Teaching Methods & Materials > Mathematics">" para indicar si un lado es menor o mayor. También explica cómo resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y define polinomios como expresiones formadas por sumas y productos de términos con coeficientes y variables elevadas a exponentes enteros.">
Texto Paralelo
Texto Paralelo
Texto Paralelo
IGUALDADES
Una igualdad es una oracin matemtica que lleva el signo de
igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
ECUACIN
Una ecuacin es una igualdad matemtica entre dos expresiones matemticas,
denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, y
desconocidos o incgnitas, relacionados mediante operaciones matemticas. Los valores
conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o constantes; tambin variables o incluso
objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser
establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algn otro procedimiento de
resolucin de ecuaciones.nota 1 Las incgnitas, representadas generalmente por letras,
constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de
valores numricos podra tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como
sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuacin algebraica simple:
la variable representa la incgnita, mientras que el coeficiente 3 y los nmeros 1 y 9 son
constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuacin ser cierta o falsa
dependiendo de los valores numricos que tomen las incgnitas; se puede afirmar
entonces que una ecuacin es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores
de las variables (incgnitas) la hacen cierta.
Se llama solucin de una ecuacin a cualquier valor individual de dichas variables que
la satisfaga. Para el caso dado, la solucin es:
Una
ecuacin
es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incgnitas) con
valor
desconocido.
El
grado de una ecuacin
viene dado por el exponente mayor de la incgnita. En este tema
trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incgnita.
Solucionar
una ecuacin es encontrar el valor o valores de las incgnitas que
transforman la
ecuacin en una identidad.
Ejercicios de autoaprendizaje:
1. Resolvemos algunas ecuaciones:
Procedimiento para resolver una ecuacin de 1r grado:
Eliminar denominadores: multiplicando ambas par
tes de la ecuacin por el mnimo comn
mltiplo de los denominadores. (Propiedad 2)
Planteamiento de la ecuacin.
Resolucin de la ecuacin.
Polinomio
Grfica de un polinomio de grado 7 en coordenadas cartesianas.
En matemticas, un polinomio (del latn polynomium, y este del griego, polys
muchos y nmos regla, prescripcin, distribucin)1 2 3 es una expresin
matemtica constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o
desconocidas) y constantes (nmeros fijos llamados coeficientes), utilizando nicamente
las operaciones aritmticas de suma, resta y multiplicacin, as como tambin
exponentes enteros positivos. En trminos ms precisos, es una relacin n-aria de
monomios, o una sucesin de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias
variables indeterminadas.
Los polinomios estn constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas
o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritmticas de
suma, resta y multiplicacin, as como tambin exponentes enteros positivos. Pueden ser
de una o de varias variables.
Polinomios de una variable
Para a0, , an constantes en algn anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo,
como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio sern nmeros) con an distinto de
cero y , entonces un polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma
Un polinomio no es ms que una sucesin matemtica finita tal que .
Representado como:
el polinomio se puede escribir ms concisamente usando sumatorios como:
Las constantes a0, , an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el
coeficiente constante (o trmino independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando
el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mnico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
(2)
Estos polinomios son mnicos, homogneos, simtricos y sus coeficientes son
coeficientes binomiales.
Para obtener la expansin de las potencias de una resta (vase productos notables), basta
con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresin (2) queda de la siguiente
forma:
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total
ms de una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalle el ltimo de ellos es un monomio de tres variables (ya que en l aparecen las
tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z
respectivamente.
Grado de un polinomio
Artculo principal: Grado (polinomio)
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los trminos y simplificando los
monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada trmino de un
polinomio por cada uno de los trminos del otro polinomio y luego se simplifican los
monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: y , entonces el producto es:
Para poder realizar eficazmente la operacin se tiene que adquirir los datos necesarios
de mayor a menor. Una frmula analtica que expresa el producto de dos polinomios es
la siguiente:
Aplicando esta frmula al ejemplo anterior se tiene:
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relacin entre
el grado de los polinomios y y el polinomio producto :
(*)
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio
polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operacin ) por lo que la
expresin puede extenderse tambin al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.