Diferenciacion Numerica
Diferenciacion Numerica
Diferenciacion Numerica
Hidrulica Computacional
(Aplicaciones con MATLAB)
Diferenciacin
Numrica
DIFERENCIACIN NUMRICA
La diferenciacin numrica, o aproximacin por diferencias
se utiliza para evaluar las derivadas de una funcin por
medio de sus valores dados en los puntos de una curva. Las
aproximaciones por diferencias son importantes en la
solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
f(x)
f(x)
f
f(xo)
f(xo)
x0
x0+h
A: progresiva
x0-h
f(x)
f
f(xo)
x0
x0-h
B: regresiva
x0
x0+h
C: central
f x0 h f x0
Aproximacin por diferencia progresiva: f (x0 )
h
f (x0 )
f , x0
f x0 f x0 h
h
f x0 h f x0 h
2h
Ventajas
Desventajas
Desarrollo de
Taylor
Operador de
diferencias
fi 1 fi 1 '' 1 2 '''
fi
hfi h fi ...
h
2
6
'
fi 1 fi
fi
O ( h)
h
'
1 ''
O(h) hfi
2
f i f i 1
fi
O ( h)
h
'
1 ''
O(h) hf i
2
f i 1 f i 1
2
fi
O( h )
2h
'
1 2 '''
O( h ) h f i
6
2
fi 1
2
3
4
h
h
h
fi hfi '
f i ''
f i '''
fi '''' ...
2
6
24
fi 2
2
3
4
h
h
h
fi 2hfi ' 4 fi '' 8 fi ''' 16
fi '''' ...
2
6
24
fi '
fi 2 4 fi 1 3 fi
O h2
2h
1 2 '''
O h h fi
3
2
3 f i 4 f i 1 f i 2
O h2
2h
1
O h 2 h 2 f i '''
3
Ejemplo:
Calcule la primera derivada de tan(x) en x = 1 mediante las
cinco aproximaciones por diferencias obtenidas en esta
seccin, utilizando h = 0.1 , 0.05 y 0.02. Evale despus el
porcentaje de error de cada aproximacin comparndolo con
el valor exacto.
Solucin:
Sustituimos fi = f(1+ih)=tan(1+ih) en las ecuaciones
anteriores y obtenemos los siguientes resultados:
h = 0.1
[tan(1) tan(1-h)]/h
2.9724
h = 0.05
3.1805
(13.2)
[tan(1+h)-tan(1)]/h
4.0735
[tan(1+h)-tan(1-h)]/2h
[3tan(1)-4tan(1-h)+tan(1-2h)]/2h
[-tan(1+2h)+4tan(1+h)-3tan(1)]/2h
3.3224
(7.1)
3.7181
(-18.9)
3.5230
(-2.8)
3.3061
(3.5)
3.0733
(10.39)
h = 0.02
(3.0)
3.5361
(-8.5)
3.4493
(-.0.69)
3.3885
(1.08)
3.3627
(1.83)
(-3.2)
3.4293
(-0.11)
3.4186
(0.20)
3.4170
(0.25)
fi 2
h 2 ''
h3 ' ' '
h 4 ''''
fi 2hfi 4 fi 8 fi 16
fi ...
2
6
24
f i 2
h 2 ''
h3 '''
h 4 ''''
f i 2hf i 4
f i 8 f i 16
f i ...
2
6
24
'
'
f i 1 2 f i f i 1
2
fi
O
h
h2
''
1 2 ''''
O h h fi
12
2
f i 2 2 f i 1 f i
2
fi
O
h
h2
''
O h 2 h 2 f i ''''
f i 2 2 f i 1 f i
2
fi
O
h
h2
''
O h 2 h 2 f i ''''
f ( xo x, yo ) f ( xo , yo )
f
x
x
f ( xo x, yo ) f ( xo x, yo )
f
x
2x
f ( xo , yo ) f ( xo x, yo )
f
x
x
f ( xo x, yo ) 2 f ( xo , yo ) f ( xo x, yo )
f
2
x
x 2
2
f ( xo , yo y) 2 f ( xo , yo ) f ( xo , yo y)
2 f
2
y
y 2
f ( xo x, yo y ) f ( xo x, yo y )
2 f
xy
xy
f ( xo x, yo y ) f ( xo x, yo y )
xy
f i 1 f i
O ( h)
h
fi '
f i 2 4 f i 1 3 f i
O( h 2 )
2h
O(h 2 )
fi '
2 f i 3 9 fi 2 18 f i 1 11 f i
O( h 3 )
6h
O( h 3 )
O ( h)
1 ''
hf i
2
1 2 '''
h fi
3
1 3 ''''
h fi
4
fi '
3 f i 4 fi 1 f i 2
fi
O( h 2 )
2h
'
fi '
11 f i 18 f i 1 9 f i 2 2 f i 3
O( h3 )
6h
O ( h)
1 ''
hf i
2
O(h 2 )
1 2 '''
h fi
3
O( h3 )
1 3 ''''
h fi
4
fi 1 fi 1
O( h 2 )
2h
O(h2 ) 16 h2 fi ''''
fi '
fi 2 8 fi 1 8 fi 1 fi 2
O( h 4 )
12h
O( h 4 )
1 4 v
h fi
30
fi 2 2 fi 1 fi
O ( h)
h2
f i ''
fi 3 4 fi 2 5 fi 1 2 fi
O( h 2 )
2
h
O( h 2 )
11 2 ''''
h fi
12
fi 2 fi 1 fi 2
O ( h)
h2
f i ''
2 fi 5 fi 1 4 fi 2 fi 3
O( h 2 )
2
h
O( h 2 )
11 2 ''''
h fi
12
fi 1 2 fi fi 1
2
O
(
h
)
2
h
O( h 2 )
f i ''
fi 1 16 fi 1 30 fi 16 fi 1 fi 2
4
O
(
h
)
h2
O( h 4 )
1 2 ''''
h fi
12
1 4 vi
h fi
90