Instituto Tecnolgico de Tijuana

Por una juventud integrada al desarrollo de Mxico

Ingeniera Industrial
Unidad 5
Ingeniera en sistemas
M.C.Alvarado Rios Oscar
Teora del caos

Corona Yez Norma

No. Control 12211584

Tijuana, Baja California a 15 de Julio del 2016

INDICE
Introduccin..pg. 1
Nuevas ideaspg.4
Teora del caos.pg.5
Historia de la teora del caos..pg.6
Nuevos trminos...pg.9
Fractales........pg.10
Atractores...pg.12
Atractores extraos.......pg.13
Lgica difusa..........pg.14
Matemtica del caos..pg.16
Seres vivos y caos.pg.17
Caos y fisiologa.pg.18
Caos y patologa.pg.22
Conclusin..pg.24

C o r o n a Y e z N o r m a

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Introduccin
"por un clavo se perdi la herradura
por una herradura se perdi el caballo
por un caballo se perdi el jinete
por un jinete se perdi la batalla
por una batalla se perdi el reino"
En el acpite del artculo se consign un poema folclrico britnico cuya
conclusin podra ser "por un clavo se perdi el reino". Debera inferirse que el
desconocido autor de esta trova debi ser un experto en la teora del caos, pues la
secuencia utilizada enuncia con elocuencia que por algo tan insignificante como
un clavo se llegue al extremo de perder un reino. Tal magnificacin puede
parangonarse con el "efecto mariposa".
El "efecto mariposa" es una alegora que, en el contexto de la teora del caos,
remarca la enorme importancia de la sensibilidad a las condiciones iniciales (Fig.1)
El concepto implica que insignificantes variaciones de las condiciones iniciales de
un determinado sistema catico, pueden provocar respuestas completamente
diferentes. As, un efecto colosal podra haber sido causado por la amplificacin de
una minscula perturbacin inicial.

C o r o n a Y e z N o r m a

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Fig.1 Los atractores exhiben una dependencia sensible de las condiciones

iniciales.
Tal interrelacin causa-efecto ocurre ms frecuentemente de lo que imaginamos.
En sistemas complejos tales como el organismo humano o animal, el estado del
tiempo o la bolsa de valores, el "efecto mariposa" indica que ser muy difcil
predecir con seguridad sus comportamientos en un determinado lapso. Al tratar de
simular algn sistema mediante modelos finitos, inevitablemente se excluir
informacin acerca del sistema y/o de sus componentes relacionados, error que
ser magnificado en cada unidad de tiempo simulada, hasta que el error resultante
llega a exceder el ciento por ciento. O sea: aunque se conozca el modelo, pasado
cierto tiempo habr una divergencia importante con la realidad. En efecto, ello fue
lo que le sucedi accidentalmente a

Edward Lorenz (1917-2008), cientfico

norteamericano que efectu trascendentes aportes a la teora del caos,

introduciendo los conceptos de "efecto mariposa" y "atractor extrao" .

Fig.2 Edward Norton Lorenz

(23 de mayo de 1917 16 de
abril de 2008

Lorenz (Fig. 2) era fsico,

matemtico

meteorlogo del Instituto de Tecnologa de Massachusetts. Aprovechando la

C o r o n a Y e z N o r m a

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capacidad de clculo de una gran computadora de la institucin, en 1961

construy un modelo para predecir el tiempo atmosfrico mediante ecuaciones
que expresaban las relaciones entre temperatura, presin, velocidad del viento,
humedad y otros datos, empleando un programa (simulador) que representaba
grficamente las distintas variables, mediante curvas. Un da introdujo en la
computadora los datos de las series del da anterior (expresados con seis
decimales), aunque para ahorrar tiempo los escribi con tres decimales,
esperando un resultado igual o similar al anterior. Grande fue su sorpresa cuando
comprob que los resultados eran semejantes en el corto plazo, pero se tornaban
totalmente diferentes en el mediano y largo plazo. Observ que a partir del primer
valle de la curva, sta comenzaba a separarse y rpidamente ambas curvas
perdan cualquier similitud. El motivo era que su programa trabajaba con
millonsimas y Lorenz haba redondeado los datos a milsimas. Pese a ser un
pequeo

cambio

numrico,

ese

input

ligeramente

distinto

tuvo

efectos

sorprendentes en el output. Este fenmeno es conocido como dependencia

sensitiva de las condiciones iniciales: una pequea variacin puede cambiar
drsticamente el comportamiento "a larga distancia" de un sistema ("efecto
mariposa").

Se afirma que el "efecto mariposa" no es accidental, sino necesario. De no

producirse, los ciclos meteorolgicos obtenidos con estos modelos informticos
seran iguales, rgidos, sin reproducir la variacin climtica real. El tiempo
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atmosfrico, adems de ser un sistema dinmico, es muy sensible a los cambios

en las variables iniciales, por lo cual su estudio debe abordarse desde la
matemtica catica. No obstante, la precisin de las predicciones meteorolgicas
es relativa y los eventos anunciados tienen poco significado sin una descripcin
detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una prediccin.
Hoy en da es comn atribuirles una precisin del 80-85% para un plazo de 24
horas.

Nuevas ideas
Hace menos de 20 aos se ha estado produciendo una revolucin en el mundo de
las ideas cientficas que no ha sido conocida por el pblico en general. Para
describir y entender una multitud de fenmenos inherentes a diversas ramas del
conocimiento, han surgido conceptos nuevos tales como la teora del caos y los
fractales. En campos como biologa, medicina, fsica, matemticas y otros,
ocurrieron situaciones que al ser tratadas con los procedimientos convencionales
no pudieron ser explicadas satisfactoriamente. Slo con el advenimiento de las
ideas nuevas fue posible progresar en el conocimiento de hechos antes no
comprendidos.
El concepto de caos a menudo puede crear una idea negativa, una visin de
desorden en el cual las cosas no funcionan bien en un mundo donde lo correcto es
precisamente el orden. El trmino caos alude a una interconexin subyacente que
se manifiesta en acontecimientos que aparecen como aleatorios y desordenados.
El mecanicismo newtoniano nos haba enseado que en el universo exista un
orden total y continuo, una serie de bloques mecnicos en interrelacin, partes
separadas de la realidad (reduccionismo) que respondan a una causa y
provocaban un efecto predecible. El paradigma del caos insta a ver la realidad
como un todo en donde cualquier factor, por pequeo que parezca, puede afectar
el comportamiento y la evolucin de la naturaleza. Es "encontrar el orden en el
desorden".
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Hoy la comunidad cientfica dispone de conocimientos acerca del caos, desorden,

fractales, aperiodicidad y otros, que operan como herramientas para explicar
muchos fenmenos de la naturaleza y/o experimentos controlados de laboratorio,
caracterizados por tener un comportamiento que no puede ser descrito por leyes
matemticas sencillas. El descubrimiento del caos determinista ha forzado un
cambio sustancial en la filosofa de la ciencia: por una parte establece lmites a
nuestra capacidad para predecir un comportamiento y por otra abre un nuevo
espacio para comprender muchos fenmenos aleatorios que suceden en varios
campos del conocimiento, caracterizados por su devenir desordenado, como el
ritmo cardaco o la evolucin de una epidemia.

Teora del caos

La teora del caos es un modelo terico que intenta explicar el proceder de
sistemas dinmicos que en principio parecen desarrollarse aleatoriamente, como
por ejemplo el comportamiento del tiempo atmosfrico, proponiendo una nueva
manera de estudiar y comprender la realidad. De este modo la teora de caos
intenta otorgar una explicacin tanto para modelos fsicos y matemticos, como
para gran parte de los fenmenos naturales, desde la propagacin de un incendio
hasta la evolucin de una sociedad. Por ello es comprensible que las leyes de la
teora del caos sean tiles para ser aplicadas en mltiples reas de la ciencia,
sobre todo en los llamados movimientos caticos, entre los cuales encontramos
los movimientos fisiolgicos de las partculas de los fluidos y la homeostasis del
medio interno. Tales sistemas son deterministas, es decir; su comportamiento est
completamente determinado por sus condiciones iniciales.
Podemos considerar el caos como la ciencia de la naturaleza global de los
sistemas. Defiende el comportamiento universal de lo complicado. El caos se ha
convertido de una teora a un mtodo, a una forma de hacer ciencia. Caos no es
inestabilidad: un sistema catico sera estable si un tipo particular de irregularidad

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persistiera frente a pequeas perturbaciones, teniendo en consideracin la

dependencia sensitiva de las condiciones iniciales.
La teora del caos puede ser definida como el estudio de la conducta aperidica en
sistemas determinsticos no lineales. Un sistema determinstico no lineal consiste
en elementos que tienen influencias no lineales entre s. El sistema es dinmico si
cambia en el tiempo. El estado de un sistema dinmico en un cierto momento
puede ser descrito por cierto nmero de variables y puede ser representado por un
punto en un espacio de fase de determinadas dimensiones. La evolucin en el
tiempo consiste en una serie de puntos que forman una trayectoria en el espacio
de estados. Cuando el tiempo tiende a infinito, la trayectoria slo ocupar un
subespacio del espacio de estados, denominado atractor.
El caos sera un punto intermedio entre lo estrictamente determinstico y lo
aleatorio. Se refiere a fluctuaciones irregulares, las cuales son descritas por
ecuaciones deterministas, diferentes de las fluctuaciones que obedecen a causas
aleatorias. Las principales caractersticas de los sistemas caticos es que son
impredecibles en perodos amplios de tiempo y muy sensibles a las condiciones
iniciales del sistema. Una vez iniciado con valores especficos, el futuro sistema
podra desarrollarse de forma totalmente diferente si comenzase bajo condiciones
ligeramente diferentes. La importancia de este hecho para los sistemas biolgicos
es que desrdenes muy similares podran estar determinados por muy pocos y
simples factores que podran llegar a ser conocidos.

Historia de la teora del caos

Esta teora tuvo origen a principios del siglo XX, cuando los fsicos crean que ya
no quedaba mucho por descubrir dentro de su campo de estudio. De hecho, eran
slo tres los interrogantes que quedaban por dilucidar: la explicacin de la rbita
irregular del planeta Mercurio, la discrepancia entre la teora y la cantidad de
energa que libera un agujero negro y el efecto de un tercer cuerpo en el
movimiento de otros dos. A medida que los cientficos intentaban dar con estas
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explicaciones, comenzaron a nacer distintas teoras: del primer problema surgi la

teora de la relatividad, del segundo la teora cuntica y del tercero la teora del
caos.
En trminos generales, esta ltima hace alusin a aquella tendencia general al
desorden en la naturaleza, que se pone en evidencia cuando se rompe un vidrio o
se cae un vaso de agua. Es importante destacar que este desorden o caos no
implica confusin, por el contrario, los sistemas caticos tienen como
caracterstica una gran adaptacin al cambio, y por ende una gran estabilidad. Un
buen ejemplo del desorden mencionado lo constituye el tirar una piedra a un ro.
Una vez realizada esta accin el cauce del ro no se ve interrumpido. Si el ro
fuese un sistema ordenado, en el que cada partcula tuviera una trayectoria rija,
entonces la piedra hubiera afectado este orden.
James Maxwell (1831-1879), pionero del electromagnetismo, fue una de las
primeras personas en entender lo que hoy llamamos "caos determinstico" al
reconocer la importancia de los sistemas que dependen de las condiciones
iniciales. Henri Poincar (1854-1912) adhiri a las ideas de Maxwell, llegando a la
conclusin que no es posible predecir con exactitud la evolucin futura de algunos
sistemas porque las condiciones iniciales slo se conocen de manera aproximada,
situacin que provoca perturbaciones impredecibles en su comportamiento. Deca
Poincar: "porqu es muy natural que la gente rece para que llueva, pero se
considerara ridculo rezar para que haya un eclipse?" Henry Adams (1838-1918)
estudi el caos y la dispersin de la energa, creando los aforismos "mientras el
orden es el sueo del hombre, el caos es la ley de la naturaleza" y "mientras que
el orden crea hbito, el caos con frecuencia crea vida". Ilya Prigogine (1917-2003),
fsico ruso, estudi el azar, el caos, la incertidumbre y el no-equilibrio, desde una
ptica que negaba toda concepcin determinista del universo. En 1977 Prigogine
recibi el Premio Nobel de Qumica por su teora termodinmica (entropa) de
sistemas alejados del equilibrio (disipativos o no lineales). Al darle un papel
protagnico al azar, estableci la imposibilidad de tener certezas absolutas.
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Demostr que en el mundo hay una creacin simultnea de orden y desorden

(teora del caos o de los sistemas dinmicos no lineales). Sentenci: "el caos
posibilita la vida y la inteligencia". La teora del caos se dimension
significativamente ante el advenimiento de las computadoras. Edward Lorenz
(1917-2008), meteorlogo norteamericano, introdujo los conceptos de "efecto
mariposa" y "atractor extrao". James A. Yorke (nacido en 1941) aplic el hallazgo
de Lorenz creando una ecuacin logstica de evolucin de una poblacin silvestre,
demostrando que "sistemas sencillos son capaces de derivar cosas complejas",
principio que luego se aplic a la gentica, economa, dinmica de fluidos,
epidemiologa y fisiologa.
Benoit Mandelbrot (1975), al comparar la evolucin mundial de los precios del
algodn en el siglo XX encontr una estructura regular; lo mismo sucedi con las
rentas. Para explicar estos fenmenos invent el trmino fractal, definido como
"autosemejanza de irregularidades a diferentes escalas". Encontr estructuras
fractales en secuencias de errores en la transmisin computacional de datos, en
las crecidas del Nilo, en la forma de las nubes y en el contorno de las costas.
Mitchell Feigenbaum (1976) aplic el caos en la percepcin y plante que "para
entender cmo la mente entresaca algo del caos de la percepcin, hay que
entender de qu manera el desorden produce universalidad". Robert Shaw (1977)
descubri la relacin entre el caos, los atractores, y la teora de la informacin
fundada en la entropa, postulando que "el caos es la creacin de la informacin"
(sin caos no hay sorpresa, y por ende no hay informacin). Raymond Ideker
(1983) aplic la teora del caos para efectuar predicciones exitosas de las
alteraciones del ritmo cardaco (fibrilacin, disrritmias, muerte sbita infantil).
Arnold Mandell (1988) descubri comportamiento catico en actividades
enzimticas del cerebro y postul que los sistemas peridicos (ciclos estables) son
montonos (vacos de informacin, poco adaptativos), en tanto que los sistemas
biolgicos son de tipo fractal, con amplia "banda de frecuencias", muy flexibles y
adaptables. Dijo "en biologa se llega al equilibrio con la muerte". Tom Ray (1989),
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basado

en

tcnicas

de

matemtica

catica,

cre

el

primer

programa

computacional de "vida artifcial" (simulacin biolgica), en el cual a partir de reglas

de mutacin se verific la evolucin de predadores, la aparicin de parsitos e
incluso extinciones completas y resurgencias. Joseph Ford (1990) efectu
estudios que lo llevaron a postular que "la evolucin es caos con realimentacin".
"El universo se compone de azar y disipacin; el azar llega a producir una
complejidad asombrosa y la disipacin es un agente del orden".

Nuevos trminos
El ruido, en el lenguaje de la dinmica del caos, es un serial que muestra un
movimiento irregular y que no tiene una dimensin finita: en trminos fsicomatemticos, "una serial irregular cuya dimensin de correlacin no muestra
saturacin".
El espacio de fase es la representacin grfica del comportamiento de un sistema.
Existen varias tcnicas para elaborarlo, una de ellas consiste en insertar las
diferentes variables del sistema en un eje de coordenadas, otra es relacionar una
funcin versus la derivada de dicha funcin. Tambin se puede representar una
funcin contra si misma, introduciendo un desfase (6). En el sistema circulatorio
sanguneo, el espacio de fase se logra graficando unas contra otras las principales
variables del sistema (presin contra volumen en el ciclo cardaco), o bien
relacionando una funcin contra su derivada (curvas del flujo de aire versus
volumen durante el ciclo respiratorio).
La dimensin es una de las medidas cuantitativas clsicas de un sistema
complejo. El mecanismo para investigar la conducta de un sistema es" calcular su
dimensin. La dimensionalidad de un sistema dinmico es la medida del nmero
de variables independientes que se necesitan para especificar su actividad en un
momento dado, lo cual estima la complejidad y los grados de libertad del sistema
estudiado (1). P.ej.: para conocer la variable "clima", se medirn las dimensiones:
temperatura, humedad, presin, viento, precipitaciones.
C o r o n a Y e z N o r m a

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Un atractor es la figura que se genera en el espacio de fase. Los sistemas

caticos son influenciados por "atractores extraos", caracterizados por poseer
formas

muy

variadas

con

trayectorias

impredecibles

localmente,

pero

circunscriptas en un mismo subespacio del espacio de fase (estabilidad global con

inestabilidad local). Se considera que un sistema catico como el organismo en
estado de salud coexiste con un atractor extrao: la muerte.
Los

fractales

son

estructuras

complejas

que

muestran

auto-similitud

independientemente de la escala con la que se examinen. Entonces, se denomina

"fractal" a aquella estructura que consta de fragmentos de orientacin y tamao
variable pero de aspecto similar, cuyas caractersticas les confieren propiedades
geomtricas especiales en cuanto a su longitud y relacin superficie/volumen, por
lo cual su cuantificacin requiere herramientas matemticas diferentes a las
convencionales.
Fractales
Para comprender el funcionamiento de algo, normalmente se tiende a efectuar
simplificaciones, p.ej.: al estudiar el movimiento de un cuerpo se obviar la
friccin, o al intentar reproducir un paisaje boscoso se utilizarn elementos de la
geometra clsica (conos, cilindros, crculos, tringulos). Es claro que los objetos
reales son ms complicados que las formas geomtricas citadas, sin embargo
podemos servirnos de ellas para simplificar nuestros intentos de reproducir la
realidad. Una manera de hacerlo es utilizar fractales, que son formas geomtricas
que entre otras propiedades, contienen una imagen de s mismas en cada una de
sus partes. Los fractales han inundado el mundo cientfico con un conjunto de
nuevas reglas tiles para enfrentar el reto de conocer y describir la naturaleza. Su
lenguaje se infiltr a campos increblemente diversos de las ciencias naturales y
sociales y ha hecho de las matemticas un instrumento novedoso para las artes.
En biologa, la dinmica catica parece sustentarse en estructuras de carcter
fractal, que ostentan mayor redundancia de la informacin debido a la autoC o r o n a Y e z N o r m a

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similitud de estructuras biolgicas subyacentes, que operaran aumentando el

ndice de seguridad en la transmisin de las seales. Por otra parte, los sistemas
dinmicos aportan respuestas de mayor flexibilidad, favoreciendo la adaptacin a
las cambiantes demandas del ambiente, gracias a su especial sensibilidad ante
pequeas modificaciones en las condiciones iniciales. Esta mayor flexibilidad
explicara la variabilidad de las respuestas encontradas en los sistemas y la
imposibilidad de su prediccin exacta, no por la aleatoreidad de los sistemas, sino
por su dinmica catica.
Muchas cosas en la naturaleza tienen caractersticas fractales (objetos porosos,
cuerpos rugosos, estructuras que se ramifican). Para medir la superficie de una
piedra habr que aproximarla a la de una esfera o cubo. Para calcular la superficie
de absorcin del intestino la medida cambiar segn la resolucin que utilice para
hacerlo, debido a que el intestino presenta pliegues desde el nivel macroscpico
hasta el microscpico (9).
En la dcada de 1970 se estableci que los estudios de pautas irregulares en los
procesos naturales y la exploracin de sus formas infinitamente complejas, tienen
una propiedad comn: la cualidad de autosemejanza. Fractal significa sobre todo
autosemejanza, trmino que expresa simetra dentro de una escala, implica
recurrencia, pauta en el interior de una pauta.

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En la Figura 4 se esquematiza un ejemplo de estructura fractal conocida como

"copo de nieve de Koch" (o "estrella de Koch"), una curva cerrada continua pero
no diferenciable en ningn punto, descrita por el matemtico sueco Helge von
Koch en 1904. En lenguaje actual diramos que es una curva fractal. Su
construccin se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un tringulo
equiltero de determinado tamao. En el centro de cada lado se aade otro
tringulo que mida un tercio del original y se procede de esta maneta con cada
uno de los lados de los nuevos tringulos. El limite de la longitud de la lnea
exterior final ser [3 * 4/3 * 4/3 * 4/3 ...infinito]. Sin embargo, el rea resultar
menor que la de un crculo trazado alrededor del tringulo primitivo. Por lo tanto
"una lnea infinitamente larga rodea un rea finita".
Atractores
Los sistemas dinmicos (deterministas) se clasifican bsicamente en estables,
inestables y caticos. A lo largo del tiempo, un sistema estable tiende a ser atrado
o repelido hacia o desde un punto u rbita, segn su dimensin (atractor o
sumidero). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Un sistema catico
manifiesta los dos comportamientos: por un lado, existe un atractor por el cual el
sistema es atrado, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de ste. Una de las
mayores caractersticas de un sistema inestable es que tiene una gran
dependencia de las condiciones iniciales. Si estas condiciones iniciales son fijas,
conociendo las ecuaciones caractersticas de un sistema inestable se puede
predecir su evolucin en el tiempo. En los sistemas caticos, como se dijo, una
mnima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera
totalmente distinta, p.ej.: el comportamiento de las placas tectnicas, de los fluidos
en rgimen turbulento, los crecimientos de poblacin, los movimientos en el
sistema solar y muchos otros.

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Figura 4. Copo de nieve

El atractor es la representacin geomtrica de la dinmica del sistema en el

tiempo; los atractores pueden ser caracterizados por sus dimensiones. Un atractor
de dimensin 0 corresponde a un sistema esttico: el sistema no cambia en el
tiempo. Un atractor de dimensin 1 corresponde a un sistema peridico, en el cual
un nmero finito de estados se repiten indefinidamente. Un atractor de dimensin
2 y mayores corresponde a un sistema cuasi-peridico; en el caso de un pndulo
oscilante, el atractor sera el punto de equilibrio central. Un atractor peridico
puede guiar el movimiento de un pndulo en oscilaciones peridicas; sin embargo,
el pndulo puede registrar trayectorias errticas alrededor de estas oscilaciones
debidas a otros factores.
Entonces, un atractor es el comportamiento que adopta un sistema ante el influjo
de un determinado estmulo. La cuenca de un atractor es el conjunto de
condiciones iniciales a partir de las cuales el sistema sigue un determinado
comportamiento. La trayectoria es una descripcin matemtica de la secuencia de
valores que toma la variable desde la condicin inicial. Los atractores pueden ser
peridicos, cuasiperidicos y caticos (o atractores extraos).
Atractores extraos
Son los que estn ligados a los movimientos caticos y se caracterizan porque
pueden llegar a tener una enorme complejidad, como el famoso atractor de
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Lorenz, derivado del modelo tridimensional de sistema climtico del mismo autor
(Figura 5). Este atractor es quizs uno de los diagramas de sistemas caticos ms
conocidos, no slo porque fue uno de los primeros, sino tambin porque es uno de
los ms complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma cuya silueta es
parecida a las alas de una mariposa.
La Figura 5 pone en evidencia una estructura que esconde una serie desordenada
de datos. Para evidenciar las relaciones mutables entre tres variables, cada punto
de la lnea representa la situacin de las tres variables en un momento dado; por
lo tanto cada movimiento del punto representa un cambio en el valor de una o ms
variables. Como el sistema no se repite de un modo exacto, la trayectoria nunca
se corta a si misma, sino que describe curvas una y otra vez.
Los atractores extraos poseen tpicamente estructuras fractales y slo pueden
presentarse como un sistema continuo dinmico si tienen tres o ms dimensiones.
En esencia, son curvas de los espacios de fases que describen la trayectoria
elptica de un sistema en movimiento catico. Un sistema de estas caractersticas
es totalmente impredecible; conocer la configuracin del sistema en un momento
dado no permite predecir con veracidad su configuracin en un momento posterior.
De todos modos, los movimientos caticos no son completamente aleatorios; en la
mayora de los sistemas dinmicos se encuentran elementos que permiten un tipo
de movimiento repetitivo, a veces geomtricamente establecido. Los atractores
son los encargados de que las variables que se inician en un punto de partida
mantengan una trayectoria establecida. Lo que no se puede establecer de manera
precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las rbitas
que puedan llegar a establecer los atractores.
Lgica difusa
La lgica del caos, difusa o borrosa es un sistema matemtico que modela
funciones no-lineales acordes a los planteamientos lgicos que usan el
"razonamiento aproximado". Se fundamenta en los denominados conjuntos
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difusos y en un sistema de inferencias borrosas basado en reglas de la forma

relativa ("si ... entonces ... "), donde los valores lingsticos de la premisa y el
consecuente estn definidos por conjuntos borrosos. As, esta lgica se basa en la
relatividad de lo observado. Veamos un ejemplo "fisiolgico" de abordaje:

Juan mide 2 m y es diestro, Mara mide 1.65 m y tiene ojos azules, Pedro es zurdo
de ojos marrones, luego ser alto o bajo?
La lgica lineal se desarticula al introducir una incertidumbre inesperada o
incongruente con los postulados iniciales. La respuesta surgir de los clculos
realizados por modelos informticos capaces de valorar la incertidumbre.
Cientificamente, la incertidumbre es "una estimacin unida al resultado de un
ensayo que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se afirma que
est el valor verdadero". Las situaciones de incertidumbre son recurrentes, su
periodicidad

responde

una

repeticin

(frecuencia)

abordable

por

las

estadsticas .
Los primeros xitos de la lgica del caos ocurrieron en el campo del control
automtico de los procesos, especialmente en Japn a principios de la dcada de
1990. Ya en 1974 Mamdani haba experimentado con xito un controlador borroso
en una mquina de vapor; en 1983 Fuji aplica lgica difusa para el control de
inyeccin qumica en instalaciones depuradoras de agua. Luego esta lgica se
aplic en diversas ramas tecnolgicas como metalurgia, robots, sensores de
imagen y sonido (Sony, Sanyo, Cannon), electrodomsticos (Panasonic, Bosch),
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aire acondicionado (Mitsubishi), sistema de frenado antibloqueo ABS (Mazda,

Nissan), cajas de cambio automtico (Renault) y controles de maniobra de
aviones, ascensores y trenes de alta velocidad (el tren-metro de Sendai, Japn,
entre otros).

Matemtica del caos

La teora del caos indujo la aparicin de la matemtica catica, la cual result ser
una herramienta aplicable a muchos campos de la ciencia y la tecnologa. Gracias
a estas aplicaciones el nombre se torna paradjico, dado que muchas de las
prcticas que se realizan con la matemtica catica tienen resultados concretos
porque los sistemas que se estudian estn basados estrictamente en leyes
deterministas aplicadas a sistemas dinmicos. La estadstica inferencial trabaja
con modelos aleatorios para crear series caticas predictoras de eventos
presumiblemente caticos. Por esta razn la teora del caos ya no es en si una
teora: tiene postulados, frmulas y parmetros recientemente establecidos con
aplicaciones en reas de fisiologa, medicina, fsica, meteorologa, economa y
otras.
La mecnica cuntica maneja magnitudes observables, ciertas e inciertas, que no
siempre varan de una manera continua y donde las probabilidades asociadas a
cada valor provienen de un azar objetivo. La incertidumbre o indefinicin no
proviene de la ignorancia, por lo cual es una incertidumbre probabilizable que
puede ser estimada mediante inferencia estadstica. En el nuevo paradigma de la
complejidad, el caos nos conduce a nuevos modelos que dan respuesta a esas
inestabilidades, para las cuales el reduccionismo neoclsico ni siquiera admita
preguntas. En la modelizacin matemtica la nocin de trayectoria es fundamental
y la prediccin es exacta, cualquiera sea el tiempo. En la modelizacin estadstica,
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reductible a trayectorias, a medida que el tiempo de prediccin se alarga, el

intervalo de prediccin se hace ms amplio.
Poniendo en conexin esta evolucin con una ecuacin no-lineal (logstica) que
atraviese pequeas inestabilidades, surge que el incremento de incertidumbre
puede ser compensado con informacin y con pequeos cambios desde el
entorno, pudiendo ser aplicada una estadstica dinmica (lineal) hasta que, ante
mayores inestabilidades, sern influenciadas por la aparicin de desorden y
fractalidad (dinmica catica), en correspondencia con la historia de un sistema
que, en contacto con las nuevas realidades y valores de su entorno "siente la
llama seductora del atractor catico".
El mundo est lleno de fenmenos que parecen caticos aunque en realidad estn
ceidos a reglas estrictas pero difciles de esclarecer por la gran cantidad de
variables implicadas o de combinaciones generadas, solo desentraables con una
herramienta aparecida recientemente en la ciencia, la computacin. Con ella se
demostr que las cosas no ocurren al azar, porque estn determinadas por las
condiciones iniciales. La dinmica y complejidad de tales condiciones torna casi
impredecible el efecto.
Los modelos numricos surgidos de la teora del caos han introducido
considerables mejoras en la exactitud de las previsiones meteorolgicas en
comparacin con las predicciones anteriores, especialmente para perodos
superiores a un da. Actualmente es posible demostrar la confiabilidad de las
predicciones especficas para perodos de hasta 5 das gracias a la densidad entre
las rbitas peridicas del sistema, y se han logrado algunos xitos en la prediccin
de variaciones anormales de la temperatura y la pluviosidad para periodos de
hasta 30 das.
Seres vivos y caos
La teora del caos y los fractales son valiosas herramientas para el anlisis y
comprensin del modelo biolgico, a travs de una transformacin epistmica
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significativa del conocimiento cientfico. Sustituyendo al reduccionismo y la

simplificacin, el paradigma de la complejidad se instal definitivamente a travs
del enfoque multidimensional y multicausal. Los seres vivos son sistemas
hipercomplejos y adaptativos porque toman datos de su funcionamiento interno y
del ambiente que los rodea para automodificar algunas de sus caractersticas, p.ej.
para adaptarse a los cambios o para responder a la agresin de la enfermedad.
As, los organismos son sistemas caticos, no operan al azar, son deterministas
porque hay algo que determina su comportamiento, son muy sensitivos a las
condiciones iniciales y parecen desordenados pero no lo son: hay reglas que
determinan su comportamiento. A pesar de las muy diferentes condiciones
externas a que puede estar expuesto (clima, estrs, esfuerzo fsico), siempre
mantiene una integridad general. Tal integridad debe ser conservada cuando una
enfermedad agrede las condiciones internas del sistema, lo cual demandar un
cambio en la estructura. El corazn ejemplifica el vigor del sistema catico, al
desarrollar un abanico de comportamientos ("grados de libertad") que incluyen
profundos cambios en su ritmo y fuerza de contraccin, para luego retornar a su
actividad habitual.

El organismo viviente es un sistema complejo adaptable a variaciones externas,

cuya supervivencia se debe a un conjunto de fenmenos que se desarrollan de
maneta impredecible dentro de sus altos niveles de organizacin funcional
jerrquica, de comportamiento a-peridico muy sensible a las condiciones
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iniciales, con recurrencia de ciertos patrones a diferentes escalas espaciales y

temporales.
Caos y fisiologa
Segn la teora del caos, la fisiologa y la patologa ya no pueden ser consideradas
como fenmenos exclusivamente biolgicos y los recursos teraputicos no pueden
limitarse solamente a la ciruga o farmacologa. Desde la teora del caos se
postula la sustitucin del reduccionismo y la simplificacin, por un pensamiento
complejo y transdisciplinar que plantee los fenmenos biolgicos como
heterogneos y multicausales, creando as modelos ms apropiados para su
estudio.
Se postula que la dinmica fisiolgica es explicada por estructuras fractales, como
las del sistema nervioso, las ramificaciones de los tubos bronquiales en el pulmn,
la circulacin de los fluidos corporales, las variaciones hormonales y las fibras del
sistema excito-conductor del corazn, que permiten una amplia serie de ritmos.
Todos ellos son sistemas dinmicos caticos disipativos de energa. Los ritmos
biolgicos podran ser interpretados como la sincronizacin de la dinmica de
estructuras fractales que reproducen un modelo escalar. Las estructuras fractales
asociadas con espectros escalares y de banda amplia son ricos en informacin.
En cambio, los estados peridicos reflejan espectros de banda estrecha, cuyas
secuencias montonas y reiterativas estn vacas de contenido informador. Con
esta ptica, algunas enfermedades podran ser tratadas ampliando la reserva
espectral de. un sistema, de tal manera que pueda recorrer muchas frecuencias
sin caer en un canal cerrado peridico.
Los seres vivos poseen biorritmos que fluctan de un modo complejo y
aparentemente aleatorio (variaciones circadianas, interacciones hormonales e
inmunolgicas,

ondas

electroencefalogrficas

electrocardiogrficas),

discutindose en trminos fsico-matemticos si en ellos subyace un caos

determinista o simplemente ruidos aleatorios. Actualmente tiende a admitirse que
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la mayora de los biorritmos son caticos, aunque no exentos de un cierto factor

de ruido aleatorio.
Segn la homeostasis, un organismo estabilizar su ritmo cardaco cuando cesen
las perturbaciones circunstanciales que lo alejaron de su estatus fisiolgico. Sin
embargo, recientes evidencias demostraran que an en ausencia total de
estmulos perturbadores, el corazn es intrnsecamente catico, su ritmo es
siempre irregular y posee un atractor extrao cuyo anlisis matemtico permite
realizar pronsticos que estaran fuera del alcance de la semiologa cardiolgica
clsica (12, 32).
Siguiendo en el campo de la fisiologa, el cerebro es otro rgano que genera
ondas con un atractor extrao subyacente, cuya actividad puede ser caracterizada
para estudiar determinadas enfermedades mentales o la propensin a padecerlas.
La inmunidad es un delicado y complejo sistema dinmico catico que puede
oscilar en un "ciclo limite" en respuesta a determinadas "perturbaciones" como
enfermedades mieloproliferativas. Las actividades enzimticas y las retroacciones
hormonales tambin estn sujetas a la dinmica catica .Algunos investigadores
han propuesto modelos caticos determinsticos para desentraar algunos
aspectos del cncer.
En fisiologa pueden distinguirse estructuras fractales como la red vascular, el
rbol bronquial, la trama neuronal, la mucosa intestinal y otras. Las estructuras
fractales optimizan la funcin de los sistemas al poseer una gran superficie con
muy poco volumen. Los pulmones p.ej. tienen un rea de intercambio de
aproximadamente 150 [m.sup.2], mientras que su volumen total es de unos 7-8
litros.
Un estudio fisiolgico en ratones demostr que para la percepcin olfativa, el
cerebro dirige al sujeto hacia la bsqueda de informacin mediante una actividad
autoorganizadora que se desarrolla en el sistema lmbico; ste libera un mensaje
de re-aferencia, alertando a los sistemas sensoriales a prepararse para responder
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a nueva informacin. Las redes neuronales responderan en rfagas. La actividad

sincrnica de cada sistema se retransmite hasta el sistema lmbico, donde se
combina con la salida producida de manera similar por los otros sistemas,
formando una "gelstat" (un todo mayor que la suma de sus partes). El atractor
sera el influjo de un determinado estmulo capaz de generar cambio de conducta.
La funcin integrativa del sistema nervioso central sera una buena aproximacin
al concepto de atractor.
Un sistema catico est diseado y construido para asegurar su propia estabilidad
y controlar fuentes de "ruido", mediante un mecanismo extremadamente (aunque
no absolutamente) estable. La auto-organizacin neural hace necesaria una
reevaluacin de la utilizacin de modelos informticos digitales y analgicos en las
ciencias cognitivas: sin la conducta catica el sistema neural no podra aadir
conocimientos nuevos. El caos provee al sistema un determinstico estado de "no
se" dentro del cual se genera un nuevo patrn de actividad. Tanto el
electroencefalograma (EEG) como la cognicin son actividades que comparten
algunas caractersticas que las hacen isomrficas: ambas son continuas en el
tiempo, evolucionan con la maduracin y la edad, responden a estimulacin tanto
interna como externa y son autoorganizadas.
La aplicacin de la dinmica catica a la conducta constituye un prometedor
desarrollo terico, porque implica que los sistemas biolgicos son abiertos
(intercambian energa con el ambiente), no-lineales (gobernados por ecuaciones
diferenciales no-lineales o de diferencia) y autoorganizados. La rpida prdida de
predictibilidad de estos sistemas caticos no sera debida a su aleatoriedad sino a
la extremada sensibilidad a condiciones iniciales del sistema, por la cual pequeas
diferencias en el estado de un sistema resultaran en una divergencia exponencial
en su conducta futura.
El EEG resulta de la suma de los potenciales post-sinpticos originados en la
corteza cerebral y refleja la actividad elctrica de aproximadamente un billn de
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neuronas. Diversos trabajos han demostrado que la actividad elctrica cerebral es

influenciada por atractores extraos, por lo cual el comportam lento del EEG debe
ser considerado catico.
Por su parte, otros investigadores asumen que el caos puede tener un importante
papel en la generacin de una adaptacin rpida (nerviosa) a los cambios
ambientales de un organismo. Las seales que no varen, como las de ciclos
limitados, no llevarn nueva informacin al futuro que no sea la que ya contenan.
Trabajos sobre la respuesta de potenciales evocados en animales y seres
humanos apoyan esta opinin, mostrando cmo los potenciales estn reducidos o
desaparecen si una estructura cerebral muestra actividad de ciclo limitado, p.ej. la
actividad regular theta del hipocampo durante la cual no se encuentran potenciales
evocados de gran amplitud. Tambin se asume que la evolucin del caos a largo
plazo es impredecible y que tal impredectibilidad representa una ganancia de
informacin por la cual el cerebro crea nuevas respuestas posibles 20.
Caos y patologa
En patologa, la teora de los fractales fue aplicada exitosamente para predecir la
aparicin de osteoporosisa partir de un programa informtico que comparaba la
textura de los huesos de un individuo versus patrones anormales. A manera de
"efecto mariposa", el cambio de solamente un aminocido por otro en una protena
compuesta por miles de aminocidos, p.ej. la que constituye el canal de potasio de
la membrana celular de la fibra muscular del ratn, acarrea graves consecuencias
como la ataxia motora del roedor ("canalopata"). En otra protena como la cadena
beta de la hemoglobina humana, la sustitucin de un solo aminocido constitutivo
(glutamina) por otro forneo (valina), genera fragilidad y ruptura de los eritrocitos
configurando la denominada "anemia drepanoctica o falciforme". En la orina, las
molculas de solutos se mueven desordenadamente (caos) por su energa libre
(cintica molecular); si se reduce tal energa libre (ordenamiento del caos), el

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movimiento cesa y las molculas se agrupan formando cristales que a su vez

pueden generar clculos en vas urinarias.
Es conocido que los pacientes esquizofrnicos revelan trastornos de la motilidad
del globo ocular: ellos no logran seguir el suave movimiento de un pndulo que
oscila lentamente ante sus ojos, sino que stos saltan de forma desorganizada sin
llegar a posarse en el blanco. Un fsico llamado Huberman prepar un modelo
explicativo de este movimiento consistente en una ecuacin que analogaba un
sistema mecnico donde una pelota giraba en un recipiente curvado que se
balanceaba con movimiento pendular. Al aumentar el poder de no--linealidad, el
sistema se desordenaba caticamente tal como lo hacan los ojos de los pacientes
esquizofrnicos. Muchos se preguntaron ser posible que la inestabilidad sea
salud y la estabilidad (caos) una enfermedad? Desde la teora del caos debera
responderse afirmativamente. La dinmica del EEG en patologas como la
esquizofrenia o la epilepsia genera atractores cerrados de bajo valor dimensional,
que resultan muy estables. Tal estabilidad disminuye las posibilidades de "cambio"
o "bifurcacin", ensombreciendo el cuadro. La posibilidad de introducir
bifurcaciones en estos sistemas podra mejorar el pronstico. La gran ventaja de
los sistemas caticos determinsticos es que permiten cambiar la actividad casi
instantneamente a travs de bifurcaciones, o sea sbitas transiciones desde una
actividad de ciclo limitado a una actividad catica, como la observada en muchos
sistemas cuando el valor de un parmetro es ligeramente alterado (29).
Se piensa que los agentes causantes de crisis epilpticas del tipo "petit mal"
tienden a conducir la actividad cerebral hacia un movimiento peridico estable.
Superar tal estado sera extraordinariamente difcil y slo posible mediante la
dinmica catica de la actividad cerebral. El EEG de un cerebro sano es irregular;
esta actividad experimenta un cambio drstico con el inicio de un acceso
epilptico: la actividad elctrica es ms violenta en trminos de amplitud, pero ms
regular rtmicamente.
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La presencia de actividad catica en un punto dado del registro EEG no garantiza

que el caos est presente simultneamente en otras reas del cerebro. De hecho,
existe evidencia de que los lbulos frontales pueden generar ruido durante largos
perodos, al mismo tiempo que los occipitales muestran conducta catica. Se ha
propuesto que el caos surge en el cerebro cuando dos o ms reas cumplen al
menos dos condiciones: se excitan una a otra con suficiente fuerza como para
impedir que cualquiera de ellas quede en reposo y, al mismo tiempo, son
incapaces de coincidir en una frecuencia comn oscilatoria, contribuyendo al
aumento de la sensibilidad y la inestabilidad del sistema, al caos. En una
investigacin se encontr incremento de la actividad EEG en la banda delta en
pacientes esquizofrnicos, con mayor grado de complejidad dimensional en reas
frontales que en reas centrales, a la inversa de lo registrado en individuos sanos.
Estudios realizados usando caos determinstico revelaron mayores dimensiones
en las condiciones de EEG de vigilia que en el EEG de sueo y epilepsia. Bajas
dimensionalidades fueron encontradas entre EEG de reposo y ojos cerrados y
mayores en situaciones de actividad cognitiva. EI hecho que en el reposo el
atractor sea fractal y disminuya con la profundidad del sueo, implica que la
dinmica del sueo profundo llega a ser ms coherente durante estas etapas.
La actividad catica de baja dimensin y alta sinerona (ritmicidad) fue verificada
en patologas como demencia, esquizofrenia y epilepsia, en contraste con sujetos
sanos que presentaron una actividad EEG de mayor dimensionalidad y mayor
variabilidad de la serial (menor ritmicidad). Puesto que la actividad elctrica
cerebral

comparte

importantes

caractersticas

con

la

actividad

cognitiva

(secuencialidad, continuidad, evolucin, sensibilidad a seales internas y externas

y autoorganizacin) resulta posible que tambin la propia actividad cognitiva est
expuesta a la dinmica catica no aleatoria.
Conclusin

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La aparicin de la teora de caos ha generado un cambio de paradigma en la

filosofa de la ciencia, posibilitando encontrar el orden en el desorden.
Sustituyendo al reduccionismo, el caos determinstico instal un enfoque complejo,
multicausal y multidimensional que involucra una realidad como un todo mayor a la
suma

de

sus

partes,

donde

hechos

insignificantes

pueden

afectar

el

comportamiento y la evolucin de la naturaleza. Ms que una teora, el caos se ha

convertido en un mtodo, un modelo, una forma de generar conocimientos
cientficos en el rea de los sistemas complejos, he aqu su relacin con la materia
Ing. de sistemas.

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