ARITMETICA
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optativas, sin embargo es una buena oportunidad para intercambiar ideas y reflexiones
sobre el funcionamiento de la divisin en el conjunto de los nmeros enteros y continuar
construyendo un marco de referencia.
Cmo se relaciona la regla de los signos en las divisiones (-10):3 y 10:(-3)? Las
dos divisiones anteriores, no deberan tener igual cociente y resto?
Busquen formulaciones de la regla de los signos en libros de texto o en pginas
de Internet. En este ltimo caso, analicen si se explicita en qu conjunto
numrico se est planteando y cul es la definicin de divisin que se asume.
Los espero!
Vanesa
Estimados Colegas:
Hemos llegado al final de la clase 3 y por ende damos por finalizada la participacin en
este foro.
Han intercambiado muchsimo! Los felicito por eso. No solo la lectura enriquece
nuestros conocimientos, sino tambin el intercambio con nuestros colegas.
Como producto de sus ideas, les dejo un breve resumen de los conocimientos
importantes que compartieron teniendo como gua las siguientes preguntas:
En la segunda pregunta, todos coincidieron que si a y b son dos nmeros naturales con
a<b, entonces en Z el cociente es 0 y el resto a, pero no siempre suceder lo mismo si
tanto el dividendo como el divisor son enteros y a<b. Expongo el contraejemplo en
donde el dividendo es un nmero entero negativo y el divisor un entero positivo, que
nos propuso Raquel: (-20):(-5)=4 cociente=4 resto =0, de manera tal que se verifica
que: (-20)=(-5).4+0 , no se cumplen las condiciones dadas que el resto es a y el cociente
0.
+:+=+
:=+
+:=
:+=
Los autores en el texto de la clase mencionan que: la regla de los signos informa sobre
el signo del cociente de una divisin de dos nmeros. En el caso en que la divisin sea
exacta, el cociente puede encontrarse realizando la divisin en N. Esta regla solo se
refiere al signo del cociente, pero no afirma nada sobre el valor del cociente.
(-10) : 3
(-10) = 3 ( -4) +2
10 : (-3)
En estas divisiones enteras como las anteriores, cambia los signos del dividendo y
divisor resultando en ambas el cociente negativo. No obstante, coincide el valor
absoluto del dividendo y divisor de las dos, pero no sucede lo mismo con el cociente y
el resto; ya que estos resultan diferentes.
Vanesa
"Se sabe que si a y b son dos nmeros naturales con a<b, entonces en Z el cociente es 0
y el resto es a. Suceder lo mismo si tanto el dividendo como el divisor son enteros y
a<b?
- Si a<0 y b>0 no vale. Miramos un contraejemplo: a=-2 y b=3, para que valga la
condicin que el resto sea mayor que cero tendremos:
Nos leemos!
Majo
Seguimos.
Saludos
Mara Teresa
hola a todos dejo mis aportes a las consignas propuestas para la clase 3. Buen domingo
par todos!!!
=( -204)(-23) +20
= 204(- 23) - 20
= 204(-23)- 23 +23- 20
= 205 (- 23)+3
Cmo se relaciona la regla de los signos en las divisiones (-10):3 y 10:(-3)? Las
dos divisiones anteriores, no deberan tener igual cociente y resto?
Esto se debe a que, por el algoritmo de la divisin, el resto debe ser siempre no
negativo, es decir, positivo o cero.
Por ejemplo: 10/3 = 3 y r 1, pero sin embargo, (-10) / 3 = (-3) y r (-1), de esta
manera, el algoritmo quedara formado de la siguiente manera: (-10) = (-3).3+(-1)
lo que no se comprueba ya que el resto es negativo. Para solucionar este problema,
lo que hacemos es sumar y restar 3, y luego conmutar y asociar convenientemente
para obtener: (-10) = (-3).3+(-1)+3-3 = [(-3).3-3]+(-1+3)
La regla de los signos informa sobre el signo del cociente de una divisin de dos
nmeros Z. Por ejemplo, -6/3 = 6/-3 = - (6/3) = -2 as como (-6) /(-3) = 6/3 = 2.
2 5 = 10
(2) (5) = 10
2 (5) = 10
(2) 5 = 10
http://www.ditutor.com/numeros_enteros/ley_signos.
http://www.edu365
A partir del anlisis vemos ampliado el campo de enseanza para las operaciones
de divisin. Hago referencia a esto en el sentido de que ser necesario reconocer si
estamos trabajando sobre el campo de los nmeros N o Z, que as mismo podran
introducir la nocin del valor absoluto de un Z. Si bien es posible realizar la
divisin entre dos nmeros Z, debemos considerar algunas restricciones definidas
en los N:
Respondan:
Cmo se relaciona la regla de los signos con estos ejemplos? Las dos
divisiones anteriores, no deberan tener igual cociente y resto?
Para (10):3 a 0
Para N 10 = 3.3 + 1
(-10 ) = 3 (- 3) 3 + 3 1
(-10 ) = 3 (- 3-1) + 2
Para 10:(3) b 0
Para N 10 = 3.3 + 1
10 = (- 3 ). ( 3 ) + 1 con 0<1<|-3|
Vemos que las divisiones tienen diferentes cociente, y resto respectivamente, aunque
ambos negativos.
https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KK5vE1152PY
En este video slo presentan divisiones con resto cero. No se ocupan de hacer divisiones
con resto distinto a 0
http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/multiplicacin_y_divisin_de_nmer
os_enteros.html
Mara Teresa
http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL003226.pdf
Analizar diferencias y similitudes entre las propiedades de los nmeros enteros (Z) y los
racionales (Q) (orden, discretitud y densidad).
Coincido con lo expuesto por el compaero Luis Atilio Pecci ambos estamos hablando
de la provincia de Cordoba
Quehacer matemtico personal (6)
Se sabe que si a y b son dos nmeros naturales con a<b, entonces en Z el cociente es 0 y
el resto a. Suceder lo mismo si tanto el dividendo como el divisor son enteros y a<b?
Con respecto a este quehacer me hizo reflexionar y lo primero que pens es que sia<b
en los naturales no tiene una solucin porque a>b sino entramos en otro conjunto
numrico los racionales.
a:b= -c.b-1
en los enteros me parece que para que se cumpla tienen que ser el dividendo solo
negativo.
Cmo se relaciona la regla de los signos con estos ejemplos? Las dos divisiones
anteriores, no deberan tener igual cociente y resto?
Busquen formulaciones de la regla de los signos en libros de texto o en pginas
de Internet. En este ltimo caso, analicen si se explicita en qu conjunto
numrico se est planteando y cul es la definicin de divisin que se asume.
Para la primera segn lo deducido deben tener el cociente y el resto deben ser negativos
para poder generalizar y se comprobara con el ejemplo dado el quehacer 6.
Con respecto al segundo interrogante las paginas actuales de internet dicen regla de
signos para la multiplicacin y divisin solo figurando las de multiplicacin en algunos
casos.
Dado que el producto del cociente por el divisor debe ser igual al dividendo, se deduce
que, si el dividendo es positivo, el cociente debe tener el mismo signo que el divisor, y,
si el dividendo es negativo, el cociente debe tener distinto signo que el divisor. Esta
observacin se generaliza en la regla de los signos de la divisin, que simblicamente
puede expresarse as:
+:+=+
+:-=-
-:+=-
-:-=+
Dividir un nmero entero a por otro b, siendo a mltiplo de b, y b=0es hallar un tercer
nmero c tal que multiplicado por b d por resultado a.
Foro clase 4
Les dejo algunas conclusiones de lo acordado y de las ideas que quedaron abiertas para
seguirlas pensando
Respecto al QMP (9), Andrea y Claudio nos propona las siguientes cuestiones con
conclusiones muy interesantes de destacar:
Hay divisiones que pueden ser resueltas en un nuevo conjunto, que no se poda resolver
en el anterior, cuando pasamos por N,Z y D.
En N 3 : 5 No existe
En Z 3 : 5 3= 5 x 0 +3
Cules son las condiciones para que el cociente sea un nmero decimal y el resto=0?
= 47 : 125
=0,376
En los tres ejercicios tenamos que agregarle la coma, pero en el primero correr
tres lugares,
En el segundo dos lugares y en el tercero correr un lugar la coma.
Milena, propona una posible la siguiente justificacin para los clculos de la actividad:
"Me parece que un posible camino de respuesta puede venir del hecho que los factores
a multiplicar en la ltima divisin son mltiplos de 5 y de 2 respectivamente, por lo que
su producto resultar mltiplo de 10. Y al ser nmeros decimales ambos, el "mltiplo"
de 10 resultante quedar con un cero decimal a la derecha del ltimo nmero no cero,
por lo cual lo eliminaremos y as nos quedar "un lugar menos" decimal en el
producto."..Interesante, no?
Saludos, Vanesa
uenas noches Vanesa y compaeros, tengo una duda con el quehacer matemtico 9 que
en la clase dice compartirlo en el portafolio y en el foro compartirlo con los compaeros
por lo pronto hasta saber en donde es, voy compartiendo el quehacer matemtico 10.
En los tres ejercicios tenamos que agregarle la coma, pero en el primero correr tres
lugares,
Sabiendo que 1,21 : 0,5 = 2,42, determinar si es posible -sin realizar nuevamente
la divisin- el cociente de las siguientes divisiones:
Claudio
Sin embargo, si nos fijamos en la divisin anterior "864 : 3,6 = 2,4, lo correcto es: 8,64
: 3,6 = 2,4" corres dos lugares la coma, y sin embargo tanto del dividendo como el
divisor tienen un slo decimal.
Me parece que un posible camino de respuesta puede venir del hecho que los factores a
multiplicar en la ltima divisin son mltiplos de 5 y de 2 respectivamente, por lo que
su producto resultar mltiplo de 10. Y al ser nmeros decimales ambos, el "mltiplo"
de 10 resultante quedar con un cero decimal a la derecha del ltimo nmero no cero,
por lo cual lo eliminaremos y as nos quedar "un lugar menos" decimal en el producto.
Qu te parece?
Hola Colegas!
Podemos decir que las divisiones planteadas son exactas en todos los casos, ya que:
Para el divisor 1,25 se tiene: 1,25 = 125/100= 5/4 = 5/22 (el divisor se puede expresar
como una fraccin irreducible cuyo denominador es potencia de 2).
Para el divisor 3,6 se tiene: 3,6 = 36/10 = 18/5 (el divisor se puede expresar como una
fraccin irreducible cuyo denominador es 5)
Para el divisor 2,5 se tiene: 2,5 = 25/10 = 5/2 (el divisor se puede expresar como una
fraccin irreducible cuyo denominador es 2)
Por ser divisiones exactas, el dividendo se puede obtener multiplicando el divisor por el
cociente:
2,5 x 1,25 = 3,125 (Se multiplica 25 x 125 = 3125 y luego se coloca coma en 3,125; ya
que el resultado debe tener tres lugares decimales, suma de la cantidad de lugares
decimales de los factores)
3,6 x 2,4 = 8,64 (Se multiplica 36x24 = 864 y luego se coloca coma en 8,64; ya que el
resultado debe tener dos lugares decimales, suma de la cantidad de lugares decimales de
los factores)
2,5 x 1,4 = 3,50 (Se multiplica 25x15 = 350 y luego se coloca coma en 3,50; ya que el
resultado debe tener dos lugares decimales, suma de la cantidad de lugares decimales de
los factores)
Para explicar esta situacin cito la siguiente propiedad: Dados dos nmeros a y b
decimales con b0, entonces si se modifica el lugar donde se ubica la coma en uno,
otro o en ambos nmeros, no cambia el carcter de decimalidad. Ya que cambiar la
coma de lugar corresponde multiplicar o dividir por 10 o por una potencia de 10, y eso
no hace cambiar la decimalidad. (Material para trabajar las actividades de la Clase 4)
Aplicando esta propiedad: 3,5 : 2,5 = 3,50 : 2,5 = 1,4, entonces 1,4 x 2,5 = 3,5 =
3,50=3,500
Para 12, 1 : 0,05 = (1,21 x 10) : (0,5 x 0,1) = 1,21: 0.5 x 10 : 0,1= 2,42 x 10x10 = 242
Para 1, 21 : 0,05 = 1,21 : (0,5 x 0,1) = (1,21: 0.5): 0,1 = 2,42 : 0,1 = 242 :10 = 24,2
Para 0,121 : 0,5 = (1,21 x 0,1) : 0,5 = 1,21: 0.5 x 0,1= 2,42 x 0,1 = 2,42:10=0,242
Se puede anticipar cul es el cociente de la divisin, porque las divisiones son exactas.
Ya que en todos los casos el divisor es la fraccin (denominador 2) o un mltiplo de
la misma por una potencia de 10. Adems, por la propiedad enunciada anteriormente.
Quehacer matemtico 9:
Cuestin 1:
Cuestin 2:
Como veamos en el ejemplo anterior que el la divisin era exacta tanto en los naturales
como en el caso de cociente decimal, aparecen otros nmeros donde la divisin no es
exacta como es el ejemplo planteado donde el resultado es un nmero peridico
21,7: 1,5 = 14,466666666667 donde establecemos que no todas las divisiones son
exactas.
Cuestin 3:
En el ejemplo de 1:3 al ser el dividendo menor que el divisor colocamos cero al cociente
el uno pasa a ser 10 y dividimos quedando 1 de resto en el caso de solo tener un
decimal, si repetimos otra vez seguiremos agregando un 3 al cociente y nos quedar uno
de resto, ya que es un nmero peridico.
En el ejemplo planteado de 1,15: 0,24 debemos correr las comas dos lugares en el
dividendo y el divisor, que representa multiplicar ambos por 100 de esta manera nos
quedar 115:24 donde nos quedar 115= 24.4 + 19 donde vemos que no se cumple que
el resto es menor al divisor
D= d x c +r y 0 r d (no se cumple)
Cuestin 4:
Al trabajar en los conjuntos N y Z, analizamos cules seran las divisiones exactas, por
lo tanto es interesante tambin en D plantear si se puede anticipar cules sern las
divisiones exactas en D, es decir, poder determinar bajo qu condiciones el cociente ser
decimal y el resto 0.
Para ello en la divisin el denominador debe ser irreducible, teniendo como nicos
divisores el 2 y el 5.
= 19 :25
= 0,76
hasta la prxima..
Claudio
En D; haciendo 3 = 3,0 y a 5 = 5,0 para poder buscar cifras decimales, bajando ceros;
es decir correr la coma las veces necesraias para tener un cociente exacto.
Si bien los nmeros dados son naturales deben considerarse decimales como se indica
en el apunte.
Si se pasa a fraccin
21,7: 1,5 = (217/10) : (15/10) = 2170/150; buscando los divisores de 150 se tiene que
uno de los divisores es 3, (25, 3, 2,) pero no siempre tienen los mismos divisores,
entonces el cociente no es exacto en D
En todos los casos no se obtienen los mismos cocientes y restos, a medida que se va
agregando una cifra decimal al dividendo, el resto se acerca cada vez ms a cero.
Podemos establecer que en todos los casos se cumple con la propiedad de existencia a =
b. c + r con 0 r < |b| pero no con la de unicidad ya que hay infinitos cocientes y restos.
Analizando otros cocientes como 1,15: 0,24 = 115: 24 = 115: (23. 3) = 4,791666666
se puede concluir que el cociente y el resto son nicos siempre y cuando el divisor tiene
como nicos divisores a 2 o a 5, y no a 3 como en este ejemplo; por lo que no tiene
cociente exacto.
Los nmeros decimales que no tienen equivalencia con una fraccin decimal son
nmeros peridicos; pues si en su fraccin irreducible, el denominador posee un divisor
primo distinto de 2 y 5, el nmero ser peridico. En el caso que solo tenga como
divisores el 5 y/o el 2 al realizar la divisin, el cociente ser exacto. El sistema de
numeracin utilizado es en base 10, y los factores primos del 10 son 2 y 5.
Creo que en algunos casos hemos intentado explicar lo propuesto en formas anlogas:
este caso tambin es divisin exacta pues simplificando los factores queda el numerador
con factor 2; por lo que tambin se cuentan las cifras decimales resultando de ello: 8,
64= 3,6 x 2,4.
3) 35 : 2,5 = 1,4
En este caso, debiera ser 3,5 en lugar de 35. Si es as se tiene se corre un solo lugar la
coma pues al multiplicar 4x5 = 20=2x10.
Aqu debo decir que es muy buena la explicacin que Majo le hace a Claudio pues es
como multiplicar por 10.
En los dos primeros casos no existe inconveniente al momento de contar los lugares de
la parte decimal pues la multiplicacin no termina en cero, 6 x 4 = 24 y 5 x 5 = 25; en
cambio en el ltimo caso s termina en cero.
- Sabiendo que 1,21 : 0,5 = 2,42, determinar si es posible -sin realizar nuevamente
la divisin- el cociente de las siguientes divisiones:
a) Multiplicando ambos miembros por 10: 1,21 x 101 : 0,5 = 2,42 x 101 ; es decir:
b) Aqu se puede aplicar algo anlogo al anterior, multiplicando ambos miembros por
102: 1,21 x 101 : 0,5 x 10-1 = 2,42 x 102 ; es decir: 12,1 : 0,05 = 242
c) Igualmente, multiplicando por 10 m. a m.: 1,21 : 0,5 x 10-1 = 2,42 x 10; entonces
1,21 : 0,05 = 24,2
d) Nuevamente, si se divide m.a m. por 10: 1,21 x 10-1 : 0,5 = 2,42 x 10-1 = 0.242
b) Aqu como en el caso anterior multiplico por 100 ambos miembros: (121/100)10 :
(5/10) 10 = 121/10 : 5/100 = (242/100) 100 = 242
c) Multiplico ambos miembros por 10: 121/100 : 5/10. 10 = (242/100) 10; queda:
121/100:5/100=242/10
Foro clase 6
Estimados colegas:
Hemos llegado al final de la clase 6, y con esto al final del mdulo. Fue un verdadero
placer acompaarlos en estos dos meses
Que, tal como se menciona en la clase 3: "La propiedad que acaban de enunciar, slo
es vlida para los nmeros primos ya que si por ejemplo consideramos que 6| 2.3, se
observa que 6 no divide ni a 2 ni a 3. Este es el resultado ms importante de la Teora
de los nmeros enteros ya que es equivalente a que cada nmero entero se puede
escribir en forma nica como producto de potencias de nmeros primos (el famoso
Teorema Fundamental de la Aritmtica)"
- Silvia nos comparta que: "Puede ocurrir que slo a sea mltiplo de p, es decir que
a=p.n (siendo n un nmero natural cualquiera); o que b sea slo mltiplo de p, es decir
que b=p.m (siendo m un nmero natural cualquiera); o que ambos sean mltiplos de p."
Ejemplo numrico 2 | 24 x 6 a= 24 = 12 x 2 b= 6 = 3 x 2 2 | 24 2 |6
O como escribe Silvia ,cuando considera que a y b son nmeros primos, estos dividen
al producto, a s mismo pero no al otro.
Tal como se plantea en la clase, los dejo reflexionando sobre los siguientes interrogantes
respecto a este problema, que abren paso al anlisis del problema:
Saludos, Vanesa