School Work y ecuaciones">
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
5
Aplicaciones de ED de segundo orden
5.2.3
Vibraciones forzadas
Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinmica que depende de ciertas constantes intrnsecas
al sistema, es decir, las nicas fuerzas que actan son internas al sistema. Supondremos en esta seccin que
se aplica una fuerza externa llamada de excitacin FE sobre el sistema masa-resorte-amortiguador (vase
la siguiente figura):
x0
k
FE
c
En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa est dada por
F D FR C FA C FE D kx
dx
C FE :
dt
d 2x
D kx
dt 2
dx
C FE :
dt
d 2x
dx
Cc
C kx D FE :
dt 2
dt
o bien en la forma:
mx 00 .t/ C cx 0 .t/ C kx.t/ D FE :
1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010
(5.1)
La fuerza de excitacin desempea un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues
a veces provoca una reduccin de la velocidad y en otras provoca un aumento. Es decir, la fuerza de
excitacin puede reducir o aumentar la energa cintica del sistema. Cuando la fuerza de excitacin sea
distinta de cero, diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador est forzado.
Hasta este momento la fuerza FE puede ser de cualquier tipo y para determinar sus efectos tendremos que
resolver la ecuacin diferencial (5.1) por cualquiera de los mtodos estudiados hasta ahora.
Sin embargo, cuando la fuerza FE es del tipo sinusoidal
FE D F0 cos we t;
suelen ocurrir fenmenos fsicos de inters. En este caso la ecuacin por resolver es
mx 00 .t/ C cx 0 .t/ C kx.t/ D F0 cos we t:
mr 2 C c r C k D 0;
p
c 2 4mk
r1;2 D
I
2m
y la solucin x.t/ depender de la relacin que exista entre r1;2 y we .
c
(5.2)
xp00 .t/
D ap .t/ D
Awe2
Bwe sen we tI
sen we t
Bwe2 cos we t:
cwe B C kA sen we t D F0 cos we t:
Las funciones cos we t y sen we t son linealmente independientes; entonces, para que se satisfaga la condicin
anterior, slo se requiere que
(
(
mwe2 B C cwe A C kB D F0
cwe A C k mwe2 B D F0 I
)
mwe2 A cwe B C kA D 0
k mwe2 A cwe B D 0:
Aplicando la regla de Cramer encontramos la solucin de este sistema:
F0 k mw 2
e
0
cwe
cwe F0
D
AD
2 D
2
cwe
2
2
k
mw
c we
k mwe2
k
e
k mw 2
cwe
e
B D
k
cwe
F0
k mw 2 0
e
D
cwe
k mwe2
mwe2
cwe
k
c 2 we2
mwe2 F0
k
mwe2
2 D
cwe F0
I
2
mwe2 C we2 c 2
mwe2 F0
:
2
mwe2 C we2 c 2
k
k
&
C sen D B:
De donde se obtiene:
Adems
p
C 2 .cos2 C sen 2 / D A2 C B 2 ) C 2 D A2 C B 2 ) C D A2 C B 2
B
B
B
C sen
D
) tan D
) D arctan
:
C cos
A
A
A
C 2 D A2 C B 2 D
cwe F0
mwe2/2 C we2c 2
.k
2
.k mwe2/F0
.k mwe2 /2 C we2 c 2
.k
.k mwe2/2 F02
c 2 we2 F02
C
D
mwe2 /2 C we2c 2 2
.k mwe2/2 C we2c 2 2
.k
F02
c 2we2 C .k
mwe2 /2 C we2c 2 2
mwe2/2 D
F02
I
mwe2/2 C we2c 2
por lo que
C D
por otra parte,
por lo cual
2
.k
F02
Dp
mwe2/2 C we2c 2
.k
F0
mwe2/2 C we2c 2
.k mwe2 /F0
B
.k mwe2/F0
k mwe2
.k mwe2 /2 C we2c 2
D
D
D
I
cwe F0
A
cwe F0
cwe
.k mwe2 /2 C we2c 2
D arctan
B
A
D arctan
F0
.k
mwe2/2 C we2c 2
mwe2
cwe
sen.we t C /I
&
(5.3)
mwe2
.
cwe
Por lo tanto, la posicin instantnea de m, con respecto a la posicin de equilibrio, en el tiempo t 0 es
donde D arctan
t !1
x!1
F0
mwe2/2 C we2c 2
.k
sen.we t C /:
(5.4)
r 2 C 2r C 1 D 0;
y cuyas races r1;2 D 1 son diferentes de iwe D i . Tenemos entonces que la solucin complementaria es
xc .t/ D c1 e
C c2te t ;
xp0 .t/ D
xp00 .t/
A cos t
B sen t:
Hallamos, entonces:
2A sen t C 2B cos t D 17 cos t ) A D 0 & B D
Por lo tanto:
xp .t/ D
17
:
2
17
sen t:
2
La solucin general de la ED es
17
sen t:
2
Los coeficientes c1 & c2 los determinamos usando las condiciones iniciales. De x.0/ D 0, se obtiene c1 D 0.
Si derivamos
17
x 0 .t/ D v.t/ D c2 e t c2 te t C
cos t:
2
x.t/ D c1 e
C c2te
17
D 0, de donde c2 D
2
x.t/ D
17
te
2
17
y la posicin est dada por
2
t
17
sen t m:
2
Observe que al paso de tiempo slo se preserva el movimiento oscilatorio provocado por la fuerza de
excitacin.
x
17
2
17
2
k
m
F0
cos we t:
mwe2
Observe que la solucin xp .t/ es proporcional a la fuerza de excitacin, de hecho sta es la parte de la
solucin general que se preservar en el tiempo.
k
Si se cumple que k mwe2, esto es, we2 , la amplitud de la oscilacin de x.t/ es grande. A este fenmeno
m
se le conoce como resonancia.
Ejemplo 5.2.2 Considere un sistema masa-resorte con los parmetros m D 1 kg, c D 0 Ns/m, k D 1 N/m,
1
FE D 2 cos 2t y con condiciones iniciales x0 D
, v0 D 0. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin
10
en el tiempo t.
H
(5.5)
En este caso la frecuencia natural de excitacin we D 2 rad/s es diferente de la frecuencia natural de las funciones sinusoidales w D 1 rad/s. Por esa razn, y de acuerdo con el mtodo de coeficientes indeterminados,
proponemos la solucin particular
xp .t/ D A cos 2t C B sen 2t:
(5.6)
&
4B sen 2t:
es decir,
3A cos 2t
2=3
&
2
cos 2t:
3
Finalmente, sumando la solucin particular con la solucin de la ecuacin homognea, obtenemos la solucin general de la ecuacin diferencial
xp .t/ D
2
cos 2t:
3
4
sen 2t:
3
Para determinar las constantes desconocidas, basta con utilizar la condiciones iniciales. Al hacerlo obtenemos el sistema de ecuaciones
1
1
)
D c1
10
10
v.0/ D v0 D 0 ) 0 D c2 :
2
I
3
x.0/ D x0 D
cuya solucin es c1 D
23
& c2 D 0. Finalmente, la posicin de la masa est dada por
30
x.t/ D
23
cos t
30
2
cos 2t m:
3
Analicemos con mayor detalle x.t/. La funcin cos t es de periodo 2 y la funcin cos 2t es de periodo .
En consecuencia, la funcin de posicin x.t/ es de periodo 2 . La velocidad y aceleracin de la masa son
v.t/ D
a.t/ D
23
4
sen t C sen 2t m/sI
30
3
23
8
cos t C cos 2t m/s2 :
30
3
De donde, los puntos de retorno o de mxima o mnima amplitud (aqullos donde v D 0) satisfacen:
23
4
sen t D sen 2t:
30
3
Usando la identidad sen 2t D 2 sen t cos t se tiene:
23
8
sen t D sen t cos t )
30
3
8
cos t
3
23
30
sen t D 0:
23
23
D 0 ) cos t D
)
80
80
(
t D 1:2792 C 2n;
t D .2 1:2792/ C 2n D 5:004 C 2n;
con n D 0; 1; 2;
con n D 0; 1; 2;
Observe que:
x.0/ D x.2 / D x.4 / D D
x. / D x.3 / D D
23
30
23
30
2
D
3
2
3
D
D 0:1 :
3
30
43
1:4333 :
30
Adems, como
cos 2t D cos 2 t
se tiene:
sen 2 t D 2 cos 2 t
1;
4
2
cos 2 t C m:
3
3
23
23
As que evaluando en el tiempo en que cos t D
, o sea, t D arccos
D 1:2791, se tiene:
80
80
x.t/ D
x.1:2791/ D
23
cos t
30
23 23
80 80
4
3
23
80
2
2
D 0:7769 m:
3
La grfica es
x
0:7767
10
t
1:27
1:43
Ejemplo 5.2.3 Considere un sistema masa-resorte con masa m D 5 kg y constante de restitucin k D 20 N/m que
est sometido a una fuerza de excitacin FE D 5 cos 3t N. Si el sistema tiene condiciones iniciales x.0/ D 0:02 m y
v.0/ D 0 m/s, determine la posicin, la velocidad y la acelaracin de la masa en todo tiempo t. Graficar la posicin
x.t/.
H En este caso tenemos c D 0, m D 5, k D 20, we D 3 y F0 D 5. La ecuacin diferencial que modela este
sistema es
d 2x
5 2 C 20x D 5 cos 3t:
dt
La ecuacin caracterstica asociada es 5r 2 C 20 D 0, que tiene races r1;2 D 2i . Por lo que la solucin
complementaria es
xc .t/ D c1 cos 2t C c2 sen 2t:
Como la frecuencia de estas funciones sinusoidales es w D 2, que es diferente de la frecuencia de la excitacin we D 3, proponemos como solucin particular
xp .t/ D A sen 3t C B cos 3t:
Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin diferencial se tiene:
5. 9A sen 3t
Desarrollando obtenemos:
. 45A C 20A/ sen 3t C . 45B C 20B/ cos 3t D 5 cos 3t ) . 25A/ sen 3t C . 25B/ cos 3t D 5 cos 3t:
De donde resulta:
25A D 0
&
25B D 5 ) A D 0
&
BD
1
:
5
La solucin particular es
xp .t/ D
1
cos 3t:
5
1
cos 3t:
5
3
sen 3t:
5
1
D 0:02 & 2c2 D 0. De donde
5
1
cos 3t m:
5
44
3
44
sen 2t D sen 3t )
sen 2t D sen 3t:
100
5
60
cos 2t D cos 2 t
sen 2 tI
sen 3t D sen.2t C t/ D sen 2t cos t C cos 2t sen t D 2 sen t cos 2 t C cos 2 t sen t
D 3 sen t cos 2 t
.1
sen t;
sen 2 t sen t D
se tiene
44
88
sen 2t D sen 3t )
sen t cos t D 4 sen t cos 2 t sen t )
60
60
88
cos t 1 sen t D 0;
) 4 cos 2 t
60
que se satisface cuando
sen t D 0 ) t D 0; ; 2; 3;
o cuando
88
22
cos t 1 D 0 ) 4 cos 2 t
cos t 1 D 0:
60
15
sta es una ecuacin cuadrtica para cos.t/, as que, por la frmula general:
(
p
1
0:3492
.11 1021/ D
cos t D
)
60
0:7159
t D 1:9275 C 2n;
con n D 0; 1; 2;
t D 0:7729 C 2n;
con n D 0; 1; 2;
Consideremos ahora slo los puntos que estn dentro del intervalo 0; 2 / para aprovechar que la funcin
posicin es de periodo 2 ; stos son, ordenados de mayor a menor
t D 0; 0:7729; 1:9275; ; 4:3556; 5:5103 :
Calculando la aceleracin en estos puntos y aplicando el criterio de la segunda derivada para extremos, se
tiene:
a.0/
D 0:92
) x.0/
D 0:02 I
es un mnimo.
a.0:7729/ D 1:2462 ) x.0:7729/ D 0:1416 I
es un mximo.
a.1:9275/ D 2:2446
) x.1:9275/ D 0:3418 I es un mnimo.
a. /
D 2:6800 ) x. /
D 0:4200 I
es un mximo.
a.4:3556/ D 2:2446
) x.4:3556/ D 0:3418 I es un mnimo.
a.5:5103/ D 1:2462 ) x.5:5103/ D 0:1416 I
es un mximo.
La grfica:
x
0:42
0:142
1:93
0:02
0:77
0:34
Ejemplo 5.2.4 Considere el sistema masa-resorte del ejemplo anterior donde m D 5 kg & k D 20 N/m. El sistema
se somete a una fuerza de excitacin FE D 5 cos 2:1t N. Si el sistema tiene condiciones iniciales x.0/ D 0 m y
v.0/ D 0 m/s, determine la posicin y velocidad de la masa en todo tiempo t. Graficar la posicin x.t/.
10
H
F0
cos we t D
k mwe2
20
5
cos 2:1t D
5.2:1/2
100
cos 2:1t:
41
v.t/ D
210
sen 2:1t:
41
100
D 0 & 2c2 D 0. De donde
41
100
2 sen 2t C 2:1 sen 2:1t m/s:
41
Necesitamos reescribir la funcin posicin para construir la grfica. Para ello recordemos la identidad
trigonomtrica siguiente:
2 sen A sen B D cos.A B/ cos.A C B/:
v.t/ D
Si identificamos
A B D 2t
)
A C B D 2:1t
A D 2:05t;
B D 0:05t;
tenemos que
x.t/ D
200
sen 0:05t sen 2:05t:
41
200
sen 0:05t dependiente del tiempo
41
y con una frecuencia natural dada por w D 2:05 rad/s. Para construir la grfica, basta con construir las
grficas de la amplitud y de su negativo y, dentro de stas, una funcin oscilatoria de periodo
2
2
2
T D
D
D 3:065 s. La amplitud tiene periodo Ta D
D 125:6636 y, en ese tiempo, se producen
w
2:05
0:05
Ta
125:6636
aproximadamente
D
41 oscilaciones.
T
3:065
En la figura siguiente se muestra la grfica de la posicin. Al fenmeno de que la amplitud se comporte
como funcin del tiempo de forma sinusoidal se le conoce como pulsacin.
Podemos interpretar que la masa oscila con una amplitud A.t/ D
41 oscilaciones
125:66 segundos
11
k
m
d 2x
C kx D F0 cos we t:
dt 2
(5.7)
La ecuacin caracterstica es mr 2 Ck D 0, cuyas soluciones son r1;2 D iw D iwe . Por lo tanto, la solucin
general de la ecuacin diferencial homognea es
xc .t/ D c1 cos we t C c2 sen we t:
En este caso la frecuencia de excitacin es igual a la frecuencia de las funciones sinusoidales. Por esa razn,
y de acuerdo con el mtodo de coeficientes indeterminados, proponemos la solucin particular.
xp .t/ D t A cos we t C B sen we t :
Calculemos la primera y segunda derivada de xp .t/:
dxp
D A cos we t C B sen we t C t Awe sen we t C Bwe cos we t :
dt
d 2 xp
D 2Awe sen we t C 2Bwe cos we t C t Awe 2 cos we t Bwe 2 sen we t :
2
dt
&
p
2B mk D F0 ) A D 0
&
F0
BD p
:
2 km
(5.8)
d 2x
C 40x D 20 cos 2t:
dt 2
La ecuacin caracterstica es 10r 2 C 40 D 0, cuyas soluciones son r1;2 D 2i . Por lo tanto, la solucin
general de la ecuacin diferencial homognea es
xc .t/ D c1 cos 2t C c2 sen 2t:
12
dxp
D A cos 2t C B sen 2t C t 2A sen 2t C 2B cos 2t I
dt
d 2 xp
D 4A sen 2t C 4B cos 2t C t 4A cos 2t 4B sen 2t :
dt 2
Y ahora, usando la funcin xp .t/ y la segunda derivada en la ecuacin diferencial, se obtiene:
40A sen 2t C 40B cos 2t D 20 cos 2t:
De donde se deduce que
AD0 & B D
1
:
2
t
sen 2tI
2
t
sen 2t:
2
1
sen 2t C t cos 2t:
2
Considerando las condiciones iniciales x.0/ D 0 & v.0/ D 0, se obtiene c1 D c2 D 0. Entonces la solucin
t
del PVI coincide con la solucin particular. x.t/ D sen 2t. Para graficar esta funcin observemos que
2
2
la parte sinusoidal tiene frecuencia w D 2 rad/s y periodo T D
D s y que la amplitud de las
w
t
oscilaciones aumenta en el tiempo. Entonces primero se grafican las rectas x D y posteriormente se
2
construye la grfica de x.t/, considerando que los cruces con el eje horizontal (tiempo) se producen en
3
3 5
; : : :, con los mximos y mnimos en t D ;
;
; : : : de forma alternada.
t D 0; ; ;
2
2
4 4 4
Fsicamente lo que est ocurriendo es que la fuerza de excitacin est en sintona con el movimiento del
sistema masa resorte y siempre le est proporcionando energa, de ah que la amplitud crezca indefinidamente. La figura muestra la grfica del movimiento.
x
6
4
Ejemplo 5.2.6 Considere un sistema masa-resorte con coeficientes m D 5 kg & k D 20 N/m. Se aplica ahora una
fuerza de excitacin F .t/ D 5 cos 2t N. Determine la posicin y velocidad de la masa en todo tiempo t, si el sistema
tiene condiciones iniciales x.0/ D 0 m & v.0/ D 0 m/s.
13
1
x.t/ D c1 cos 2t C c2 sen 2t C t sen 2t:
4
La velocidad en todo tiempo t est dada por:
v.t/ D 2c1 sen 2t C 2c2 cos 2t C
1
1
sen 2t C t cos 2t:
4
2
Si usamos las condiciones iniciales x.0/ D 0 & v.0/ D 0, obtenemos c1 D 0 & c2 D 0. As la posicin de la
masa es:
1
x.t/ D t sen 2t m:
4
La velocidad es, entonces:
1
1
v.t/ D sen 2t C t cos 2t m/s:
4
2
En la figura siguiente se muestra la posicin de la masa en el tiempo. Observe que, entre ms tiempo
pasa, ms aumenta la amplitud de las oscilaciones. En este caso la fuerza de excitacin siempre suministra
energa al sistema, por lo cual es de esperar que, despus de un cierto tiempo, el sistema se destruya.
x
Ejemplo 5.2.7 Un resorte experimenta un alargamiento de 0:025 m por haber sido suspendida de l una masa de
2 kg. Al extremo superior del resorte se le da un movimiento y D 0:4 sen 2t C 0:4 cos 2t m. Si no hay resistencia del
aire, determine la posicin de la masa en todo tiempo. Suponga que g D 10 m/s2 .
La constante del resorte se obtiene igualando el peso con la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa
mg
2.10/
cuando se est en equilibrio. Es decir: mg D kl , de donde k D
D
D 800 N/m. Consideremos
l
0:025
que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la masa cuando el sistema est en equilibrio. La
elongacin o compresin del resorte es entonces x y, de forma que la fuerza del resorte sobre la masa es
H
F D k.x
Entonces, la ecuacin diferencial que describe el movimiento es, de acuerdo con la segunda ley de Newton:
2
d 2x
D 800x C 320 sen 2t C 320 cos 2t:
dt 2
14
Simplificando se tiene:
d 2x
C 400x D 160 sen 2t C 160 cos 2t:
dt 2
Claramente la solucin de la ecuacin homognea es
xc .t/ D c1 cos 20t C c2 sen 20t:
Para determinar una solucin particular proponemos:
xp .t/ D A sen 2t C B cos 2t:
Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin diferencial, obtenemos:
396A sen 2t C 396B cos 2t D 160 sen 2t C 160 cos 2t:
De donde se infiere que A D B D 0:4. Concluimos entonces que
xp .t/ D 0:4 sen 2t C 0:4 cos 2t:
Y que
x.t/ D c1 cos 20t C c2 sen 20t C 0:4 sen 2t C 0:4 cos 2t:
c1 D 0:4
&
c2 D
0:04:
b. m D 2:5 kg, c D 0 Ns/m, k D 10 N/m, x.0/ D 0:1 m, v.0/ D 1:2 m/s & Fe .t/ D 2 cos 2t.
c. m D 0:5 kg, c D 0 Ns/m, k D 32 N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D 0 m/s & Fe .t/ D 3 cos 8t.
d. m D 0:25 kg, c D 4 Ns/m, k D 25 N/m x.0/ D 0:1 m, v.0/ D 0:1 m/s & Fe .t/ D 8 cos 2t.
e. m D 1 kg, c D 3 Ns/m, k D 6:25 N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D 0 m/s & Fe .t/ D 3 cos 5t.
2. Un cuerpo de masa igual a 4 kg est unido a un resorte de constante k D 16 N/m. Se alarga el resorte
una distancia de 0:3 m y se suelta desde el reposo. Si sobre el sistema se aplica una fuerza externa
Fe .t/ D 1:5 cos 4t, determine la posicin y velocidad del cuerpo en todo tiempo.
3. Un cuerpo de masa igual a 4 kg est unido a un resorte de constante k D 64 N/m. Si sobre el sistema
se aplica una fuerza de excitacin Fe .t/ D 1:5 cos 4t, determine la posicin y velocidad del cuerpo en
todo tiempo; suponga que la masa estaba en la posicin x0 D 0:3 y en reposo, al tiempo t D 0 s. Qu
ocurre cuando Fe D 1:5 cos.4:1t/?
15
4. A un sistema masa-resorte con masa igual a 2 kg y constante del resorte igual a 8 N/m se le somete
a una fuerza de excitacin Fe .t/ D 5 cos wt. Si el sistema carece de amortiguamiento determine la
posicin del cuerpo con las condiciones iniciales x.0/ D 0 m & v.0/ D 0 m/s para los siguientes
valores de w D 2:5; 1; 5; 2:1; 2; 1:9 & 2 rad/s. En cada caso construya la grfica correspondiente.
5. Un cuerpo de masa 1 kg est unido a un resorte de constante k D 1 N/m. Determine la posicin y la
velocidad de la masa en todo tiempo, si sobre sta se aplica una fuerza de excitacin Fe .t/ D e t , a
partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y en su posicin de equilibrio.
6. Un cuerpo de masa 1 kg est unido a un resorte de constante k D 1 N/m. Determine la posicin y la
velocidad de la masa en todo tiempo, si sobre sta se aplica una fuerza de excitacin Fe .t/ D e t cos 2t,
a partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y en su posicin de equilibrio.
7. Un cuerpo de masa 1 kg est unido a un resorte de constante k D 16 N/m. Determine la posicin y la
velocidad de la masa en todo tiempo, si sobre sta se aplica una fuerza de excitacin Fe .t/ D e t sen t,
a partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y en su punto de equilibrio.
1
kg,
8
c D 1 Ns/m y k D 2 N/m. Inicialmente la masa es colocada 1 m abajo de la posicin de equilibrio,
donde se le imprime una velocidad de 8 m/s hacia arriba. Determine la posicin y la velocidad
instantnea de la masa m, si sobre el sistema se aplica una fuerza de excitacin Fe .t/ D 12:5 sen 2t N,
a partir de t D 0.
9. Un sistema masa-resorte-amortiguador tiene constantes m D 6:5 kg, c D 12 Ns/m & k D 6:5 N/m.
Determine la posicin y velocidad
de la masa en todo tiempo, si sobre sta se aplica una fuerza de
12
5
t
excitacin Fe .t/ D 5e 13 cos
t , a partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y
13
en su posicin de equilibrio.
10. Sobre un sistema masa-resorte de constantes m D 1 kg y k D 100 Ns/m se aplica una fuerza de
excitacin Fe .t/ D 2 cos 10t durante un lapso de tiempo 0 t 2 . Suponga que el sistema parte del
reposo y de su posicin de equilibrio. Determine la posicin y velocidad antes, y despus de t D 2 .
16
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
5 4t 17 2t
42
36
e
e
C
cos t C
sen t m;
17
85
85
85
20 4t
34
42
36
v.t / D
e
C e 2t
sen t C
cos t m/s.
17
85
85
85
b. x.t / D 0:2t sen 2t C 0:1 cos 2t 0:6 sen 2t m;
v.t / D 0:4t cos 2t 1:2 cos 2t m/s.
3
3
c. x.t / D t sen 8t m; v.t / D sen 8t C 3t cos 8t m/s.
8
8
3
1
1 8t
19 8t
d. x.t / D
cos 2t C
sen 2t
e
cos 6t
e
sen 6t m;
10
10
5
60
1
3 8t
56
3
sen 2t C cos 2t
e
cos 6t C e 8t sen 6t m/s.
v.t / D
5
5
10
15
3t
3t
4
16
4
5
e. x.t / D
cos 5t C
sen 5t C e 2 cos 2t
e 2 sen 2t m;
41
205
41
41
3t
16
1
20
16 3t
2
sen 5t C
cos 5t
e
v.t / D
sen 2t C e 2 cos 2t m/s.
41
41
82
41
53
1
53
1
x.t / D
cos 2t
cos 4t m; v.t / D
sen 2t C sen 4t m/s.
160
32
80
8
Con Fe D 1:5 cos 4t :
3
3
x.t / D
t sen 4t C
cos 4t m;
64
10
3
369
v.t / D
t cos 4t
sen 4t m/s.
16
320
Con Fe D 1:5 cos.4:1/t :
103
25
cos.4:1t / C
cos 4t m;
x.t / D
54
135
205
3
6
v.t / D
sen.4:1t / C t cos 4t
sen 4t m/s.
108
16
5
t
20
9t
sen
sen
a. Para w D 2:5 W x.t / D
m;
9
4
4
500
t
41t
sen
b. para w D 2:1 W x.t / D
sen
m;
41
20
20
5
c. para w D 2 W x.t / D
sen 2t m;
8
t
500
39t
d. para w D 1:9 W x.t / D
sen
sen
m;
39
20
20
t
20
7t
e. para w D 1:5 W x.t / D
sen
sen
m.
7
4
4
1
x.t / D .e t cos t C sen t / m;
2
1
v.t / D . e t C sen t C cos t / m/s.
2
1 t
1
x.t / D
e .cos 2t C 2 sen 2t / C .cos t C 3 sen 2t / m;
10
10
1 t
1
v.t / D
e . 3 cos 2t C 4 sen 2t / C .3 cos t sen t / m/s.
10
10
1
1
7
x.t / D
e t .cos t C 8 sen t /
cos 4t
sen 4t m;
130
130
520
1
1
v.t / D
e t .7 cos t 9 sen t / C
.4 sen 4t 7 cos 4t / m/s.
130
130
4t
x.t / D 3 sen 2t 4 cos 2t C .6t C 5/e
m;
v.t / D 6 cos 2t C 8 sen 2t .24t C 14/e 4t m/s.
12
5t
x.t / D t e 13 t sen
m;
13
5t
12t
12t
5t
5t
v.t / D 1
sen
C
cos
e 13 m/s.
13
13
13
13
a. x.t / D
17