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    Problemas 14.3 HAUSSELER

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    Yolanda Quito
    Este documento presenta una serie de problemas de cálculo que involucran derivadas e integrales definidas. Los problemas 1-8 involucran encontrar derivadas y aplicar condiciones iniciales. Los problemas 9-12 encuentran funciones de demanda a partir de funciones de ingreso marginal. Los problemas 13-16 encuentran funciones de costo total y costos totales a partir de funciones de costo marginal y costos fijos. Los problemas 17-21 presentan aplicaciones de cálculo a problemas de biología, física y economía. El problema 22 evalúa una expresión que involucra una función

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    Este documento presenta una serie de problemas de cálculo que involucran derivadas e integrales definidas. Los problemas 1-8 involucran encontrar derivadas y aplicar condiciones iniciales. Los problemas 9-12 encuentran funciones de demanda a partir de funciones de ingreso marginal. Los problemas 13-16 encuentran funciones de costo total y costos totales a partir de funciones de costo marginal y costos fijos. Los problemas 17-21 presentan aplicaciones de cálculo a problemas de biología, física y economía. El problema 22 evalúa una expresión que involucra una función

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    Problemas 14.3 HAUSSELER

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    PROBLEMAS 14.

    3
    En los problemas 1 y 2, encuentre y sujeta a las condiciones dadas
    𝑑𝑦 13
    1. 𝑑𝑥 = 3𝑥 − 4; 𝑦(−1) = 2
    𝑑𝑦 19
    2. 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥; 𝑦(3) = 2

    En los problemas 3 y 4, si y satisface las condiciones dadas, encuentre 𝑦(𝑥) para el


    valor dado de 𝑥.
    5
    3. 𝑦´ = , 𝑦(9) = 50; 𝑥 = 16
    √𝑥

    4. 𝑦´ = −𝑥 2 + 2𝑥, 𝑦(2) = 1; 𝑥 = 1
    En los problemas 5 a 8, encuentre y sujeta a las condiciones dadas.
    5. 𝑦´´ = −3𝑥 2 + 4𝑥; 𝑦´(1) = 2, 𝑦(1) = 3
    6. 𝑦´´ = 𝑥 + 1; 𝑦´(0) = 0, 𝑦(0) = 5
    7. 𝑦´´´ = 2𝑥; 𝑦´´(−1) = 3, 𝑦´(3) = 10, 𝑦(0) = 13
    8. 𝑦´´´ = 𝑒 𝑥 + 1; 𝑦´´(0) = 1, 𝑦´(0) = 2, 𝑦(0) = 3
    𝑑𝑟
    En los problemas 9 a 12, 𝑑𝑞
    es una función de ingreso marginal.

    Encuentre la función demanda.


    𝑑𝑟
    9. 𝑑𝑞 = 0.7

    𝑑𝑟 1
    10. 𝑑𝑞 = 10 − 16 𝑞

    𝑑𝑟
    11. 𝑑𝑞 = 275 − 𝑞 − 0.3𝑞2

    𝑑𝑟
    12. 𝑑𝑞 = 5000 − 3(2𝑞 + 2𝑞 3 )

    𝑑𝑐
    En los problemas 13 a 16 𝑑𝑞
    es una función de costo marginal y los costos fijos están
    indicados entre llaves. Para los problemas 13 y 14, encuentre la función de costo total.
    En los problemas 15 y 16 encuentre el costo total para el valor indicado 𝑞.
    𝑑𝑐
    13. 𝑑𝑞 = 1.35; |200|

    𝑑𝑐
    14. 𝑑𝑞 = 2𝑞 + 75; |2000|

    𝑑𝑐
    15. 𝑑𝑞 = 0.08𝑞2 − 1.6𝑞 + 6.5; |8000|; 𝑞 = 25

    𝑑𝑐
    16. 𝑑𝑞 = 0.000204𝑞2 − 0.046𝑞 + 6 ; |15000|; 𝑞 = 200

    17. Dieta para ratas. Un grupo de biólogos estudio los efectos nutricionales en ratas a
    las que se alimentó con una dieta en la que 10% era proteína. La proteína consistió en
    levadura y harina de maíz.
    En un periodo de tiempo, el grupo encontró que la razón de cambio (aproximada) del
    aumento promedio de peso G (en gramos) de una rata, con respecto al
    porcentaje P de levadura en la mezcla proteínica fue
    𝑑𝐺 𝑃
    𝑑𝑃
    = − 25 + 2 0≤ 𝑃 ≤ 100

    Si 𝐺 = 38 cuando 𝑃 = 10, encuentre 𝐺.


    18. Polilla de invierno Se llevó a cabo un estudio acerca de la polilla de invierno en
    Nueva Escocia. Las larvas de la polilla caen al suelo de los arboles huéspedes. Se
    encontró que la razón (aproximada) con que la densidad y (el número de larvas por pie
    cuadrado de suelo) cambia con respecto a la distancia x (en pies), desde la base de un
    árbol huésped es
    𝑑𝑦
    = −1.5 − 𝑥 1 ≤ 𝑥 ≤ 9
    𝑑𝑥
    Si 𝑦 = 57.3 cuando 𝑥 = 1, encuentre 𝑦.
    19. Flujo de fluido En el estudio del flujo de un fluido en un tubo de radio de constante
    R, como el torrente sanguíneo en ciertas partes del cuerpo, puede considerarse que el
    tubo consiste en tubos concéntricos de radio 𝑟, donde 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅. La velocidad 𝑣 del
    fluido es una función de 𝑟 y está dada por
    (𝑃1 − 𝑃2 )𝑟
    𝑣 = ∫− 𝑑𝑟
    2𝑙𝜂
    Donde 𝑃1 y 𝑃2 son las presiones en los extremos del tubo, 𝜂 (una letra griega que se lee
    “eta”) es la viscosidad del fluido y 𝑙 es la longitud del tubo. Si 𝑣 = 0 cuando 𝑟 = 𝑅,
    demuestre que
    (𝑃1 − 𝑃2 )(𝑅2 − 𝑟 2 )
    𝑣=
    4𝑙𝜂
    20. elasticidad de la demanda El único productor de un artículo ha determinado que la
    función de ingreso marginal es
    𝑑𝑟
    = 100 − 3𝑞 2
    𝑑𝑞
    Determine la elasticidad puntual de la demanda para el producto cuando 𝑞 = 5. (Una
    pista: Encuentre primero la función de demanda.)
    21. Costo promedio Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es
    𝑑𝑐
    = 0.003𝑞 2 − 0.4𝑞 + 40
    𝑑𝑞
    Donde 𝑞 es el número de unidades producidas. Si el costo marginal es de $27.50 cuando
    𝑞 = 50 y los costos fijos son de $5000, ¿cuál es el promedio de producir 100 unidades?

    22. Si 𝑓´´(𝑥) = 30𝑥 4 + 12𝑥 y 𝑓´(1) = 10, evalué


    𝑓(965.335245) − 𝑓(−965.335245)

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