Formulas de Geometria Analitica

FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CONCEPTOS BÁSICOS
1 Distancia entre dos puntos:
d= (x2 – x1) 2 + (y2 – y1)2
2 División de un segmento en una razón dada:
x = x1 + rx2
P(x, y) 1+r ,
y = y1 + ry2
1+r
3 Punto medio de un segmento recta:
x = x1 + x2
P(x, y) 2 ,
y = y1 + y2
2
4 Pendiente de una recta:
Dado el ángulo Dado los puntos

m = tanα y2 – y1
m =
x2 – x1
5 Ángulo de inclinación de una recta:
α = tan-1(m)
6 Ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes:

m2−m1
β = tan-1( 1+𝑚1∗𝑚2)
7 Condición para que dos rectas sean paralelas:
m 1 = m2
8 Condiciones para que dos rectas sean perpendiculares:
m1 * m2 = -1 ó m2 = - 1
m1
9 Área de un polígono de “n” lados:
x1y1,
x2y2, + (x1y2+x2y3+…+xny1)
A = 1/2 … = 1/2
xnyn, - (x2y1+x3y2+…+x1yn)
x1y1
ECUACIONES DE LA RECTA
10 Forma ordinaria (pendiente/ordenada):
y = mx + b
11 Forma punto/pendiente:
y –y1 = m(x –x1)

12 Forma cuando pasa por dos puntos:
y y1 y2 y1 x x1 

x2 x1
13 Forma simétrica (intersección con los ejes):
x + y = 1
a b
14 Forma general (igualar a cero):
Ax By C 0
Pendiente de la Ordenada de la
recta recta
m = - A/B b = C/B
15 Cálculo de la distancia de un punto a una recta:


 d = |Ax + By + C|
 A2 + B2
 

CÓNICAS
16 Ecuación general de las cónicas:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0
17 Identificación de las cónicas:
Discriminante: I = B2 - 4AC
2
Elipse: B - 4AC < 0 (negativo)
Parábola: B2 - 4AC = 0 (cero)
Hipérbola: B2 - 4AC > 0 (positivo)
CIRCUNFERENCIA
18 Datos importantes para obtener la ecuación de la

circunferencia:
C(h,k) = coordenadas del centro.

r = radio
19 Ecuación ordinaria con centro en el origen:
x2+ y2= r2
20 Ecuación ordinaria con centro fuera del origen:
(x–h)2 +(y–k)2 = r2
21 Ecuación general o desarrollada:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
donde: h D , k  E

2 2
r = D2 + E2 - 4F
2

parábola:
V(h,k) = coordenadas del vértice.
p = distancia del vértice al foco.
Eje focal = horizontal/vertical.

23 Horizontal (vértice en el origen):
Ecuación  y2 = 4px
Vértice  V(0,0)
Foco  (p,0)
Directriz  x = -p
Lado recto  LR = |4p|
Eje focal  y = 0
24 Vertical (vértice en el origen):
Ecuación  x2 = 4py
Vértice  V(0,0)
Foco  (0, p)
Directriz  y = -p
Lado recto  LR = |4p|
Eje focal  x = 0
25 Vertical (vértice fuera del origen):
Ecuación  (x - h)2 = 4p(y - k)

Vértice  V(h,k)
Foco  (h,k + p)
Directriz  y = k - p
Lado recto  LR = 4p
Eje focal  x = h
26 Horizontal (vértice fuera del origen):
Ecuación  (y - k)2 = 4p(x - h)

Vértice  V(h,k)
Foco  (h + p,k)
Directriz  x = h - p
Lado recto  LR = 4p
Eje focal  y = k
27 Forma general de la parábola (caso con eje

horizontal):
y2 + Dx + Ey + F = 0
donde: D = -4p
E = -2k
F = k2 + 4 ph
28 Forma general de la parábola (caso con eje

vertical):
2
x + Dx + Ey + F = 0
donde: D = -2h
E = -2k
2
F = k + 4ph
ELIPSE

elipse:

a = longitud del semieje mayor.
b = longitud del semieje menor.
Eje mayor = Horizontal/Vertical.
30 Ecuaciones importantes de la elipse:
c = distancia del centro al foco.
c = a2 – b2
LR = Lado recto
LR = 2b2
a
e = excentricidad (e < 1)
e = c = a – b
2 2
a a
31 Forma ordinaria en el origen

(eje mayor - horizontal):
Ecuación  x2 + y2 = 1
2 2
a b
Centro  C(0,0)
Vértices  Vmayor (±a, 0)
Vmenor (0,±b)
Focos  F(±c,0)

(eje mayor - vertical):
Ecuación  x2 + y2 = 1
2 2
b a
Centro  C(0,0)
Vértices  Vmayor (0, ±a)
Vmenor (±b, 0)
Focos  F(0, ±c)
33 Forma ordinaria fuera del origen

(eje mayor - horizontal):

2 2
Ecuación (x–h) + (y - k) = 1
a2 b2
Centro  C(h,k)
Vértices  Vmayor(h±a, k)
Vmenor(h, k±b)
Focos  F(h±c, k)

(eje mayor – vertical):
Ecuación  (x–h)2 + (y - k)2 = 1

b2 a2
Centro  C(h,k)
Vértices  Vmayor(h, k±a)
Vmenor(h±b, k)
Focos  F(h,k±c)
35 Forma general de la elipse (caso horizontal):
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
donde: A = b2
C = a2
2
D = -2b h
E = -2a2k
F = b2h2 + a2k2 – a2b2
36 Forma general de la elipse (caso vertical):
2 2
Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0
donde: A = a2
2
C = b
D = -2a2h
E = -2b2k
2 2 2 2 2 2
F = ah + bk – ab
HIPÉRBOLA

hipérbola:

a = long. del semieje transverso.
b = long. del semieje conjugado.
Eje Focal = Horizontal / Vertical.
38 Ecuaciones importantes de la hipérbola:
c = distancia del centro al foco.
c = a2 + b2
LR = Lado recto
LR = 2b2
a
e = excentricidad (e > 1)
e = c = a2 + b2
a a

(eje focal - horizontal):
Ecuación  x2 - y2 = 1
a2 b2
Centro  C(0,0)
Asíntotas  x/a + y/b = 0 , x/a – y/b = 0
Focos  F(±c,0)

(eje focal - vertical):
Ecuación  y2 - x2 = 1
a2 b2
Centro  C(0,0)
Asíntotas  y/a + x/b = 0 , y/a – x/b = 0
Focos  F(0, ±c)

(eje focal - horizontal):
Ecuación  (x –h)2 - (y – k)2 = 1

a2 b2
Centro  C(h,k)
Asíntotas  (x –h)/a + (y – k)/b = 0,

(x -h)/a – (y - k)/b = 0
Focos  F(h±c, k)

(eje focal - vertical):

2 2
Ecuación (y –h) - (x – k) = 1
a2 b2
Centro  C(h,k)
Asíntotas  (y – k)/a + (x – h)/b = 0,

(y - k)/a – (x - h)/b = 0
Focos  F(h, k±c)
43 Forma general de la hipérbola (caso horizontal):
2 2
Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0
donde: A = b2
2
C = a
D = -2b2h
E = 2a2k
2 2 2 2 2 2
F = bh + ak – ab
44 Forma general de la hipérbola (caso vertical):
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
donde: A = -a2
C = b2
D = 2a2h
2
E = -2b k
F = b2k2 + a2h2 – a2b2

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FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

1 Distancia entre dos puntos:

d= (x2 – x1) 2 + (y2 – y1)2

2 División de un segmento en una razón dada:

3 Punto medio de un segmento recta:

4 Pendiente de una recta:

Dado el ángulo Dado los puntos

5 Ángulo de inclinación de una recta:

6 Ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes:

7 Condición para que dos rectas sean paralelas:

8 Condiciones para que dos rectas sean perpendiculares:

9 Área de un polígono de “n” lados:

10 Forma ordinaria (pendiente/ordenada):

y –y1 = m(x –x1)

y y1 y2 y1 x x1 

14 Forma general (igualar a cero):

Ax By C 0

15 Cálculo de la distancia de un punto a una recta:

16 Ecuación general de las cónicas:

17 Identificación de las cónicas:

18 Datos importantes para obtener la ecuación de la

C(h,k) = coordenadas del centro.

19 Ecuación ordinaria con centro en el origen:

20 Ecuación ordinaria con centro fuera del origen:

21 Ecuación general o desarrollada:

donde: h D , k  E

22 Datos importantes para obtener la ecuación de la

V(h,k) = coordenadas del vértice.

p = distancia del vértice al foco.

Eje focal = horizontal/vertical.

24 Vertical (vértice en el origen):

25 Vertical (vértice fuera del origen):

Ecuación  (x - h)2 = 4p(y - k)

26 Horizontal (vértice fuera del origen):

Ecuación  (y - k)2 = 4p(x - h)

27 Forma general de la parábola (caso con eje

28 Forma general de la parábola (caso con eje

29 Datos importantes para obtener la ecuación de la

C(h,k) = coordenadas del centro.

30 Ecuaciones importantes de la elipse:

c = distancia del centro al foco.

31 Forma ordinaria en el origen

32 Forma ordinaria en el origen

33 Forma ordinaria fuera del origen

34 Forma ordinaria fuera del origen

Ecuación  (x–h)2 + (y - k)2 = 1

35 Forma general de la elipse (caso horizontal):

36 Forma general de la elipse (caso vertical):

37 Datos importantes para obtener la ecuación de la

C(h,k) = coordenadas del centro.

38 Ecuaciones importantes de la hipérbola:

c = distancia del centro al foco.

39 Forma ordinaria en el origen

40 Forma ordinaria en el origen

Asíntotas  y/a + x/b = 0 , y/a – x/b = 0

Focos  F(0, ±c)

41 Forma ordinaria fuera del origen

Ecuación  (x –h)2 - (y – k)2 = 1