• Una matriz cuyas componentes son todas cero se • Si A es una matriz de nxm , B es de mxp y C es de

FORMULARIO DE ALGEBRAL LINEAL denomina matriz cero.

pxk , entonces A ( BC )= ( AB ) C y
CAPITULO 1 RESUMEN: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Y MATRICES • Si A y B son matrices de mxn, entonces

A+B y ∝ A(∝ un escalar ) son matrices tanto A ( BC ) como ( AB ) C son matrices de nxq
• Un vector reglón de n componentes es un conjunto
ordenado de n números denominados escalares, de mxn. .

escritos como
( x1 , x2 , … , x n ) .
o La componente de ij de LEY DISTRIBUTIVA PARA MULTIPLICACION DE MATRICES:

A+B es a ij +b ij
• Un vector columna de n componentes es un
• Si todos los productos están definidos, entonces.
conjunto ordenado de n números escritos como
ij de ∝ A es ∝ aij A ( B+C )= AB + AC y ( A+ B ) C= AC + BC

()
x1 o La componente de

x2
↓ .
• El producto escalar de dos vectores de n • La matriz de coeficientes de un sistema lineal.
xn componentes es:

a11 x 1 +¿ a12 x 2 +¿ a 21 x 1 +¿a 22 b x 2 +¿

()
b1 ⋯ +a1 n x n ¿ b 1
n
• b
Un vector cuyas componentes son todas cero se
denomina vector cero.
a . b= ( a1 , a 2 , … , a n ) . 2 =a 1 b1 +a 2 b 2 +…+a n b n =∑ ai bi ⋯ +a 2 n x n ¿ b 2
↓ i =1
⋮
• La suma de vectores y la multiplicación por bn ¿
escalares está definida por. ¿
a m 1 x 1 +¿ a m2 x 2 +¿ ¿
PRODUCTO DE MATRICES:
a 1 +b1 ∝ a1

( ) ()
⋮ ⋮ ⋮ ¿=b
∝ a2 +anm x n
a +b= a 2 +b2 y ∝ a=
n
• Sea A una matriz de mxn y B una matriz de nxp. ⋯
⋮ ⋮ Entonces AB es una matriz de mxp y la componente de ¿ ¿
a n +bn ∝ an ij de AB= ( reglon i de A ) .(columna j de B)
Es la matriz:
n
• ¿ ai 1 b1 j +ai 2 b 2 j +…+a¿ b nj= ∑ aik b kj a 11 a12 ⋯ a1n

( )
Una matriz de mxn es un arreglo rectangular de mn
números arreglados en m reglones y n columnas. k =1
a a ⋯ a2 n
A= 21 22
a 11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

( )
• En términos, los productos de matrices no son
a n1 a n 2 ⋯ a mn
a a ⋯ a2 n conmutativos: es decir, casi siempre ocurre que
A= 21 22
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ AB ≠ BA .
a n1 a n 2 ⋯ a mn • El sistema lineal anterior se puede escribir utilizando la
LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES: matriz aumentada.
 a 11 a 12 ⋯ a 1n ⋮ b1 • •

( )
El proceso de aplicación de operaciones elementales La solución para un sistema lineal homogéneo
con reglones a una matriz se denomina reducción por diferentes de la trivial, se denomina soluciones no
a 21 a 22 ⋯ a 2n ⋮ b 2 reglones. triviales.

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮⋮ • La eliminación de Gauss-Jordan es el proceso de • El sistema lineal homogéneo anterior tiene un número

a n1 a n2 ⋯ a mn ⋮ b n resolución de un sistema de ecuaciones mediante la infinito de soluciones si tiene más incógnitas que
reducción por reglones de la matriz aumentada a la
forma escalonada por reglones, usando el proceso ecuaciones.
(n>m)
descrito en la pagina 9.
También se puede escribir como Ax=b, donde.
• La eliminación de Gauss es el proceso de resolución
• La matriz identidad
nxn , I n , es la matriz de n
de un sistema de ecuaciones reduciendo por reglones

() ()
x1 b1 la matriz aumentada a la forma escalonada por x n con unos en la diagonal principal y ceros en otra
reglones y utilizando la sustitución hacia atrás.
x = x 2 y b= b2 parte,
I n se denota generalmete por I .
↓ ↓ • Un sistema lineal que tiene una o más soluciones se
xn bn denomina consistente.
• Si A es una matriz cuadrada , entonces AI=IA=A

• Un sistema lineal que no tiene solución se le denomina

inconsistente. • La matriz A de n x n es invertible si existe una matriz
• Una matriz está en la forma escalonada reducida
−1
por reglones si se cumplen las cuatro condiciones A de nxn tal que :
dadas en la página 13 • Un sistema lineal que tiene soluciones cuenta con, ya
sea, una solución única o un numero infinitos de
soluciones.
• Una matriz está en la forma escalonada por
A A−1 = A−1 A=1
reglones si se cumple las tres primeras condiciones de
la pagina 13. • Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n
incógnitas es un sistema lineal de la forma:

• Un pivote es el primer componente diferente de cero En este caso la matriz A−1 se llama inversa de A.
en el reglón de una matriz. a11 x 1+¿ a 12 x 2 +¿a 21 x 1 +¿ a 22 b x 2 +¿
⋯ +a 1n x n ¿0
• Las tres operaciones elementales con reglones • Si A es invertible, su inversa es única.
son: ⋯ +a 2 n x n ¿ 0
⋮ • Si A y son matrices invertibles de n x n , entonces AB
o Multiplicar el reglón i de una matriz por
¿ es invertible:
c =R i → cR j , donde ces ≠ 0 ¿
a m 1 x 1 +¿ a m2 x 2 +¿ ¿ I. Se escribe la matriz cuadrada aumentada.

⋮ ( A∣T )
o Multiplicar el reglón i por c y sumarlo al
+anm x n ⋮ ⋮ ¿=0
reglón
j=R j → R j +cR i .
⋯
¿ ¿ II. Se reduce A por reglones a la forma
escalonada reducida por reglones.

o Permutar los reglones

i y j : Ri ← → R j • Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la III. Si la forma escalonada reducida por reglones
. solución trivial ( o solución cero) −1
de A es I, entonces A sera la matriz

x 1= x 2 =⋯ = x n=0 a la derecha de la raya vertical punteada.

 Si la forma escalonada reducida por reglones t t FACTORIZACION PA=LU:
de A contiene un reglón de ceros, entonces A si A es invertible , entonces ( A−1 ) = ( A−1 )
no es invertible.
• Sea cualquier matriz mxn. Entonces existe una matriz
permutación P tal que PA=LU, donde L y U son como en
• La matriz de
At = A la factorización LU. En términos generales, P, A y U no
• Una matriz cuadrada A es simétrica si . son únicas.
2 x 2 , A=
( a 11 a12
a 21 a 22 )
es invertible si y solo si .
• Una matriz elemental es una matriz cuadrada que se
TEOREMA DE RESUMEN:

obtiene llevando a cabo exactamente una operación

con reglones sobre la matriz identidad. Los tres tipos de
• Sea A una matriz de nxn, entonces las siguientes
El determinante de matrices elementales son: afirmaciones son equivalentes:

A , detA=a11 a 22 −a12 a 21 ≠ o , en cuyo

o I. A es invertible
caso:
c R i se multiplica el reglon i de I por c : c ≠ 0
II. La única solución al sistema homogéneo
AX=0 es la solución trivial (x=0).
A−1=
1
detA −a 21 a11(
a 22 −a12
) o III.
j+¿c R i se multiplica el reglon i de I por c y se suma al reglon
El sistema Ax=b tiene una solución única
j : c ≠n-vector b.
para cada

R¿
• Dos matrices A y B son equivalentes por reglón si, A
IV. A es equivalente por reglones a la matriz
se puede transformar en B reduciendo por reglones.
identidad de nxn,
In .
o
• Sea A una matriz de nxn. Si AB=I o BA=I , entonces A P ij se permutan los reglones i y j.
−1
A V. A se puede escribir como un producto de
es invertible y B= matrices elementales.

• Una matriz cuadrada es invertible si y solo si el

VI. detA ≠ 0
• Si producto de matrices elementales. (por ahora, detA está

A= ( a ij ) , entonces la transpuesta de A definido solo si A es una matriz de 2x2).

• Cualquier matriz cuadrada se puede escribir como el
producto de matrices elementales y una matriz
VII.
, es denotada por At , esta dad por
triangular superior.
La forma escalonada por reglones de A tiene
n pivotes.

FACTORIZACION LU:
At =( a ij ) .Esto es,
At se obtiene VIII. Existe una matriz permutación P, una matriz
triangular inferior L con unos en la diagonal,
intercambiando los reglones y las columnas de A. • Suponga que la matriz invertible A se puede reducir por y una matriz triangular superior invertible U,
reglones a una matriz triangular superior sin realizar tales que PA=LU.
permutaciones. Entonces existen matices únicas L y U,
HECHOS SOBRE LA TRANSPUESTA: tales que L es triangular inferior con unos en la CAPITULO 2 RESUMEN: DETERMINANTES
diagonal, U es una matriz superior invertible y A=LU.

• Si todas las sumas y los productos están definidos y A

es invertible, entonces.
MATRIZ DE PERMUTACION: • El determínate de una matriz de 2x2,

t
( At ) = A ⋮ ( AB )t = B t At ⋮ ( A+ B )t = At + Bt •
E = P0 es una matriz de permutación

elemental. Un producto de matrices permutación

A=
( a 11 a 12
a 21 a 22 )
esta dado por.

elementales se denomina matriz de permutación.

 determinan te de A=detA=∣A∣=a 11 a 22 −a12 a 21 • Si A=LU es una factorización LU de A , entonces
• detA=det
At
detU
detA= =± detU
detP
• Determinante de 3x3. • la matriz A de nxn es invertible si y solo si detA

≠0 .
TEOREMA BASICO:
a 11 a 12 a13

(
a 31 a 32 a33
a a
)
a 32 a 33
a
∣ a a a
∣ ∣
det a 21 a 22 a23 =a11 22 23 −a12 21 23 + •21 Si 22
∣∣ ∣
A es una matriz de nxn, entonces:
a 31 a 33 a31 a 32
n
•

•
detAB=detAdetB.

≠0
detA=a i1 Ai1 +a i2 Ai2 +…+a ¿ A ¿ =∑ a ik Aik Si A es invertible, entonces detA y:
k=1
• El menor ij de la matriz A de nxn, denotado por

M ij 1
det A−1= adjA
, es la matriz de (n-1) x(n-1) obtenida al n detA
eliminar el reglón i y la columna j de A. detA=a 1j A1j +a 2j A2j +…+a nj A nj =∑ a kj A kj
k=1
Aij • Sea A una matriz de nxn. La adjunta o adjugada de
• El cofactor ij de A, denotado por esta dado
A , denotada por adjA, es la matriz de nxn cuya
Para i=1,2,…n y j=1,2,…, n.
por :
componente ij es
A ji , el cofactor ji de A.
Es decir, el determinante de A se puede obtener
i+ j
Aij= (−i ) det M ij expandiendo en cualquier reglón o columna de A.

• Si
detA ≠ 0 , entonces A es invertible y:
• Si cualquier reglón o columna de A es vector cero,
entonces detA=0.

1
DETERMINANTES DE NXN:
• Si cualquier reglón (columna) de A se multiplica por un A−1= adjA
escalar, entonces detA se multiplica por c.
detA
• Sea A una matriz de nxn. entonces.
• Si A y B son dos matrices de nxn que son iguales TEOREMA DE RESUMEN:
n excepto por la columna j (reglón i) y C es la matriz que
detA=a 11 A11 =a12 A12 +…+a 1n A 1n= ∑ a1k A1k es idéntica a A y B excepto que la columna de j (reglón
i) de C es la suma de la columna de j de A y la columna • Sea A una matriz de nxn. Entonces las siguientes siete
k =1 j de B (reglón i de A y reglón i de B), entonces afirmaciones son equivalentes.
detC=detA+detB.

La suma anterior se denomina la expansión de detA I. A es invertible

por cofactores en el primer reglón. • El intercambio de cualesquiera dos columnas o
reglones distintos de A tiene el efecto de multiplicar
detA por -1. II. La única solución al sistema homogéneo
• Si A es una matriz de nxn, triangular superior, Ax=0 es la solución trivial (x=0).
triangular inferior o diagonal, cuyas componentes en la
• Si cualquier reglón (columna) de A se multiplica por un
diagonal son
a 11 , a 12 , … , a nn , entonces. escalar y se suma a cualquier otro reglón (columna) de III. El sistema Ax=b tiene una solución única
A, entonces detA no cambia. para cada vector n-vector b.

detA=a 11 a 22 …a nn • Si un reglón (columna) de A es un múltiplo de otro IV. A es equivalente por reglones a l matriz
reglón (columna) de A, entonces detA=0.
identidad de nxn,
In .
 V. A es el producto de matrices elementales.
Una representación de un vector tiene su punto inicial

en el origen y se denota por ¿⃗ .

DESIGUALDAD DEL TRIANGULO:
VI. La forma escalonada por reglones de A tiene
n pivotes
DEFINICION ALGEBRAICA DE UN VECTOR:
• En
R2 o R3
VII. detA
≠0 . R
• Un vector v en el plano xy
(¿¿ 2) es un par ∣u+v∣≤ ∣u∣+∣v∣
REGLA DE CRAMER: ¿
ordenado de números reales (a,b). Los números a y b
• ≠0 R2
sea A una matriz de nxn con detA . Entonces la se llaman componentes del vector v. El vector cero
3
• En sean i=(1,0), y j=(0,1) ; entonces v=(a,b) se
solución única al sistema Ax=b está dada por: es el vector (0,0). En R
, un vector v es una puede escribir como v=ai+bj.

terna ordenada de numero reales (a,b,c). El vector

D1 D D R3 R3
x 1= , x 2= 2 , … , x n= n cero en es el vector (0,0,0). • En sean i=(1,0,0), j=(0,1,0) y k=(0,0,1);
detA detA detA
entonces v=(a,b,c) se puede escribir como:

• Las definiciones geométricas y algebraicas de un

Dj v=ai +bj+ck
Donde es el determinante de la matriz
vector en R [R
2 3
]
se relacionan de la siguiente
obtenida al reemplazar la columna de j de A por el
manera: si v=(a,b)[(a,b,c)] , entonces una
vector columna de b.
• R2 o R3
representación de v es ¿⃗ , donde R=(a,b)
Un vector unitario u en es un vector

[R=(a,b,c)]. que satisface ∣u∣=1 . En R2 un vector

2 3
R oR unitario se puede escribir como:
CAPITULO 3 RESUMEN: VECTORES EN
• Si v=(a,b) , entonces la magnitud de v, denotada por

∣v∣ , está dada por u= ( cosθ ) i+ ( senθ ) j

• el segmento de recta dirigido que se extiende de P
2 3
a Q en R oR denotado por
⃗
PQ es el
∣v∣= √ a 2 +b 2 . Si v=(a,b,c) , entonces Donde θ es la dirección de u.
segmento de recta que va de P a Q.

∣v∣= √ a 2 +b 2 +c2
• R2 o R3 .
u= ( a1 , b 1 ) y v=(a 2 , b 2)
dos segmentos de recta dirigidos en son
• Sean : entonces
equivalentes si tienen la misma magnitud (longitud) y
dirección.
• Si v es un vector en
R2 , entonces la dirección
el producto escalar o producto punto de u y v ,
esta denotado por u.v , esta dado por:

DEFINICION GEOMETRICA DE UN VECTOR:

de v es un angulo en [ 0,2 π ] , que forma u.v=a 1 a 2 +b 1 b 2
2 3
• Un vector en
R oR es el conjunto de todos los
cualquier representación de v con el lado positivo del
eje x.

R2 o R3 Si
u= ( a1 , b 1 , c 1 ) y v=(a2 , b 2 , c 2)
segmentos de recta dirigidos en

equivalentes a un segmento de recta dirigido dado. entonces:

 u.v=a 1 a 2 +b 1 b 2+c 1 c 2 • La dirección de un vector v
R3 es el vector  u ×v es ortogonal tanto a u como a v

unitario:

• φ  Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v

El ángulo entre dos vectores u y v en v u × v=0
u= son paralelos si y solo si
R oR 2 3
es el único numero en [0,
π ] que
∣v∣
satisface:
• Si
φ es el angulo entre u y v , entonces
• Sea v=(a,b,c) , entonces
u.v a b c ∣u× v∣=∣u∣∣v∣senφ=¿
cosφ= cosα= , cosβ= , cosγ= area del
∣u∣∣v∣ ∣v∣ ∣v∣ ∣v∣ se
paralelogramo con lados u y v.

llaman cosenos directores de v.

R2 o R3 •
P =( x 1 , y 1 , z 1 ) y Q= ( x 2 , y 2 , z 2 )
• Dos vectores en son paralelos si el
Sean
• Sea

ángulo entre ellos es 0 o π . Son paralelos si uno u=a 1 i+b 1 j+c 1 k y v=a 2 i+b 2 j+c 2 k dos puntos sobre una recta L en R3 .Sea

es un múltiplo escalar del otro.

, entonces el producto cruz o el producto vectorial v= ( x 2− x 1 ) i +( y 2 − y 1 ) j +( z2 − z 1 ) k y
de u y v , denotado por uxv, esta dado por:
2 3
• Dos vectores en
R oR son ortogonales si el a= x 2− x 1 , b= y 2 − y 1 y c= z 2− z 1

∣ ∣
sea
i j k
π u × v= a 1 b 1 c 1
ángulo entre ellos es . Son ortogonales si y solo
2 ECUACION VECTORIAL DE UNA RECTA:
a 2 b 2 c2
si su producto escalar es cero.
¿⃗ =⃗
OP +tv
• Sean u y v dos vectores deferentes de cero en PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ:
2 3 ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA:
R oR .La proyección de u sobre v es un
 u × 0=0 × u=0

{
vector, denotado por
proy v u , que está definido
x= x 1+at
u × v=−v × u y= y 1 +bt
por:
 z= z1 +ct
u.v
proy v u= v ( αu ) × v=α ( u × v )
∣v∣2  ECUACIONES SIMETRICAS DE UNA RECTA:

u × ( v+w ) =( u× v ) +(v × w) x− x 1 y− y 1 z− z 1
u.v  = =
a b c
Es escalar
∣v∣ se llama la componente de u en

la dirección de v.  ( u × v.w )=u.(v × w) (el triple

producto escalar) • Sea P un punto en

R3 y sea n un vector dado

diferentes de cero; entonces el conjunto de todos los

 puntos Q para los que
⃗
PQ . n=0 constituye un  Existe un vector
0∈V tal que para todo • El espacio
P n=¿ {polinomios de grado menor

plano en R 3
.El vector n se llama vector normal
x ∈ V , x+0=0+ x= x (el 0 se
que o igual a n}

del plano. llama vector cero o idéntico aditivo). • El espacio C[a,b]={funciones reales continuas en el
intervalo [a,b]}

n=ai +bj+ck y P= ( x 0 , y 0 , z 0 )  x ∈V
• Si
Si , existe un vector –x en V tal que
M mn=¿
x+(-x)=0 (-x se llama inverso aditivo de x) • El espacio {matrices de mxn con
entonces la ecuación del plano se puede escribir:
coeficientes reales}
 Si x,y están en V , entonces x+y=y+x (ley
ax +by+cz=d conmutativa de la suma de vectores)
• El espacio
n
x ∈V y α C = {( c 1 , c 2 , … , c n ) :c i ∈ C parai=1,2, … , n } .
Donde:  Si es un escalar, entonces

αx ∈V C denota el conjunto de números complejos.

d =a x 0 +b y 0 +c z 0=⃗
OP . n (cerradura bajo la

multiplicación por un escalar) • Un subespacio H de un espacio vectorial V es un

subconjunto de V que es en si un espacio vectorial.
• El plano xy tiene la ecuación z=0; el plano xz tiene la
 Si x,y están en V y
α es un escalar,
ecuación y=0; el plano yz tiene la ecuación x=0. • Un subespacio no vacio H de un espacio vectorial V es

entonces α ( x+ y )=αx +αy (primera

un subespacio de V si las dos siguientes reglas se
cumplen:
• Dos planos son paralelos si sus vectores normales son
paralelos. Si los dos planos no son paralelos, entonces ley distributiva)
se intersecan en una línea recta.
 Si
x∈H y
y∈H , entonces
 x ∈V y α, β
CAPITULO 4 RESUMEN: ESPACIOS VECTORIALES Si son escalares, entonces
x+ y ∈ H
• Un espacio vectorial real V es un conjunto de
( α+ β ) x=αx + βx (segunda ley
objetos, denominados vectores, junto con dos
operaciones denominadas suma (denotada por x+y) y
distributiva)
 Si
x∈H , entonces
αx ∈ H
multiplicación por un escalar (denotada por
αx ) que satisface los siguientes axiomas:  Si
x ∈V y α, β son escalares, entonces para cada escalar α

α ( βx )=(αβx ) (ley asociativa de la

 Si
x ∈V y
y ∈V , entonces
• Un subespacio propio de un espacio vectorial V es un
multiplicación por escalares) subespacio de V deferente de {0} y de V.
x+ y ∈ V (cerradura bajo suma)
 Para cada
x ∈ V , 1x= x • Una combinación lineal de los vectores

v 1 , v2 , … , v n es un espacio vectorial V es la
 Para todo x,y,z en V ,
n
( x+ y )+ z= x+( y+z ) • El espacio
R = { x1 , x2 , … , x n } : xi ∈ R suma de la forma:
(ley

asociativa de la suma de vectores).

para i= { 1,2,… n } α1 v 1 +α2 v 2 +…+αn v n
 BASE:
Donde
α1 , α 2 , … , αn son escalares. • Los únicos subespacio propios de
R3 son los

• Un conjunto de vectores
v 1 , v2 , … , v n es una
conjuntos de vectores que están en una recta o en un
plano que pasa por el origen.
• Se dice que los vectores
v 1 , v2 , … , v n en un base para un espacio vectorial V si:

espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se

• El espacio nulo de una matriz A de nxn es el
puede expresar como una combinación lineal de v 1 , v2 , … , v n ¿ Rn
 { es linealmente subespacio de dado por:
v 1 , v2 , … , v n . independiente.

v 1 , v2 , … , v n ¿ N A= x ∈ R n : Ax=0
• El espacio generado por un conjunto de vectores  { generan a V.
v 1 , v2 , … , v n en un espacio vectorial V es el
• Todo conjunto de n vectores linealmente
• La nulidad de una matriz A de nxn es la dimensión de
conjunto de combinaciones lineales de
v 1 , v2 , … , v n n
R Rn NA y se denota por v(A).
. independientes en es una base en .

v 1 , v2 , … , v n ¿ Rn • Sea A una matriz de mxn. La imagen de A denotado

• Gen { es un subespacio de V. • La base canónica en consiste en n vectores: m
por Im(A), es el subespacio de R
dado por:

DEPENDENCIA E INDEPENDECIA LINEAL:

1 0 0 0

() () () ()
ℑ ( A )= y ∈ Rm : Ax= y para alguna x ∈ R n
v 1 , v2 , … , v n 0 1 0 0
• Se dice que los vectores en un
c 1 = 0 , c 2= 0 , c3 = 1 , … , cn = 0
espacio vectorial V son linealmente dependientes si
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ • El rango de A, denotado por p(A), es la dimensión de
c1 , c2 , … , cn la imagen de A.
existen escalares no todos ceros
0 0 0 1
tales que:
• El espacio de los reglones de A, denotado por

c 1 v 1+c 2 v 2 +…+c n v n =0 DIMENSION: RA , es el espacio generado por los reglones de A

• Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces

y es un subespacio de Rn .
Si los vectores no son linealmente dependientes, se la dimensión de V es el numero de vectores en cada
dice que son linealmente independientes. base y V se denomina un espacio vectorial de
dimensión finita .De otra manera V se denomina
espacio vectorial de dimensión infinita .Si V={0}, • El espacio de los columnas de A, denotado por
• Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente entonces se dice que V tiene dimensión cero.
independientes si y solo si uno es múltiplo escalar del CA , es el espacio generado por los columnas de A
otro. La dimensión de V se denota por dimV.

y es un subespacio de Rm .
• Cualquier conjunto de n vectores linealmente • Si H es un subespacio del espacio de dimensión finita
n n
independientes en R generan a . R V, entonces dimH ≤ dimV.
• Si A es una matriz de mxn, entonces:

• Un conjunto de n vectores en
Rm es linealmente C A =ℑ ( A ) y dim R A =dimC A=dimIm ( A )= p( A
independiente si n>m.
Más aun:

p ( A ) +v ( A )= n