FISICA
FISICA
FISICA
1.- Se lanza un cuerpo hacia arriba en direccin vertical con una velocidad inicial de 98 m/s desde la
azotea de un edificio de 100 m de altura. Calcula: a) la mxima altura que alcanza sobre el suelo, b) el tiempo
necesario para alcanzarla, c) la velocidad del cuerpo al llegar al suelo, y d) el tiempo total transcurrido hasta
que el cuerpo llega al suelo.
Solucin: a) 590m
b) 10 s
c) - 107.4 m/s (hacia abajo)
d) 20.96 s
2.- Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba y se recibe despus de 3.5 segundos. Halla: a) la
velocidad inicial de la pelota, y b) la altura mxima que alcanza.
Solucin: a) 17.15 m/s
b) 15 m
3.- Un coche se mueve sobre una recta con aceleracin constante. En los instantes t1 = 1 s, t2 = 2 s, y
t3 = 3 s, el coche se encuentra respectivamente a x1 = 70 m, x2 = 90 m y x3 = 100 m. Calcula: a) la
aceleracin del coche, b) su velocidad inicial, y c) el instante en el que pasa por el origen.
Solucin: a) a= -10 m/s2
b) vo = 35 m/s
c) t = -1 s y t = 8 s
4.- El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por la ecuacin v(t) = (3t - 2) i +
2
(6t - 5) j + (4t - 1) k en m/s, y el vector posicin en el instante inicial es: r(t=0)= 3i - 2j + k en m. Calcula:
a) La expresin del vector posicin en cualquier instante b) Ecuacin del vector aceleracin en cualquier
instante. c) Aceleracin tangencial y normal para t = 1 s. d) El radio de curvatura R de la trayectoria para t=1
s.
Solucin: a) r(t)= [(3/2)t2 - 2t +3] i + (2t3 - 5t -2) j + (2t2 - t +1)k en m
b) a(t)= 3 i + 12t j + 4 k en m/s2
c) aT = 8.14 m/s2
aN = 10.13 m/s2
d) R = 1.08 m
5.- La aceleracin de una partcula tiene de componentes cartesianas (18t, -4, 12t2) siendo t el tiempo.
Cul es la velocidad v(t) y la posicin r(t) de la partcula si pasa por el origen con velocidad de
componentes (80, -12, 108), cuando t= 3 s?
Solucin: v(t)= (9t2 - 1) i - 4t j + 4t3 k
r(t)= (3t3 - t -78) i + (18 - 2t2) j + (t4 -81)k
6.- La variacin de la aceleracin de la gravedad con la altura viene dada por la frmula:
G MT
donde MT y R son la masa y el radio de la Tierra, y G la constante de gravitacin
g(h) = (R + h)2
universal. Cuando h = 0 se obtiene g = - 9.8 m/s2. Teniendo en cuenta esta expresin, calcula la velocidad
inicial que debe darse a un cuerpo (sin propulsin autnoma) para que lanzado desde la superficie terrestre
ascienda una altura vertical de 4000 km. (R= 6000 km)
Solucin: vi = 6858.57 m/s.
7.- Un jugador de bisbol golpea una pelota de manera que adquiere una velocidad inicial de 15 m/s,
formando un ngulo de 30 con la horizontal. Al ser golpeada, la pelota se hallaba a una altura de 1 m sobre
el suelo. Un segundo jugador, que est a 30 m del anterior y en el mismo plano que la trayectoria de la
pelota, empieza a correr en el instante en que sta es golpeada. Calcula la velocidad mnima del segundo
jugador para que pueda alcanzar la pelota cuando est a 2 m del suelo. Supn que el segundo jugador se
mueve con velocidad constante.
Solucin: vmin = 8.7 m/s.
8.- Desde un punto O situado al pie de un plano inclinado que forma un ngulo de 60 con la
horizontal, se lanza una piedra con velocidad inicial vo. Calcula el ngulo que debe formar la velocidad
inicial con la horizontal para que sea mximo su alcance sobre el plano inclinado.
Solucin: = 75
9.- Un bombardero vuela horizontalmente a una altura de 1000 m y con una velocidad de 200 km/h.
Deja caer una bomba que debe dar en un barco que viaja en lnea recta en la misma direccin y sentido y con
una aceleracin constante de a= 4m/s2. En el instante en el que el avin deja caer la bomba el barco tiene una
velocidad de 20 km/h. Si la bomba da en el blanco, calcula la distancia horizontal entre el avin y el barco en
el instante en que se deja caer la bomba.
Solucin: 306.1 m
10.- Una partcula que parte del origen de coordenadas, se mueve a t=0 s con una velocidad vo de 5
cm/s y direccin paralela a uno de los lados de un tringulo equiltero, y est sometida a una aceleracin
constante de 2 cm/s2 paralela a otro de los lados del tringulo como indica la figura. Calcula: a) La
trayectoria que sigue esa partcula. b) Su posicin y velocidad al cabo de 5 s.
Solucin: a) y = 0.58 x + 0.053 x2 cm
b) v(5) = 4.33 i + 12.5 j cm/s
r(5) = 21.65 i + 37.5 j cm
11.- Un automotor parte del reposo, en una va circular de 400 m de radio, y va movindose con
movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50 s de iniciada la marcha, alcanza la velocidad de 72
km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar: a) La aceleracin tangencial en la primera etapa
del movimiento. b) La aceleracin normal, la aceleracin total y la longitud de la va recorrida en ese tiempo,
en el momento de cumplirse los 50 s. c) La velocidad angular media en la primera etapa, y la velocidad
angular al cabo de los 50s. d) Tiempo que tardar el automotor en dar 100 vueltas al circuito. Solucin: a)
aT = 0.4 m/s2
b) aN= 1 m/s2
a= 1.08 m/s2
s= 500 m
c) m= 0.025rad/s
(t=50s)= 0.05rad/s
d) t= 12591.4s
12.- Un volante gira en torno a su eje a razn de 3000 rpm. Un freno lo para en 20 s Calcula la
aceleracin angular supuesta constante, y el nmero de vueltas dadas hasta que el volante se detiene.
Suponiendo que el volante tiene 2 dm de dimetro, calcula las aceleraciones tangencial y centrpeta de un
punto de su periferia en el instante en que completa 100 vueltas y la aceleracin total en ese punto.
Solucin: a) = -5rad/s2
Da 500 vueltas antes de pararse
2
2
2
b) aT= 0.5 m/s
aN= 800 m/s
a= aT2+aN2
13.- Un mvil describe un movimiento circular uniformemente acelerado en sentido
antihorario como indica la figura. El radio de la circunferencia es de 27 cm. En el punto A la
velocidad del mvil es de 9 cm/s. Despus de 0.25 segundos, el mvil se halla en otro punto
y con una velocidad de 10 cm/s. Calcula: a) el mdulo de la aceleracin total del mvil en el
punto A, y b) el ngulo que forma esta aceleracin con la horizontal.
Solucin: a) a = 0.05 m/s2 = 5 cm/s2
b)
= 36.87
14.- Dos mviles, 1 y 2, parten del mismo punto de una circunferencia de radio R y con la misma
velocidad inicial, vo, aunque salen en sentidos opuestos. El movimiento de 1 es acelerado y el de 2 es
retardado, pero el mdulo de sus respectivas aceleraciones tangenciales, aT, es el mismo. a) Calcula el valor
de aT sabiendo que el mvil dotado de movimiento retardado, en el instante del encuentro lleva velocidad
nula. b) Halla la aceleracin total de cada uno de los mviles en el momento del encuentro.
atot2 = (vo2)/( R)
Solucin: a) aT = (vo2)/( R)
b) atot1 = (vo2 1+162 )/( R)
15.- Un tiovivo de radio R inicia su movimiento con una aceleracin angular constante . Despus de
un cierto intervalo de tiempo, una persona montada en el tiovivo deja caer una pelota en la periferia del
tiovivo y desde una altura h = R/2 con respecto al suelo exterior. La pelota cae en el suelo exterior en un
R
2 2 2
punto A. Sabiendo que la distancia entre dicho punto A y el eje central del tiovivo es D = g g + R ,
calcula el ngulo recorrido por el tiovivo desde que inicia su movimiento hasta que la persona suelta la
pelota. Da el resultado en funcin de , R y g.
Solucin: = (R )/(2 g)
16.- Un cuerpo A comienza a moverse con una velocidad inicial vo= 2 m/s y avanza con una
aceleracin constante a. Despus de 10 segundos de comenzar a moverse el cuerpo A, y desde el mismo
punto de partida, empieza a moverse un cuerpo B con una velocidad inicial vo'= 12 m/s y con la misma
aceleracin a. Calcula el valor mnimo de la aceleracin a con la cual el cuerpo B no puede alcanzar al
cuerpo A.
Solucin: amin = 1 m/s2
17.- Una moto se mueve con una velocidad constante de 90 Km/h y adelanta a un coche que se mueve
ms despacio por una carretera recta. En el instante en el que la moto adelanta al coche, ste adquiere una
aceleracin constante de 1.5 m/s2 de manera que rebasa a la moto despus de recorrer 500 m de la carretera.
Calcula la velocidad del coche en el instante en el que adelanta a la moto.
Solucin: v= 40 m/s
18.- De un can fueron disparados dos proyectiles consecutivos con una velocidad vo = 250 m/s. El
primero con un ngulo 1 = 60 con la horizontal; el segundo, a un ngulo 2 = 45. Despreciando la
resistencia del aire, calcula el intervalo de tiempo entre los disparos que asegure que los proyectiles choquen.
Solucin: t= 10.94 s
19.- Cuando una moto movindose con una velocidad inicial v1 da la vuelta a una esquina, ve a un
camin que marcha en el mismo sentido con velocidad menor constante v2 a una distancia D delante de ella.
Si la mxima aceleracin constante que sus frenos pueden proporcionar es a, demuestra que la distancia D
(v1 - v2)2
para que el choque no se produzca.
debe ser mayor que
2a
20.- Una partcula ejecuta un movimiento vibratorio armnico simple con una amplitud de 10 cm. En
un punto situado a 6 cm de distancia de la posicin de equilibrio, la velocidad es de 24 cm/s. a) Cul es el
periodo? b) Cul es el desplazamiento cuando la velocidad vale 12cm/s?
Solucin: a) T= (2)/3s
b) x= 2 21 cm
21.- Un cuerpo est vibrando con movimiento oscilatorio armnico simple de 15 cm de amplitud y 4
Hz de frecuencia. Calcula: a) Los valores mximos de la aceleracin y la velocidad. b) La aceleracin y la
velocidad cuando el desplazamiento es de 9 cm. c) El tiempo necesario para desplazarse desde la posicin de
equilibrio a un punto situado a 12 cm de la misma.
Solucin: a) vm= 120 cm/s
am= 9602 cm/s2
b) v = 96 cm/s
a = - 5762 cm/s2
c) t = 0.0369s.
22.- Se lanza desde el origen de coordenadas una bola A con una velocidad vo=15m/s formando un
ngulo de 35 con el eje X. Simultneamente se deja caer otra bola B desde el punto de coordenadas x0 = 10
m, y0 = 12 m. Calcula: a) el instante en que la distancia entre ambas bolas es mnima, b) dicha distancia
mnima y c) la posicin de ambas bolas en ese instante.
Solucin: a) t= 1 s
b) Dmin= 4.1 m
c) A(12.3, 3.7)m
B(10, 7.1)m
23.- Dos bombarderos vuelan horizontalmente en la misma direccin y sentido. La altura sobre el suelo
de uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro. Cuando ambos aviones estn situados en una misma
vertical, dejan caer a la vez cada uno su bomba, pretendiendo bombardear el mismo objetivo. Si la velocidad
del avin ms bajo es v, calcula, en funcin de v, la velocidad v' que debe llevar el avin ms alto para lograr
su objetivo.
Solucin: v' = v/2
24.- Determinar el vector velocidad inicial vo de un
baln para que entre perfectamente en la canasta de la
figura. Se supone que el baln se mueve en el plano YZ y
que la canasta se desplaza perpendicularmente a dicho plano
con un movimiento vibratorio armnico simple (M.V.A.S.),
Xc = A sen(t), segn se indica en la figura. Suponer A y
conocidos. Tambin se conoce D, distancia inicial entre el
baln y la canasta.
Solucin: voy = (D )/(n )
voz = (g n )/(2 )
(n=n entero)
Vo
Xc=Asen(t)
25.- Desde lo alto de una torre de altura H sobre el suelo, se lanza horizontalmente una piedra con una
velocidad inicial vo = vo ^i . a) Calcula la expresin del radio de curvatura de la trayectoria como funcin
del tiempo, R(t). Da el resultado en funcin de g y vo. b) Si vo = gH , calcula el radio de curvatura de la
trayectoria en el instante en que la piedra llega al suelo. Da el resultado en funcin de H.
Solucin: a) R(t) =
(vo2 + g2 t2)3/2
vo g
b) R = 27 H
26.- Desde un mvil que marcha a una velocidad de 90 km/h, se lanza un cuerpo con un ngulo de
elevacin de 45 en un plano perpendicular al movimiento del mvil. El mdulo de la velocidad inicial del
cuerpo relativa al mvil es de 10 m/s y se lanza desde una altura de 1.2 m por encima del suelo. Determinar
a) la velocidad inicial del cuerpo relativa al suelo, b) dnde aterriza el cuerpo respecto al punto de
lanzamiento?, c) para un observador que viaje en el mvil, cal sera la respuesta al apartado b)?
k m/s
b) rf = 39.9 ^i + 11.3 ^j m
Solucin: a) vo = 25 ^i + 7.1 ^j + 7.1 ^
c) r'f = 11.3 ^j m
27.- Una partcula se mueve en el plano XY con vector aceleracin a constante. En el instante inicial,
t = 0, la partcula se halla en la posicin inicial ro = 4 i + 3 j m, y con un vector velocidad inicial vo. En el
instante posterior, t = 2 s, la partcula se ha desplazado a la posicin r1 = 10 i - 2 j m, y su vector
velocidad es v1 = 5 i - 6 j m/s. Calcula: a) el vector aceleracin a de la partcula; b) el vector velocidad
inicial vo; c) el vector velocidad en cualquier instante v(t); y d) el vector posicin en cualquier instante r(t).
Solucin: a) a = 2 ^i - 3.5 ^j m/s2
b) vo = ^i + ^j m/s
c) v(t) = (1+ 2t) ^i + (1 - 3.5t) ^j m/s
d) r(t) = (4+t+t2) ^i + (3+t-1.75t2) ^j m
28.- Una partcula se mueve en el plano XY y se encuentra, en cada instante, en un punto (x, y) tal
que x(t) = 3 + 2 cos(t), y(t) = 5 + 2 sen(t) , en unidades del S.I. Determinar: a) la trayectoria seguida por el
mvil, b) la velocidad y la aceleracin en cada instante, c) de qu movimiento se trata?
Solucin: a) (x -3)2 + (y -5)2 = 4
b) v(t) = -2 sen(t) i + 2 cos(t) j
v = 2 m/s = cte
2
a(t) = -2 cos(t) i - 2 sen(t) j
a = 2 m/s = cte
c) movimiento circular uniforme
29.- Galileo demostr hace muchos aos que, con una misma velocidad inicial, el alcance de un
proyectil que se lanza con un ngulo 45+ es el mismo que cuando se lanza con un ngulo 45- (siendo
<45). Demostrarlo. Despreciar la resistencia del aire.
30.- Un pelota P se encuentra pegado a la periferia de una noria
de radio R. La noria comienza a girar cuando P est justamente en el
punto ms alto de la misma. La noria gira en sentido horario y con
aceleracin angular constante . En el instante en que la noria ha
dado una vuelta completa, el pelota P se despega de la noria. Durante
todo el vuelo de P un fuerte viento ha empujado al pelota dndole una
aceleracin horizontal constante av =g/2 hacia la derecha como
indica la figura. El pelota P alcanza el suelo en el punto Q a una
distancia H= 5R del pie de la noria. Calcula la aceleracin angular
de la noria. Da el resultado en funcin de R y g.
31.- En un circo, un motorista acrbata salta desde una rampa que
tiene una inclinacin y sobrepasa una zanja de anchura D, alcanzando
una plataforma de altura H respecto del lado inicial justo en la cspide
de su trayectoria. Para un ngulo y una distancia D fijos, a) cul es la
altura H de la plataforma sobre la rampa? b) cul el la velocidad de la
moto al salir de la rampa? Da los resultados en funcin de D, y g.
Considera al motorista como una masa puntual.
Dg
D tg
b) v =
Solucin: a) H = 2
sen cos
P
av
g
Q
H
Solucin: = g/( R)
Motorista
H
32.- La aceleracin de un movimiento queda determinada por la ecuacin a(x) = -16 2 x estando a en
cm/s2 y x (distancia al origen) en cm. Sabiendo que el desplazamiento mximo son 4 cm y que se ha
comenzado a contar el tiempo cuando la aceleracin adquiere su valor absoluto mximo, en los
desplazamientos positivos, determinar a) La ecuacin del desplazamiento para cualquier instante. b) La
DINMICA DE LA PARTCULA
1.- En el sistema de la figura las masas de los bloques A y B son mA=
20kg y mB= 30kg, y el coeficiente de rozamiento cintico entre los bloques
y las superficies es de 0.2. Calcula: a) la aceleracin del sistema, y b) la
tensin en la cuerda.
Solucin: a) a= 1.14m/s2
T= 62N
2.- El sistema de la figura se halla en movimiento. Las masas de los
bloques son mA= 9kg, mB= 8kg y mC= 3kg. La poleas tienen masa
despreciable. El coeficiente de rozamiento cintico entre el bloque B y el
plano inclinado es c = 0.2. Determina el sentido de movimiento del
sistema, es decir, mB sube o baja? Calcula la aceleracin del sistema y las
tensiones en las cuerdas.
Solucin: a = 0.3 m/s2
Tderch= 85.5 N
Tizq= 30.3 N
mA
mB
30
mB
mC
3.- Un bloque de masa m1 se encuentra sobre otro bloque de masa
m2 que est sobre una superficie horizontal lisa sin rozamiento, como
indica la figura. Los coeficientes de rozamiento esttico y cintico son,
respectivamente, e y c. Si se aplica una fuerza horizontal F sobre el bloque
inferior, calcula: a) el valor mximo de F para el cual el bloque superior no se
desliza sobre el inferior, y b) la aceleracin de cada uno de los bloques cuando el
valor de F es mayor que el calculado en el apartado anterior.
Solucin: a) F= e g (m1 + m2) b) a1= d g
a2= (F - d m1
g)/m2
mA
30
m1
m2
5m
8m
5m
7.- Un cuerpo de 2 kg unido a una cuerda describe una circunferencia vertical de 3 m de radio. Hallar:
a) La mnima velocidad vmin que debe tener el cuerpo en la posicin ms alta para que la cuerda permanezca
tirante. b) La tensin T de la cuerda cuando el cuerpo est en la posicin inferior de la circunferencia
movindose a la velocidad vmin.
Solucin: a) vmin= 5.42m/s
b) T= 39.2N
8.- Una bola est unida al extremo de un hilo de 24cm de longitud cuyo otro extremo es un punto fijo
O. La bola describe una circunferencia horizontal de radio R. Halla la velocidad de la bola sabiendo que el
Solucin: v= 0.824m/s
9.- La posicin de una partcula de 4 kg de masa, respecto a un sistema de referencia inercial, viene
dada en cierto instante por el vector ro= (3i + j) en metros, y su velocidad es vo= (5i - k) en m/s. Se le aplica
entonces una fuerza F tal que su momento respecto al origen de coordenadas es constante e igual a (5i +
20k) en N m. Calcula el momento angular de dicha partcula al cabo de 2 segundos.
Solucin: L(t=2s)= 6 i + 12 j + 20 k (kg m2)/s
10.- En el sistema de la figura, determina entre qu valores puede estar
comprendida la masa M1 para que el sistema se halle en equilibrio. Las
poleas no tienen masa ni existe rozamiento entre ellas y las cuerdas. El
coeficiente de rozamiento esttico entre M1 y el plano es = 0.3 y M2= 30kg.
Solucin: 68.8 kg < M1 < 145.3 kg
M1
M2
40
A
B
40
k
R
P
k
k
M
A)
B)
P
r
h
d
E'
B
60
d) = 2.08rad/s
D
C
16.- Dos objetos de distinta masa tienen la misma energa cintica de traslacin. Demuestra cul de
ellos tiene mayor momento lineal, el de mayor o el de menor masa?
17.- Una persona de masa 70 kg se encuentra en la cabina de un ascensor. Los periodos de partida y
llegada son movimientos uniformemente acelerados que duran 2.5 s. Entre ambos periodos el movimiento
del ascensor es uniforme con una velocidad constante de 4.9 m/s. Calcula: a) el valor de la aceleracin del
ascensor durante las fases de partida y parada; b) la duracin del trayecto para una diferencia de altura,
recorrido entre dos paradas, de 20m; y d) la fuerza que ejerce el suelo del ascensor sobre la persona durante
las fases de partida y parada del ascensor.
Solucin: a) apartida= 1.96m/s2
aparada= -1.96m/s2 (tomando el movimiento
hacia arriba positivo)
b) t = 6.58 s
c) Npartida= 823.2N
Nparada= 548.9N
Solucin: a) apartida= 1.96m/s2
aparada= -1.96m/s2 (tomando el movimiento
hacia arriba positivo)
b) t = 6.58 s
c) Npartida= 823.2N
Nparada= 548.9N
18.- Sobre un plano horizontal sin rozamiento hay un pequeo
cuerpo A de masa m = 2 kg, unido con un hilo al punto P como indica la
figura. Por medio de otro hilo y a travs de una polea de masa
despreciable se une este cuerpo A con otro cuerpo B de igual masa m,
que cuelga verticalmente. Adems el cuerpo A est unido al punto O por
un muelle de masa despreciable, longitud natural Lo= 50 cm y constante
elstica k =196 N/m. Se corta el hilo PA, y el cuerpo A comienza a
moverse. Calcula la velocidad del cuerpo A en el instante de su
separacin del plano por la accin del muelle.
Solucin: v = 1.7 m/s
O
Lo
P
B
D
Z
C
O
21.- Una masa de 2kg se deja libre sobre un plano inclinado liso hacia
abajo a una distancia de 4m de un muelle de constante elstica k = 100N/m. El
muelle est fijo a lo largo del plano inclinado que forma un ngulo de 30. a)
Halla la compresin mxima del muelle. b) Si el plano inclinado no es liso,
calcula la compresin mxima del muelle si el coeficiente de rozamiento cintico
es de 0.2. c) En este ltimo caso, hasta qu punto subir la masa por el plano
inclinado despus de abandonar el muelle?
Solucin: a) x= 0.988m
b) x= 0.783m
c) Recorre 1.54m desde el extremo del muelle con su longitud natural.
k
22.- En el sistema de la figura la polea no tiene masa ni rozamiento en su
m1
eje. La superficie horizontal ofrece rozamiento al deslizamiento de la masa m1.
La constante elstica del muelle es k. El sistema se suelta desde el reposo cuando
el muelle tiene su longitud natural. La masa m2 baja una distancia h en el
instante en el que el muelle alcanza su mximo alargamiento. Halla el
coeficiente de rozamiento cintico entre m1 y la superficie horizontal. Da el
resultado en funcin de k, h , m1 y m2.
Solucin: = (2m2g - kh)/(2m1g)
Y
B
4m
30
m2
A
H
B
h
s
m?
m1 m2
m3
X
2.- Un vaso que estaba inicialmente en reposo estalla y se parte en tres pedazos. O m 1
m2
Dos pedazos de la misma masa salen en direcciones perpendiculares con velocidades
iguales a 30 m/s en mdulo. El tercer pedazo tiene tres veces la masa de cada uno de los otros dos. Cul es
la direccin y el mdulo de su velocidad despus de la explosin?
Solucin: Eligiendo X eY con las velocidades de los dos pedazos: v3 = - 10 i - 10 j m/s v3 = 14.14m/s
3.- Una nia de 40kg. est parada en uno de los extremos
T
de un bote de 70kg. y 4m de longitud (ver figura). El bote est
inicialmente parado a 3m. del muelle. Hay una tortuga T sobre
3m
4 m
una roca en el extremo opuesto del bote. La nia comienza a
andar hacia ese extremo para coger la tortuga. Despreciando el
rozamiento entre el bote y el agua. a) Podr capturar a la tortuga? (Supn que la nia puede extender sus
brazos hasta 1m. fuera del bote). b) En dnde estar la nia en relacin al muelle cuando llegue al extremo
ms alejado del bote?
Solucin: a) No
b) 5.54 m
4.- Un patinador, que pesa 70 kg, est parado en el hielo y lanza una piedra de 3 kg con un ngulo de
30 con la horizontal y con una velocidad de 8 m/s. Halla hasta qu distancia retroceder el patinador,
sabiendo que el coeficiente de rozamiento cintico entre el hielo y los patines es 0.02. Suponer que el
rozamiento no acta durante el lanzamiento.
Solucin: x = 0.23 m
5.- Se dispara un proyectil con una velocidad de 200 m/s y un ngulo de elevacin de /3 rad. Cuando
se encuentra en el punto ms alto de su trayectoria explota dividindose en dos fragmentos iguales, uno de
los cuales cae verticalmente. A qu distancia del punto de lanzamiento caer el otro fragmento?
Solucin: 5196 m
6.- Una granada que cae verticalmente explota en dos fragmentos iguales cuando se halla a una altura
de 2000m y tiene una velocidad dirigida hacia abajo de 60 m/s. Inmediatamente despus de la explosin uno
de los fragmentos se mueve hacia abajo a 80 m/s. Hallar la posicin del centro de masas del sistema 10 s
despus de la explosin.
Solucin: hcm = 910 m
7.- Sobre dos masas de m1 = 10 kg y m2 = 6 kg, situadas inicialmente en reposo en los puntos A(0,3)
y B(4,0), respectivamente, actan sendas fuerzas F1 = 6i N y F2 = 8j N. Halla: a) las velocidades de cada
una de las partculas en funcin del tiempo; b) el momento angular del sistema respecto al origen en funcin
del tiempo; c) el momento de la fuerza resultante que acta sobre el sistema con respecto al origen, y
dL
comprueba que coincide con dt ; d) la velocidad del centro de masas del sistema en funcin del tiempo; e)
la velocidad de cada partcula respecto al centro de masas.
Solucin: a) v1 = (3 t/5) i m/s
v2 = (4 t/3) j m/s
b) L = 14 t k (kg m2)/s
c) M = 14 k N m
d) vCM = (3 t/8) i + (t/2) j m/s
e) v'1 = (9 t/40) i - (t/2) j m/s
v'2 = - (3 t/8) i + (5 t/6) j m/s
8.- Un hombre de 80kg est sobre un carro de 40kg que rueda horizontalmente con una velocidad de
2m/s. Salta fuera del carro de modo que su velocidad relativa al suelo es de 1m/s en sentido opuesto al
movimiento del carro. a) Cul es la velocidad de centro de masas del sistema hombre-carro antes y despus
del que salte? b)Cul es la velocidad del carro despus de que salta? c) Calcula el trabajo realizado por el
hombre al saltar del carro. d) Cul es la velocidad del centro de masas despus de que el hombre llegue al
suelo y se pare? e) Qu fuerza es la responsable de la variacin de la velocidad del centro de masas?
Solucin: a) vCMantes = vCMdespus = 2m/s
b) vCARROdespus = 8m/s
c) Energa gastada = E = 1080 J
d) vCM = 2.67m/s
m
h
x
m
Solucin: vrampa = - m
2gh
M(m+M)
vbloque =
2Mgh
m+M
gh/(2Km1)
17.- Dos bloques de masa m1 = 21 g y m2 = 28 g que se apoyan sin rozamiento sobre una mesa
horizontal, tienen intercalado un resorte de masa despreciable, que est comprimido entre ambos bloques
bajo la accin de dos fuerzas horizontales iguales y opuestas. Suponiendo que la reaccin del resorte sea
proporcional a la deformacin, siendo la constante de proporcionalidad k = 1.2 N/cm, y que ha sufrido un
acortamiento en su longitud de 7 cm respecto a su longitud natural, se pide: la velocidad que adquiere cada
bloque cuando el resorte recupera su longitud natural al desaparecer sbitamente las fuerzas que comprimen
el sistema.
Solucin: v1 = 4 m/s
v2 = -3 m/s (El signo - indica sentido opuesto a v1)
18.- Una bala de masa m y velocidad v pasa a travs de la esfera de un pndulo de
masa M saliendo con una velocidad de v/2 . La esfera pendular cuelga del extremo de
una cuerda de longitud L Cul es el valor mnimo de v de para el cual el pndulo dar
una vuelta completa?
2M
Solucin: vmin = m 5 g L
19.- El cuerpo A es abandonado en reposo con = 90 y desliza sin friccin hasta
alcanzar la masa B del pndulo de la figura. La longitud del pndulo es L= 0.8 m. Se sabe
que el coeficiente de restitucin es 0.8. Calcula: a) La velocidad de B despus del
impacto. b) La tensin mxima de la cuerda que sustenta B. c) La altura mxima
alcanzada por B. Datos: mA = 1 kg; mB = 2 kg.
Solucin: a) v'bola = 2.4 m/s
b) T = 34.4 N
c) h = 0.288 m
L
v
v/2
L
B
20.- Dos esferas que consideramos puntuales, penden de sendos hilos segn se indica en la figura. La
longitud del hilo es de 2 m. La esfera A tiene masa mA= 2 kg y la esfera B tiene masa
mB= 3 kg. En un cierto instante se separa la esfera A un ngulo de 60 y se suelta a partir
del reposo. Si el choque que se produce es inelstico con coeficiente de restitucin e=
0.75, determinar los ngulos mximos que describirn las esferas a consecuencia del
impacto.
Solucin: A = 2.8
B = 41
21.- Un cuerpo A de 4 kg de masa se mueve sobre el eje X en sentido positivo con
una velocidad de 2 m/s. Otro cuerpo B de 1 kg se mueve hacia el origen
Y
de coordenadas, en sentido negativo, con la misma velocidad y en una
direccin que forma un ngulo de 30 con el eje X. Calcular la velocidad vA
con que se mueven despus del choque si ste es perfectamente
O
inelstico.
Solucin: vf = 1.25 i - 0.2 j
B
vB
30
22.- Un jugador de billar lanza una bola A con una velocidad de 5 m/s sobre otra bola B idntica
inicialmente en reposo. Tras el choque elstico, la bola A se desva 30 de su direccin inicial. Calcula: a) los
mdulos de las velocidades de A y B tras el choque y b) el ngulo , en relacin con la direccin inicial de
A, con que sale despedida la bola B. Solucin: a) vAf = 4.32 m/s
vBf = 2.5 m/s
b) = 60
L
M
h?
B
m
Solucin: h = 5 L/6
T = 8 Mg/3
26.- Se dispara un proyectil de masa m con una velocidad vo sobre un pndulo de masa M. El pndulo
consta de una varilla sin masa de longitud L que gira libremente por su otro extremo. El proyectil se incrusta
en la masa M. a) Hallar la velocidad mnima vo para que el pndulo describa una vuelta completa. b)
Cambia en algo el problema si la varilla del pndulo es sustituida por una cuerda?
m+M
2(m+M)
gL
b) vomin = m
5gL
Solucin: a) vomin =
m
o
v
27.- Un bloque A de masa mA = 2 kg se mueve sobre una
v
Bi
Ai
A
B
superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad vAi = 10
m/s. Delante del bloque A hay otro bloque B de masa mB = 5 kg
movindose en la misma direccin y sentido. Unido al bloque B
hay un muelle de masa despreciable y constante elstica k = 1120 N/m. El muelle en su longitud natural lo y
el bloque B se mueven con una velocidad menor vBi = 3 m/s. El bloque A choca contra el muelle y ste se
acorta en una cantidad mxima xmax. Calcula: a) la velocidad de los bloques en el instante de la mxima
compresin del muelle; b) el valor de xmax y; c) las velocidades de los bloques cuando el bloque A se
separa del muelle.
Solucin: a) vA = vB = 5 m/s
b) xmax = 0.25 m
c) vAf = 0 m/s
vBf = 7 m/s
28.- Dos esferas de masas 3m y m, respectivamente,
estn pendientes de unos hilos de forma que en la posicin de
equilibrio quedan las esferas en contacto, los hilos paralelos y
la lnea que une los respectivos centros horizontal, como se ve
en la figura. Apartamos las esferas de la posicin de equilibrio
de manera que sus centros asciendan una altura h y las soltamos
a la vez. Si el choque es perfectamente elstico, calcular la
altura a la que suben ambas esferas despus de los dos primeros
choques.
Solucin: h1f = h2f = h
o
30.- El sistema de la figura se halla sobre una superficie
k
D
horizontal sin rozamiento. El pequeo bloque A de masa m est
L
A
sobre la tabla B de masa M = 4 m. Entre el bloque y la tabla
B
existe rozamiento con un coeficiente de rozamiento cintico c
= 0.2 . Sobre la tabla y en su extremo izquierdo hay fijado un
muelle de constante elstica k. Sujetando la tabla y empujando el bloque A se comprime el muelle acortando
su longitud natural lo en una distancia D, como indica la figura. A continuacin se deja libre todo el sistema.
El bloque A no est unido al muelle. La distancia del bloque A hasta el extremo derecho de la tabla en el
instante en que se suelta el muelle es L = 2D. Sabiendo que el valor de la constante elstica del muelle es k =
4mg
D , calcula la velocidad de la tabla B en el instante en el que el bloque A deja la tabla. Da el resultado en
2
funcin de D y la gravedad g.
Solucin: vB = 5 gD
31.- Una rampa de altura H est conectada en su parte inferior
con una pista en forma de rizo circular de radio R. Tanto la rampa
como la pista son lisas con rozamiento despreciable. Desde lo alto de
la rampa se suelta desde el reposo un pequeo bloque A de masa M.
Al llegar al suelo, el bloque A choca contra otro pequeo bloque B de
masa m que se encontraba en reposo como indica la figura. Tras el
choque ambos bloques quedan unidos y entran en el rizo. Sabiendo
que H = 10 R, calcula el valor mnimo que debe tener la masa M para
que el bloque final (A+B) complete el rizo sin despegarse de la pista.
Da el resultado en funcin de m.
R
m
Solucin: Mmin = m
2
D
3
B
b) La aceleracin del centro de masas del cilindro durante la cada. c) La tensin T de la cuerda durante la
cada. Solucin: a) vcm= 5.1 m/s
b) acm= 6.53 m/s2
c) T = 32.7N.
9.- Un coche de 500 Kp de peso se mueve por la pared vertical de una pista
cilndrica de 10 m de radio con una velocidad de 48.7 Km/h. Calcula: a) el
coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la pared vertical, b) la componente
normal de la fuerza que ejerce la pared sobre cada una de las cuatro ruedas del
coche. El centro de gravedad del coche est en el punto G.
Solucin: a) = 0.5
b) Nsup = 1453.5 N
Ninf = 3413.5 N
1.5 m
0.6 m
10.- Por la periferia de una polea de masa M1 = 500 g y radio R = 10 cm pasa una
cuerda de masa despreciable que lleva colgado por un extremo una masa M2 = 200 g y
por el otro extremo est unida a un muelle vertical fijo al suelo de constante elstica K =
40 N/m, como indica la figura. Calcula: a) el alargamiento del muelle cuando M2 est
en equilibrio, b) el periodo T de las oscilaciones si M2 se separa ligeramente de la
posicin de equilibrio.
Solucin: a) x= 0.049 m
b) T= 0.67 s
M1
M2
11.- Si los casquetes de hielo polares se fundieran totalmente, cul sera el efecto
sobre la rotacin de la Tierra?
A
60
R
r
2M
R
30
16.- Se dispone de una varilla de longitud L y masa M colgada de un punto fijo por un extremo. Se la
deja caer libremente desde la posicin horizontal. Calcula la velocidad angular y la aceleracin angular de la
varilla en las posiciones a, b y c de la figura.
3 g cos
3g
a
b) =
Solucin: a) = 0
=2L
L
b
3g
3 g sen
c) =
=
0
= 2L
L
c
17.- Dos cuerpos de masas m1 y m2 cuelgan de los extremos de un hilo que pasa por
una polea de radio R y masa M. El hilo no desliza sobre la polea y el rozamiento en el eje de la polea es
despreciable. Hallar la aceleracin angular del disco y la relacin T1/T2 en el hilo durante el
desplazamiento. Comprobar que cuando M tiende a cero, ambas tensiones tienden a ser iguales, T1 = T2.
Suponer que m2>m1.
m2 - m1
T1 m1 (4 m2 + M)
g
Solucin: = R m + m + (M/2)
T2 = m2 (4 m1 + M)
1
2
18.- Un disco de 5kg. de masa y 8cm. de radio gira alrededor de un eje. Sobre el mismo se embraga
un volante, inicialmente en reposo, cuyo momento de inercia vale I=0.06kg.m2. Si la prdida de energa
cintica en el embrague es de 15 J., calcular la velocidad angular inicial del disco y la velocidad angular final
del conjunto.
Solucin:
i = 48.7 rad/s. f =10.3 rad/s.
19.- Tres cuerpos rgidos homogneos (una esfera maciza, un cilindro macizo y un cilindro hueco) se
colocan arriba de un plano inclinado de ngulo con la horizontal. Si se liberan a partir del reposo, a la
misma altura y ruedan sin resbalar, cul llegar primero abajo, y cul el ltimo?, es decir, cul lleva
mayor aceleracin y cul menor en el descenso? Comprobar que el resultado es independiente de las masas y
los radios de los cuerpos.
20.- Un proyectil de masa m y dimensiones despreciables se mueve horizontalmente a velocidad v.
Choca normalmente a una cara de un cubo de masa 4m y arista L=1 metro, quedando incrustado en el centro
de masas del cubo. Este se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal y
puede girar alrededor de la arista O fija en el suelo, perpendicular a la direccin
v
L
del proyectil y situada en la cara opuesta a la de entrada de ste, como indica la
m
figura. Halla el valor mximo que puede tener v sin que se vuelque el sistema.
O
Momento de inercia de un cubo respecto a un eje normal a una cara y que pasa
por
el
centro
de
masas,
I=ML2/6.
Solucin: vmax = 16.03 m/s
21.- Una varilla de masa M = 3m y longitud L = 1 metro puede girar alrededor de un eje horizontal
que pasa por su punto medio O, mantenindose durante su movimiento en un plano
vertical. La varilla tiene fijadas en sus dos extremos sendas masas puntuales m1= 5m m 2
m1
O
y m2= m. Parte del reposo en posicin horizontal como indica la figura. Cuando la
varilla alcanza la posicin vertical, la masa m2 se separa de la varilla. Calcula el
alcance horizontal de m2 a lo largo de la recta horizontal que pasa por O.
Solucin: x=2 L/ 7 metros = 0.756 metros
22.- Una placa circular maciza y homognea de radio R y masa M= 4m puede
girar alrededor de un eje fijo E vertical tangente a la perifieria de la placa y contenido
en el plano de la misma, eje al cual se encuentra unida y que no ofrece rozamiento al
giro. Una pequea bala de masa m choca con velocidad v perpendicularmente al plano v
del disco y en el centro del mismo, quedando incrustada en l. En funcin de estos
datos calcula el tiempo que tarda el conjunto placa-bala en dar una vuelta completa m
alrededor del eje E tras la colisin.Momento de inercia de un disco circular macizo
M
R
E
respecto a un eje perpendicular al disco y que pasa por su CM: I = MR2/2. Solucin: t = 12 R/v
23.- A qu altura h sobre la superficie de la mesa hay que golpear a una bola de billar de radio R para
que sta ruede sin deslizar sobre una mesa lisa sin rozamiento?
Solucin: h = 7 R/5
24.- Explicar en qu se fundamenta fsicamente el hacer girar un huevo sobre un plano horizontal para
saber si est crudo o cocido.
25.- Un cuerpo de momento de inercia I cae por un plano inclinado rodando sin deslizar una vez, y
deslizndose sin rodar otra. En qu caso llegar ms pronto al suelo, es decir, en qu caso tendr mayor
aceleracin?
26.- Un disco de radio R y masa M, inicialmente en reposo, se encuentra
apoyado sobre una mesa horizontal en la posicin indicada en la figura formando
un ngulo inicial de 30 con la vertical. Determinar la velocidad angular del disco
en el momento en que la cara alcanza la mesa, suponiendo que no desliza.
8 g cos30
Solucin: =
5R
30
Vo
lo
L
V is ta a re a
m r
L
V1
L
V2
B
32.- Sea una varilla uniforme de longitud L y masa M que puede
pivotar alrededor de un eje perpendicular situado a una distancia d de su centro de masas. De este modo, la
varilla puede oscilar libremente en el plano vertical. Suponiendo que dichas oscilaciones son pequeas, es
decir, describen ngulos pequeos respecto a la vertical, calcular el periodo de dichas pequeas
oscilaciones en funcin de la distancia d. Dato: si es pequeo, sen .
L2 + 12 d2
Solucin: T = 2
12 d g
R
O C
D
vo
m
R
M
L/2
vo
1
g y L. Momento de inercia de una barra respecto a un eje que pasa por un extremo, I=3 ML2.
4 3 g
Solucin: = 5 L
36.- Un disco de radio R y masa M puede girar alrededor de un eje horizontal
fijo, tangente al mismo como indica la figura. Se deja caer desde la posicin
horizontal y golpea elsticamente una bola que estaba en reposo, con su borde
inferior, justo cuando est en la posicin vertical. Cunto debe valer la masa m de
la bola para que el disco se quede quieto despus del choque?
Eje
Disco
Bola
5M
Solucin: m = 16
37.- Un cilindro macizo de masa m y radio r rueda sin deslizar
a lo largo de la pista en forma de bucle que muestra la figura. El
cilindro parte del reposo cuando su centro est a una altura H del
suelo. El radio del bucle es R = 5 r . El momento de inercia del
1
cilindro respecto a su eje es I = 2 m r2 . Calcula el valor mnimo que
debe tener H para que el cilindro recorra completamente el bucle sin
separarse de la pista. Da el resultado en funcin de r.
Solucin:
Hmin = 12 r
38.- Una bolita de masa m y radio r, inicialmente en reposo en el punto ms alto de una gran
semiesfera fija de radio R, comienza a rodar sin deslizar por la superficie de la esfera. Determinar el ngulo
desde el polo norte de la esfera hasta el punto donde la bolita pierde el contacto con dicha esfera. Momento
2
Solucin: = 54
de inercia de la bolita respecto a un dimetro I=5 m r2
39.- Un disco macizo y homogneo de masa M y radio R est dispuesto en un plano
vertical. El disco puede girar alrededor de un eje fijo perpendicular al disco y que pasa por
un punto O de su periferia. El disco comienza a girar partiendo del reposo desde la
posicin superior como indica la figura. En el punto ms bajo de su rotacin, el disco
choca con una pequea bola de plastilina de masa m = M/8 que estaba inicialmente en
reposo. Debido al choque, la bola se queda pegada al disco en el punto A de su periferia.
Calcula la velocidad angular de rotacin del conjunto (disco+bola) justo despus del
choque. Da el resultado en funcin de g y R. Momento de inercia del disco respecto a un
1
eje perpendicular al disco y que pasa por su centro I = 2 m R2 .
3g
Solucin: =
2R
A
M
O
A
m
ESTTICA
1.- La varilla uniforme que se muestra en la figura pesa 40N, mide
1m de longitud y est sometida a las fuerzas que se indican. Calcula el
mdulo, localizacin, direccin y sentido de la fuerza F necesaria para
conservar la varilla en equilibrio.
Solucin: F= 105.8N, forma un ngulo de 49.1 con la horizontal y
aplicada a 0.675m del extremo derecho.
0.2 m 50 N
60 N
80 N
30
0.2 m
70N
4.- Colcate lateralmente junto a una pared con un hombro y un pie pegados a ella e
intenta levantar el pie que no queda junto a la pared. Explica e interpreta fsicamente lo que
sucede.
5.- Dos barras de un mismo material estn unidas en ngulo recto como
indica la figura. La densidad del material es = 0.8 g/cm3 y la seccin de las
mismas es de 4 cm2. La longitud de las barras es de 1 m y 2.414 m. El conjunto
se suspende del techo por medio de un pequeo hilo, del que cuelga el extremo
libre de la varilla ms corta. a) Qu ngulo formar dicha barra con la
vertical cuando el sistema alcance el equilibrio? b) Posteriormente, se cuelga
una pequea esfera del extremo donde se unen las dos barras. Qu masa deber
tener la esfera para que el ngulo anterior se reduzca en 15?
Solucin: = 45
m= 0.682 kg
30
2
B
7.- Dos muchachos tiran de los extremos de una cuerda en sentidos opuestos, cada uno con una fuerza
de 20N. Qu indicara un dinammetro situado en el centro de la cuerda?
8.- Una barra rectilnea AB, homognea, de longitud 1m y peso 100N, se
apoya en una pared vertical y en el suelo ambos lisos. Un resorte de constante
elstica K, suficientemente largo, est dispuesto como indica la figura. El
resorte tiene una longitud natural que corresponde a la barra en posicin
vertical. Determina el ngulo (o ngulos) para el ( o los) cual(es) la barra
estar en equilibrio en cada uno de los casos siguientes: a) K= 62.5N/m y b)
K= 30N/m.
Solucin: a) = 0 y = 36 52'
b) Solo = 0
K
B
9.- Un agitador de longitud 2L se apoya sobre el fondo y el borde de una cpsula de porcelana como
indica la figura. Si se suponen despreciables los rozamientos, el agitador se mover hasta alcanzar el
C2
C1
60
11.- Una viga uniforme de 4m de longitud y 10kg. de masa est unida a una pared
vertical mediante una articulacin con un extremo y un cable con el otro, como indica la
figura. La viga soporta adems una masa C de 20kg. a) Dibuja el diagrama del cuerpo
libre de la viga. b) Calcula el mdulo T de la tensin del cable y c) la fuerza que ejerce la
articulacin sobre la viga y el ngulo que forma con la horizontal
Solucin: a) T= 213 N
b)F= 263 N
= 45 36'
53
C
12.- Calcula la mnima fuerza F horizontal que debe aplicarse al centro de un rodillo de 100 kg de
masa y 50 cm de radio para hacerlo pasar por encima de un escaln de 10 cm de altura.
Solucin: F= 735 N
13.- Una escalera uniforme de 6 m de longitud y 40 kg de masa, se apoya entre un suelo rugoso y una
pared vertical lisa sin rozamiento, formando un ngulo de 60 con el suelo. Sabiendo que el coeficiente de
rozamiento esttico entre la escalera y el suelo es de 0.3, calcula hasta qu punto de la escalera puede
ascender una persona de 70 kg de masa sin que la escalera se resbale.
Solucin: Puede ascender 3.18 m.
14.- Una viga AB de 6 m de longitud y 800 kg de masa est fija al
suelo por la articulacin A, formando un ngulo de 60 con la horizontal
gracias al cable BC, como indica la figura. La distancia CA es de 4 m.
Calcula: a) La tensin que ejerce el cable. b) La fuerza R que ejerce la
articulacin A sobre la viga y el ngulo que forma esta fuerza con la
horizontal.
Solucin: a) T = 4933.2 N
b) Rx = 3961.5 N
Ry = 10778 N
= 69.82
60
4m
60
2m
3m
F
37
h
h=1m, determinar el coeficiente de rozamiento cintico y el punto de aplicacin de la fuerza normal ejercida
por el plano al bloque. b) Si F=75N, calcular el valor de h para el cual el bloque estar a punto de volcarse.
Solucin: a) c = 0.57
La normal estar aplicada a 6/7m desde
el vrtice de la derecha.
b) h=5/3m
17.- Queremos arrastrar una silla de 25 kg, a velocidad constante,
sobre el suelo horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cintico c =
0.3 m
0.3. a) Calcula el mdulo de la fuerza horizontal F, aplicada en el punto O,
necesaria para arrastrarla? b) Cul es la reaccin vertical del suelo en las
patas delanteras y traseras, en dicho caso c) A qu altura mxima, hmax, se 0.6 m
P
podr aplicar la fuerza de arrastre F sin que vuelque la silla.
Solucin: a) F= 73.5N
b) Ndelan = 49N
Ntrase =196N
c) hmax = 1m
0.6 m
F
O
18.- Una barra de longitud L = 1 m y masa m= 500 g, est apoyada como indica
la figura. Si = 45 y d= 40 cm, cunto vale el coeficiente de rozamiento esttico e
entre la barra y la pared vertical, para que la barra permanezca en equilibrio,
considerando que no hay ms rozamientos?
Solucin: e = 1.26
d
19.- Un bloque rectangular de masa m y dimensiones a y b se dispone
sobre un plano inclinado como indica la figura. Se ata una cuerda en el vrtice
P de manera que la cuerda siempre quede tensa y paralela al plano inclinado.
Cul es el ngulo para el cual el bloque est a punto de volcarse? La
relacin entre las dimensiones del bloque es b/a = 4 y el coeficiente de
rozamiento esttico entre el bloque y el plano inclinado es e = 0.8.
Solucin: = 61.6
a
b
37
D
A
30
22.- Una escalera de masa m se apoya contra una gran esfera pulida de radio R que se encuentra fija
sobre un suelo horizontal. La escalera forma un ngulo de 60 con la horizontal y su longitud es de L = 5R/2.
La esfera no ofrece ningn tipo de rozamiento. a) Calcula la altura h sobre el suelo del punto de contacto
b) e = 0.38
45
B
45
A
24.- Doblamos un alambre de masa m, longitud L, y de seccin constante por su punto medio, de
manera que ambas mitades forman un ngulo . Determinar el valor de este ngulo para que, al colgar el
alambre por un extremo, cuando alcance el equilibrio, el segmento libre permanezca en posicin horizontal.
Solucin: = 70.53
Cable tensor
Pluma
60
5000 N
20
a
27.- Un bloque rectangular de densidad uniforme se sita sobre un plano
inclinado como indica la figura. Si el coeficiente de rozamiento esttico es e =
0.4, deslizar el bloque o volcar, al aumentar lentamente el ngulo ?
Solucin: El deslizamiento ocurrira con un ngulo
d = 21.8
pero primero ocurre el vuelco con un ngulo
v = 18.4
3a
A
30.- Una esfera uniforme, de 3 kg de masa y 20 cm de radio, se mantiene
en reposo sobre un plano, inclinado 30 respecto a la horizontal, mediante una
cuerda horizontal, como indica la figura. Calcular: a) La tensin de la cuerda, b)
la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre la esfera, c) la fuerza de
rozamiento que acta sobre la esfera.
Solucin: a) T = 7.88 N
b) N = 29.4 N
c) Froz = 7.88 N
b) T = 3 (1- 12)
Solucin: a) x =
L/2
3(12 - )
R
L
L/3
ESTTICA DE FLUIDOS
1.- En dos tubos comunicantes que contienen mercurio (= 13.6 g/cm3) se echan por uno de ellos
alturas iguales de agua primero y aceite (= 0.91 g/cm3) despus, y por el otro igual altura de un cierto
lquido. El nivel del mercurio en este ltimo tubo queda sobre el otro 1/20 de la altura dicha. Calcula la
densidad de este ltimo lquido.
Solucin: = 1.23 g/cm3
2.- Un tubo en U est parcialmente lleno de agua. Otro lquido, que no se mezcla con el agua, se vaca
por un lado hasta que queda a una altura d sobre el nivel del agua del otro lado, que mientras tanto se ha
elevado una altura L. Encontrar la densidad del lquido con relacin a la densidad del agua.
Solucin: lquido= (2 L agua)/(2L + d)
3.- Dos depsitos cerrados de gran seccin y altura estn adosados como
muestra la figura. El depsito ms bajo est completamente lleno de agua y el otro
completamente lleno de aceite de 0.6 g/cm3 de densidad. A 20 cm del techo del
depsito de agua hay un orificio O que conecta ambos depsitos y que est
inicialmente cerrado. Al abrirse el orifico: a) cul de los lquidos pasara al
depsito contiguo?, b) qu altura bajar el nivel de dicho lquido?
Solucin: a) Pasar agua al depsito de aceite, y aceite al depsito de agua.
b) En el depsito de agua bajar el nivel de agua 5 cm.
20 cm
agua
30 cm
O
aceite
4.- Una esfera hueca de hierro de densidad 7.7 g/cm3 y de radio exterior l0 cm, se sumerge en alcohol
de densidad 0.8 g/cm3 hasta su mitad. Cul es su espesor E?
Solucin: E= 0.18 cm
5.- Una caja rectangular de 60 kg de masa que est abierta por su parte superior, tiene dimensiones en
su base de 1m de ancho por 0.8 m de largo y una altura de 0.5 m. a) Qu longitud de la altura de la caja
vaca quedar sumergida si flota en agua? b) Calcula la masa de lastre que se tendra que meter en la caja
para que la longitud sumergida fuera de 30 cm.
Solucin: a) 7.5 cm
b) 180 kg.
6.- Se echa un cubo de plstico en una vasija que contiene agua y una capa de aceite de densidad 0.85
3
g/cm . El cubo queda flotando entre el agua y el aceite con los 3/4 de su arista sumergido en agua y sin
sobresalir por la superficie superior del aceite Cul es la densidad del plstico?
Solucin: plstico= 0.96 g/cm3
7.- Un taco de madera de 40 g se sujeta a un hilo de peso despreciable. El otro extremo del hilo va al
fondo de un recipiente y se ata a un dinammetro situado en el fondo y hacia arriba, consiguiendo que el taco
est completamente sumergido. El dinammetro seala 50 gramos. Hallar la densidad de la madera.
Solucin: madera = 0.44 g/cm3.
8.- Tenemos dos vasos iguales, llenos de agua hasta los bordes, pero en uno no hay ms que agua,
mientras que en el otro flota un trozo de madera. Cul de los dos vasos con su contenido pesa ms?
9.- La densidad del hielo es de 920 kg/m3 y la del agua salada 1030 kg/m3 . Cul es el porcentaje de
volumen sumergido de un iceberg?
Solucin: 89%
10.- En un recipiente hay mercurio de densidad 13.6 g/cm3 y por encima de l otro lquido de
densidad desconocida. Un cuerpo de latn de densidad 8.6 g/cm3 se encuentra en equilibrio
completamente sumergido entre ambos lquidos de forma que el cuerpo emerge del mercurio un volumen V2
y la razn del volumen total V a V2 es V/V2= 2.52. Calcula la densidad del otro lquido.
Solucin: = 1 g/cm3
11.- Un tubo cilndrico hueco de 20 cm de dimetro cerrado por su base inferior y de 15 kg de masa,
flota en el agua, con 10 cm de su altura por encima del nivel del agua cuando lleva colgado de su base
inferior un bloque de hierro de 10 kg. a) Calcula el periodo de las oscilaciones armnicas verticales que
ejecuta el conjunto cuando se le separa muy poco de su posicin de equilibrio hundindole una pequea
longitud extra x. b) Si el bloque se coloca ahora dentro del tubo, qu parte de la altura del tubo se
encontrar por encima de la superficie del agua? La densidad del hierro es 7.8 g/cm3.
Solucin: a) T = 1.79 s
b) 5.92 cm
12.- Un cilindro de madera (= 0.8 g/cm3) tiene de radio r = 2 cm y 1 cm de altura. Flota en el agua
con sus bases horizontales. Calcula el perodo de las oscilaciones armnicas que ejecuta cuando se le separa
muy poco de su posicin de equilibrio hundindole una pequea longitud x.
Solucin: T = 0.18 s
13.- Una barra homognea de 1 m de longitud y de peso despreciable est apoyada por su centro. A 75
cm de un extremo se cuelga un slido de masa m y a 10 cm del dicho extremo una masa m' para que el
conjunto est en equilibrio. Se introduce el slido en aceite con ' = 0.8 g/cm3 teniendo que poner la masa m'
a 18 cm del mismo extremo para seguir manteniendo el equilibrio. Cul es la densidad del slido?
Solucin: = 4 g/cm3
14.- Qu longitud L hay que dar a un cilindro de platino de densidad 21.4 g/cm3 que ha de lastrar a
un cilindro de densidad 7.7 g/cm3, del mismo dimetro y 12 cm de longitud para que el sistema flote
verticalmente en mercurio de densidad 13.6g/cm3 y emerja una longitud de 2 cm? Determina el periodo de
las oscilaciones verticales del sistema cuando se le empuja ligeramente.
Solucin: a) L= 5.59 cm
b) T= 0.79 s
15.- Cunta agua se derramar al fundirse un pedazo de hielo de 50 g. de masa que est flotando en
un recipiente lleno de agua hasta los bordes?
16.- Un nio juega con un barco cargado con tornillos, el barco con los tornillos en su interior flota en
una baera. Si el nio saca los tornillos del barco y los echa al agua, con lo cual el barco flota vaco, el nivel
del agua de la baera ascender o descender?
17.- De una balanza de resorte cuelga un vaso de vidrio con agua y la balanza marca 273 g. En el agua
se sumerge una piedra atada a un hilo fino sin que la piedra se apoye en el fondo del vaso, y el ndice de la
balanza marca 322 g. Se suelta el hilo y la piedra cae al fondo del vaso, la balanza indica 395 g. Calcula la
densidad de la piedra.
Solucin: piedra= 2.49 g/cm3.
18.- Un submarino de 1500 toneladas de masa necesita cargar sus depsitos de lastre con 3 105 litros
de agua para poder permanecer sumergido en equilibrio, cuando navega por el ocano cuyas aguas tienen
una densidad de 1.03 g/cm3. En el hipottico caso de que la densidad del agua dependiera de la profundidad,
h, como (h) = K h (S.I.), donde K = 0.4 kg/m4, Entre qu profundidades podra navegar el submarino si el
mximo lastre posible fuera 5 105 litros de agua?
Solucin: Profundidad mxima = 2985 m
Profundidad mnima = 2569.7 m
19.- Un trozo de cera de densidad 0.9 g/cm3 y 50 g de masa lleva incrustado un trozo de plata de 8 g
de manera que el conjunto permanece en equilibrio totalmente sumergido en agua salada de densidad 1.03
g/cm3. Cul es la densidad de la plata?
Solucin: Ag= 10.59 g/cm3
20.- Un bloque cbico de acero de densidad 7.8 g/cm3 y arista L flota en mercurio de densidad 13.6
g/cm3. a) Qu fraccin del bloque se encuentra por encima de la superficie del mercurio? b) Si se vierte
agua sobre el mercurio, qu profundidad ha de tener la capa de agua para que su superficie alcance
justamente la parte superior del bloque de acero?
Solucin: a) 43% del volumen del bloque
b) Profundidad= 0.46 L
21.- En uno de los platillos de una balanza se coloca una tara constante y en el otro un recipiente. Para
que exista equilibrio, hay que poner sucesivamente las siguientes masas en el platillo donde est el
recipiente: 142.5 g cuando el recipiente est vaco; 130 g cuando est lleno de agua; 15.37 g cuando se
sustituye el agua por un cuerpo cuya densidad se quiere hallar: 14.12 g cuando, dejado el cuerpo, se llenan
los huecos con agua. Hallar la densidad del cuerpo.
Solucin: 11.3 g/cm3
22.- Un cilindro C de 2 kg de masa y 700 cm2 de seccin est
sumergido en agua como indica la figura. La parte inferior del cilindro
est ligeramente introducida en un tubo T, que est cerrado por la parte
inferior. El cilindro C ajusta perfectamente con el tubo T, sin existir
ningn rozamiento entre ellos. Cul debe ser la presin mnima d
dentro del tubo T para que el cilindro C se desprenda?
Datos: d = 20 cm, h = 1m, presin atmosfrica Po = 1.013 105 Pa.
Solucin: Pmin = 93740 Pa = 0.925 atm
23.- Qu radio mnimo debe de tener un globo hinchado con
hidrgeno para que sea capaz de elevar una masa de 1000 kg?
Densidad del hidrgeno 0.09 kg/m3 y densidad del aire 1.293 kg/m3.
Solucin: Rmin= 5.83 m
10 cm
aceite
d
agua
26.- Un buque tiene una masa total de 2000 toneladas cuando lleva su carga mxima en el mar. Qu
masa debe quitarse al navegar por un ro? Densidad del agua de mar 1.03 g/cm3. Densidad del agua del ro=
1 g/cm3.
Solucin: 58252.43 kg
27.- Un cubo de material ligero, de 0.7 g/cm3 de densidad, de 20 cm de arista,
est en el fondo de un recipiente que contiene aceite (= 0.8 g/cm3) a 40 cm de la
superficie libre desde su base superior. La base inferior del cubo est sobre un
orificio circular de 200 cm2 de una caera de desage que sobresale dos milmetros
del fondo del recipiente y cuyo grueso de pared es despreciable. Calcula en Kp/cm2
la presin mnima del aire que habr que inyectar por la caera de desage para que
el cubo se desprenda.
Solucin: Paire= 0.044 kp/cm2 + Patm= 4312 Pa +Patm.
40 cm
cm y densidad = 0.9 g/cm3. Calcula a) la longitud L del cilindro que se encuentra sumergida en el agua y,
b) las alturas de los dos lquidos sobre el fondo el recipiente.
Solucin: a) L = 5 cm
b) Hag = 14 cm
Hac = 26 cm
29.- Las dos bolas de la figura se hallan unidas por un hilo. En el equilibrio que
muestra la figura, la bola superior flota sumergida en el agua hasta su mitad. La bola
inferior es tres veces ms pesada que la superior. El volumen de cada bola es de 10
cm3. Calcula: a) la tensin en el hilo que une las bolas y, b) las densidades del
material de cada bola.
Solucin: a) T = 12.25 10-3 N
3
b) sup = 0.375 g/cm
inf = 1.125 g/cm3
30.- Un cilindro hueco de madera, de densidad mad = 0.3 g/cm3, de radio
interior R1 = 10 cm, radio exterior R2 = 15 cm y longitud L = 50 cm, flota en el
agua estando sumergida una longitud h. A continuacin se introduce dentro del
cilindro un mbolo de aluminio de densidad Al = 2.66 g/cm3. Entre el mbolo y
el cilindro de madera no existe rozamiento. En el equilibrio la base del mbolo
est a 7 cm por encima de la base del cilindro. Calcula: a) la longitud h y, b) el
grosor x del mbolo.
Solucin: a) h = 15 cm
b) x = 3 cm.
31.- Un cilindro ligero de densidad c = 0.8 g/cm3, de altura h =
10 cm, obtura un orificio circular como indica la figura. El recipiente
contiene agua de forma que su nivel est a H = 15 cm de altura sobre el
fondo. El valor de la presin atmosfrica es de 1.013 105 Pa. Calcular la
presin p en la parte inferior del cilindro para que ste permanezca en
equilibrio estando la mitad de su volumen dentro del recipiente. No
existe rozamiento entre el cilindro y el orificio.
Solucin: p = 103064 Pa
H
h
p?
Patm
L
AIRE
H?
P1
AGUA
B
L
Hg
34.- La tapa del recipiente de la figura ajusta perfectamente y desliza sin rozamiento;
tiene una seccin de 600 cm2 y una masa de 2 kg. Realizando un esfuerzo de aspiracin
intenso, la presin alveolar en los pulmones puede ser 80 mm de Hg inferior a la presin
atmosfrica. a) En estas condiciones, a qu altura mxima hmax puede aspirarse con la
boca agua del recipiente, utilizando un pequeo tubo de plstico? b) Qu masa habra que
poner encima de la tapa para poder aspirar hasta la misma altura un lquido de 1200 kg/m3
de densidad?
Solucin: a) hmax = 1.12 m
b) m = 13.35 kg
35.- Un objeto de seccin cuadrada se encuentra flotando en agua, en
equilibrio, como muestra la figura. Su densidad vara con la altura siguiendo
la expresin (h) = K h, siendo K una constante y h la altura. Hasta qu
profundidad x estar hundido dicho objeto? Datos: K = 1000 kg/m4; L = 20
cm; H = 1 m.
Solucin: x = 0.5 m
DINMICA DE FLUIDOS
1.- En un determinado punto de una tubera vertical, la velocidad del fluido es de 1 m/s y la presin de
3 .105 Pa. Halla la presin en un segundo punto de la tubera situado 20 m por debajo del primero, si la
seccin transversal en este segundo punto es la mitad que la del primero. El fluido de la tubera es agua.
Solucin: P2= 4.945 . 105 Pa
2.- El ala de un avin tiene 4 metros cuadrados de superficie y 300 kg de masa. La velocidad del aire
en la cara superior es de 70 m/s y debajo de la cara inferior de 50 m/s. Cul es la fuerza de sustentacin del
ala? Cul es la fuerza que acta sobre ella?. Densidad del aire 1.29 kg/m3
Solucin: Fsusten= 6192 N
Fneta= 3252 N
3.- Por un tubo circula agua con un gasto de 500 lit/s. Calcula la diferencia de presiones en dos puntos
situados a una distancia vertical de 10 m, sabiendo que la seccin del tubo en la parte ms alta es doble que
la correspondiente al punto ms bajo (200 cm2).
Solucin: Parriba- Pabajo= 136375 Pa
4.- Una corriente de agua circula por cierta conduccin que termina en otra de dimetro mitad,
formando el conjunto un ngulo de 30 con la horizontal. Un manmetro nos seala una diferencia de
presin de 10 cm de Hg entre dos puntos situados un metro antes y despus de la unin de ambos tubos.
Qu diferencia presentar la velocidad del agua en tales puntos?
Solucin: vantes= 0.68 m/s
vdespus= 2.72 m/s
v= 2.04 m/s
5.- Un jardinero emplea para riego una manga cuya embocadura tiene forma de tronco de cono cuyas
secciones de las bases son: 5 cm2 y 1 cm2. La diferencia de presiones en las bases es de 1 atm, estando dicha
embocadura inclinada 30. Hasta dnde alcanzar el agua?. Despreciar la diferencia de presin debida a la
altura
Solucin: Alcance del agua= 18.65 m
6.- Por qu es peligroso estar cerca del paso de un tren que va a gran velocidad? Explcalo
fsicamente.
7.- Para saber la velocidad del agua en una tubera empalmamos en ella
un tubo T de menor seccin. Colocamos dos tubos manomtricos A y B uno en
la tubera y el otro en el tubo T, y medimos la diferencia de altura entre los
niveles superiores del lquido en tales tubos, que resulta ser de 5 cm. Sabiendo
que la seccin de T es 10 veces menor que la de la tubera, calcula la velocidad
del lquido en sta.
Solucin: vtubera= 0.1 m/s
8.- Para medir la velocidad de las aguas de un ro se introduce en l un tubo
acodado en ngulo recto con un pequeo orificio en su extremo, como indica la
figura. El agua asciende en el tubo una altura h = 10 cm. Calcula la velocidad del
ro.
Solucin: v= 1.4 m/s= 140 cm/s.
5 cm
tubera
tubo T
10 cm
11.- El agua fluye con un gasto de 30 ml/s a travs de una abertura que se encuentra en el fondo de un
depsito que contiene lquido hasta un altura de 4m. Calcula el gasto a travs de la abertura si se le aade en
la superficie libre del lquido una presin de 50 kPa.
Solucin: gasto= 4.52 . 10-5 m3/s = 45.2 ml/s
12.- En un recipiente de seccin muy grande S1 se echa agua a razn de 0.2 litros por segundo. Qu
dimetro debe de tener el orificio que hay en el fondo del recipiente para que el agua se mantenga en l a un
nivel constante de h = 8.3 cm?
Solucin: 1.41 cm.
13.- Un recipiente de seccin muy grande S1 est lleno de lquido hasta una altura h. A qu altura del
fondo hay que abrir un orificio de seccin muy pequea para que el chorro corte al plano del fondo en un
punto tal que su distancia a la pared del recipiente sea la misma que la altura del orificio sobre el plano del
fondo.
Solucin: Hay que abrirlo a una altura del fondo igual a 4h/5.
14.- En la pared lateral de un depsito lleno de agua hasta una altura que se puede considerar constante
de 180 cm, hay dos orificios situados en la misma vertical. Abiertos los dos, se observa que el alcance
horizontal de las dos venas es el mismo. Calcula la distancia del orificio superior a la superficie libre,
sabiendo que el inferior dista 40 cm del fondo del depsito.
Solucin: distancia= 0.4 m = 40 cm
15.- De un depsito abierto A de seccin muy grande sale agua
continuamente a travs de una tubera por el orificio C, como indica la figura.
El nivel del agua en A se supone constante y a una altura H = 12m. La altura
del orificio C es de h = 1.2 m. El rea de la seccin de la tubera es de 450 cm2
y la del orificio C es de 225 cm2. Calcula: a) La velocidad del agua y la
presin en el punto R de la tubera. b) El gasto del caudal circulante en
litros/segundo.
Solucin: a) vR= 7.275 m/s
PR= 180688.4 Pa = 1.783 atm
b) G = 327.4 lit/s
H
R
h
16.- Un recipiente cilndrico de dimetro D = 0.5 m tiene en su fondo un orificio circular de dimetro
d = 1 cm. Hallar la velocidad v con que baja el nivel de agua en este recipiente en funcin de la altura h de
dicho nivel. Hallar el valor numrico de esa velocidad para la altura h = 0.2 m. Suponer el lquido
incompresible.
d2
Para h= 0.2m
v= 7.92 .10-4 m/s
Solucin: Como D>>d
v(h)= 2 2 g h
D
17.- En la tubera horizontal de la figura, de secciones S1 = 10
2
cm y S2 = 5 cm2, circula agua con un caudal de 1 dm3/s. Calcula la
alura mxima h que debe tener la turbera sobre el depsito abierto a la
atmsfera para que el agua pueda ascender hasta la turbera horizontal.
Solucin: hmax= 15.3 cm
18.- Los dos depsitos abiertos, A y F, de la figura tienen una
seccin muy grande y contienen agua. Un tubo horizontal BCD, que
tiene un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depsito A, y
un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se introduce en el
agua del depsito F. Si la seccin transversal en C es la mitad que en D,
y si D se encuentra a una distancia h1 por debajo del nivel del lquido en
A, qu altura h2 alcanzar el lquido en el tubo E? Expresa la respuesta
en funcin de h1 y desprecia las variaciones de la presin atmosfrica
con la altura.
Solucin: h2= 3 h1
S2
S1
S1
h
B
E
C D
h2
h1
ho
S d (d + 2xo)
masa de agua =
4 ho
xo
20.- Un recipiente cilndrico tiene 0.1 m de dimetro y 0.2 m de altura. En su base se abre un orificio
de 1 cm2 de seccin transversal. Se deposita agua en el recipiente a razn de 1.4 10-4 m3/s. a) Calcula a qu
altura H llegar el nivel de agua en el recipiente. b) Despus de alcanzar dicha altura, se detiene el flujo de
agua hacia el recipiente. Halla el tiempo necesario para que el recipiente quede vaco.
Solucin: a) H = 0.1m
b) t = 11.22 s
21.- Un depsito cilndrico de altura h = 1 m est lleno de agua hasta los bordes. a) Cunto tiempo
tardar en salir todo el agua a travs de un orificio situado en el fondo del depsito? El rea de la seccin
transversal del orificio es 400 veces menor que el de la seccin transversal del depsito. b) Comparar ese
tiempo con el que sera necesario para que saliera una cantidad igual de agua si el nivel de sta en el depsito
se mantuviera constantemente a la altura de 1 m sobre el orificio.
Solucin: a) t = 180.7s
b) t = 90.35s , es decir, la mitad de tiempo.
22.- Un canal conductor de agua de seccin
rectangular variable tiene, en una cierta zona, una
profundidad que vara segn la figura. Disponemos de dos
tubos acodados en ngulo recto con un pequeo orificio en
su extremo, que se introducen, respectivamente, en la zona
ancha y poco profunda y en la zona estrecha y profunda. El
agua asciende en los tubos una altura h1 y h2,
respectivamente. Calcular, en funcin de d1, d2, h1 y h2, la
razn (cociente x1/x2) entre las anchuras x1 y x2 del canal
en las zonas consideradas.
h2
x1 d2
Solucin: x = d
h1
1
2
h1
h2
d1
d2
R
2m
1m
h
30
24.- Un tubo cilndrico vertical de 100 cm2 de seccin tiene en su parte superior un mbolo de 4 kg
que ajusta sin rozamiento con dicho cilindro. En la parte inferior tiene un orificio de 10 cm2 . El tubo est
lleno de un lquido cuya densidad es de 1.1 g/cm3. Determinar la velocidad de salida del lquido en el
instante en que la altura de ste es de 0.5 m.
Solucin: v = 4.13 m/s
25.- Se quiere realizar un agujero en la pared de un recipiente cilndrico lleno de agua hasta una altura
H. A qu altura L respecto al suelo debe taladrarse dicho agujero para que el agua arrojada alcance el suelo
lo ms lejos posible del cilindro? Suponer que el dimetro del depsito es mucho mayor que el dimetro del
agujero.
Solucin: L = H/2
26.- Una fuente lanza un fino chorro de
agua a una altura de 4 H sobre el suelo. La
boquilla de salida est a nivel del suelo. La fuente
est alimentada por un depsito cerrado de gran
seccin que se encuentra enterrado como indica la
figura. La tubera que conecta el depsito con la
salida tiene una seccin cuatro veces mayor que la
seccin de la boquilla. Calcula: a) la presin P que
tiene el aire encerrado en el depsito; b) la presin
que soporta la llave A de salida del depsito
cuando se halla abierta. Dar los resultados en
funcin de densidad del agua , la gravedad g, la
altura H y de la presin atmosfrica Po.
Solucin: a) P = Po + 5 g H
b) PA = Po + 23 g H/4
Po
Boquilla
H
P?
A
x
2 Po
h?
3m
B
28.- Las dos alas de una avin tienen una superficie conjunta
de A metros cuadrados. La masa del avin es de M kg. Cuando el
avin vuela a una velocidad va m/s, la velocidad del aire en la cara superior del ala es vs = va y la
velocidad del aire en la cara inferior del ala es vi = (1 - ) va, siendo un parmetro que controla la posicin
de las alas respecto al viento. Con todas estas consideraciones, calcula el valor de para que el avin viaje a
una altura constante. Densidad del aire . Da el resultado en funcin de M,
g, A, , y va.
2Mg
1
h' '
)
Solucin: = 2 (1 +
A va2
29.- Un depsito de gran seccin y abierto a la atmsfera contiene
dos lquidos de densidades y ' y tiene dos orificios como indica la
figura. Conociendo h, calcula la altura h' para que la distancia x sea la
misma para los dos lquidos. Da el resultado en funcin de h, , y '.
h
Solucin: h' =
2 (2 - ')
h/2
2
E
30.- El pulverizador de insecticida de la figura est
3
1
formado por un tubo de tres tramos con secciones distintas 1, 2
aire
y 3. El nivel del insecticida est a una altura H por debajo de la
seccin 2. La relacin entre la densidad del aire y del H
insecticida es i = 990 a . Las relaciones entre las reas de
las secciones 1, 2 y 3 son A3 = 8 A2 y A3 = 3 A1 . a)
insecticida
Calcula la velocidad mnima con que debe moverse el mbolo
E para que el aire que sale por el extremo del pulverizador
contenga gotas de insecticida. Da el resultado en funcin de la gravedad g y H. b) Para esta situacin, calcula
la presin del aire dentro de la seccin 3 del tubo. Da el resultado en funcin de la presin atmosfrica Po, g,
b) P3 = Po + 144 a g H
H y a.
Solucin: a) v3 = 6 gH
31.- Un tubo largo de plstico se usa como sifn para extraer agua
de un depsito de gran seccin como indica la figura. La seccin de la
boquilla final B del tubo es la mitad de la seccin del tubo. El nivel del
agua en el depsito es H= 4 m. La altura L del sifn sobre el nivel del
depsito es fija y vale L=2m. Si en algn punto dentro del tubo la
presin del agua es inferior a la presin atmosfrica externa en ms de 25
kPa, el tubo se rompe y la extraccin de agua se detiene. Calcula hasta
qu altura mnima, hmin, sobre el suelo podemos bajar la boquilla B sin
que el tubo llegue a romperse.
Solucin: hmin
= 1.79 m
32.- Un gran depsito de agua abierto de altura H=2
m tiene una tubera de desage sabierta a la atmsfera egn
la figura. Dicha tubera tiene dos tramos de distintas
secciones. El tramo ms ancho tiene seccin S1 doble que el
tramo ms estrecho S2. Un tubo manomtrico que contiene
agua indica una h=10 cm. Calcular la presin P1 del agua en
el tramo ancho de la tubera.
Solucin: P1 = Patm +19273.3 Pa
S2
S1
B
hmin?