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    Transformad de Derivada

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    Jenifer Mitchell
    1. La transformada de Laplace (TL) se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) al transformar una EDO en una ecuación algebraica. La TL de una derivada sigue la fórmula Ln(f'(t)) = sF(s) - f(0), donde F(s) es la TL de f(t). Esto permite resolver EDOs lineales.

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    Transformad de Derivada

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    Jenifer Mitchell
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    1. La transformada de Laplace (TL) se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) al transformar una EDO en una ecuación algebraica. La TL de una derivada sigue la fórmula Ln(f'(t)) = sF(s) - f(0), donde F(s) es la TL de f(t). Esto permite resolver EDOs lineales.

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    1. La transformada de Laplace (TL) se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) al transformar una EDO en una ecuación algebraica. La TL de una derivada sigue la fórmula Ln(f'(t)) = sF(s) - f(0), donde F(s) es la TL de f(t). Esto permite resolver EDOs lineales.

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    Transformad de Derivada

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    Jenifer Mitchell
    1. La transformada de Laplace (TL) se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) al transformar una EDO en una ecuación algebraica. La TL de una derivada sigue la fórmula Ln(f'(t)) = sF(s) - f(0), donde F(s) es la TL de f(t). Esto permite resolver EDOs lineales.

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    de 5

    CAPTULO

    6
    La transformada de Laplace

    6.4.4

    Transformada de una derivada

    La siguiente propiedad nos permite aplicar la TL a la solucin de una ED.


    Si f .t/ es una funcin con derivada f 0 .t/, entonces:

    Z 1
    Z 1
    
     R
    Lf f 0 .t/g D
    e st f 0 .t/ dt D lm e st f .t/
    f .t/. se
    R!1
    0

    st

    dt/:

    Hemos integrado por partes con:

    u D e st
    dv D f 0 .t/

    Lf f 0 .t/g D lm e

    sR

    R!1

    f .R/

    du D se st dtI
    v D f .t/:
    Z 1
    lm e st f .t/ C s
    e st f .t/ dt D sF .s/
    )
    )

    t !0C

    f .0C /:

    !0

    en donde el primer lmite (R ! 1 ) se anula, y hemos denotado al segundo (t ! 0C ) por f .0C /, ya que
    puede ser que f no est definida en t D 0, en cuyo caso se debe calcular su lmite cuando t ! 0 por la
    derecha; siempre que no haya confusin escribiremos f .0/ en lugar de f .0C /.
    Es decir,
    
    
    L df .t/ D Lf f 0 .t/g D sF .s/ f .0/:
    (6.1)
    dt
    Utilizando la frmula (6.1) de nuevo, vemos que, si f y sus derivadas tienen TL, se puede calcular:
    
    
    df 0 .t/
    00
    f
    .t/g
    Lf
    DL
    D s Lf f 0 .t/g f 0 .0/ D s sF .s/ f .0/ f 0 .0/ D
    dt
    D s 2 F .s/ sf .0/ f 0 .0/:
    1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010

    Ecuaciones diferenciales ordinarias

    Es decir:

    Lf f 00.t/g D s 2 F .s/ sf .0/ f 0 .0/:

    (6.2)

    As tambin:

    L f

    .3/

    
     2
    d
    00
    00
    .t/ D L
    .f .t// D s Lf f 00 .t/g f .0/ D s s F .s/
    dt
    D s 3 F .s/ s 2 f .0/ sf 0 .0/ f 00 .0/:
    

    
    f 0 .0/

    sf .0/

    f 00 .0/ D

    Entonces:

    L f .3/ .t/ D s 3 F .s/ s 2f .0/ sf 0 .0/ f 00.0/:

    (6.3)

    Siguiendo este razonamiento, obtenemos en general:


    L f .n/ .t/ D s n F .s/ s n 1 f .0/

    sn

    f 0 .0/

    f .n

    

    1/

    .0/:

    (6.4)

    Ejemplo 6.4.1 Calcular Lf cos t g, usando la frmula de la transformada de una derivada.


    H

    Como es bien sabido

    d
    sen t D cos t, entonces:
    dt
    
    
    Lf cos t g D L d sen t D s Lf sen t g
    dt

    s
    :
    s2 C 1

    sen 0 D

    
    Ejemplo 6.4.2 Calcular Lf t n g, usando la frmula de la transformada de una derivada.
    H

    Como

    dt n
    D nt n
    dt

    , por la frmula de la trasformacin de una derivada, tenemos:

    L nt

    n 1

    DL

    es decir,

    nL t n

    
    d n
    n
    t D s Lf t g
    dt

    D s Lf t n g )

    n
    s

    t D0

    Lf t n g D L t n

    La misma frmula recursiva (??) que obtuvimos en la pgina ??.

    :
    

    Ejemplo 6.4.3 Determinar la TL de la funcin y.t/, solucin del PVI


    y 00 C ay 0 C by D f .t/; con y.0/ D 0 & y 0 .0/ D 0:
    H

    Tenemos:

    y tambin:

    Lf y 0 .t/g D sY .s/ y.0/ D sY .s/


    Lf y 00.t/g D s 2Y .s/ sy.0/ y 0 .0/ D s 2 Y .s/:

    De esta manera, al aplicar TL en ambos lados de la ED resulta:

    Lf y 00 C ay 0 C byg D Lf f .t/g ) Lf y 00 g C aLf y 0 g C b Lf y g D Lf f .t/g )

    ) s 2 Y .s/ C asY .s/ C bY .s/ D F .s/ ) .s 2 C as C b/Y .s/ D F .s/:


    de donde:
    Y .s/ D

    s2

    F .s/
    :
    C as C b

    Ecuaciones diferenciales ordinarias 6

    Como se puede apreciar, mediante la aplicacin de la TL y algo de lgebra, tenemos casi resuelto el PVI.
    Salvo por un paso: hay que aplicar la transformacin inversa para obtener as la solucin
    
    
    F .s/
    1
    y.t/ D L
    :
    s 2 C as C b
    En casos particulares las constantes a, b sern conocidas; la funcin f .t/ estar dada (y an puede ser 0), lo
    mismo que las condiciones iniciales, que no siempre ambas sern cero.
    
    Ejemplo 6.4.4 Resolver el PVI y 00 C 2y 0 C 4y D 0, con y.0/ D 1 & y 0 .0/ D 2.
    H

    Aplicando (6.1) y (6.2) resulta:

    Lf y 0g D s Lf y.t/g y.0/ D sY .s/ 1

    &

    Lf y 00.t/g D s 2 Y

    sy.0/

    y 0 .0/ D s 2 Y .s/

    s C 2I

    de donde:
    y 00 C 2y 0 C 4y D 0
    y.0/ D 1 & y 0 .0/ D 2

    > .s 2 Y

    s C 2/ C 2.sY

    1/ C 4Y D 0 ) .s 2 C 2s C 4/Y

    s D 0:

    Observe que la TL transforma un PVI en una ecuacin algebraica, donde Y es una funcin de s, an desconocida. Despejamos Y de la ecuacin previa:
    .s 2 C 2s C 4/Y D s ) Y .s/ D

    s2

    s
    s
    D
    :
    C 2s C 4
    .s C 1/2 C 3

    Para la ltima igualdad hemos usado s 2 C 2s C 4 D s 2 C 2s C 1 C 3 D .s C 1/2 C 3. Por lo tanto:


    
    
    
    
    
    
    
    
    s
    sC1
    1
    .s C 1/ 1
    1
    1
    1
    1
    y.t/ D L
    DL
    DL
    L
    D
    .s C 1/2 C 3
    .s C 1/2 C 3
    .s C 1/2 C 3
    .s C 1/2 C 3
    p
    n s o
    3
    1
    1
    t
    t 1
    De L
    e p L
    D
    p
    2
    2
    s C3
    3
    s C . 3/2

    De

    cos

    p
    3t

    1
    p e
    3

    sen

    p
    3t:

    
    Ejemplo 6.4.5 Resolver el PVI y 00 C 9y D 0; con y.0/ D 2 & y 0 .0/ D 3.
    H

    Tenemos ahora:

    Lf y 00.t/g D s 2Y .s/ sy.0/ y 0.0/ D s 2 Y C 2s 3I


    y la ED despus de aplicar la TL queda:
    s 2Y C 2s

    2s C 3
    3 C 9Y D 0 ) .s 2 C 9/Y D 2s C 3 ) Y .s/ D 2
    )
    s C9
    
    
    
    
    n s o
    2s C 3
    3
    1
    1
    1
    ) y.t/ D L
    D 2L
    CL
    D 2 cos 3t C sen 3t:
    s2 C 9
    s2 C 9
    s2 C 9

    
    Como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, la TL nos ofrece otro mtodo para encontrar la solucin a
    ED lineales, siempre y cuando sea factible el clculo de la transformada inversa de la funcin Y .s/ obtenida.
    Para este ltimo paso se requieren conocer las propiedades de la TL y de la transformada inversa para
    completar el proceso.

    Ecuaciones diferenciales ordinarias

    Ejercicios 6.4.4 Transformada de una derivada. Soluciones en la pgina 5


    Resolver los siguientes PVI:
    1.

    dx
    C x D 0; con x.0/ D 1.
    dt

    2.

    d 2y
    C 4y D 0; con y.0/ D 2 & y 0 .0/ D 1.
    dt 2

    3.

    d 2x
    dx
    C3
    C 2x D 0, con x.0/ D 1 & x 0 .0/ D 2.
    dt 2
    dt

    4.

    d 2z
    dz
    C2
    C 5z D 0, con z.0/ D 4 & z 0 .0/ D 3.
    dt 2
    dt

    5.

    d 3x
    C x D 0, con x.0/ D 1, x 0 .0/ D 3 & x 00 .0/ D 8.
    dt 3

    6.

    d 3y
    dt 3

    d 2y
    D 0, con y.0/ D 2; y 0 .0/ D 0 & y 00 .0/ D 1.
    dt 2

    Ecuaciones diferenciales ordinarias 6

    Ejercicios 6.4.4 Transformada de una derivada. Pgina 4


    1. x.t / D e

    t.

    2. y.t / D 2 cos 2t
    3. x.t / D e

    1
    sen 2t .
    2

    2t .

    4. z.t / D 4e

    cos 2t

    1
    e
    2

    sen 2t .

    1
    2t

    5. x.t / D 2e

    6. y.t / D 1

    t C et .

    "

    cos

    3
    t
    2

    11
    p sen
    3

    3
    t
    2

    !#

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