Analisis Paradoja San Petersburgo

PARADOJA DE SAN PETERSBURGO.
CUANTO DEBO COBRAR PARA QUE

SEA UN JUEGO JUSTO?
Para que todo juego sea justo, la esperanza debe ser cero, es decir, que no se
gana ni se pierde. En la paradoja de San Petersburgo en Teora el apostador
siempre ganara. Esta paradoja consiste en lanzar una moneda las veces que
sea necesario hasta que salga cara, esto puede pasar en el primero, segundo,
tercer lanzamiento o n lanzamientos y que por cada lanzamiento que se haga
se pagara una suma equivalente a 2n, donde n es el nmero de lanzamientos
posibles, a continuacin, se detalla cmo va evolucionando la probabilidad a
medida que van aumentando el nmero de lanzamientos:
X
P(X=x)
1
1/2
2
1/4
3
1/8
4
1/16
5
1/32
6
1/64
7
1/128
Es as que podemos observar que si cae cara en el primer intento el premio es

2, en el segundo intento el premio es 4, en el tercer intento el premio es 8, en
el cuarto intento el premio es 16 y as sucesivamente, por lo cual se tendra el
concepto de que el apostador siempre gana.
Teniendo esto como base se tiene que cualquier persona entrara al juego si se
apuestan $2, ya que si me sale cara al primer intento he ganado dos, si me
sale al segundo intento tambin gano 2, ya que se pierden 2 en el primer
intento fallido, pero se ganan 4 en el segundo intento, por lo cual la ganancia
seria 2, pero si, por ejemplo, elevamos el valor de la apuesta a $10, y la
persona saca cara en el segundo intento, en realidad habr perdido $6, ya que
aposto $10 y gano $4, por lo cual se puede observar que no siempre va a salir
ganador el apostador, adems hay algo que se puede analizar y por lo cual una
casa de apuestas podra aventurarse en este juego y es que as como la
ganancia crece exponencialmente, as mismo disminuye la probabilidad,
debido a que la probabilidad de sacar cara con un n elevado es muy baja y esta
tiende a cero a medida que aumenta el nmero de lanzamientos, por ejemplo
la probabilidad de sacar cara en el primer intento es 0.5, la probabilidad de
sacar cara en el intento 5 es 0.03125, en el intento 10 es 0.000976, en el
intento 20 es de 0.0000010.
Teniendo en cuenta lo anterior el valor esperado de este juego depende de la
aversin al riesgo del apostador, si es una persona con aversin al riesgo
seguramente estar dispuesta a apostar bajas cantidades de dinero como $2,
por el contrario, si el apostador es arriesgado y puede apostar altas cantidades
de dinero. Por lo cual el valor a cobrar para que sea un juego justo depende de
lo que quiera ganar la casa de apuestas y de lo arriesgado o no que sea el
apostador, porque en definitiva si el apostador analiza la tabla de
probabilidades se dar cuenta de que es muy poco probable que la cara salga
en un nmero n de intentos grande, lo cual se traduce en que tiene ms
probabilidad de sacar cara con pocos intentos, lo cual har que este no quiera
apostar mucho dinero.
Esto es lo mismo que el ejemplo expuesto en clase en donde el estudiante

estaba dispuesto a apostar $10.000 en el lanzamiento de una moneda, pero no
estaba dispuesto a apostar $50.000 cuando matemticamente se tiene que a
la larga no va a perder ni a ganar, debido a la parte psicolgica que le impeda
arriesgar ese monto de dinero en una apuesta. As mismo sucede con esta
paradoja, cuando hay un valor muy elevado en la apuesta la mayora de las
personas preferirn no apostar debido a que las probabilidades de ganar
cantidades menores son altas, como se pudo observar en el ejemplo de los
$10, esto se evidencia en que si cambiamos el valor de la apuesta a $100.000,
las personas no estaran dispuestas a arriesgarse, debido a que tienen altas
probabilidades de que caiga cara en los primeros lanzamientos, asa si cae cara
en el segundo lanzamiento solo se habrn ganado $4 y perdido $99.996.
Por lo cual se concluye que el valor a cobrar en este tipo de juego debe ser una
suma de dinero no muy bajita porque la casa de apuestas no estara dispuesta
a implementar este juego, ni tampoco una suma de dinero muy alta, porque no
todo el mundo estara dispuesto a apostar dinero debido a las altas
probabilidades de xito en los primeros intentos, lo cual genera pocas
expectativas de ganancia, haciendo que este juego en definitiva no sea tan
interesante, puesto que el apostador no estara dispuesto a apostar pequeas
cantidades de dinero y la casa de apuestas a su vez no estara dispuesta a
recibir pequeas retribuciones por la apuesta realizada.
JONATHAN MONTOYA MORALES

MAESTRAI EN FINANZAS
EAFIT
ARMENIA-QUINDIO

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CUANTO DEBO COBRAR PARA QUE

Es as que podemos observar que si cae cara en el primer intento el premio es

Esto es lo mismo que el ejemplo expuesto en clase en donde el estudiante

JONATHAN MONTOYA MORALES

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