El documento explica la distribución de Maxwell-Boltzmann, que describe cómo están distribuidas las velocidades de las moléculas en un gas ideal a una temperatura dada. Muestra que a temperaturas más altas, las moléculas se mueven más rápido en promedio y la distribución se ensancha, mientras que a temperaturas más bajas las moléculas se mueven más lento y la distribución se estrecha. El área debajo de la curva de distribución representa el número total de moléculas en el gas.
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El documento explica la distribución de Maxwell-Boltzmann, que describe cómo están distribuidas las velocidades de las moléculas en un gas ideal a una temperatura dada. Muestra que a temperaturas más altas, las moléculas se mueven más rápido en promedio y la distribución se ensancha, mientras que a temperaturas más bajas las moléculas se mueven más lento y la distribución se estrecha. El área debajo de la curva de distribución representa el número total de moléculas en el gas.
El documento explica la distribución de Maxwell-Boltzmann, que describe cómo están distribuidas las velocidades de las moléculas en un gas ideal a una temperatura dada. Muestra que a temperaturas más altas, las moléculas se mueven más rápido en promedio y la distribución se ensancha, mientras que a temperaturas más bajas las moléculas se mueven más lento y la distribución se estrecha. El área debajo de la curva de distribución representa el número total de moléculas en el gas.
El documento explica la distribución de Maxwell-Boltzmann, que describe cómo están distribuidas las velocidades de las moléculas en un gas ideal a una temperatura dada. Muestra que a temperaturas más altas, las moléculas se mueven más rápido en promedio y la distribución se ensancha, mientras que a temperaturas más bajas las moléculas se mueven más lento y la distribución se estrecha. El área debajo de la curva de distribución representa el número total de moléculas en el gas.
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DISTRIBUCIÓN DE
BOLTZMANN
¿Qué es la distribución de Maxwell-
Boltzmann?
No todas las moléculas de aire que nos rodean viajan a la misma
velocidad, incluso si todo el aire se encontrara a la misma temperatura. Algunas de las moléculas se estarán moviendo muy rápido, algunas muy lento y otras apenas se moverán. Debido a esto, no tienen sentido preguntas como "¿Cuál es la velocidad de una molécula de aire en un gas?", ya que, dentro de una gama enorme, podría tener cualquier velocidad.
Así que en vez de preguntarnos por una molécula particular en un gas,
nos hacemos preguntas como "¿Cuál es la distribución de velocidades en un gas a una temperatura dada?". De mediados a finales del siglo XIX, James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann encontraron la respuesta a esta pregunta. Su resultado es referido como la distribución de Maxwell-Boltzmann, porque muestra cómo están distribuidas las velocidades de las moléculas en un gas ideal. La distribución de Maxwell-Boltzmann se representa a menudo con la siguiente gráfica. El eje vertical de la gráfica de Maxwell-Boltzmann puede pensarse como el número de moléculas por unidad de velocidad. Así que, si la gráfica es alta en una región dada, significa que hay más moléculas del gas moviéndose a esas velocidades. Observa que la gráfica no es simétrica. Hay una "cola" más larga en la zona de altas velocidades, a la derecha de esta. La gráfica continúa hacia la derecha hasta velocidades extremadamente grandes, pero hacia la izquierda debe terminar en cero (puesto que una molécula no puede tener velocidades menores que cero).
La ecuación matemática para la distribución de Maxwell-Boltzmann
es un poco intimidante y no es típicamente requerida en la mayoría de los cursos introductorios de álgebra. Ecuación para la distribución de Maxwell-Boltzmann.
• a cantidad f(v) es la densidad de probabilidad como función de
la velocidad v. Esta ecuación establece que la densidad de probabilidad depende de la temperatura T del gas, la masa m de las moléculas y la constante de Boltzmann k. La densidad de probabilidad es la probabilidad por unidad de velocidad de encontrar una partícula con una velocidad cercana a v.
¿Qué es la velocidad media cuadrática?
Puedes pensar que la velocidad que se localiza directamente bajo el
pico de la gráfica de Maxwell-Boltzmann es la velocidad promedio de una molécula en el gas, pero esto no es verdad. La velocidad situada directamente bajo el pico es la velocidad más probable vp, ya que la probabilidad de que una molécula en el gas tenga esa velocidad es máxima. La velocidad promedio Vprom de una molécula en el gas se localiza un poco a la derecha del pico. La razón de que la velocidad promedio se encuentre allí es la larga "cola" en ese lado de la gráfica de la distribución de Maxwell-Boltzmann. Esta larga cola jala la velocidad promedio un poco a la derecha del pico de la gráfica.
Aplicaciones de la Distribución de Boltzmann
Energía Cinética Molecular Media Las moléculas de la materia a temperaturas normales, se pueden considerar que estan en un incesante movimiento aleatorio a gran velocidad. De la distribución de Boltzmann, se puede deducir el promedio de la energía cinética de traslación de estas moléculas. Cuando la distribución de Boltzmann
se aplica al movimiento de una molécula en una dimensión, esto se
convierte en La energía cinética media en una dimensión, es entonces
y en las tres dimensiones de ese movimiento, la energía cinética media
es:
Podemos con confianza multiplicar el resultado de una dimensión por
tres, ya que los diferentes componentes de la velocidad son independientes el uno del otro. Esta asignación de kT/2 de la energía para cada grado de libertad de movimiento de la molécula, se llama equipartición de la energía. Esta energía cinética microscópica es a menudo llamado "energía térmica", y esta expresión es útil para definir la temperatura cinética.
Tenga en cuenta que la energía cinética media de las moléculas, no es
lo mismo que la energía media de las energías puramente aleatorias en la distribución de Boltzmann, que es Eavg= kT. Si se tiene en cuenta que todas las velocidades son igualmente probables, entonces puede considerarse que todas las velocidades dentro de un rango de v a v+Dv, forman una cáscara esférica en el "espacio de velocidades". Para un mayor valor de v, la cáscara es más grande y hay más posibilidades. Esto revierte a que la energía cinética media tome un valor más alto, que resulta ser 3kT/2 en lugar de kT. Este tipo de consideración surge en el desarrollo de la distribución de velocidades de Maxwell para las moléculas. Distribución de Velocidad de Maxwell
La distribución de velocidades en las moléculas de un gas ideal está
dada por De esta función se pueden calcular varias velocidades moleculares características, y cosas tales como, qué fracción de las moléculas tienen velocidades superiores a un cierto valor a una temperatura dada. También tiene que ver con muchos tipos de fenómenos. Note que M es la masa molar y que en la expresión se usa la constante de gas R. Si se hubiera usado en su lugar la masa m de una molécula individual, la expresión sería la misma excepto que contendría la constante de Boltzmann k, en vez de la constante de gas molar R. Fracción de Población de Estados Excitados La distribución de Boltzmann que es fundamental para el entendimiento del fenómeno molecular clásico, nos dice que probabilidad de encontrar una molécula con una energía E, disminuye exponencialmente con la energía; es decir es muy poco probable que cualquier molécula tome mucho más que la energía promedio del total de la energía disponible para todas las moléculas. Matemáticamente la distribución de Boltzmann se puede escribir de la siguiente forma La fracción de población de un estado excitado, se puede calcular a partir de la distribución de Boltzmann. La distribución de energía depende de la función de distribución y de la densidad de estados disponibles para un nivel de energía determinado. En muchos casos, habrá mas formas de alcanzar un nivel de energía superior, de modo que al calcular las poblaciones, se debe tomar en cuenta el peso estadístico.
El ejemplo de aquí no tendrá en cuenta la densidad de estados, sino
que considerará el caso como una colección de partículas puntuales en equilibrio térmico a la temperatura T. Esto nos puede proporcionar algún conocimiento sobre la probabilidad de alcanzar algún umbral del fenómeno físico, o la probabilidad de sobrepasar alguna barrera. Note que esto es un cálculo clásico, y no tiene en cuenta la posibilidad de fenómeno túnel en mecánica cuántica.
¿Qué representa el área bajo la curva de la
distribución de Maxwell-Boltzmann? El eje vertical de la gráfica de distribución de Maxwell-Boltzmann nos da el número de moléculas por unidad de velocidad. El área total bajo la curva es igual al número total de moléculas en el gas.
Si calentamos el gas a una mayor temperatura, el pico de la gráfica se
moverá hacia la derecha (dado que la velocidad molecular promedio aumentará). Conforme la gráfica se mueva hacia la derecha su altura disminuirá, de manera que el área total bajo la curva se mantenga igual. Similarmente, conforme se enfríe un gas y su temperatura baje, el pico de la gráfica se moverá hacia la izquierda y su altura aumentará, de manera que se preserve el área debajo de esta. En las curvas mostradas abajo, que representan un gas (con una cantidad constante de moléculas) a diferentes temperaturas, podemos observar este fenómeno. Conforme el gas se enfríe, la gráfica se volverá más alta y angosta. De manera similar, conforme se caliente, la gráfica se volverá más pequeña y ancha. Esto es una condición necesaria para que el área bajo la curva (es decir, el número total de moléculas) se mantenga constante.
Si se agregan moléculas a la muestra de gas, el área total bajo la curva
aumentará. Análogamente, si hay moléculas abandonando la muestra, el área total bajo la curva disminuirá.
¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que
involucran la distribución de Maxwell- Boltzmann?
Ejemplo 1: enfriar un gas
Un gas de nitrógeno diatómico se encuentra en un contenedor sellado. El contenedor es colocado en un baño de hielo y llega a una temperatura de equilibrio más baja de la que se encontraba originalmente.
¿Qué pasa con las siguientes cantidades conforme el gas se enfría?
La velocidad molecular promedio del gas disminuye. La gráfica del número de moléculas vs. velocidad se vuelve más angosta.
Conforme un gas se enfría, la velocidad promedio se hace más
pequeña, pues las moléculas de un gas frío se mueven más lentamente.
También, la gráfica del número de moléculas vs. la velocidad se
volverá más angosta conforme el gas se enfríe. Dado que para un contenedor sellado el número de moléculas se mantiene constante, el área bajo la curva será constante. Conforme el pico de la gráfica se mueva a la derecha, su altura aumentará para mantener el área constante, haciendo que la curva se vuelva más alta y angosta a medida que el gas se enfríe.
Ejemplo 2: el cambio en un gas
Un gas cuenta con una distribución de velocidades que se ve de la siguiente manera:
¿Cuáles de las siguientes acciones podrían causar que la gráfica de
distribución cambie de la curva 1 a la curva 2, como se muestra abajo? Se dejan salir algunas moléculas, y el gas restante en la muestra se enfría en un segundo contenedor.
Ya que el área total bajo la gráfica decrece, algunas de las moléculas
del gas deben estar saliendo de la muestra. También, dado que el pico de la gráfica se ha movido hacia la izquierda, la velocidad promedio de las moléculas del gas ha disminuido, lo que significa que el gas restante en la muestra ha alcanzado una temperatura más baja.
Así, si permitimos que algo del gas salga de la muestra y luego
enfriamos el gas restante, se producirá el cambio observado en la gráfica de distribución.
Conjunto Canónico • El Conjunto canónico da las probabilidades de los diferentes estados posibles de un sistema aislado de composición fija, en equilibrio térmico con un baño de calor. El conjunto canónico es una distribución de probabilidad con la forma de Boltzmann. • Consiste en fijar en un sistema macroscópicamente el número de partículas, el volumen y la temperatura.
• es conjunto de los posibles estados de un sistema (conjunto
de partículas) que intercambia energía térmica con los alrededores, pero no materia. El volumen que ocupa y su número de partículas es constante. En el equilibrio, el sistema permanece a temperatura constante, y se puede considerar que está en contacto con un baño térmico. Esto quiere decir que está en contacto con una gran masa a una temperatura dada, y por el principio cero de la termodinámica el sistema se encuentra en equilibrio termodinámico con el baño.
El factor de Boltzmann
• Se demuestra que la probabilidad de que un
sistema a temperatura T esté en una configuración de energía E es proporcional al factor de Boltzmann Donde: PE es la probabilidad buscada
E es la energía cuya probabilidad estas buscando❑
k B es laconstante de Boltzmann
T es la temperatura
Z es la suma de las probabilidades de todoslos microestados
