Teoría de Utilidad Bajo Incertidumbre Revizado
Teoría de Utilidad Bajo Incertidumbre Revizado
Teoría de Utilidad Bajo Incertidumbre Revizado
\
|
)0
dw
dU
. Suponga
que establecemos un juego entre dos prospecto, a y b. La probabilidad de recibir el
resultado a es o y la probabilidad de recibir b es (1-o). El juego entre a y b puede ser
escrito como G(a, b, o). Ahora la pregunta es preferir el valor actuarial del juego ( valor
esperado del juego) al juego mismo?. En otras palabras, preferir recibir $10 seguro, o
preferir jugar un juego que paga $100 con probabilidad 10% y $0 con probabilidad 90%?.
Una persona que prefiere jugar el juego es amante del riesgo; una indiferente es neutral al
riesgo; y una que prefiere el valor actuarial con certeza a es adverso al riesgo.
Supongamos que una persona adversa al riesgo que tiene una funcin de utilidad
= ln(). Est obligado a jugar un juego que tiene 80% de probabilidad de ganar $5
y 20% de chance de ganar $30. El valor actuarial del juego es su resultado esperado. En
otras palabras, el valor esperado de la riqueza es
E(w) = 0,8 ($5) + 0,2($30) = $10
La utilidad de la riqueza esperada puede ser calculada como = 10 =
ln10 = 2,3 tiles. Esto es, si un individuo con una funcin de utilidad logartmica puede
recibir $10 con certeza, y esto le proporcionara una utilidad de 2,3 tiles. Calculemos
ahora la utilidad esperada del juego.
= 0,8 $5 +0,2 $30 = 0,8 ln5 +0,2 ln30 = 1,97
Debido a que recibimos una mayor utilidad del valor esperado (actuarial) del juego
que de jugar el juego, somos adversos al riesgo. En general, si la utilidad del valor esperado
de la riqueza es mayor que la utilidad esperada de la riqueza, el individuo ser adverso al
riesgo. Las tres definiciones son:
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Si U(E(w)) > | | ) (w U E , entonces tiene aversin al riesgo
Si U(E(w)) = | | ) (w U E , entonces tiene neutralidad al riesgo
Si U(E(w)) < | | ) (w U E , entonces tiene predisposicin al riesgo.
Al igual se puede calcular el mximo monto que un individuo est dispuesto a pagar
por evitar el riesgo. Este es el llamado premio por riesgo. Para responder esta inquietud
preguntamos cul es el monto cierto que hace que el individuo este indiferente entre jugar
el juego y recibir este monto?. Es obvio que este monto debe tener la misma utilidad que el
juego. Por lo tanto, como podemos conocer la utilidad del juego podemos calcular el monto
simplemente invirtiendo la funcin de utilidad. Considerando los antecedentes del ejemplo,
tenemos que dado que la utilidad del juego es 1,97 tiles y la funcin inversa de ln(w) es
17 , 7 $ ) (
97 , 1 ) ( 1
= = =
e e w U
w U
Es decir, la persona esta indiferente entre jugar el juego y recibir seguros $ 7,17. A
este monto que lo hace indiferente al individuo con jugar el juego le llamaremos
equivalente cierto del juego.
Por convencin definiremos premio por riesgo como la diferencia entre el valor
esperado del juego y el equivalente cierto del juego, esto es:
Premio por riesgo = riqueza esperada Equivalente cierto de riqueza
En este caso:
= 10 - 7,17 = $ 2,83
A travs, de la mayora de los estudios en finanzas se supone que las personas son
adversas al riesgo. Sus funciones de utilidad son estrictamente cncavas y crecientes.
Matemticamente, esto significa que
0
0
) (
) (
2
2
)
(
dw
w U d
dw
w dU
Dominancia Estocstica
En un principio discutimos los axiomas de preferencia del inversionista, luego
usamos estos para desarrollar funciones de utilidad cardinal, y finalmente usamos la
funcin de utilidad para medir el grado de aversin al riesgo. Claramente, un inversionista
adverso al riesgo o no, l buscara maximizar la utilidad esperada de su riqueza. La regla de
la utilidad esperada puede ser usada para introducirnos a la economa de eleccin bajo
incertidumbre.
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Definicin:
Un activo (o porfolio) se dice que domina estocsticamente sobre otro si un individuo
recibe mayor riqueza en cada uno de los estados de la naturaleza.
Esta definicin es conocida como Dominancia Estocstica de primer orden.
Matemticamente, un activo X, con funcin de probabilidad acumulada ) (w F
x
, tendr
dominancia estocstica de primer orden sobre un activo Y, con funcin de probabilidad
acumulada ) (w F
y
, para el set de todas las funciones y de utilidad no decrecientes si
) (w F
x
s ) (w F
y
para todo w
) (w F
x
< ) (w F
y
para algn
i
w Dominancia estocstica de primer orden
En otras palabras, la funcin de distribucin acumulada (definida sobre w) para el
activo Y est siempre a la izquierda de la acumulada del activo X. Si esto es cierto,
entonces diremos que X domina a Y. La figura muestra un ejemplo de dominancia
estocstica de primer orden, asumimos que la funcin de distribucin para ambos activos es
una distribucin normal.
) ( w f
y
) (w f
x
w
1
) (w F
y
) (w F
x
w
La dominancia estocstica se aplica a todas las funciones de utilidad crecientes. De
esa forma cualquier persona que prefiera ms a menos sea adverso, neutral o propenso al
riesgo si X domina estocsticamente a Y significa que los tres preferirn siempre X a Y.
La dominancia estocstica de segundo orden no solo asume una funcin de
utilidad creciente o con utilidad marginal positiva, sino que, adems, supone utilidad
marginal decreciente. En otras palabras, funcin de utilidad no decreciente y estrictamente
cncava. Aqu asumimos que el individuo es adverso al riesgo. El activo X ser
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
estocsticamente dominante de segundo orden sobre el activo Y para todo individuo
adverso al riesgo si:
) (w F
x
= ) (w F
y
para algn w
i
Esto significa que el activo X domina al activo Y para todos los individuos adversos
al riesgo, el rea bajo la curva de la distribucin de probabilidad acumulada de Y debe ser
mayor que el rea acumulada para X, para un nivel dado de riqueza. Esto implica que, a
diferencia de la dominancia estocstica de primer orden, las funciones acumulativas pueden
cruzarse. La figura provee un ejemplo grfico:
f(w)
f
x
(w) f
y
(w)
W
F(w) F
y
(w)
F
x
(w)
W
Obviamente, el activo X domina estocsticamente (segundo orden) al activo Y
porque ambos tienen la misma riqueza esperada y porque Y es ms riesgoso. En el caso
de ser funciones de distribucin de probabilidad simtricas asociaremos al riesgo a la
varianza. El criterio de dominancia estocstica de segundo orden requiere que la diferencia
entre las reas bajo las curva de distribucin acumuladas sea positiva para algn nivel de
riqueza, w
i
. Cabe destacar que la dominancia estocstica de segundo orden requiere,
adems, de preferir ms a menos, que la persona sea adversa al riesgo.
Para algn w
| |dw w F w F
wi
x y
) ( ) (
}
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
En caso de existir dominancia estocstica de primer orden del activo X sobre Y,
debemos estar seguros que todas las personas que prefieren ms a menos preferirn X a
Y.
En caso debe existir dominancia estocstica de segundo orden del activo X sobre
Y, debemos estar seguros que todas las personas que prefieren ms a menos y que son
adversas al riesgo preferirn X a Y.
Uso de media y varianza como criterio de eleccin.
Si la distribucin del retorno de un activo es exactamente normal, entonces podemos
maximizar la utilidad esperada simplemente seleccionando las mejores combinaciones de
media y varianza. Estos clculos son mucho ms simples que con dominancia estocstica,
pero, debemos restringirnos a distribuciones normales. Cualquier distribucin normal puede
ser completamente descrita por dos parmetros: media y varianza - retorno riesgo. Si
adoptamos la funciones de utilidad que maximicen la utilidad esperada de la riqueza al final
del periodo (asumiendo un modelo de un periodo), es fcil mostrar al relacin entre riqueza
y retorno:
Si la riqueza al final del periodo invertida en el activo j est normalmente
distribuida con media w y varianza
2
w
o entonces el retorno del activo j tambin estar
distribuido normalmente con media | | 1 / ) ( ) (
0
= w w E R E
j j
y varianza ) / (
2
0
2
w
w R
o o =
Asumiendo que el retorno sobre un activo est normalmente distribuido con media
E y varianza o
2
, podemos escribir nuestra funcin de utilidad como
U = U (R
j
, E, o)
Nuestra utilidad esperada es
}
= dR E R f R U U E ) , , ( ) ( ) ( o
Nos gustara expresar la curva de indiferencia de un inversionista adverso al riesgo como
funcin de la media y desviacin estndar de una distribucin del retorno. Una curva de
indiferencia es al unin de todos los puntos de riesgo y retorno (desviacin estndar o
varianza) que tienen la misma utilidad esperada de la riqueza.
) (
j
R E
) (
j
R o
) (
j
R o
0
0
~
W
W W
R
j
=
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
En este caso el retorno es considerado como un bien y el riesgo por un mal, por lo tanto, el
sentido de aumento de la utilidad esperada es en el sentido de las flecha mostradas en el
grfico de arriba.
Paradoja de la media y varianza
Aunque es conveniente caracterizar el retorno y el riesgo por la media y al varianza de la
distribucin de retornos ofrecida por un activo, esto no es siempre correcto. De hecho, esto
es correcto solo cuando el retorno del activo tiene distribucin normal. Consideremos el
siguiente ejemplo: dos compaas con igualdad de activos y con exactamente la misma
distribucin de ingresos difieren solo en su leverange financiero. La tabla muestra sus
respectivos pagos en los diferentes, igualmente probables, estados de la naturaleza.
Estados de la naturaleza de la economa
Horrible Malo Promedio Bueno Grandioso
Ingresos operacionales 1200 1600 2000 2400 2800
Probabilidad 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
Firma A
Gastos en intereses 0 0 0 0 0
Utilidad antes de impuestos 1200 1600 2000 2400 2800
Impuestos (50%) -600 -800 -1000 -1200 -1400
Ingreso Neto 600 800 1000 1200 1400
Ganancia/accin (200 acciones) $ 3,0 $ 4,0 $ 5,0 $ 6,0 $ 7,0
Firma B
Gasto en intereses -600 -600 -600 -600 -600
Utilidad antes de impuestos 600 1000 1400 1800 2200
Impuestos (50%) -300 -500 -700 -900 -1100
Ingreso neto 300 500 700 900 1100
Ganancia/accin (100 acciones) $ 3,0 $ 5,0 $ 7,0 $ 9,0 $ 11,0
Firma A Firma B
Activos Pasivos Activos Pasivos
Deuda 0 Deuda $ 10.000
Patrimonio $ 20.000 Patrimonio $ 10.000
$ 20.000 $ 20.000 $ 20.000 $ 20.000
La media y la desviacin estndar de la ganancia por accin para la firma A es $5 y
$1,41, respectivamente. Para la firma B, ellas son $7 y $2,82. Estas alternativas son
mostradas en la siguiente figura:
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
) (
j
R E II I
B
7 III
5
A
1,41 2,82 ) (
j
R o
De acuerdo con el criterio media varianza, el individuo I estar indiferente entre las
combinaciones de riesgo retorno ofrecidas por A y B. El individuo ms adverso al riesgo
preferir el activo A y el individuo III que es menos adverso al riesgo preferir el activo B.
La paradoja se levanta cuando reexaminamos la ganancia por accin ofrecida por las dos
firmas. Las ganancias por accin para la empresa B son mayores y en un solo caso iguales
que las ganancias por accin de la empresa A en cada uno de los estados de la naturaleza. Y
esto significa que cualquier inversionista que prefiera ms a menos preferir siempre el
activo B l activo A. En cambio, el criterio media varianza entrega miscelneos resultados.
El problema encontrado en este problema es aplicar el criterio media varianza
cuando la distribucin de los activos no es normal.
Ahora, podemos buscar si existe dominancia estocstica de primer y segundo orden
Ganancia por
accin
Prob (B) Prob (A) F(B) G(A) F - G
( )
dw G F
3 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0.0
4 0.0 0.2 0.2 0.4 -0.2 -0.2
5 0.2 0.2 0.4 0.6 -0.2 -0.4
6 0.0 0.2 0.4 0.8 -0.4 -0.8
7 0.2 0.2 0.6 1.0 -0.4 -1.2
8 0.0 0.0 0.6 1.0 -0.4 -1.6
9 0.2 0.0 0.8 1.0 -0.2 -1.8
10 0.0 0.0 0.5 1.0 -0.2 -2.0
11 0.2 0.0 1.0 1.0 0.0 -2.0
1.0 1.0
En este caso existe claramente, dominancia estocstica de primer y segundo orden.
Esto demuestra que la aplicacin del criterio media varianza a activos con
distribucin de sus retornos distinto a la distribucin normal puede inducir a serios errores.
Ejemplo 1 :
Supongamos un individuo que tiene una funcin de utilidad U(w) = ln(w), que actualmente
tiene riqueza igual a 10 u.m. (unidades monetarias). Que la tasa de inters del periodo es
cero y que puede jugar un juego en el cual puede, con probabilidad 0,5, ganar 1 u.m. o con
probabilidad 0.5 perder 1 u.m
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
a) El individuo acepta el juego?
Aceptar jugar el juego cuando la utilidad esperada de su riqueza al final del juego
sea superior a la utilidad de no jugar. Es decir,
E(U(w)) jugar > E(U(w)) no jugar
En este caso:
E(U(w)) jugar = 0,5ln(11) +0.5ln(9) = 2.2975 tiles
E(U(w)) no jugar = ln(10) = 2.3025 tiles
Como la utilidad esperada de jugar es menor que la de no jugar, esta persona no jugar el
juego.
b) Cunto habra que pagarle para que participe del juego?
El equivalente cierto del juego es:
w
e
= e
2.2975
= 9.9492
Por lo tanto habra que pagarle 10 9.9492 = 0.05072 u.m. para que esta persona juegue.
c) Esta persona es adversa, propensa o neutral al riesgo?
Es adversa al riesgo porque habra que pagarle para que tomara un juego con riesgo
de valor esperado cero.
d) Suponga ahora que existe un mercado de capitales perfecto donde pude prestar y pedir
prestado a una tasa de 10% por periodo. Adems, a esta persona se le ofrece un proyecto
que requiere de 3 u.m. de inversin y que retornar en un periodo 6 u.m con probabilidad
0,6 y 2 u.m. con probabilidad 0,4. Aceptar la persona el proyecto?
Como hemos visto anteriormente la persona buscar maximizar la utilidad esperada
de su riqueza. Sin embargo, en este caso tenemos un periodo en el cual se invierte. La
pregunta a responder es debe maximizar el valor de la utilidad esperada de su riqueza en el
presente o en el futuro?. La respuesta es que da lo mismo si su funcin de utilidad no
cambia, pero es regla general maximizar la utilidad esperada de la riqueza al final del
periodo. Supongamos que no cambia. Por esto tendremos que:
El individuo si no invierte tendr en el futuro 10* (1,1) = 11 con utilidad = 2,3978 tiles.
Si invierte tendr en el futuro 7* (1,1) + 6 = 13,7 u.m. con probabilidad 0,6 o 7 * (1,1) + 2
= 10,7 u.m. con probabilidad 0,4. Por lo tanto, la utilidad esperada de invertir ser:
E(U(w)) invertir = 0.6 * ln(13.7) + 0.4 * ln(9.7) = 2.479 tiles
Como la utilidad esperada de la riqueza al final del periodo de invertir es mayor que
la de no invertir, en este caso, este individuo decidir invertir.
Ejercicios resueltos
Consideramos la siguiente notacin:
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Bajo certidumbre: U(w)
Bajo incertidumbre: E(U(w))
- Ejercicio 1
Supongamos ahora que un inversionista tiene una riqueza igual a 50 u.m. y que se
encuentra frente a la posibilidad de elegir entre dos alternativas de inversin que requieren
una inversin de 50 u.m., la primera es un juego de resultado incierto en el cual existe un
0.8 de probabilidad de ganar 100 y un 0.2 de ganar 20. La segunda alternativa de inversin
es de resultado cierto de 65. Representamos las alternativas anteriores de la siguiente
forma:
0.8 100 0.8 65
0.2 20 0.2 65
Se sabe adems que su funcin de utilidad est dada por:
01 . 0 *
) (
w
w
e U =
a) Dada la informacin anterior podemos saber cual alternativa es la que genera mayor
utilidad:
Alternativa n1 (juego incierto):
20 * 01 . 0 01 . 0 * 100
* 2 . 0 * 8 . 0 e e + =2.418 tiles
Alternativa n2 (resultado cierto):
65 * 01 . 0
e = 1.9155 tiles
Dado los niveles de utilidad que le reportan cada una de las posibilidades de
inversin (determinada por su funcin de utilidad) esta persona elige la alternativa nmero
1, sea al juego incierto, pues este le genera niveles de utilidad mayores.
a) Ya que la E(w) = 84, (0.8*100 + 0.2*20), considera ahora que adems del juego con
flujo incierto tenemos otra alternativa de inversin que entrega un flujo cierto de 84, se
representa a continuacin la situacin a la que ahora se ve enfrentado nuestro tomador
de decisiones:
0.8 100 0.8 84
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
0.2 20 0.2 84
Anteriormente se calculo, E(
) (w
U ) =2.418 tiles, correspondiente a la utilidad de
tomar la alternativa riesgosa, ahora veamos qu utilidad le reporta a esta persona la
inversin cierta presentada anteriormente, que retorna un flujo de 84, que a su vez es la
misma cantidad que el esperara ganaren la inversin riesgosa
U(
) (w
E ) =
) 01 . 0 * 84 (
e = 2.316 tiles
Como se puede observar de los resultados anteriores:
E(
) (w
U ) mayor que U(
) (w
E )
Esto significa que nos encontramos frente a una persona propensa al riesgo, pues
ante la misma riqueza esperada presenta niveles de utilidad mayores con la alternativa
riesgosa.
c) A continuacin se presenta la funcin de utilidad de otra persona, representada por:
U(w) = Ln(w)
Si ofrecemos a esta persona las mismas dos alternativas de inversin que tenia la
persona anterior Qu alternativa toma este individuo?
Recordemos que las alternativas estaban dadas por:
0.8 100 0.8 84
0.2 20 0.2 84
As entonces tenemos:
E(
) (w
U ) = 0.8 * Ln 100 + 0.2 * Ln20 = 4.283 tiles
U(
) (w
E ) = Ln84 = 4.43 tiles.
Como: E(
) (w
U ) menor que U(
) (w
E )
Entonces podemos decir que esta es una persona adversa al riesgo y por la misma
razn elige distinto que la persona anterior, pues en este caso a esta persona le brinda
mayor satisfaccin la alternativa cierta.
- Ejercicio 2.
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Si Alfredo presenta la siguiente funcin de utilidad w w U = ) ( y debe elegir entre
dos juegos que presenta los siguientes valores de su riqueza a final de cada periodo, dados
los distintos estados de naturaleza.
50 60
0.8 0.3
0.1 40 0.4 40
0.1 0.3
20 20
Qu juego elige? Por qu?
E(
) (w
U )J1 = 20 1 . 0 40 1 . 0 50 8 . 0 + + = 6.736 tiles
E(
) (w
U )J2 = 20 3 . 0 40 4 . 0 60 3 . 0 + + = 6.1952 tiles
Por lo tanto se queda con la primera alternativa de inversin, pues esta le genera
niveles de utilidad mayores.
Valor Equivalente Cierto:
- Ejercicio 3.
a) Cunto es lo mnimo que estara dispuesto a aceptar una persona por dejar de jugar el
siguiente juego?
100
0.4
0.3 50
0.3
0
Sabemos adems que esta persona no presenta otra riqueza adicional de lo
proporcionado por el juego, sabemos tambin que su funcin de utilidad est dada por:
U(w) = w
As entonces, tenemos que:
E(
) (w
U ) = 0 3 . 0 50 3 . 0 100 4 . 0 + + = 6.12 tiles
Por lo tanto podemos despejar el valor equivalente cierto, a partir de:
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
= ) (
e
w U 6.12 tiles
=
e
w 6.12
=
e
w 37.47
Dado el resultado anterior, lo mnimo que pedira hoy esta persona por dejar de jugar el
juego ( dada su funcin de utilidad) la cantidad de 37.47.
b) Si damos a la persona del ejemplo anterior una riqueza inicial de 100, entonces el valor
equivalente cierto cambiara, pues nos encontramos analizando la utilidad a partir de la
riqueza que presenta la persona y esta riqueza a cambiado con respecto a la presentada
en el ltimo ejemplo.
Grficamente podemos presentar la situacin anterior como:
200
0.4
0.3 150
0.3
100
Despejando ahora el valor equivalente cierto, tenemos que:
E(
) (w
U ) = 100 3 . 0 150 3 . 0 200 4 . 0 + + = 12.33 tiles
= +
e
w 100 12.33
100 + =
e
w 152.0289
=
e
w 52.05
El valor equivalente cierto, que espera esta persona para dejar de jugar, es distinto que en el
caso de no tener riqueza inicial. El nuevo valor equivalente cierto es igual a 52.05.
Seguro de Cobertura Total
- Ejercicio 4:
Analizamos a continuacin otro caso (Seguros), para lo cual tomamos el siguiente
ejemplo:
Una persona con funcin de utilidad U(w) = w , presenta una riqueza inicial de 100 y un
automvil. El valor del automvil podr cambiar dependiendo de tres sucesos probables:
a) El automvil no sufre accidentes, ni averas en ese caso su valor alcanza a 200, existe
un 90% de probabilidad de que esto ocurra:
b) El automvil sufre accidentes menores, por lo cual pierde valor y solo llega a los 150,
hay un 5% de probabilidad que esto ocurra.
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
c) El automvil sufre accidentes mayores por lo cual su valor en estas condiciones es 0,
existe un 5% de probabilidad de que esto ocurra.
Grficamente la situacin anterior se presenta:
200
0.9
Valor auto 0.05 150
0.05
0
300
0.9
Valor auto +100 0.05 250
0.05
100
Si toma un seguro para los distintos estados de la naturaleza, este reembolsar de la
siguiente forma:
0
0.9
0.05 50
0.05
200
De lo anterior tenemos que:
E(
) (w
U ) = 100 05 . 0 250 05 . 0 300 9 . 0 + + = 16.879 tiles
a) Cunto estara dispuesto a pagar esta persona por un seguro de cobertura total?
300 - S
0.9
0.05 250 S + 50
0.05
100 S + 200
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Por lo tanto queda en la siguiente posicin.
300 - S
0.9
0.05 300 - S
0.05
300 - S
Despejando podemos obtener el valor del seguro:
U(300 S) = 16.879 tiles
S 300 = 16.879
300 S = 284.9
S = 15.098
c) Cul es el valor actuarial de la perdida?
El valor actuarial de la prdida es:
VAP = 0.9* 0 + 0.05*50 + 0.05*200
Finalmente tenemos que:
Seguro = VAP + Premio por riesgo.
- Ejercicio 5
Pedro y Juan presentan la misma funcin de utilidad dada por U(w) = Ln (w),
ambos tienen una casa que inicialmente vale 4000 ( 90% de probabilidad), pero existe la
posibilidad de que esta sufra deterioros producto de un sismo que est anunciado con un
8% de probabilidad de que este suceda en cuyo caso el valor del inmueble alcanzara solo a
2000, finalmente en caso de algn siniestro mayor (2% de Probabilidad de ocurrencia) la
casa se valorara en 1000. Juan adems de la casa tiene una riqueza inicial de 2000, la tasa
de inters de mercado es de 10%. Supongamos que la compaa de seguro puede negociar
cobrando lo mximo a cada uno.
a) Cunto es lo mximo que cobra a cada uno? Cunto es lo mximo que cada uno
estara dispuesto a pagar?
b) Cunto es lo mnimo que podra cobrar la compaa aseguradora?
A continuacin se presenta esquemticamente la situacin anterior.
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Pedro Juan.
- Pedro comprara el seguro, siempre que la utilidad esperada con seguro sea mayor que
la utilidad esperada sin seguro. sea:
s s w U E s c w U E . )) ( ( . )) ( ( >
En el lmite comprara el seguro cuando:
s s w U E s c w U E . )) ( ( . )) ( ( =
Analicemos a continuacin el caso de Pedro:
E(U(w))s.s. = 0.9 Ln (4000) + 0.08 Ln (2000) +0.02 Ln (1000)
=8.21
E(U(w)) con seguro
457 . 322
) 4000 ( 21 . 8
) 4000 ( )) ( (
=
=
=
S
S Ln
S Ln w U E
S es la cantidad mxima que la compaa de seguros puede cobrar a Pedro.
2000
1000
2000
4000
1000+2200
2000+2200
4000 +2200
1000 S+3000
2000-S+2000
4000-S
4000-S
0.9
0.08
0.02
0.9
0.08
0.02
0.9
0.08
0.02
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
- Analicemos ahora el caso de Juan
E(U(w))s/s = 0.9 Ln (6200) + 0.08 Ln (4200) +0.02 Ln (3200)
= 8.68791942
Esquemticamente tenemos que la situacin anterior se presenta.
17 . 269
6200 829 . 5930
) 6200 ( 687919 . 8
=
=
=
S
S
S Ln
Lo mximo que la compaa de seguros le puede cobrar a B es 269.17.
Respondamos ahora la segunda pregunta que se nos haca con respecto a este ejercicio ,
Cunto es lo mnimo que podra cobrar la compaa de seguro?
Lo mnimo que cobrara ser el valor actuarial de la perdida, pero siempre que se cumplan
los siguientes supuestos.
a) La compaa aseguradora no tiene otros costos.
b) Que la empresa aseguradora pueda asegurar a muchos otros con las mismas
caractersticas de tal modo que el promedio de la perdida tienda al valor
actuarial de la perdida.
VAP = 0.9*0+0.08*2000+0.02*3000
1000 + 2000*1.1
2000 + 2000 * 1.1
4000 + 2000*1.1
1000-S+2200
2000-S+2200
2000
4000-S+2000*1.1
r=10%
0.9
0.08
0.02
0.9
0.08
0.02
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Seguros De Cobertura Parcial.
- Ejercicio 6
Tomemos nuevamente el ejercicio anterior (Pedro y Juan), pero ahora el seguro
cubrir un monto mximo de prdida de 2000.
Pedro
E(U(w))s.s = 0.9*Ln (4000)+0.08*Ln (2000)+0.02*Ln (1000)
= 8.2108719 tiles.
E(U(w))s.s = E(U(w))c.s
) 3000 ( 02 . 0 ) 4000 ( 98 . 0 2108719 . 8 S Ln S Ln + =
02 . 0 98 . 0
) 3000 ( ) 4000 ( 2108719 . 8 S Ln S Ln + =
02 . 0 98 . 0
02 . 0 98 . 0
) 3000 ( ) 4000 ( 75 . 3680
) ) 3000 ( ) 4000 (( 2108719 . 8
S S
S S Ln
=
=
Finalmente por tanteo obtenemos el valor del seguro.
1000
2000
4000
1000-S+2000
2000-S+2000
4000-S
4000-S
3000-S
0.9
0.08
0.02
0.9
0.08
0.02
0.9
0.08
0.02
4000-S
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
S = 296
- Veamos ahora que sucede con Juan, grficamente tenemos:
Ya sabemos que E(U(w))s.s para Juan es de 8.687919, por lo tanto el valor del
seguro ser:
02 . 0 98 . 0
02 . 0 98 . 0
02 . 0 98 . 0
) 4200 ( ) 6200 ( 3680
) ) 4200 ( ) 6200 (( 68 . 8
) 4200 ( ) 6200 ( 68 . 8
) 4200 ( 02 . 0 ) 6200 ( 98 . 0 68 . 8
S S
S S Ln
S Ln S Ln
S Ln S Ln
=
=
+ =
+ =
Por tanteo se obtuvo que el valor del seguro es:
S = 268
Ya sabemos cunto es lo mximo que estara dispuesto a pagar cada una de estas
personas por este seguro parcial que cubre un monto de hasta 2000 de prdidas del
inmueble.
b) Pero preguntmonos ahora Cunto cobraran tanto Pedro como Juan si quisieran
vender la casa?
- Valor de venta para Pedro
6200-S
4200-S+2000
2200-S+2000
0.9
0.08
0.02
4000
2000
1000
0.9
0.08
0.02
e
W
Teora de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
3680
) ( 21087197 . 8
=
=
e
e
w
w Ln
3345
1 . 1
3680
= =
casaPedro
VA
- Valor de venta para Juan:
3431
) 2200 ( 68791942 . 8
=
+ =
e
e
w
w Ln
09 . 3119
1 . 1
3431
= =
casaJuan
VA
3200
4200
6200
0.9
0.08
0.02
e
w