es.slideshare.net/CFMAR07/caracoles-rosas-calculo-vectorial
Wikipedia. (07 de julio de 2021). Obtenido de Wikipedia:

https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro
Medios Audiovisuales
https://www.youtube.com/watch?v=TluhKC0o8Bg&list=PLBdGUHbgzIxT1OhjCJtGxLrh4OOG49oJf
&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=R3VcZrQ5uJo&list=PLBdGUHbgzIxT1OhjCJtGxLrh4OOG49oJf
&index=1
https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg
https://www.youtube.com/watch?v=j1Widiz3XM0&t=81s
https://www.youtube.com/watch?v=1jFuP8F1nFY
También se incluyen las grabaciones de las clases.
UNIDAD III
https://sites.google.com/site/portafolioraulalcantar/quinto-parcial/curvatura
https://www.youtube.com/watch?v=dWBKU-rDNqA&t=1598s

https://www.youtube.com/watch?v=QzWKGk98U8g
https://www.youtube.com/watch?v=QmnDvWlsoLk&t=646s
https://www.youtube.com/watch?v=Hg4-u808VJo&t=955s
https://www.youtube.com/watch?v=9l6vH4u5ZPE&t=412s
(12) Funciones vectoriales aplicaciones | Cálculo Vectorial - YouTube
Libro “Calculo Vectorial” 4ta edición - Susan jane Colley.
Libro “Análisis vectorial” 2da edición - Schaum
UNIDAD IV
https://es.slideshare.net/impulsatectlatlauquitepec/calculo-vectorial-unidad-4-54933819
https://fdocuments.ec/document/calculo-vectorial-unidad-4-59197f13d5f76.html
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/limites-de-funciones-de-varias-variables
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/limites-de-funciones-de-varias-variables
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-
derivative-and-gradient-articles/a/introduction-to-partial-derivatives
http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_VI
_12/Applets_Geogebra/incrementoydiferencial.html
https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-2-new/ab-3-2/a/implicit-
differentiation-
review#:~:text=En%20la%20derivaci%C3%B3n%20impl%C3%ADcita%2C%20diferenciamos,%2C%2
0squared%2C%20equals%2C%201.
https://sites.google.com/site/math2trucha/temas/derivadas-parciales-de-orden-superior
https://totumat.com/tag/derivadas-de-orden-superior/
Derivada y gradiente
https://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/Comentarios/Temas/ConceptoGradiente.pdf
http://www3.uah.es/marcos_marva/files/funciones_varias_variables3.pdf

UNIDAD V
https://sites.google.com/site/glenmedimon/cuarto-parcial/integrales-dobles
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-
functions/double-integrals-a/a/double-integrals-in-polar-coordinates
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-
functions/x786f2022:polar-spherical-cylindrical-coordinates/a/triple-integrals-in-spherical-
coordinates
https://frrq.cvg.utn.edu.ar/pluginfile.php/15977/mod_resource/content/0/Unidad%203-
Campos%20vectoriales.pdf
https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/122409/Mart%C3%ADnez%20-
%20Integral%20de%20l%C3%ADnea.pdf?sequence=1#:~:text=Una%20integral%20de%20l%C4%B1
nea%20o,plano%20o%20en%20el%20espacio.
https://es.slideshare.net/ricardomtzjarquin/divergencia-y-rotacional-teoria-y-ejmplos
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_itop/211/pdf/20122013_th_integ_imp.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=3dUt-Tm-VqQ&t=339s
https://www.youtube.com/watch?v=vc_9sI2_SkI&t=419s
https://www.youtube.com/watch?v=_iwOnpYCcEw
https://www.youtube.com/watch?v=YMaBMI3FjPg
https://www.youtube.com/watch?v=hCHUvgHDPHw&t=751s
https://www.youtube.com/watch?v=yV0XIryroZo
https://www.youtube.com/watch?v=Dl3UCVYALs8
https://www.youtube.com/watch?v=23jvsI_GA98&t=7s

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TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO

INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA PAZ

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

TEMA: UNIDAD I: VECTORES EN EL ESPACIO

ALUMNO: JOSÉ JULIÁN LÓPEZ MARRUFO

1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su

⃗ | = √12 + 52 = √26 = 5.099

Ejemplo en ℝ3 , es similar al anterior la diferencia está en agregar un nuevo dato dentro de la

⃗ | = √22 + 32 + 42 = √29 = 5.385

Al igual que el anterior el valor

El vector de color azul corresponde al vector “u”

El vector rojo corresponde al vector llamado ”v”

El vector morado es el vector resultante de la

La suma de vectores contiene la propiedad de conmutación, es decir, que no importa el orden

 Método de extremo con origen o cabeza con cola

Una vez que se haya formado la figura del

 Si k fuese mayor que 1 el vector aumentara de longitud (magnitud o módulo).

Se pueden presentar las situaciones anteriormente descritas

En esta imagen el vector es resultante de la multiplicación de un

(𝑘𝑎) ∙ 𝑏⃗ = 𝑘(𝑎 ∙ 𝑏⃗) = 𝑎 ∙ (𝑘𝑏⃗)

El producto punto se escribe la multiplicación por medio de un punto y ahí 2 formas

tan−1 𝜃 = 𝐴𝑟𝑐 tan 𝜃

|𝑣 | = √52 + 22 = √25 + 4 = √29 ≈ 5.385

 Producto Cruz o Vectorial

⃗⃗ | = √12 + (−10)2 + 82 = √4 + 16 + 64 = √84 ≈ 9.165

La ecuación de la recta a encontrar es la que se encuentra entre el punto A y B pero el vector

La ecuación paramétrica es la ecuación vectorial de la recta en este ejemplo es:

Que conforme la ecuación vectorial de la recta:

1.5 Ecuación del plano.

2(𝑥 − 3) ± 3(𝑦 + 4) + 2(𝑧 − 1) = 0

2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 20 = Ecuación general vectorial del plano

Siendo los vectores los siguientes en un

|𝑐| = √22 + 42 = √20 ≈ 4.472

⃗ | = √42 + 62 = √52 ≈ 7.211

|𝑣 | = √52 + 62 = √61 ≈ 7.810

⃗⃗ | = √52 + 52 = √50 ≈ 7.071

|𝑎| = √52 + 42 = √61 ≈ 7.810

|𝑑| = √42 + 22 = √20 ≈4.472

|𝑒| = √32 + 12 = √10 ≈ 3.162

|𝑣 | = √−32 + −92 + 62 = √126 ≈ 11.224

Interpretando la solución, el área del paralelogramo seria de 11.224 Unidades cuadradas

3).- Para el cálculo de la ecuación de la recta es necesario poner en práctica la resta de

En las siguientes imágenes veremos que en la primera (izquierda) tenemos la ecuación de la

2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su

PARAMETRO: Un parámetro, generalmente, es cualquier característica que pueda

 Ecuación paramétrica de la recta

A partir de ella se comienza hacer operaciones algebraicas para obtener la parametrizada

√(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 6)2 = √36

 Ecuación Paramétrica de una parábola

 Ecuación Paramétrica de la hipérbola

En el origen con sus focos en el eje “y” (hipérbola vertical):

𝑥−ℎ 𝑦−𝑘 𝑥−ℎ 𝑦−𝑘

𝑥−3 𝑦−4 𝑥−3 𝑦−4

𝑦−𝑘 𝑥−ℎ 𝑦−𝑘 𝑥−ℎ

Ecuación Paramétrica de Elipse

𝑥−ℎ 𝑦−𝑘 𝑥−ℎ 𝑦−𝑘

𝑥−4 𝑦−6 𝑥−4 𝑦−6

Teniendo como resultado la fórmula de derivación de la siguiente manera: