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La Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace
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La transformada de Laplace
6.6 Aplicaciones
Ejemplo 6.6.1 Consideremos un sistema masa-resorte con m D 2 kg, c D 4 N m/s y k D 10 N/m. Supongamos que el sistema est inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x.0/ D x 0 .0/ D 0 y que la masa es impulsada por una fuerza de excitacin f .t/ cuya grca se muestra en la gura siguiente. Encontrar la posicin de la masa en cualquier instante. f .t /
2 t
La posicin x.t/ de la masa m est dada por la solucin del PVI: 2x 00 .t/ C 4x 0 .t/ C 10x.t/ D f .t/ D 10; 0; si t < 2 ; con si t ; 2 / / 10e u.t
2 s s
La funcin f .t/ puede escribirse como f .t/ D 10u.t tenemos: F .s/ D Lf f .t/g D sx.0/
x 0 .0/ C 4sX.s/
10
x.0/ D x 0 .0/ D 0:
Al considerar las condiciones iniciales y la expresin de F .s/, tenemos que: 2s 2X.s/ C 4sX.s/ C 10X.s/ D ) 2.s 2 C 2s C 5/X.s/ D ) X.s/ D 5e 2 s s.s 2 C 2s C 5/ 10e s 10e s
2 s 2 s
10e s 10e s
)
s
Por lo tanto, para encontrar x.t/, lo nico que resta es obtener la transformada inversa de Laplace. En primer lugar, por la primera propiedad de traslacin, se tiene que
5e s : s.s 2 C 2s C 5/
s2
1 DL C 2s C 5
1
Luego, calculamos L
s.s 2
1 1 D L .s C 1/2 C 4 2
2 1 D e .s C 1/2 C 4 2
sen 2t:
1 t 1 e 2 cos 2t C sen 2t: 5 10 Finalmente, al utilizar la segunda propiedad de traslacin y la periodicidad de las funciones seno y coseno, determinamos que D x.t/ D 5L D 1
1
1 D 2 C 2s C 5/ s.s
1 e 2
sen 2u du D
1 e 10
t u
1 e 2
e 2 s 2 C 2s C 5/ s.s
.t 2 /
5L
e s D s.s 2 C 2s C 5/ 4 / u.t 2 / /D
/
2 cos.2t
.t /
4 / C sen.2t
1 D 1 1 e 2
1 e 2
2 cos.2t
2 / C sen.2t 2 /
2 / u.t 1 1 e 2
.t
.t 2 /
/:
Podemos apreciar, en la grca de la funcin posicin x.t/, que presentamos a continuacin, la excitacin que sobre el sistema tiene la funcin f .t/ en el intervalo ; 2 . Advierta que, despus de que la fuerza cesa, el sistema tiende al reposo por efecto de la fuerza de amortiguamiento.
x.t /
2 t
Ejemplo 6.6.2 Calcular la corriente en un circuito en serie RLC cuyos componentes son: un resistor de 2 , un inductor de 1 H, un capacitor de 1 F y una fuente de voltaje que suministra (en voltios): t; si 0 t < 1I V .t/ D 2 t; si 1 t 2I 0; si t > 2:
6.6 Aplicaciones (ste es el ejemplo ?? de la introduccin.) H Aplicando los valores L, R, y C en la ED del circuito: L dI 1 C RI C Q D V .t/; dt C
I.t/dt D V .t/;
con
I.0/ D 0:
Calculamos la TL de la funcin de voltaje. Lo primero que observamos es que V .t/ D t C .2 2t/u.t 1/ C .t 2/u.t 2/ D t 2.t 1/u.t 1/ C .t 2/u.t 2/:
LfV .t/g D
1 s2
e s e 2s e C 2 D 2 s s
2s
2e s2
C1
Si aplicamos TL en ambos miembros de la ecuacin integro-diferencial, utilizando las propiedades requeridas (transformada de una derivada y de una integral), encontramos: Q s I .s/ Q I.0/ C 2I .s/ C Q I .s/ e D s
2s
2e s2
C1
, donde I.t/
Q ! I .s/:
Ahora, utilizando I.0/ D 0, y multiplicando ambos miembros de la ecuacin anterior por s, hallamos: Q Q Q s 2 I .s/ C 2s I .s/ C I .s/ D e
2s
2e s
C1
Q ) I .s/ D
2s
2e s C 1 : s.s C 1/2
Todo lo que resta es el clculo de la transformada inversa. Procedemos de la siguiente manera. 1 Primero, aplicamos fracciones parciales a la expresin ; obtenemos: s.s C 1/2 1 1 D s.s C 1/2 s Por lo tanto: 1 sC1 1 : .s C 1/2 D1 e
t
1 s
1 sC1
1 .s C 1/2
te
2s
1 s.s C 1/2
.t
2/e
.t 2/
u.t
2/
21
.t 1/
.t
1/e
.t 1/
u.t
1/ C 1
te t :
4
I.t /
La corriente es prcticamente cero a partir del dcimo segundo despus del cierre del interruptor en el circuito. Ejemplo 6.6.3 Dos masas iguales de 1 kg se encuentran vinculadas mediante 3 resortes de masas despreciables y constantes de restitucin k, como se muestra en la gura siguiente. El sistema est dispuesto verticalmente y las masas estn desprovistas de rozamiento as como de fuerzas de excitacin. Aadimos ahora la informacin desde la 0 0 cual se rompe el equilibrio x1.0/ D 1, x2 .0/ D 1, x1 .0/ D 3, x2 .0/ D 3. Determinar la posicin de cada masa en cualquier instante, si k D 3 N/m. (ste es el ejemplo ?? de la introduccin.)
k Posicin de equilibrio x1 m1 D 1
Posicin de equilibrio x2
m2 D 1 k
H Enumeramos los resortes de arriba hacia abajo con los nmeros 1, 2 y 3. Cuando el sistema est en movimiento, el resorte 2 est sujeto a elongacin y compresin, por consiguiente su elongacin neta es x2 x1 . Por lo tanto, de la ley de Hooke, deducimos que los resortes 1 y 2 ejercen fuerzas kx1 y k.x2 x1 / respectivamente sobre la masa m1 . De esta manera, si no hay fuerzas externas ni fuerzas de amortiguamiento, entonces la fuerza neta sobre la masa m1 es kx1 Ck.x2 x1 /. Ahora por la segunda ley de Newton, tenemos:
00 m1 x1 D kx1 C k.x2
x1 /:
De manera similar, la fuerza neta ejercida en la masa m2 se origina por la elongacin y compresin de los resortes 2 y 3. De manera ms concreta, las fuerzas ejercidas sobre la masa 2 son, por el resorte 3, kx2 ; y por el resorte 2, k.x2 x1 /. Luego, por la segunda ley de Newton:
00 m2 x2 D kx2
k.x2
x1 /:
Si ahora usamos los valores de las masas m1 D m2 D 1 y el valor de k D 3, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones que resolveremos utilizando TL. 00 x1 D 3x1 C 3.x2 x1/ 0 0 ; con x1 .0/ D 1; x2.0/ D 1; x1.0/ D 3 & x2 .0/ D 3: x 00 D 3x 3.x2 x1 / 2 2
6.6 Aplicaciones Aplicamos TL en ambos miembros de cada ecuacin y obtenemos: s 2F .s/ s 2G.s/ donde x1 .t/ ! F .s/ & x2 .t/ convierte en sx1.0/ sx2.0/
0 x1 .0/ D 3F .s/ C 3G.s/ 0 x2 .0/ D 3G.s/ 3G.s/
F .s/I F .s/;
! G.s/. Si ahora aplicamos las condiciones iniciales, el sistema anterior se s 2F .s/ s 2G.s/ s 3 D 3F .s/ C 3G.s/ s C 3 D 3G.s/ 3G.s/ F .s/I F .s/:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, F .s/ y G.s/. Ordenamos el ltimo sistema con el propsito de despejar nuestras incgnitas: .s 2 C 6/F .s/ 3G.s/ D s C 3 3F .s/ .s 2 C 6/G.s/ D s C 3 o bien .s 2 C 6/F .s/ 3G.s/ D s C 3I 3F .s/ C .s 2 C 6/G.s/ D s 3:
Si utilizamos la regla de Cramer para la solucin del anterior sistema, hallamos: F .s/ D s 3 C 3s 2 C 9s C 9 s 4 C 12s 2 C 27 & G.s/ D s 3 3s 2 C 9s 9 : s 4 C 12s 2 C 27
El denominador de cada una de las expresiones es el mismo, y puede escribirse como s 4 C 12s 2 C 27 D .s 2 C 6/2 De esta manera: F .s/ D s 3 C 3s 2 C 9s C 9 .s 2 C 9/.s 2 C 3/ & 9 D .s 2 C 9/.s 2 C 3/: G.s/ D s 3 3s 2 C 9s 9 : .s 2 C 9/.s 2 C 3/ s 3 3s 2 C 9s 9 s D 2 .s 2 C 9/.s 2 C 3/ s C3 3 : s2 C 9
De donde, al utilizar fracciones parciales, encontramos que F .s/ D Por lo tanto, x1 .t/ D L x2 .t/ D L
x 1
s 3 s 3 C 3s 2 C 9s C 9 D 2 C 2 .s 2 C 9/.s 2 C 3/ s C3 s C9
&
G.s/ D
s2
1
3 s C 2 C3 s C9 s C3 s2 3 C9
s2
x2 .t /
x1 .t /
6 Ejercicios 6.6.1 Aplicaciones. Soluciones en la pgina 8 Usar la TL para resolver los siguientes problemas: 1. 2. 3. d 2x dx C3 C 2x D t; 2 dt dt d 2x C 4x D sen 3t; dt 2 d 4x dt 4 2 con con x.0/ D x 0 .0/ D 0 . x.0/ D x 0 .0/ D 0 . con
d 2x C x D sen t; dt 2
d 2y C 4y D f .t/; 4. dt 2
con
5.
d y C y D f .t/; dt 2
con
6.
7.
8.
9.
10.
11.
d 2y C 4y D u.t / u.t 3 /; con y.0/ D y 0 .0/ D 0 . dt 2 dy dx 3 C 2x C D1 dt dt ; con x.0/ D y.0/ D 0 . dx dy C4 C 3y D 0 dt dt dx D 3x C 4y C sen t dt ; con x.0/ D 0 & y.0/ D 1 . dy D 2x C 3y C 1 dt 2 d x 2 Cy D1 dt ; con x.0/ D y.0/ D x 0 .0/ D y 0 .0/ D 0 . d 2y Cx D0 dt 2 2 dy d x 2 C C 2x D 0 dt dt ; con x.0/ D 0; x 0 .0/ D 0 & y.0/ D 0 . dx dy 2 D cos t dt dt Z y 0 C 2y C 6 t z dt D 2 0 ; con y.0/ D 5 & z.0/ D 6 . 0 y C z0 C z D 0
Z t
0
si 5 t < 10I
si 0 t < 6I si t 6:
2; 0;
si 1 t 2I si t 1; 2 :
13. Un circuito elctrico consiste de una resistencia de R ohms en serie con un condensador de capacitancia C farads, un generador de E volts y un interruptor. Si en el tiempo t D 0 se cierra el interruptor y si la carga inicial en el capacitor es cero, determine la carga en el condensador en cualquier tiempo. Suponga que R, C y E son constantes.
6.6 Aplicaciones
14. Un paracaidista cae partiendo del reposo. El peso combinado de l y su paracadas es W . El paracadas ejerce una fuerza en ambos (por resistencia del aire) que es directamente proporcional a la velocidad durante la cada, esto es FR / v. El paracaidista cae verticalmente, y se requiere hallar su posicin en cualquier momento. a. Si se supone que el paracadas est abierto desde el momento inicial. b. Si se supone que el paracadas se abre 10 s despus de iniciada la cada. 15. Una droga entra y sale de un rgano de volumen V0 cm3 a una tasa de cm3 /s, donde V0 ; y son constantes. Supongamos que, en el tiempo t D 0, la concentracin de la droga es 0 y que, al administrar la droga, dicha concentracin aumenta linealmente hasta un mximo de k en el tiempo t D t0 , en el cual el proceso se detiene. Determinar la concentracin de la droga en el rgano en todo instante t y su mximo valor. 16. Una masa que pesa 32 lb se encuentra sujeta al extremo de un resorte ligero que se estira 1 pie cuando se le aplica una fuerza de 4 lb. Si la masa se encuentra en reposo en su posicin de equilibrio cuando t D 0 y si, en ese instante, se aplica una fuerza de excitacin f .t/ D cos 2t que cesa abruptamente en t D 2 s, determinar la funcin de posicin de la masa en cualquier instante, si se permite a la masa continuar su movimiento sin impedimentos. 17. Un circuito RLC, con R D 110 , L D 1 H y C D 0:001 F tiene conectada una batera que proporciona 90 V. Suponga que en t D 0 no hay corriente en el circuito ni carga en el condensador y que, en el mismo instante, se cierra el interruptor por 1 s. Si al tiempo t D 1 se abre el interruptor, y as se conserva, encuentre la corriente resultante en el circuito.
8
Ejercicios 6.6.1 Aplicaciones. Pgina 6 1 1 3 C t Ce t e 4 2 4 3 1 2. x.t / D sen 2t sen 3t . 10 5 1 3. x.t / D .t 2/et C .t C 2/e 8 1. x.t / D 4. y.t / D 2.t 5. y.t / D 6. 7. 8. 9. 10. 11. 5/ sen.2.t
2t .
5//u.t
1 t C sen t .t 6 sen.t 6//u.t 6/. 2 1 y.t / D sen 2 t u.t / u.t 3 /. 2 6 6 1 3 1 t 1 1 x.t / D e 11 t e ; y.t / D e 11 t C e t . 2 10 5 5 5 7 t 1 3 7 1 t x.t / D 4 C e C e cos t C sen t , y.t / D 3 C et C e 2 2 2 2 2 1 t 1 1 t 1 t 1 1 t cos t , y.t / D 1 e e cos t . x.t / D e C e 4 4 2 4 4 2 1 1 2 x.t / D cos t 1 e t C sen t 2 3e t , y.t / D cos t 1 e t 5 5 5 4t t , z.t / D 4e 4t C 2e t . y.t / D 2 3e 4e
.t 1/
C sen t .
1 sen t 1 C 6e 5
2.t 2/ /u.t
t .
2.t 1/ u.t
1/
2.e
.t 2/
2/.
b. y.t / D
g W t
1 ; si t < 10I W2 2 g !
g W .t 10/
10/ C k t; t0 V0 k e t0 e
10W
si t
10:
15. x.t / D
1/ C
si 0 t t0 I
.t t0 / V0
xmx D x.t0 / D k
16. x.t / D
> 1 > 1 3 3 > : t sen 2t C t cos 2t; si t 2 : 4 16 16 8 ( e 10t e 100t ; si 0 t < 1I 17. I.t / D .1 e10 /e 10t .1 e100 /e 100t ; si t 1:
C k V0 k 1 t0
si t > t0 I
V0 t0
. si 0 t < 2 I