Prueba Solemne 2-2° Semestre 2013 UDP - Pauta
Prueba Solemne 2-2° Semestre 2013 UDP - Pauta
Prueba Solemne 2-2° Semestre 2013 UDP - Pauta
Estadı́tica-Solemne 2
Profesores:O. Ramos; J. Muños; N. Bustos; J. Arratia
23 de Noviembre de 2013
Duración: 120 Minutos
P (R) = P (R|A)P (A) + P (R|B)P (B) + P (R|C)P (C) + P (R|D)P (D) + P (R|E)P (E)
entonces
0, 1284 = 0, 33 · 0, 12 + 0, 24 · 0, 16 + P (R|C) · 0, 30 + 0, 06 · 0, 24 + 0, 0 · 0, 18
Luego P (R|C) = 0, 12
b) Dado que hay rentabilidad el último trimestre, encuentre la probabilidad de haber invertido
en el fondo C. (0.8 punto)
Solución
Debemos calcular P (C|R). En efecto, usando el teorema de Bayes ,
P (R|C) · P (C)) 0, 12 · 0, 30 0, 036
P (C|R) = = = = 0, 2804
P (R) 0, 1284 0, 1284
2. El tiempo, en segundos, necesario para que un robot, dentro de una lı́nea de producción, ensamble
una pieza mecánica, es una variable aleatoria con función de distribución dada por:
0 x<0
0 2x2
0≤x<1
·
F (x) = 2
1 − (5−x)
20 1≤x<5
1 x≥5
Solución
1
a) Primero se encontrara la función de densidad a partir de la función de distribución dada.
i) Para x < 0 tenemos que
Z x
P (X ≤ x) = F (x) = f (y)dy = 0
−∞
h i2
x x2
R2 5−x −
P (1 < X < 2) 1 ( 10 ) 2 20 1 0· 35
= R1 dx = = = 0· 4375
1 − P (X ≤ 1) 1 − 0 0· 4x 1 − 0· 2 0· 8
Por tanto la probabilidad de que termine de ensamblar dicha pieza antes del tiempo esperado
es de 0· 4375 segundos
3. Supóngase que el número de trabajadores accidentados que llega al hospital del trabajador
a atenderse con el médico traumatólogo es una variable aleatoria distribuida Poisson con un
promedio de 5 pacientes por hora.
2
en un intervalo de tiempo de 6 minutos.
Por hipotesis, se sabe que llegan en promedio 5 pacientes por hora luego, en promedio, en
un intervalo de 6 minutos llegan 6·5
60 = 0, 5 pacientes. Ası́
−0,5 x
X ∼ P (0, 5) con función de densidad f (x) = e x!0,5 , x = 0, 1, 2, . . .
Luego la probabilidad que el traumatólogo disponga de un periodo de descanso de 6 minutos
es P (x = 0) = e−0,5 = 0, 607
b) Si el traumatólogo recién acaba de atender un paciente, ¿Cuál es la probabilidad que en la
próxima media hora atienda al menos a un paciente? (0,5 punto)
Solución
Sea X la v.a. que cuenta el número de pacientes que llegan a atenderse con el traumatólogo
en un intervalo de tiempo de 30 minutos.
−2,5 x
Entonces X ∼ P (2, 5) con función de densidad f (x) = e x!2,5 , x = 0, 1, 2, . . .
finalmete la probabilidad que en media hora atienda al menos a un paciente es
P (X ≥ 1) = 1 − P (x = 0) = 1 − e−2,5 = 0,918
4. Una empresa electrica fabrica focos que tienen una duración, antes de fundirse, que se distribuye
normalmente. Se sabe que el 80 % de los focos se funde en menos 800 horas y que el 90 % en
menos de 840 horas.
P (Z < 800−µ
P (x < 800) = 0, 80 σ ) = z0,80
de acá 840−µ
P (x < 840) = 0, 90 P (z < σ ) = z0,90
luego
800 − µ
= 0, 84
σ
840 − µ
= 1, 28
σ
2
resolviendo el sistema de 2x2 se tiene µ = 723, 63, σ 2 = 90, 90
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un foco dure más que la media?(0,5 punto)
Solución:
3
P (x > 723, 63) = 1 − P (x ≤ 723, 63)
= 1 − P (z ≤ 0)
= 0, 5
c) Se sabe que la probabilidad de que un foco determinado dure, antes de fundirse, es de 0,85
¿Cuántas horas durará éste foco?(0,5 punto)
Solución:
Sea x0 el tiempo buscado, luego Tenemos
P (X < x0 ) = 0, 85
x0 − 723, 63
⇔ P (z < ) = z0 , 85
90, 90
x0 − 723, 63
⇒ = 1,04
90, 90
por lo tanto x0 = 818, 166 horas.