Funciones

Comencemos por la definición de “relación” y “función”.

Relación: Es el conjunto de pares ordenados (x,y) que puede tener valores diferentes o iguales para la variable
“x”.

Función: Es el conjunto de pares ordenados (x,y), donde para cada valor de “x” sólo puede corresponder un
valor en “y”; además, la variable “y” depende de la variable “x” mediante la siguiente regla de correspondencia:
f(x)=y

Donde:

f(x)=y→ Regla de correspondencia

x→ Variable independiente

y→ Variable dependiente

Por ejemplo, en los siguientes ejemplos identifica la “función” y la “relación”:

(3,7), (2,8), (-5,7), (-1,8)

Es una función porque las entradas del eje “x” son 3, 2, -5 y -1, y ningún número se repite.

(4,-6), (6,-9), (-4,-6), (5,4), (6,3).

Es una relación porque las entradas del eje “x” son 4, 6, -4, 5 y 6, y se repite la entrada con el número 6.

En una gráfica, para identificar una función y una relación, si se traza una línea vertical en el plano, y esta línea
toca dos o más puntos de la gráfica, significa que es una relación; en cambio, sí toca sólo un punto de la gráfica,
hablamos de una función.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de números que cumplen la sustitución (tabulación) de una regla de correspondencia f(x)=y; este
conjunto llamado dominio está ubicado en el eje “x” (ordenadas).

Se expresa de la siguiente forma: Domf o Df

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de números que dependen de la sustitución (tabulación) de los valores que puede tomar “x”, es
decir, del dominio. Este conjunto de números es llamado “rango” y está ubicado en eje “y” (abcisas).

Se expresa de la siguiente forma: Ranf o Rf

Es importante saber que las funciones matemáticas se dividen en tres categorías:

- Algebraicas
- Exponencial y logarítmica
- Trigonométricas
A continuación ejemplificaremos el método para obtener el dominio y el rango de la función lineal, la cual
pertenece a la categoría de funciones algebraicas.

Función lineal:

Es de la forma: f(x)=mx+n Donde: m es la pendiente y n la ordenada al origen

Su dominio es: Df= (-∞,∞) Su rango es: Rf=(-∞,∞)

Nota: cada función tiene su propio método para obtener su dominio y su rango, y el ejemplo anterior se aplica
únicamente para la función lineal. Sin embargo, existen más funciones algebraicas que es importante conocer.

Funciones Lineales
Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la
siguiente forma

Siendo m≠0.

 m es la pendiente de la función
 n es la ordenada (en el origen) de la función

La gráfica de una función lineal es siempre una recta.

Pendiente y ordenada

La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir, m.

Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es

decir, más rápido crece la función.

 Si la pendiente es positiva, la función es creciente.

 Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

Gráfica

Como una función lineal es una recta, para representar su gráfica sólo tenemos
que trazar la recta que une dos de sus puntos. Para ello, calculamos la imagen
de dos puntos cualesquiera.
La definición formal de la gráfica de la función es el conjunto de puntos
siguiente:

{(x,f(x))}

Puntos de corte con los ejes

Una función lineal siempre corta al eje Y en un punto. También, corta al eje X en
un punto.
El punto de corte con el eje Y es el punto de la recta que tiene la primera
coordenada igual a 00:

El punto de corte con el eje X es el punto de la recta que tiene 00 en la

segunda coordenada. Se calcula igualando a 00 la función y resolviendo la
ecuación obtenida.
Función a partir de dos puntos

Si tenemos dos puntos de la recta, podemos calcular la expresión algebraica de

la función. Sólo tenemos que sustituir las coordenadas de los puntos en la forma
general de la función

y resolver el sistema de ecuaciones.

Ejemplo:

Calcular los puntos de corte con los ejes y representar la función. ¿Cuál es la
pendiente de la recta?

La pendiente de la recta es m=−2. Como es negativa, es una recta decreciente.

La recta corta al eje Y cuando x=0, por tanto, lo hace en el punto

La recta corta al eje X cuando y=0. Tenemos que resolver una ecuación:

El punto de corte es
Como tenemos dos puntos de la recta, podemos representar su gráfica:

Pendiente de una recta

Actividad 1

1. Representar gráficamente las siguientes funciones:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Representar gráficamente las funciones a partir de los datos dados:
a) Pendiente= -3, Ordenada en el origen= -1
b) Tiene pendiente -2 y corta al eje Y en el punto (0, 3)
3. Determina en cada caso el valor de la Pendiente:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
4. Identifica en cada función la Pendiente y el Punto de Corte con el eje de
Ordenadas:
a) ( )
b) ( ) ( )
c) ( )
d) ( )
5. Representa sobre el plano las siguientes funciones (de acuerdo a las
tablas):

6. .
 7. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:

a) (-1, 0) y (0, 1)
b) (0, 1) y (1, 0)
c) (-1, 4) y (2, 4)
d) (-6, 4) y (5, -2)

Ecuaciones de Primer Grado o Lineales

Una ecuación de primer grado es una igualdad matemática con una o más incógnitas.
Dichas incógnitas deben ser despejadas o resueltas para encontrar el valor numérico de la
igualdad.
Las ecuaciones de primer grado reciben este nombre porque sus variables (incógnitas)
1
están elevadas a la primera potencia (X ), que suele representarse solo con una X.
Del mismo modo, el grado de la ecuación indica el número de soluciones posibles. Por lo
tanto, una ecuación de primer grado (también llamada ecuación lineal) solo tiene una solución.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad algebraica cuya
potencia es equivalente a uno, pudiendo contener una, dos o más incógnitas.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita poseen la forma:

ax + b = c

Siendo a ≠ 0. Es decir, ‘a’ no es cero. ‘b’ y ‘c’ son dos constantes. Esto es, dos números fijos.
Por último, ‘x’ es la incógnita (el valor que no sabemos). En tanto que, las ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas poseen la forma:

mx + b = y

Estas, también son llamadas ecuaciones simultáneas. ‘x’ e ‘y’ son incógnitas, m es una
constante que indica la pendiente y b es una constante.

Existen ecuaciones que no poseen ninguna solución posible, a estas se denominan

ecuaciones sin solución. Así mismo, existen ecuaciones que tienen varias soluciones, estas
son denominadas ecuaciones con infinitas soluciones.
A un conjunto de ecuaciones lineales se le denomina sistema de ecuaciones. Las incógnitas,
en estos sistemas de ecuaciones pueden figurar en varias de las ecuaciones, de manera que
no necesariamente deban figurar en todas ellas.

Elementos de una ecuación de primer grado

Al observar la ilustración siguiente, nos daremos cuentas que en una ecuación intervienen
varios elementos. Veamos:

Como se puede apreciar en la gráfica anterior, una ecuación posee varios elementos:

- Términos
- Miembros
- Incógnitas
- Términos independientes

Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita

Prácticamente, resolver una ecuación, en este caso, de primer grado es determinar el valor de
la incógnita que satisfaga la igualdad. Los pasos son los siguientes:

- Agrupan los términos semejantes. Es decir, proceder a pasar los términos que
contengan variables al lado izquierdo de la expresión y las constantes al lado derecho
de la expresión.
- Finalmente, se procede a despejar la incógnita

Vamos a poner un ejemplo con el proceso de resolución de una ecuación de primer grado,
vamos a proceder a plantear y resolver la siguiente ecuación:

3 – 4x + 9 = 2x
Aplicando el procedimiento señalado anteriormente, obtendremos el valor de la para la
incógnita que satisface esta expresión formulada. Veámoslo paso a paso.

Agrupando términos semejantes de la ecuación de primer grado, tendremos:

3 + 9= 2x + 4x

Realizando las operaciones indicadas, tendremos:

12= 6x

Finalmente se procede a despejar la incógnita. Así, nos arroja el resultado siguiente:

x = 12/6

x=2

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más
de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no
necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre
sí.

Ejemplo de un sistema:

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y)

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para

que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución al sistema del ejemplo anterior es:

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única
solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema
es compatible determinado.

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas

ecuaciones como incógnitas

Resolveremos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos incógnitas mediante

los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación
de primer grado.

 Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por

ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos
una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, calculamos el
valor de x sustituyendo el valor de y que ya conocemos.
 Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo,
sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca.
Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
 Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita
para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita.

Método de Sustitución

A través del método de sustitución lo que debemos hacer es despejar una de las
incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la siguiente

En primer lugar, despejamos una de las incógnitas en la primera ecuación

A continuación, sustituimos en la segunda ecuación el valor correspondiente

de la «x».
 Ahora, despejamos la «y»

Por último, utilizamos el valor de «y» para hallar el valor de «x».

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6

Ejemplo 2
Método de Reducción
Con el método de reducción lo que hacemos es combinar, sumando o restando,
nuestras ecuaciones para que desaparezca una de nuestras incógnitas.
Los pasos a seguir son los siguientes:

En primer lugar, necesitamos preparar las dos ecuaciones, si es necesario, multiplicándolas

por los números que convenga.

En este caso, queremos reducir la «y» de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera
ecuación por 2.
 Así, el sistema se queda:

Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece

Y nos quedaría:

Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra

incógnita en una de las ecuaciones iniciales.

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6

Ejemplo 2

Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los
coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Para ello,
multiplicamos por -2 la primera ecuación.

Después, sumamos las ecuaciones y resolvemos la ecuación obtenida:

Finalmente, sustituimos el valor de y=2 en la primera ecuación y la resolvemos:

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

Método de Igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos
ecuaciones y después igualar los resultados.
Los pasos a seguir son los siguientes:

En primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos despejar. En este caso,

empezaré por la «x» y despejo la misma en ambas ecuaciones.

Una vez hemos despejado, igualamos:

Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra

incógnita en una de las ecuaciones iniciales.

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6

Ejemplo 2

Despejamos en ambas ecuaciones la y:

Igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:

Sustituyendo x en la primera de las ecuaciones anteriores obtenemos y:

Por tanto, la solución del sistema es:

Actividad 2

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales a través

de los Métodos de Sustitución, Reducción e Igualación:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .
 6. Relaciona cada sistema de Ecuaciones Lineales con su respectiva
solución

Nota: Las actividades deben desarrollarse y enviarse al correo electrónico

carlosarevaloprofe@gmail.com Contacto: 3145394992

No olviden anotar su nombre completo, grado y asignatura, en el asunto o cuerpo del

correo

Adicional a lo anterior, se les recuerda que deben marcar todas las hojas de las
actividades enviadas “cada una de las páginas que entregan” con su nombre
completo y grado, esto con el fin de validar y certificar la actividad.

“Si tomas responsabilidad por ti mismo, desarrollarás un hambre para

conseguir tus sueños” -Les Brown.