3.16 Interpretacion Geomètrica y Fìsica de Una Derivada
3.16 Interpretacion Geomètrica y Fìsica de Una Derivada
3.16 Interpretacion Geomètrica y Fìsica de Una Derivada
La Derivada
Objetivo General: Se definirán: tangente y normal a una curva en uno de sus puntos, así como ángulo formado
por dos curvas que se cortan.
Objetivo Particular: Resolverá ejercicios para determinar las ecuaciones de la tangente y la normal a una curva
en un punto de ella, (Constrúyanse curva, tangente y normal). Calculará el ángulo formado por dos curvas que
se cortan.
Δ𝑦
𝑡𝑔𝛽 = lim = 𝑓′(𝑎)
ℎ→0 h
𝑚𝑡 = 𝑓′(𝑎)
Ejemplo:
1. Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante.
𝒇′(𝒂) = 𝟏.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto 𝑥 = 𝑎.
′(
(𝑎 + ℎ)2 − 𝑎2 𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 𝑎2 2𝑎ℎ + ℎ2
𝑓 𝑎) = lim = lim = lim = lim 2𝑎 + ℎ = 𝟐𝒂
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0
1
𝑓 ′ (𝑎) = 1 ∴ 2𝑎 = 1 ∴ 𝑎 =
2
𝟏 𝟏
𝑷൬ , ൰
𝟐 𝟒
x y
2 4
1.5 2.25
1 1
1 1
2 4
1 1
−
2 4
-1 1
-1.5 2.25
-2 4
2. Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2− 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que
la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑡𝑔45° = 1
2(𝑥 + ℎ)2 − 3(𝑥 + ℎ) − 1 − 2x2 − 3x − 1 ′ 1
𝑓 ′(1) = lim 𝑓 (𝑎) = 1 ∴ 2𝑎 = 1 ∴ 𝑎 =
ℎ→0 ℎ 2
2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 − 3𝑥 − 3ℎ − 1 − 2x2 − 3x − 1 ℎ(4𝑥 + 2ℎ − 3)
= lim = lim
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
4
= lim 4𝑥 − 3 ⟹ 1 = 4𝑥 − 3 ⇒ 4𝑥 = 1 + 3 ⇒ 𝑥 = ∴𝑥=1
ℎ→0 4
𝑓(1) = 2(1)2 − 3(1) − 1 = 2 − 3 − 1 = −2
𝑷(𝟏, −𝟐)
Ejercicio: