Geometría Analítica
Geometría Analítica
Geometría Analítica
Línea recta
Y ²- X ¹
M = —————
X ²- X ¹
Desnivel de P ¹ a P ².
Pendiente de l = ————————————
Corrimiento de P ¹ a P ².
Y ²- Y ¹ Y ¹ - Y ²
————— = ——————
X ²- X ¹ X ¹ - X ²
La parábola
Ejemplo.
La elipse
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos en el plano (los focos) es constante.
Ejemplo.
Para obtener la forma canónica del teorema tenemos que dividir ambos lados
de la ecuación dada entre 36 y simplificar. Se obtiene así:
X²Y²
¯¯¯ + ¯¯¯ = 1
92
Una hipérbole es el Conjunto de todos los puntos en un punto plano, tales que
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es
una constante positiva.
Ejemplo.
X²Y²
¯¯¯¯ ¯ ¯¯¯¯ = 1
9
La circunferencia
V¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
(x - h)² + (y - k)² = r.
Ejemplo.
r = (-2 - 4) ² + (3 - 5) ² = 36 + 4 = 40.
(X + 2) ² + (y - 3) ² = 40 o sea X ² + y ² + 4x - 6y - 27 = 0.
Rotación de ejes
Ejemplo
Se tiene la grafica de la ecuación XY = 1, o equivalente, Y = 1 / X. si se giran
45° los ejes coordenados, encuentre la ecuación de la grafica en el nuevo
sistema coordenado X¹ Y¹.
222
222
222
(X¹)² (Y¹)²
¯¯¯¯ ¯ ¯¯¯¯ = 1.
2
Que es la ecuación de una hipérbola con vértices (±V¯2¯, 0) sobre el eje X¹.
Nótese que en el nuevo sistema las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
son Y¹ = ± X¹. Estas corresponden a los ejes originales X y Y.
1.ESPACIO VECTORIAL.
Es un conjunto arbitrario diferente del vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición
y producto por un número. Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida, por definida,
entendemos que siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.
Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:
Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se constituyen como espacios
vectoriales: Matrices de n×n ; P(n) (polinomios), funciones continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora
consideraremos el conjunto IR2 = { (x, y) | ... } y veremos las siguientes operaciones:
Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos las siguientes operaciones:
^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u ·^v = x1 · x2 + y1 · y2
Y además se satisfacen los siguientes axiomas:
Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c escalares, entonces:
1. ^u + ^v = ^v + ^u
2. (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)
3. ^u + 0 = 0 + ^u = ^u
4. ^u + ( - ^u) = 0
5. a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)
6. a(^u + ^v) = a^u + a^v
7. (a + b)^u = a^u + b^v
8. 1^u = ^u
9. ^u·^v = ^v·^u
10. ^u(^v + ^w) = ^u·^v + ^u·^w
11. c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)
12. 0·^u = 0
13. ^u·^u = |^u|2
14. Dos vectores son perpendiculares ó ^u·^v = 0
En IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en el plano
cartesiano trazando una línea de leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector
anclado. Además, si el vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x, y).
En la siguiente gráfica ^u es un vector anclado, observemos los demás elementos que componen dicha
gráfica:
Podemos observar que:
^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y de
donde obtenemos las siguientes conclusiones:
|| ^u || = (x² + y²)½
Cos(q) = x / || ^u ||
Sen(q) = y / || ^u ||
Para un vector anclado ^u, ^ux representa su componente en la dirección x y ^uy representa su
componente en la dirección y.
La dirección de un vector de posición está dada por el ángulo que forma con el sentido positivo del eje X.
donde la flecha indica el sentido, el origen es A y el destino B, o bien por "r" con una flecha indicando el
destino.
2.2.Pendiente de una recta.
Uno de los elementos más importantes de la línea recta es la pendiente, la cual se define como la
tangente del ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es aquel que forma la recta con el eje positivo
de las X. Dados dos puntos por los cuales pasa la recta, su pendiente se calcula así:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = Tg ().
Tg() = y2 / x2 = y1 / x1
2.3.Ecuación de la recta.
Forma intercepto-pendiente: y = mx + b (b es el intercepto con el eje Y).
Conocidos la pendiente y un punto cualquiera (x1, y1), la ecuación es: y – y1 = m(x – x1).
Conocidos dos puntos la ecuación es: y – y1 = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] · (x – x1)
Forma general de la ecuación de la recta: La encontramos haciendo operaciones con cualquiera de las
formas antes mencionadas, su representación es: ax + by + c = 0.
Definiciones.
Se dice que dos puntos son colineales si están sobre la misma recta.
Se dice que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1.
Se dice que dos rectas son paralelas si ambas tienen la misma pendiente.
La distancia del punto P(x1, y1) a la recta L: Ax + By + C = 0 es: d(P, L) = |Ax1 + By1 + C| / (A² + B²)½
La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el
nombre de ecuación en forma ordinaria.
3.1.Forma general de la ecuación de una circunferencia.
Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:
X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2; agrupando términos:
X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0; por último tenemos:
DEF
X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 que es la forma general que buscábamos. De aquí deducimos que cualquier
ecuación en forma ordinaria puede transformarse mediante operaciones correctas a la forma general.
3.2.Tangente a una circunferencia.
Dada la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria o general, hallar la ecuación de la tangente a la
circunferencia que tiene dicha ecuación dados un punto de contacto, la pendiente de la de la recta
buscada o un punto exterior por el cual pasa la recta tangente.
En geometría elemental se estudia únicamente la tangente a una curva: la circunferencia, el estudio
hecho es insuficiente para las curvas planas en general, por ello, estudiaremos un método que se aplique
a todas las curvas existentes en el siguiente apartado.
4.TANGENTE A UNA CURVA.
Dada la función f(x, y) <1> y la recta, que es tangente a esa curva, y = mx + b despejamos y en la
ecuación de la recta y la sustituimos en f(x, y), después de esto nos debe quedar una ecuación de
segundo grado, la cual hay que resolver con la siguiente condición: sabemos que la ecuación de segundo
grado tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos D y lo igualaremos a cero quedando de la
forma D = 0 y le llamaremos "condición de tangencia".
En la expresión <1> hablamos de una función general en dos variables y nos referimos a funciones
cuadráticas donde y = mx + b representa una familia de rectas y el sistema pretende determinar cuál de
esas rectas es tangente.
Resolviendo nos queda una ecuación de segundo grado, como lo habíamos dicho con anterioridad, para
la variable x y como estamos buscando una única solución se deduce que el discriminante tiene que ser
igual a cero, es decir, estamos hablando de la condición de tangencia.
De manera práctica se encuentran tres casos de tangentes a cónicas.
1. Se conoce el punto de contacto, aquí hay una sola tangente.
2. Se conoce la pendiente, aquí hay dos tangentes.
3. Se conoce un punto exterior por el cual pasa la tangente, aquí hay dos tangentes.
Para hallar las ecuaciones de las tangentes se sustituye el dato conocido en la ecuación de la recta y se
resuelve la aplicando la condición de tangencia, determinando así la ecuación de las rectas.
5.PARÁBOLA.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo manera que su
distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y
que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz.
La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la
parábola con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al
eje focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.
Los elementos de una parábola son entonces: vértice, foco, longitud del lado recto, y la ecuación de la
directriz. Nosotros estudiaremos únicamente las parábolas con ejes focales paralelos al eje X o al eje Y.
La distancia del vértice a la directriz es la misma distancia del vértice al foco.
Teorema:
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k)² = 4p(x -
h) y sus elementos son los siguientes:
Foco(h + p, k)
Directriz x = h – p
Eje focal y = k
Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.
Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.
Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma (x - h)² = 4p(y - k) y sus elementos son:
Foco (h, k + p)
Directriz y = k – p
Eje focal x = h
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
6.ELIPSE.
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de
sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia
entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Los elementos de una elipse son los que se describen en la figura siguiente:
F y F’, focos.
V y V’, vértices
C, centro.
d(V, V’), eje mayor.
CF, lado recto.
d(A, A’) eje menor.
L’, eje normal.
L, eje focal.
Es importante observar que F, F’, C, V y V’ tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V
es igual a la distancia de F’ a V’ y que C es el punto medio de los focos y vértices.
Teorema:
La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje X esta dada por: (x - h)² / a² + (y - k)² / b²
= 1, y paralela al eje Y es: (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1.
En donde para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia
del centro hacia cada foco y a, b, c están ligadas por la siguiente relación: a² = b² + c².
También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b² / a y la excentricidad e = c /
a.
7.HIPÉRBOLA.
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que
el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a
una constante positiva y menor que la distancia entre los focos. Sus elementos son los que se muestran
en la figura:
F y F’, focos.
V y V’, vértices.
L, eje focal.
VV’, eje transverso.
C, centro.
L’, eje normal.
AA’, eje conjugado.
CF, lado recto.
Teorema:
La ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma:
(x - h)² / a² - (y - k)² / b² =1, sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k) y sus vértices son (h – a, k) y (h + a, k).
Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma: (y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1, sus focos son
(h , k + c) y (h, k - c) y sus vértices son (h - a, k ) y (h + a, k ).
Donde para cada parábola a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado y c la
distancia del centro a cada foco; a, b, c están ligadas por la relación c² = a² + b².. También la longitud de
cada lado recto es 2b² / a y la excentricidad está dada por la relación e = c /a.
8.ASÍNTOTAS.
Si para una curva dada, existe una recta talque, a medida que un punto de la curva se aleja
indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a esa recta decrece continuamente y tiende a cero
dicha curva se llama asíntota de la curva, la cual puede ser horizontal o vertical.
Teorema:
La hipérbola b²x² - a²y² = a²b² tiene por asíntotas las rectas: bx – ay = 0 y bx + ay = 0.
9.SUBTANGENTE Y SUBNORMAL.
Veamos la siguiente figura:
siguiendo la figura podemos decir lo siguiente:
L es tangente a la curva C en el punto P1.
L’ es la recta trazada por P1 perpendicular a L y se llama normal a C en P1. Su ecuación es y – y1 = -
1/m(x – x1).
La tangente y la normal cortan al eje X en T y N.
La longitud P1T es la longitud de la tangente y P1N es la longitud de la normal.
La proyección QT de la longitud de la tangente sobre X se llama subtangente .
La proyección QN de la longitud de la normal sobre X se llama subnormal.
Un razonamiento similar al de los interceptos nos lleva a encontrar las trazas de la superficie, que son
las figuras que forma esa superficie cuando se intercepta con alguno de los ejes coordenados,
entonces aquí buscamos ecuaciones sencillas. Los puntos de las trazas en los planos
correspondientes tienen la siguiente expresión: en el plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el
plano YZ(0, y, z), que como pertenecen también a la superficie, deben satisfacer su ecuación, por lo
que al sustituir cada uno de esto puntos en la ecuación de la superficie se determina la curva
correspondiente (la ecuación) de la traza en sus planos respectivos.
3. Verificar las trazas:
Para verificar la simetría de una superficie nos ayudamos de la siguiente tabla que dice:
Tabla de simetría
Si la ecuación de la superficie no se altera cuando las La superficie es simétrica respecto al:
variables x, y y z son reemplazadas por:
-x, y, z Plano YZ
x, -y, z Plano XZ
x, y, -z Plano XY
-x, -y, z Eje Z
-x, y, -z Eje Y
x, -y, -z Eje X
-x, -y, -z Origen
4. Verificar la simetría de la superficie.
Para hacerlo, se trazan planos paralelos a la superficie para observar que curva se forma cuando se
interceptan. Ahora los puntos toman la forma: en el plano XY(x, y, k), k = z, en el plano XZ(x, k, z), k =
y y en el plano YZ(k, y, z), k = x.
5. Verificar secciones.
6. Definir la extensión de la superficie.
Simplemente se refiere al alcance que tiene la superficie, es decir, cuales son sus límites, si está definida
dentro de un intervalo de valores para las variables o no, etcétera.
18.TEMA DE APLICACIÓN.
18.1.Construcción de volúmenes.
Por volumen entendemos una porción del espacio limitada por una o más superficies, si un volumen está
limita solo por una superficie, tal como un elipsoide, dicho volumen puede representarse mediante la
construcción de una superficie, si un volumen está limitado por una o más superficies, su construcción
requiere la construcción de cada superficie que lo forma y de sus curvas de intersección, veamos dos
ejemplos:
EJEMPLO 1: Construir el volumen limitado por las superficies x² + y² = 4 y x + y – z = 0.
Solución: La superficie que se desea está limitada por la superficie del cilindro circular recto x² + y² = 4, el
plano x + y – z = 0 y los planos coordenados x = 0, y = 0, y z = 0. Construimos primero una parte del
cilindro en el primer octante. El plano x + y – z = 0 pasa por el origen y se puede construir mediante sus
trazas sobre los planos XZ y YZ. Luego construimos la curva de intersección de este plano y el cilindro;
para obtener cualquier punto P de esta curva, empleando un plano de corte paralelo al plano XZ, lo
hacemos como indica la siguiente figura, el contorno del volumen aparece en la línea llena.
EJEMPLO 2: Construir el volumen limitado por la superficie x² + 2y = 4, 2y = 3z , x – y + 1 = 0, x = 0 y z =
0 y que está a la izquierda del plano x – y + 1 = 0.
Solución: La porción de la curva de intersección del cilindro parabólico recto x² + 2y = 4 y el plano 2y = 3z
aparece en la última figura por el arco AB. El plano x – y + 1 = 0 corta al arco AB en el punto D, al cilindro
en la generatriz CD, al plano 2y = 3z en la recta DE y al eje Y en el punto F , entonces el volumen
requerido, que aparece en la línea gruesa, está limitado por las porciones ACD del cilindro. AOED del
plano 2y = 3z, CDEF del plano x – y + 1 = 0, OEF del plano x = 0 y AOFC del plano z = 0.